廣東省中山一中、仲元中學2023-2024學年高三下學期一?？荚嚁?shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）

J<202i

A.-1

2.歷史上有不少數(shù)學家都對圓周率作過研究，第一個用科學方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內接和外切

正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學家劉徽只用圓內接正多邊形就求得萬

的近似值，他的方法被后人稱為割圓術.近代無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種乃值的表達式紛紛出現(xiàn)，使

得乃值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式：^=2X2X4X4X6X6X根據(jù)該公式繪制出了估

計圓周率兀的近似值的程序框圖，如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的2.8,若判斷框內填入的條件為左之加？，

則正整數(shù)，”的最小值是

/輸出，

A.2B.3C.4D.5

3.已知函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且滿足/（x）=/（2—幻，當xe［O,l］時，f（x）=x,則函數(shù)

Y+4

F（x）=/（%）+----在區(qū)間［—9,10］上零點的個數(shù)為（）

1-2%

A.9B.10C.18D.20

4.要得到函數(shù)y=gcosx的圖象，只需將函數(shù)y=gsin［2x+gj的圖象上所有點的（）

1JT

A.橫坐標縮短到原來的萬（縱坐標不變），再向左平移。個單位長度

B.橫坐標縮短到原來的不（縱坐標不變），再向右平移個單位長度

C.橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移?個單位長度

O

D.橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移？個單位長度

5.已知y=log2（f—2%+17）的值域為當正數(shù)0,6滿足二一+—^=7〃時，則7a+4）的最小值為

'''3a+ba+2b

（）

A.-B.5C.§+2&口.9

44

6.當輸入的實數(shù)XG［2,30］時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的X不小于103的概率是（）

9539

A.—B.—C.一D.—

1414728

7.已知函數(shù)/(乃=且二，a=/(2°3),Z?=/(0.2°-3),

C=/（log032）,則。，b,C的大小關系為（）

e+1

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

丫2

8.已知雙曲線C的一個焦點為（0,5）,且與雙曲線工-y2=1的漸近線相同，則雙曲線C的標準方程為（）

4-

22222

A.x2——=1B.匕-工=1C.土-匕=1D.=1

4520205-4

9.過直線x+y=0上一點P作圓（龍+1）2+（,一5）2=2的兩條切線心%，A，B為切點，當直線公乙關于直線

x+y=0對稱時，ZAPB=()

A.30°B.45°c.60°D.90°

22

10.已知集合A={(x,y)|y=,B={(x,y)\x+y=1},則AB的真子集個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

x>l

x+y>0，則山的取值范圍為（）

ii.已知實數(shù)％y滿足線性約束條件

x-y+2>0'

A.(-2,-1]B.(-1,4]C.[-2,4)D.[0,4]

12.關于圓周率小數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，我們也

可以通過設計下面的實驗來估計萬的值：先請全校加名同學每人隨機寫下一個都小于1的正實數(shù)對（龍廣）；再統(tǒng)計兩

數(shù)能與1構成鈍角三角形三邊的數(shù)對（尤,y）的個數(shù)最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)。估計萬的值，那么可以估計萬的值約為

()

4〃a+2a+2m4a+2m

A.—B.------C.----------D.----------

mmmm

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在四棱錐尸-A3CD中，是邊長為2班的正三角形,ABC。為矩形，AD=2,PC=PD=J55.若四棱

錐尸-A3CD的頂點均在球。的球面上，則球。的表面積為

21

14.已知a,6均為正數(shù)，S.a+b=l,—1的最小值為

lab

15.已知多項式（l+ax）5（l-2x）4的各項系數(shù)之和為32,則展開式中含x項的系數(shù)為

16.已知函數(shù)y(x)=｛；，且V?〈加，沏〉加，使得/5)+/(q)=0,則實數(shù)機的取值范圍是.

、X十4%,X-YYt

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓C的焦點在x軸上，且順次連接四個頂點恰好構成了一個邊長也為且面積為2點的菱形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設M(-3,0),過橢圓C右焦點支的直線/交于A、3兩點，若對滿足條件的任意直線/，不等式腸4?MB<4彳eR)

恒成立，求彳的最小值.

18.(12分)已知函數(shù)y=/。)與丁="的圖象關于直線丁=尤對稱.(e為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若y=/(x)的圖象在點人(％"(%))處的切線經過點(一自―1),求方的值；

(2)若不等式/(X),,萬以2—Q—a)x—1恒成立，求正整數(shù)。的最小值.

19.(12分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AZ>/%C,AD^AB=CD=2,BC=4,M,N,。分別為BC,CD,

AC的中點，以AC為折痕將一ACO折起，使點。到達點P位置(Pe平面ABC).

(1)若H為直線QN上任意一點，證明：〃平面A5P；

兀

(2)若直線與直線所成角為一，求二面角A-尸C-5的余弦值.

4

20.(12分)已知函數(shù)/(九)=|x—左|+|九+2|aeR),g(x)=|2x+m|(?zeZ).

(1)若關于％的不等式g(x),,l的整數(shù)解有且僅有一個值T,當左=1時，求不等式/(%),,加的解集；

(2)已知/Z(X)=X2—2X+3,若V%eR,土e(0,+oo),使得/(石)..丸(%)成立，求實數(shù)上的取值范圍.

x=-1—3/

21.(12分)已知直線/的參數(shù)方程為",。為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸且取相同

°=2+4/

的單位長度建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為P=2插cos

(1)求直線/的普通方程及曲線C的直角坐標方程；

(2)設點P(—L2),直線/與曲線C交于A,3兩點，求|筋|+|「4|?|尸8|的值.

22.(10分)近幾年一種新奇水果深受廣大消費者的喜愛，一位農戶發(fā)揮聰明才智，把這種露天種植的新奇水果搬到

了大棚里，收到了很好的經濟效益.根據(jù)資料顯示，產出的新奇水果的箱數(shù)X（單位：十箱）與成本y（單位：千元）

的關系如下：

X13412

y51.522.58

y與x可用回歸方程y=Glgx+a（其中q,為常數(shù)）進行模擬.

（I）若該農戶產出的該新奇水果的價格為150元/箱，試預測該新奇水果100箱的利潤是多少元.|.

（II）據(jù)統(tǒng)計，10月份的連續(xù)11天中該農戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.

（i）若從箱數(shù)在［40,120）內的天數(shù)中隨機抽取2天，估計恰有1天的水果箱數(shù)在［80,120）內的概率；

（ii）求這11天該農戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值.（每組用該組區(qū)間的中點值作代表）

參考數(shù)據(jù)與公式：設r=lgx,則

552

?Jxu-n

Z=1i=l

0.541.81.530.45

-EU-?)(.x-y)

線性回歸直線y=Blgx+a中，b--―-，a=y—bt?

1=1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出S的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結論.

【詳解】

233

S=4,，=1;S=—1,，=2;S=—,，=3;S=—"=4;5=4,，=5；如此循環(huán)下去，當/=2020時，S=—;S=4"=2021,

322

此時不滿足i<2021,循環(huán)結束，輸出S的值是4.

故選：D.

【點睛】

本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構.解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結論.

2^B

【解析】

978

初始：k=l,T=2,第一次循環(huán)：T=2x-x-=|<2.8,k=2,繼續(xù)循環(huán)；

第二次循環(huán)：r-1x-x^=^1>2.8,k=3,此時T>2.8,滿足條件，結束循環(huán)，

所以判斷框內填入的條件可以是左23?,所以正整數(shù)機的最小值是3,故選B.

3、B

【解析】

x+4

由已知可得函數(shù)/(X)的周期與對稱軸，函數(shù)歹(X)=/(x)+-----在區(qū)間［-9,10］上零點的個數(shù)等價于函數(shù)/(X)

1-2%

Y+4

與g(X)=---圖象在［-9,10］上交點的個數(shù)，作出函數(shù)/(X)與g(x)的圖象如圖，數(shù)形結合即可得到答案.

1-2%

【詳解】

Y+4Y+4

函數(shù)尸(x)=/(x)+K在區(qū)間［-9,10］上零點的個數(shù)等價于函數(shù)/(X)與g(X)=——^圖象在［—9,10］上交

1-2%1-2%

點的個數(shù)，

由/(x)=/(2-x),得函數(shù)/(X)圖象關于x=l對稱，

V/(x)為偶函數(shù)，取x=x+2,可得/(x+2)=于(-x)(x),得函數(shù)周期為2.

又,當xG［0,1］時，f(x)=x,且/(x)為偶函數(shù)，...當尤^［-1,0］時，f(x)=-x,

,、x+4x+419

g(x)=------=-----=—H-------,

1-2%2x-l24x-2

作出函數(shù)/(x)與g(X)的圖象如圖：

由圖可知，兩函數(shù)圖象共10個交點，

Y+4

即函數(shù)尸（x）=/（x）+-----在區(qū)間[-9,10]上零點的個數(shù)為10.

1-2%

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)的零點與方程根的關系，考查數(shù)學轉化思想方法與數(shù)形結合的解題思想方法，屬于中檔題.

4、C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關系，即可容易求得.

【詳解】

11.

為得到y(tǒng)=—cosx=-sm

22

將y=；sin[2x+。]橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）,

故可得y=gsin

再將y=gsin[x+1^向左平移￡個單位長度，

遼一r“！1?（乃乃）1.（"）1

故可得y=]Sinx+§+q'Sinx+萬=]COSX.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.

5、A

【解析】

利用丁=皿12—2%+17)的值域為[〃+<?),求出叫再變形，利用1的代換，即可求出7a+你的最小值.

【詳解】

2

Vy=log2(x—2x+17)=log2[(x—l)2+16]的值域為在",+co),

/.m=4,

41

??---------------1-------------二4,

6a+2ba+2b

.?.7a+4b」「(6a+26)+(a+26)](--—+|

4LV''J\6a+2ba+2b)

16a+2b4(〃+2b)1

———5H----------------1------------------>-x（5+叫，

4a+2b6a+2b4

當且僅當包土絲=4（"+2〃）時取等號，

a+2b6a+2b

,9

7a+4Z?的最小值為一.

4

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了對數(shù)復合函數(shù)的值域運用，同時也考查了基本不等式中“1的運用”，屬于中檔題.

6、A

【解析】

根據(jù)循環(huán)結構的運行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出x的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結論.

【詳解】

程序框圖共運行3次，輸出的x的范圍是[23,247],

blIAATITAA-HIT-fc->1^247—1031449

所以輸出的x不小于103的概率為--——————?

247-2322414

故選:A.

【點睛】

本題考查循環(huán)結構輸出結果、幾何概型的概率，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.

7、B

【解析】

可判斷函數(shù)“X）在R上單調遞增，且2°3〉l〉0.2°3〉0>iog032,所以c<b<a.

【詳解】

03

-/（x）=里匚=1一一—在R上單調遞增，且2°3>1>O.2>0>log032,

e*+lex+1

所以c<Z?<a.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)單調性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，利用單調性比大小等知識，考查了學生的運算求解

能力.

8、B

【解析】

根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲線的標準方程，結合焦點坐標求解.

【詳解】

?.?雙曲線C與土-丁=1的漸近線相同，且焦點在y軸上，

4-

22

...可設雙曲線C的方程為3-一個焦點為（。，5）'

22

.?.左+4左=25,.?.左=5,故C的標準方程為匕一土=1.

520

故選：B

【點睛】

此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.

9、C

【解析】

判斷圓心與直線％+y=0的關系，確定直線34關于直線%+丁=0對稱的充要條件是PC與直線x+y=0垂直，從

而歸。|等于C到直線x+y=0的距離，由切線性質求出sin/APC,得NAPC,從而得NAPB.

【詳解】

如圖，設圓（x+iy+（y—5）2=2的圓心為。（一1,5）,半徑為0,點C不在直線x+y=0上，要滿足直線心I。關

,,-1+5

于直線x+y=0對稱，則PC必垂直于直線x+y=0,附=^^=2忘,

11V2

ACy/21

設ZAPC=e,則ZAPB=2。，Sin6=~-=A==-,：.0=30°,ZAPB=20=60°.

PC2叵2

故選：c.

本題考查直線與圓的位置關系，考查直線的對稱性，解題關鍵是由圓的兩條切線關于直線x+y=o對稱，得出PC與

直線x+y=O垂直，從而得歸。就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角.

10、c

【解析】

求出A8的元素，再確定其真子集個數(shù).

【詳解】

_，2百-2-—2

=必X—X----------------------

y22

由＜，解得或＜,/.A8中有兩個元素，因此它的真子集有3個.

2

x+/=lA/5-IA/5-I

y=---------y=---------

22

故選：C.

【點睛】

本題考查集合的子集個數(shù)問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數(shù)，解題關鍵是對集合元素的認識，本題中集合

A,8都是曲線上的點集.

11、B

【解析】

作出可行域，山表示可行域內點尸(x,y)與定點。(0,-1)連線斜率，觀察可行域可得最小值.

X

【詳解】

作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)，區(qū)表示可行域內點尸(％,y)與定點。(。，-1)連線斜率，A(I,3),

X

跖4=、^=4,過。與直線%+丁=0平行的直線斜率為一1,二一1<怎2<4.

【點睛】

本題考查簡單的非線性規(guī)劃.解題關鍵是理解非線性目標函數(shù)的幾何意義，本題山表示動點P(x,y)與定點

X

Q(0,-1)連線斜率，由直線與可行域的關系可得結論.

12、D

【解析】

0<%<1

由試驗結果知相對o?1之間的均勻隨機數(shù)羽V，滿足c,,面積為1,再計算構成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x,y),

Q<y<l

滿足條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計〃的

值.

【詳解】

解：根據(jù)題意知，m名同學取/”對都小于1的正實數(shù)對(九,y),即

對應區(qū)域為邊長為1的正方形，其面積為1,

x2+y2<1

x+y>1

若兩個正實數(shù)九,y能與1構成鈍角三角形三邊，則有八一,，

0<x<1

0<y<1

TT1nTTI4a+2m

其面積s1-天則有KWW‘解得"

m

故選：D.

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形，可以

直接解出可行域的面積；求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構造兩個

變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、28乃

【解析】

做AO中點歹，的中點G,連接PF,PG,FG,由已知條件可求出PE=3,PG=&§，運用余弦定理可求

NPFG=120,從而在平面尸尸G中建立坐標系，則P,EG以及AZXD的外接圓圓心為。?和長方形ABC。的外接

圓圓心為。2在該平面坐標系的坐標可求，通過球心。滿足00]LEG,即可求出。的坐標，從而可求球

的半徑，進而能求出球的表面積.

【詳解】

解：如圖做AQ中點產，6C的中點G,連接PF,PG,FG,由題意知

PF±AD,PG±BC,MPF=273xsin60=3,」G=422-3=M

2

設APAD的外接圓圓心為?！竸t。1在直線PF上且PO{=-PF

設長方形ABC。的外接圓圓心為。2,則。2在WG上且=GQ.設外接球的球心為。

32?2-191

在APFG中，由余弦定理可知cosZPFG=---+--------=——,:.ZPFG=120.

2x3x22

在平面P尸G中，以口為坐標原點，以FG所在直線為x軸，以過口點垂直于x軸的直

線為V軸，如圖建立坐標系，由題意知，。在平面P產G中且

百3百

y-----------

設O(Ly),則。,P,因為OOJP7"所以—盧=年

(22)122J

1+--

22

解得,=23則P0=jl+￡|—孚］=§

Z1——、2

所以球的表面積為4?x=28%.

故答案為：287r.

【點睛】

本題考查了幾何體外接球的問題，考查了球的表面積.關于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過將幾何體補充到長

方體中，將幾何體的外接球等同于長方體的外接球，求出體對角線即為直徑，但這種方法適用性較差；二是通過球的

球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直，設半徑列方程求解；三是通過空間、平面坐標系進行求解.

14、72

【解析】

本題首先可以根據(jù)a+b=1將竺"-1化簡為-+—,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.

labb2a

【詳解】

因為a+b=L

bhi/+l/+(〃+b)21abJabn-

所以-------1=-----------------1=一+—>2J-------=J2,

lablabb2a\b2a

Z7b

當且僅當7=丁，即。=后一1、人=2—0時取等號，

b2a

故答案為：V2.

【點睛】

本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為a+匕？2疝（a0乃＞0）,在使用基本不等式的時候要注意“=”

成立的情況，考查化歸與轉化思想，是中檔題.

15、-3

【解析】

令x=1可得各項系數(shù)和為（1+4了（1-2）4=32,得出a=1，根據(jù)第一個因式展開式的常數(shù)項與第二個因式的展開式含

x一次項的積與第一個因式展開式含x的一次項與第二個因式常數(shù)項的積的和即為展開式中含x項，可得解.

【詳解】

令X=1,

則得(1+4)5(1-2)4=32,

解得a=l,

所以(1+x)5(l-2x>展開式中含x項為：1xC；(-2x)+(C'x)xl=—8x+5x=-3x,

故答案為：-3

【點睛】

本題主要考查了二項展開式的系數(shù)和，二項展開式特定項，賦值法，屬于中檔題.

16、(—8,0］

【解析】

根據(jù)條件轉化為函數(shù)y=-/(尤)在(一火機)上的值域是函數(shù)y=/(可在［m,轉)上的值域的子集;分別求值域即可得

到結論.

【詳解】

解：依題意，=

即函數(shù)y=-"力在上的值域是函數(shù)y=/(x)在［私+8)上的值域的子集.

因為V=/(%)在上"，”)上的值域為［-4,+8)(加(一2)或［/+4私+oo］(m>-2),

y=-/(%)在(一8,m)上的值域為(一加,+8),

m<-2fm>-2

故4或24，

-m>-4>m+4m

解得根40

故答案為：(7,0］.

【點睛】

本題考查了分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

f31

17、(1)—+/=1(2)—

22

【解析】

(1)由已知條件列出關于。和力的方程，并計算出。和b的值，jike得到橢圓的方程.

(2)設出點A和點3坐標，運用點坐標計算出MA.“B，分類討論直線/的斜率存在和不存在兩種情況，求解出2的

最小值.

【詳解】

--2a-2b=2y/2「

（1）由己知得：2,解得a=0,b=l

a2+b2=3

所以，橢圓C的方程工+丁=1

2

⑵設A（WX）,§（%,%）?叱,板=（玉+3,%）?（尤2+3,%）=（九i+3）（尤2+3）+%%

,1

當直線/垂直于X軸時，%=々=1，%=-%且方=5

31

此時MA=（4,yJ,MB=（4,y2）,:.MAMB=—

當直線/不垂直于x軸時，設直線/：y=Hx-D

由D，得（1+2左2）9—4/x+242—2=0.

%2+2/=2、7

4k22k2-2

■■-X1+X2=T72F,”也=瓦正

2

:.MA-MB=xlx2+3（xi+x2）+9+k（xl-l^x2-l）=^^-=^l-^-^<^-.

3131

要使AM?MB42（2eR）恒成立，只需X2=不，即丸最小值為一

22

【點睛】

本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系，求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,

并運用根與系數(shù)的關系轉化為只含一個變量的表達式進行求解，需要掌握解題方法，并且有一定的計算量.

18、(1)e；(2)2.

【解析】

(1)根據(jù)反函數(shù)的性質，得出/'(x)=lnx,再利用導數(shù)的幾何意義，求出曲線y=lnx在點A處的切線為

＞一為=工(》-%)，構造函數(shù)"(%)=xlnx,利用導數(shù)求出單調性，即可得出無。的值;

小-*+D，求出g(x)的單調性，從而得出最大值

1°

（2）設g（x）=lnx——ax+（l-a）x+l,求導

2g

X

為gd='--lna,結合恒成立的性質，得出正整數(shù)。的最小值.

)2a

【詳解】

(1)根據(jù)題意，丁=/(%)與丁="的圖象關于直線丁=%對稱，

所以函數(shù)/(x)的圖象與y=/互為反函數(shù)，則Ax)=lnx?

設點4(%,%),又了=’，

x

,1

當x=x()時，y=—，

1,

曲線y=lnx在點A處的切線為y-%=一(％-

%

即yTn%0=----1,代入點

%

得一l-ln%=----1,即玉jln/ue,

構造函數(shù)H(x)=xlnx,

當無￡(0,1)時，H(x)<0,

當x￡(1,+oo)時，H(x)>0,

且H'(%)=lnx+1,當x>l時，“'(％)>0,8(%)單調遞增,

而H(e)=e,故/In/=e存在唯一的實數(shù)根%°=e.

1

(2)由于不等式/(%),,]o?9—(]—〃?—1恒成立,

、12

可設g(%)=lnx-]ar+(1-Q)X+1,

所以g[x)=-。二+(j)*+1

x

令g'(x)=0,得X=工.

a

所以當xe(o,L1]時，g'(x)>0；當xe(L,+oo]時，g'(x)<0,

aa

因此函數(shù)g(x)在是增函數(shù)，在xe是減函數(shù).

故函數(shù)g(x)的最大值為g[-]=ln-----ox[工]+(l-a)x—+1=———Ina.

a2[aja2a

令h(a)-------Ina,

2a

因為丸(l)=」〉o,A(2)=--ln2<0,

24

又因為Ka)在ae(0,+8)是減函數(shù).

所以當a.2時，〃(a)<0.

所以正整數(shù)。的最小值為2.

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)解決恒成立問題，涉及到單調性、構造函數(shù)法等，考查函數(shù)思想和計算能力.

19、(1)見解析(2)叵

7

【解析】

⑴根據(jù)中位線證明平面MNQ平面R43,即可證明MH〃平面A3。；(2)以QW,QC,QP為x,y,z軸建立

空間直角坐標系，找到點的坐標代入公式即可計算二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：連接QM,

'：M,N,。分別為6C,CD,AC的中點，

QMAB,

又；QM<Z平面上鉆，ABi平面

/.QM平面石鉆,

同理，QN〃平面R43,

?.?QMu平面MAQ,QNu平面MAQ,QMQN=Q,

二平面MNQ平面P4B,

〃平面ABP.

(2)連接PQ,在A6c和ACD中，由余弦定理可得,

AC-=AB-+BC2-2AB-BCcos/ABC

AC2=AD"+CD2-2AD-CDcosZADC'

由NABC與互補，AD=AB=CD=2,BC=4,可解得AC=2追，

BC2=AB-+AC2，

：.AB±AC,QMLAC,

TT

???QMAB,直線AB與直線MN所成角為一，

4

TT

：.ZQMN=~,又QM=QN=\,

一4

71

：.ZMQN=~,即QMLQN,

QAf，平面APC,

?*.平面ABC_L平面APC,

為AC中點，PQ^AC,

二PQ,平面ABC,

如圖所示，分別以QM,QC,QP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則3(2,—6,0),C(0,V3,0),P(0,0,l),

PB=(2,—6—1),PC=(0,A-l).

設平面尸5C的法向量為“=(%y,z),

n-PB=02X-A/3V-Z=0

A5，即〈,

n-PC-0[A/3J-Z=0

令y=l,則x=g,z=G，可得平面尸5c的一個法向量為“=(6』,百).

又平面APC的一個法向量為m=(1,0,0),

.m-n^21

??cos<m.n>------------=------,

\m\'\n\7

...二面角A-PC-B的余弦值為叵.

7

【點睛】

此題考查線面平行，建系通過坐標求二面角等知識點，屬于一般性題目.

-97一

20、(1)(2)(f,T]"(),+<?)

L22j

【解析】

(1)求解不等式g(x),,l,結合整數(shù)解有且僅有一個值T,可得加=8,分類討論，求解不等式，即得解;

(2)轉化白々€(0,+8),使得/(七)..以々)成立為了(占)../(：々)1m「利用不等式性質

/(x)=|x—左|+|%+2|…|(x—6―(尤+2)1=1左+2],求解二次函數(shù)最小值，代入解不等式即可.

【詳解】

―加一1雙I—772+1

(1)不等式g(x),,l,即|2九+加|,,1,所以------釉------

22

心匚那4-m+1日

由-5<--------<-3

2

解得7vmv9.

因為根￡Z,所以加=8,

當左=1時，

—2x—1,x,,—2,

/(x)=|x-l|+|x+21=<3,-2<x<1,

2x+l,x.l,

X),—2,—2<x<1,X.1,

不等式."8等價于—21?8或3,,8或4

[2x+L,8.

97

即一一領k—2或一2(九vl或費兒

22

Q7

故一二"轟!k—,

22

97

故不等式/(x),,8的解集為.

L22J

(2)因為/(x)=|2—左|+1x+21...|(x—一(，+2)|=|:+21,

由/z(x)=x2-2x+3=(x-1)?+2,xe(0,+oo),

可得以了)血n="(D=2,

又由VX]G7?,BX2G(0,+OO),使得了(%)..必々)成立，

則|k+2|..2,解得-4或左..0.

故實數(shù)人的取值范圍為(f,T][0,+<?).

【點睛】

本題考查了絕對值不等式的求解和恒成立問題，考查了學生轉化劃歸，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

21、(1)4x+3y—2=0；%2+/-2x