章末整合第五章2021內(nèi)容索引0102知識(shí)網(wǎng)絡(luò)整合構(gòu)建專題歸納思維深化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)整合構(gòu)建一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題歸納思維深化專題一導(dǎo)數(shù)的幾何意義例1已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線方程;(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo);(3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程.分析求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)可利用切點(diǎn)(2,-6)求出切線斜率,寫出切線方程;(2)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),表示出切線方程,利用切線過原點(diǎn)求解,也可以利用切點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率等于導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處函數(shù)值列式求解;(3)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),利用兩直線互相垂直時(shí),斜率之積為-1,列方程求解.(方法2)設(shè)直線l的方程為y=kx,切點(diǎn)為(x0,y0),∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直線l的方程為13x-y=0,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).規(guī)律方法

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明確“過點(diǎn)P(x0,y0)的曲線y=f(x)的切線方程”與“在點(diǎn)P(x0,y0)處的曲線y=f(x)的切線方程”的異同點(diǎn).(2)圍繞著切點(diǎn)有三個(gè)等量關(guān)系:已知切點(diǎn)(x0,y0),則①k=f'(x0);②y0=f(x0);③(x0,y0)滿足切線方程.變式訓(xùn)練

1(1)(2021內(nèi)蒙古包頭高三期末)若直線y=-2x+b為曲線y=x-ex的一條切線,則實(shí)數(shù)b的值是(

)A.ln3-3 B.3ln3+3C.ln3+3 D.3ln3-3(2)(2021安徽黃山高三一模)已知函數(shù)f(x)=x2+2,g(x)=lnx,若曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線與曲線y=f(x)切于點(diǎn)(x1,y1),則

-ln(2x1)=

.

答案

(1)D

(2)3專題二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題②當(dāng)a>2時(shí),x,f'(x),f(x)的變化情況如下表:規(guī)律方法

(1)在解決問題的過程中,只能在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.(2)在劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外,還要注意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn).此外,求得的根要判斷是否在定義域中.(3)涉及含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間問題,一定要弄清參數(shù)對(duì)導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號(hào)是否有影響.若有影響,則必須分類討論.變式訓(xùn)練

2函數(shù)f(x)=x2-alnx,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.專題三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最大(小)值問題分析(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定極值點(diǎn),利用極大值為2求a,b滿足的關(guān)系式;(2)可利用極值點(diǎn)x=a與區(qū)間[0,3]的位置關(guān)系,確定分類討論標(biāo)準(zhǔn)后,分類討論求最小值.解

(1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a,因?yàn)閍>0,所以x1<x2.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:所以當(dāng)x=-1時(shí),f(x)有極大值2,即3a+2b=3.x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增(2)當(dāng)0<a≤3時(shí),由(1)知,f(x)在[0,a)上單調(diào)遞減,在(a,3]上單調(diào)遞增,所以f(a)為最小值,規(guī)律方法

(1)求函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)時(shí)一般需確定f'(x)=0的根和函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性,對(duì)于常見連續(xù)函數(shù),先確定單調(diào)性即可得極值點(diǎn),當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí),相應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最大(小)值點(diǎn).(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最大(小)值時(shí),對(duì)函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再進(jìn)行判斷,只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可獲得結(jié)論.變式訓(xùn)練

3已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b的圖象上一點(diǎn)P(1,0)且在點(diǎn)P處的切線與直線3x+y=0平行.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值.解

(1)因?yàn)閒'(x)=3x2+2ax,曲線在P(1,0)處的切線斜率為f'(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.又函數(shù)過(1,0)點(diǎn),即-2+b=0,b=2.所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.(2)由f(x)=x3-3x2+2,得f'(x)=3x2-6x.由f'(x)=0,得x=0或x=2.①當(dāng)0<t≤2時(shí),在區(qū)間(0,t)上,f'(x)<0,f(x)在[0,t]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.②當(dāng)2<t<3時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:f(x)min=f(2)=-2,f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè).f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,所以f(x)max=f(0)=2.綜上,當(dāng)0<t≤2時(shí),f(x)max=2,f(x)min=t3-3t2+2;當(dāng)2<t<3時(shí),f(x)max=2,f(x)min=-2.x0(0,2)2(2,t)tf'(x)0-0+

f(x)2單調(diào)遞減-2單調(diào)遞增t3-3t2+2專題四生活中的優(yōu)化問題例4某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長(zhǎng)度單位:米),其中容器的中間為圓柱體,左右兩端均為半球體,按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為

立方米.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱體部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球體部分每平方米建造費(fèi)用為4千元.設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為y千元.(1)將y表示成r的函數(shù),并求該函數(shù)的定義域;(2)確定r和l為何值時(shí),該容器的建造費(fèi)用最小,并求出最小建造費(fèi)用.分析根據(jù)題意,求出容器的表面積關(guān)于半徑r的關(guān)系式,結(jié)合建筑費(fèi)用建立y關(guān)于r的關(guān)系式.規(guī)律方法

解決優(yōu)化問題的步驟(1)分析問題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,并確定函數(shù)的定義域.(2)通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值與最大(小)值,提出優(yōu)化方案,使問題得以解決.在這個(gè)過程中,導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具.(3)驗(yàn)證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實(shí)際意義.變式訓(xùn)練

4某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩個(gè)橋墩相距am,余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)預(yù)測(cè),一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元,距離為xm的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點(diǎn),且不考慮其他因素,記余下工程的費(fèi)用為y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)a=640時(shí),需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小?專題五導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用角度1

利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(函數(shù)的零點(diǎn))例5已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.若方程f(x)=g(x)在區(qū)間[,e]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.分析方程f(x)=g(x)有根即方程ax2=2ln

x有解,因此可以分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為方程a=有根,構(gòu)造函數(shù)求解.規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù)的常用方法(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),轉(zhuǎn)化確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值,并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等,畫出g(x)的圖象草圖,數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在定理:先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最大(小)值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào),進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).變式訓(xùn)練

5已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1,其中a為實(shí)數(shù),若方程f(x)=0在(0,2]上有實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.解

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=ex-a.①當(dāng)a≤1時(shí),f'(x)>0在(0,2]上恒成立,∴f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,∴f(x)>f(0)=0,∴方程f(x)=0在(0,2]上無實(shí)數(shù)根,不合題意.②當(dāng)a≥e2時(shí),f'(x)≤0在(0,2]上恒成立,∴f(x)在(0,2]上單調(diào)遞減,∴f(x)<f(0)=0,∴方程f(x)=0在(0,2]上無實(shí)數(shù)根,不合題意.③當(dāng)1<a<e2時(shí),令f'(x)=0得x=ln

a,∴當(dāng)x∈(0,ln

a)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(ln

a,2]時(shí),f'(x)>0.∴f(x)在(0,ln

a)上單調(diào)遞減,在(ln

a,2]上單調(diào)遞增.∵f(0)=0,∴f(ln

a)<0,若方程f(x)=0在(0,2]上有實(shí)數(shù)解,則只需f(2)≥0,角度2

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題例6已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對(duì)任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析(1)可通過解不等式f'(x)>0和f'(x)<0得到單調(diào)區(qū)間;(2)先將不等式進(jìn)行參數(shù)