第1頁(yè)（共1頁(yè)）江西省上饒市余干縣藍(lán)天實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一．單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的。1．（5分）在數(shù)列，，，2，…中，根據(jù)前5項(xiàng)的規(guī)律寫出的第12個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．2．（5分）下列數(shù)列中等差數(shù)列的是（）A．a(chǎn)n＝3n+1 B． C．a(chǎn)n＝log2n+1 D．3．（5分）已知等比數(shù)列{an}中，a4＝﹣16，公比q＝2，則a1＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．（5分）在數(shù)列{an}中，，a1＝2，則a10＝（）A．2 B． C． D．﹣15．（5分）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．（e2）′＝2e B．[（2x+7）2]′＝2（2x+7） C．（cos2x）′＝2sin2x D．6．（5分）一個(gè)小球從5m的高處下落，其位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y＝﹣4.9t2，則t＝0.5s時(shí)小球的瞬時(shí)速度（單位：m/s）為（）A．﹣4.9 B．﹣9.8 C．4.9 D．9.87．（5分）已知函數(shù)f（x）的圖象與直線4x﹣y﹣4＝0相切于點(diǎn)（2，f（2）），則f（2）+f′（2）＝（）A．4 B．8 C．0 D．﹣88．（5分）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且，則＝（）A． B． C． D．二．多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有（多選）9．（6分）下列敘述不正確的是（）A．1，3，5，7與7，5，3，1是相同的數(shù)列 B．a(chǎn)，a，a，a，…是等比數(shù)列 C．?dāng)?shù)列0，1，2，3，…的通項(xiàng)公式為an＝n D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列（多選）10．（6分）數(shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以是（）A． B． C． D．（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x+2，則（）A．f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上單調(diào)遞減 B．f（x）的最小值為0 C．f（x）的對(duì)稱中心為（0，2） D．方程f（x）＝0有3個(gè)不同的解三．填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）在數(shù)列{an}中，，則通項(xiàng)公式an＝．13．（5分）如圖所示為函數(shù)f（x）的圖象，則不等式的解集為．14．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝3，且anan+1＝an+an+1，則a5＝，S40＝．四．解答題：本大題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是．（1）這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？（2）150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？16．（15分）已知a1＝1，an+1＝an+2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和．17．（15分）等比數(shù)列{an}的公比為2，且a2，a3+2，a4成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝log2an+an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝x3+a，點(diǎn)A（0，0）在曲線y＝f（x）上．（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；（2）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程；（3）求曲線y＝f（x）過點(diǎn)E（2，0）的切線方程．19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）若a＝1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（3）若函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，且對(duì)?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案與試題解析一．單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的。1．（5分）在數(shù)列，，，2，…中，根據(jù)前5項(xiàng)的規(guī)律寫出的第12個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【解答】解：數(shù)列，，，2，…，則該數(shù)列的通項(xiàng)為，第12個(gè)數(shù)為．故選：D．2．（5分）下列數(shù)列中等差數(shù)列的是（）A．a(chǎn)n＝3n+1 B． C．a(chǎn)n＝log2n+1 D．【解答】解：對(duì)于A，an+1﹣an＝3，相鄰兩項(xiàng)的差為常數(shù)，是等差數(shù)列；對(duì)于B，，相鄰兩項(xiàng)的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；對(duì)于C，，相鄰兩項(xiàng)的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；對(duì)于D，，相鄰兩項(xiàng)的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列．故選：A．3．（5分）已知等比數(shù)列{an}中，a4＝﹣16，公比q＝2，則a1＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：由等比數(shù)列{an}中，a4＝﹣16，公比q＝2，又由，可得．故選：B．4．（5分）在數(shù)列{an}中，，a1＝2，則a10＝（）A．2 B． C． D．﹣1【解答】解：由題意，a1＝2，，，，故數(shù)列{an}的周期為3，故a10＝a7＝a4＝a1＝2．故選：A．5．（5分）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．（e2）′＝2e B．[（2x+7）2]′＝2（2x+7） C．（cos2x）′＝2sin2x D．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：A選項(xiàng)，（e2）′＝0，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，[（2x+7）2]′＝2（2x+7）?2＝4（2x+7），B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，（cos2x）′＝﹣sin2x?（2x）′＝﹣2sin2x，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，D正確．故選：D．6．（5分）一個(gè)小球從5m的高處下落，其位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y＝﹣4.9t2，則t＝0.5s時(shí)小球的瞬時(shí)速度（單位：m/s）為（）A．﹣4.9 B．﹣9.8 C．4.9 D．9.8【解答】解：由題意知位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y＝﹣4.9t2，故y′＝﹣9.8t，故t＝0.5s時(shí)小球的瞬時(shí)速度為﹣9.8×0.5＝﹣4.9（m/s）．故選：A．7．（5分）已知函數(shù)f（x）的圖象與直線4x﹣y﹣4＝0相切于點(diǎn)（2，f（2）），則f（2）+f′（2）＝（）A．4 B．8 C．0 D．﹣8【解答】解：直線4x﹣y﹣4＝0的斜率為4，直線與函數(shù)f（x）的圖象相切于點(diǎn)（2，f（2）），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為切線的斜率，所以f′（2）＝4，又點(diǎn)（2，f（2））在函數(shù)的圖象上，同時(shí)也在切線上，所以4×2﹣f（2）﹣4＝0，所以f（2）＝4．則f（2）+f′（2）＝8．故選：B．8．（5分）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)?，所以，令，則，變形可得．故選：C．二．多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有（多選）9．（6分）下列敘述不正確的是（）A．1，3，5，7與7，5，3，1是相同的數(shù)列 B．a(chǎn)，a，a，a，…是等比數(shù)列 C．?dāng)?shù)列0，1，2，3，…的通項(xiàng)公式為an＝n D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【解答】解：對(duì)于A：1，3，5，7與7，5，3，1顯然不是相同的數(shù)列，因?yàn)轫樞虿灰粯?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)a＝0時(shí)常數(shù)數(shù)列a，a，a，a，…不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：數(shù)列0，1，2，3，…的通項(xiàng)公式為an＝n﹣1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，又n∈N*，函數(shù)f（x）＝x2+x﹣1在上單調(diào)遞增且f（1）＝12+1﹣1＝1＞0，所以n2+n﹣1＞0，所以，即，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確．故選：ABC．（多選）10．（6分）數(shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以是（）A． B． C． D．【解答】解：對(duì)于A，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合題意，A是；對(duì)于B，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合題意，B是；對(duì)于C，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合題意，C是；對(duì)于D，a1＝0，a2＝2，a3＝0，a4＝2，不符合題意，D不是．故選：ABC．（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x+2，則（）A．f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上單調(diào)遞減 B．f（x）的最小值為0 C．f（x）的對(duì)稱中心為（0，2） D．方程f（x）＝0有3個(gè)不同的解【解答】解：函數(shù)f（x）＝x3﹣3x+2，對(duì)于A：f'（x）＝3x2﹣3，令f'（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞1，令f'（x）＜0，解得﹣1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣1，1）上單調(diào)遞減，且f（﹣1）＝4＞0，f（1）＝0，可畫出函數(shù)f（x）的大致圖象如圖所示，故A正確；對(duì)于B：此函數(shù)無(wú)最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：f（x）+f（﹣x）＝4，故C正確；對(duì)于D：根據(jù)圖象可知f（x）有2個(gè)不同的解，故D錯(cuò)誤．故選：AC．三．填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）在數(shù)列{an}中，，則通項(xiàng)公式an＝．【解答】解：因?yàn)椋?，則，，，???，，，所以上述（n﹣1）個(gè)式子左右分別相加得：an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+an﹣2﹣an﹣3+?+a3﹣a2+a2﹣a1＝，即（n≥2），又因?yàn)閍1＝2，所以（n≥2），當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足上式，所以通項(xiàng)公式．故答案為：．13．（5分）如圖所示為函數(shù)f（x）的圖象，則不等式的解集為．【解答】解：由f（x）的圖象可得f（x）在，（2，+∞）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＜0，因?yàn)椋曰?，即或或，解?＜x＜2或，所以原不等式的解集為．故答案為：．14．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝3，且anan+1＝an+an+1，則a5＝3，S40＝90．【解答】解：當(dāng)n＝1時(shí)，可得，當(dāng)n＝2時(shí)，可得a3＝3，依次可求得，依此類推可知該數(shù)列的周期為2，所以a5＝3，．故答案為：3；90．四．解答題：本大題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是．（1）這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？（2）150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？【解答】解：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是．∴這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是：a4＝42﹣7×4+6＝﹣6．（2）＝150，即n2﹣7n﹣144＝0，解得n＝16或n＝﹣9（舍），∴150是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第16項(xiàng)．16．（15分）已知a1＝1，an+1＝an+2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和．【解答】解：（1）依題意，由an+1＝an+2及a1＝1，可知數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴an＝1+2?（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由題意，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則由（1）及等差數(shù)列的求和公式，可得＝＝100．17．（15分）等比數(shù)列{an}的公比為2，且a2，a3+2，a4成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝log2an+an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）∵等比數(shù)列{an}的公比q＝2，且a2，a3+2，a4成等差數(shù)列，∴2（a3+2）＝a2+a4，∴2（4a1+2）＝2a1+8a1，∴a1＝2，又q＝2，∴an＝2n；（2）∵bn＝log2an+an＝n+2n，∴＝．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝x3+a，點(diǎn)A（0，0）在曲線y＝f（x）上．（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；（2）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程；（3）求曲線y＝f（x）過點(diǎn)E（2，0）的切線方程．【解答】解：（1）由A（0，0）在曲線y＝f（x）上，可得0＝0+a，即a＝0，則f（x）＝x3；（2）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝3x2，可得曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線斜率為3，則切線方程為y+1＝3（x+1），即為3x﹣y+2＝0；（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），可得n＝m3，則切線方程為y﹣m3＝3m2（x﹣m），代入E（2，0），可得0﹣m3＝3m2（2﹣m），解得m＝0或m＝3，則切線的方程為y＝0或y＝27x﹣54．19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）若a＝1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（3）若函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，且對(duì)?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x﹣1﹣lnx，，令f′（x）＝0可得x＝1，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，故f（x）遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）；（2）由f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）可得：函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＜0，解得；令f′（x）＞0，解得，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上可得：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)