問題：如何用四面體的六條棱長去表示它的體積？這個問題是由Euler（歐拉）提出

的,

圖2」*赫K已仙陋船

般建立如圖〃麻坐標焉設(shè)A,B,C三點觸標分別為他也⑷加也動

和（。訥闖,并設(shè)四琳O-ABC的/'搽豚分別為LiM,p,q,r,由講幾何知也

該四面體的標v籽以㈣?51謔記毓右手輛,以它慨梭辨行六旬

的體積M帆,而

01&1C1

Vg=（O^x）OB,OC=a，2b戈

。3k。3

仇bici

干蹦6V=02瓦。2

。3瓦c3

將上式平方,得

aiblCloikci

36V2=

fl2玩C202必c2

°3如C3。3M。3

。什蛤+4+加比+，1。2。叫+6也+。1。3

°102+^1^2+cl°2磅+%+4即。3+她+C2c3

0103+blfe+C1C3a2a3+勵3+C2C3flj+照+成

板據(jù)向硼數(shù)鄴雌標表東，存

ojt?0^=dj+bj+C|,oX-0^=0^2+加加+向。2

0A-0C=flifl3+i>i&3+ciC3,m,0B=4+碳+汗

0^-0^=。2。3+加如+c2c3、■0^=a：+微+g

于是

福?福褊?近溫.而

36V2=0A.0BOB-OB0B0C(2.1)

0A-0C0C-0C0C-0C

由余弦定理，可得

—>—>p2+a2-n2

0A0B=p,qcosS=-----------

同理

將以上各式代入2.1式,得

p2+g2-y|2p2+y?2―m2

~2~2

2讓_戶

36V2n(2.2)

2q-2-

222

p.十qJ"p2+r：-m22

------T------1

這就是Euler的四面體體積公式.

例?塊形狀為四面體的花崗巖巨伍吊得六條棱長分別為:

I-10m,m-15m,n=12m,

p=14m,q=13m,r=11m.

則

p2+q2_/2p2+r2-m2_g2+r2-i2_

-=110.5,-=46,5=95.

9

代入2.1式，得

196110.546

36V2=110.51G995=1369829.75.

4695121

于是V2=38050.82G39?(195m3)2.

注：古埃及的金字塔形狀為四面體，因而可通過測放其六條梭長去計算金字塔的體積.

設(shè)有6個隊進行單循環(huán)比賽，排名由各隊的積分決定:

勝隊得1分，負隊得0分，平局各得0.5分；

若兩隊積分相同時，則比較對手分（戰(zhàn)勝的對手的積分之和）；

若對手分也相同時，則比較對手的對手分。

依次類推下去。

已知比賽結(jié)果為

1隊負2隊、1隊勝3隊、1隊勝4隊、1隊平5隊、1隊勝6隊、

2隊勝3隊、2隊勝4隊、2隊負5隊、2隊負6隊、

3隊勝4隊、3隊勝5隊、3隊勝6隊、

4隊負5隊、4隊平6隊、5隊勝6隊。

請為其排名。

1.植物后代問題

為「揭示生命的奧秘、，遺傳學(xué)的研究已引起了人們的廣泛興趣.動植物在產(chǎn)生下一

代的過程巾，總是將自己的特征遺傳給下一代，從而完成一種“生命的延續(xù)”.

在常染色體遺傳巾，后代從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因

對.人類眼睛顏色即是通過常染色體控制的，其特征遺傳由兩個基因A和a控制.基因

對是AA和Aa的人，限睛是棕色基因?qū)κ顷堑娜?，眼睛為籃色由于AA和Aa那

表示了同一外部特征，或認為基因A支配a,也可認為基因a對于基因A來說是隱性的

(或稱A為顯性基因，a為隱性基因).

下面我們選取一個常染色體遺傳一一植物后代問題進行討論.

某植物圍中植物的基因型為AA,Aa,an.人們計劃用AA型植物與每種基因型植

物彬拾的方案培育峨后代.經(jīng)過若干年后，這種植物后代的一種基因型分布將出現(xiàn)

什么情形？

2.問題的討論

我們假設(shè)品，bn,^(n=0,1,2,…)分別代表第n代植物中，基因型為AA,Aa

和aa的植物占植物總數(shù)的百分率，令/(")=(0?,bn,d)'為第n代植物的基因分布，

工(°)=(即，加,8)'表示植物基因型的初始分布，顯然，我們有

M+S=1(8.1)

先考慮第n代中的AA型，第n-1代AA型與AA型相結(jié)合，后代全部是AA型；第

n-1代的Aa型與和與AA相結(jié)合，后代是AA型的可能性為|；n-1代的aa型與Aa型

相結(jié)合，后代不可能是AA型.因此，我們有

=1"?n—1+1+°?^n-1(&2)

同理，我們有

bn2^n—1+d-i(8.3)

Cn=0(8.4)

將8.2,8.3,8.4式相加，得

所++/=?n-1+^n—1+^n—1(8.5)

將(8.5)式遞推，并利用(8.1)式，易得

On+兒+d=1

我們利用矩陣表示(8.2),(8,3)及(8.4)式，即

冽=n=l,2,…(8.6)

其中

110

M=011

000

這樣，(8.6)式遞推得到

I(n)=A/3,(n-l)=...：=MnJ.(0).(8.7)

(8.7)式即為第n代基因分布與初始分布的關(guān)系.下面，我們計算財匕對矩陣M做相似

變換，我們可找到非奇異短陣P和對角陣D.使

M=PDP-1

其中

1|0111

D=0|1,P=pT=0-1-2

000001

這樣,經(jīng)(8.7)得到

工⑻=(PDpT)%(°)=PDnP-lx^

'111'100

111flo

=0-1-20(1)n00-1-2M

001000001co

的+M+s--盛值

奈瓦+/冏

0

最終有

On=1-1--IS

bn=?加+-TQ)

d=0

顯然，當(dāng)RT8時，由上述三式，得到

%it1,%T0,Cn—>0

即在足傍長的時問后，培育出的植物基本上呈現(xiàn)型.

通過本問題的討論，可以對在多植物（動物）遺傳分布有一個具體的了解，同時這個

結(jié)果也驗證了生物學(xué)中的一個重要結(jié)論：顯性基因多次遺傳后占主導(dǎo)因素，這也是之所

以稱它為顯性的原因.

1.問題

在如右圖所示的電感電容電路圖中，e=5QV,

O=200Q,r2=300Q,C=50/zF,L=5H.

假設(shè)初始時刻r=0時，電路中所有的電流和電

壓都是0。求開關(guān)閉合后兩個電阻上的電流變化

情況4⑺和/?）。

2.解答

由Kirchhoff定律和Ohm定律，可得常微分方程組

,2（依）+4⑹"-也⑺卜2440、『1叫+間

'Q（咽⑦-々弓⑹=1式。匕⑹-（一16-40卜2⑹W

A（04011g(0)-0.25]?0.25

解得=exp-40J-IZ(0)J+l0

!式安,-16?2

問題：某農(nóng)場飼養(yǎng)的某種動物所能達到的最大年齡為15歲，將其分憶個年齡組：

第一組,。?5歲；第二組，6?10歲；第三組，0~15歲,動物從第二年齡組起開

始繁殖后代，儂長期統(tǒng)計，第4和第三組的繁解分財4和3.第一年齡和第二年

齡組的動物能順利進入下一個年齡組的存活率分別為；和假設(shè)農(nóng)場現(xiàn)有三個年齡段

的動物各100頭，問15年后農(nóng)場三個年齡段的動物各有多少頭？

2.問題分析與建模

其中

0431000

L=00,非）1000

0I°>卜1叫

m

/網(wǎng)

苦）

0431000

工⑴=加°）=：

2001000500

001000\250/

04370002750

1）=1

工⑵=加7005003500

10,\250,

IV25/

O

43、，2750、’14375、

0u35001375

0[125

結(jié)果分析：15年后，農(nóng)場飼養(yǎng)的動物總教將達到16625頭，其中0?5歲的有14375

頭,占86.47%,6-10歲的有1375頭，占8.27%,11-15歲的有875頭，占5.226%.15

年間,動物總增16625-3000=13625頭，總增長率為13625/3000=454.16%.

注：要知道很多年以后的情況，可通過研究式排）=Lr（i）=L%（0）巾當(dāng)趨于無窮

大時的極限狀況得到.

3.關(guān)于年齡分布的人口預(yù)測模型

關(guān)于年齡分布的人口預(yù)測模型；我們將人口按相同的年限（比如5年）分成若干年齡

組，同時假設(shè)各年齡段的男、女人口分布相同，這樣就可以通過只考慮女性人口來簡化

模型.人口發(fā)展隨時間變化,一個時間周期的幅度使之對應(yīng)于基本年齡組間距（如先例的

5年），令碟）是在時間周期k時第i個年齡組的（女性）人口，t=l,2,...,n.用1表示

最低年齡組，用n表示最高年齡組，這意味著不考慮更大年齡組人口的變化.

假如排除死亡的情形，那么在一個周期內(nèi)第i個年齡組的成員將全部轉(zhuǎn)移到i+1個

年齡組.但是，實際上必須考慮到死亡率，因此這一轉(zhuǎn)移過程可由一存活系數(shù)所衰減.

于是，這一轉(zhuǎn)移過程可由下述議程簡單地描述：

婢1=料F（i=l,2,---,n-1）

其中bt是在第i個年齡組在一個周期的存活率，因?h可由統(tǒng)計資料確定.

惟一不能由上.述議程確定的年齡組是咪）,其中的成員是在后面的周期內(nèi)出生的，他

們是后面的周期內(nèi)成員的后代，因此這個年齡組的成員取決于后面的周期內(nèi)各組的出生

率及其人教.

由§2.0.0式遞推可彳導(dǎo)

工⑺==讓力。）

這就是Leslie模型.

于是有方程

fc-1）fc

工產(chǎn)=aiXj4-a2^2■1-----+3珠-'）（3.1）

這里%（￡=1,2,…，n）是第i個年齡組的出生率，它是由每時間周期內(nèi)，第i個年

齡組的每一個成員的女，也后代的人數(shù)來表示的，通常可由統(tǒng)計資料來確定.

于是我們得到r單性別分組的人口模型，用矩陣表示便是

或擰簡寫成

”）=人（1）(3.2)

矩陣

(a\

03?■071—1an

bi00??.00

L=00?00

0000

稱為Leslie矩陣.

1.問題

在ABO恥型的人們也對各種群體的基因的頻率進行了研究.如果我們把四種等

位基因兒加，B,0區(qū)別開,則有如下表所示的相對頻率：

表1」基因的相對頻率

愛斯基摩人fu班圖人f2i英國人hi朝鮮人加

40.29140.10340.20900.2208

從20.00000.086G0.06960.0000

B0.03160.12000.06120.20G9

00.G7700.69000.6G020.5723

合計1.0001.0001.0001.000

問題；一個群體與另一群體的接近程度如何？換句話說,就是要?個表示基因的“距

離”的合宜的量度.

2.解答

有人提出一種利用向量代數(shù)的方法.首先，我們用單位向量來表示每一個群體.為

此目的，我們?nèi)∶恳环N頻率的平方根，記以t=仄.由于對這四種群體的每一種石，

所以我們得到.這意味著下列四個向量的每個都是單位向量.記

在四維空間中，這些向量的頂端都位于一個半徑為1的球面上.現(xiàn)在用兩個向量間的

夾角來表示兩個對應(yīng)的群體間的“距離”似乎是合理的.如果我們把和。2之間的夾

角記為。，那么由于|a-1|=的|=1,再由內(nèi)積公式，得cos9=ai.a?,而

’0.5398'

’0.3216、

0.00000.2943

Q[=,=

0.17780.3464

J.8228,10.8307,

故cos9=QI?02=0.9187

從而9=23.2°

按同樣的方式,我們可以得到表1.2.

表L2基因間的他離”

愛斯基摩人班圖人英國人朝鮮人

愛斯基摩人0°23.2°16.4°16.8°

班圖人"2u9.8°20.4°

英國人16.4°9.8°0°19.6°

朝峰人13、20.4°19.6°u

由表L2可見，最小的基因“踮挈底班圖人和英國人之間的“距離”，而愛斯基摩

人和班圖人之間的基因“距離”最大.

1.問題

設(shè)三種食物每100克中蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量如下表（表中給出了20世

紀80年代美國流行的劍橋大學(xué)醫(yī)學(xué)院的簡捷營養(yǎng)處方）.

現(xiàn)在的問題是：如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用員應(yīng)各取多

少才能全面準確地實現(xiàn)這個營養(yǎng)要求？

每100克食物所含營養(yǎng)（g）減肥所要求的

營養(yǎng)

脫脂牛奶大豆面粉乳清每日營養(yǎng)量

蛋白質(zhì)36511333

碳水化合物52347445

脂肪071.13

2.解答

設(shè)腕旨牛奶的用量為工1個單位（100g）,大豆面粉的用量為個單位，乳清的用

量為工3個單位，表中的三個營養(yǎng)成分列向量為；

/叫(13\

旬=52。2=34,。3=74

\0/

則它們的組合所具有的營養(yǎng)為:

勺6、3仆3、

X\d\+12a2+1303=工［52+*234+274

\0)\7/V1/

使這個合成的營養(yǎng)與劍橋配方的要求相等，就可以得到以下的矩陣方程:

‘3651，33、

5234450AX=b

\°7

從而

’0.2772、

X=0.3919

?2332)

即脫脂牛奶的用量為27.7g,大豆面粉的用量為39.2g,乳清的用量為23.3g,就能保證

所需的綜合營養(yǎng)地

問題:III5.1給出/某城市部分單行街道的交逋分量（每小時過車數(shù)）.

2W

&

500

假設(shè)：Q）全部優(yōu)入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部隗出網(wǎng)絡(luò)的流量；⑵全部流入一個節(jié)點

的流M等于全部流出此節(jié)點的流血試建小數(shù)學(xué)梆型確定該交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流

量.

建模與計算

建模與計算由網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)，所給問題滿足如下線方程組：

項一g+叫=300

^44-X5=500

17—16=200

X\+X2=800

x\+工5=800

<

X7+X8=1000

x9=400

X|o—Xg=200

1io=600

k8+13+=1000

系數(shù)矩陣為

01—11000000

000110000o

00000—1100o

110000000o

100010000o

A=

000000110o

000000001o

00000000—11

0000000001

0010010100

增廣矩陣階梯形最簡形式為

1000100000800

0010000000200

0001100000500

0000010100800

B=

00000011001000

0000000010400

0000000001600

00000000000

00000000000

其對應(yīng)的齊次方程組為

叫+g=0

￡2—砧=0

=0

必+g=o

Z6+=o

+工8=0

=0

xio=0

?。ń校?8）為自由取侑未知量，分別賦兩組值為（1,0）,（0,1）,得齊次方程組基礎(chǔ)

解系中兩個解向量：

小=(—1,1,o,—1,1,0,。，o,o,0)

7/2=(o,o,o,o,o,—1,—1,1,0,0)

其對應(yīng)的非齊次方程組為

為+富=800

二2一磔=0

工3=200

T4+工5=500

(

%+跳=800

17+豌=1000

工9=400

TiO=600

雕給自由未知量(工5,以為(0,0)得非齊次方程組的特解

X*=(800,200,500,0,800,1000,0,400,600)

于是方程組的通解*=h環(huán)+也桃+工*其中禮也為任意常數(shù)，x的每一個分量即

為交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具糕也它有無窮綿.

1.問題

設(shè)A是n階正定矩陣，那么到原點距離為常數(shù)c=衍次的點X7=即%

…落在超橢球面

T22

%儂%)+…+An(Xen)=c

匕其軸由A的特征向量給出，沿/方向的半軸長等于//屁i=,n,

其中41,加…是A的特征值.

1.矩陣在投入產(chǎn)出經(jīng)濟分析中的應(yīng)用1

設(shè)有一個經(jīng)濟系統(tǒng)包括3個部門,在一個生產(chǎn)周期內(nèi)間各部門間的消耗系數(shù)及最終

產(chǎn)馳下表麻(貨幣單他百麻)

觥部門1消耗部門2消耗部門3最終產(chǎn)品

生產(chǎn)部門10.250.100.10.1；.■

生產(chǎn)部120.200.200.1090

生產(chǎn)部門30.100.100.2017；

試求各部門的總產(chǎn)品及部門間的流量.

2.矩陣在投入產(chǎn)出經(jīng)濟分析中的應(yīng)用2

設(shè)有一個經(jīng)濟系統(tǒng)包括3個部門,在一個生產(chǎn)周期內(nèi)間各部門間的產(chǎn)品生產(chǎn)與分配

如下表所示(貨幣單他百萬元)

消耗部門1消耗部門2解部門3最終產(chǎn)品總產(chǎn)品

生產(chǎn)部門11002530400

生產(chǎn)部門2805030250

生產(chǎn)部門3402560!h300

試求：

(1)各部門的最終產(chǎn)品2/1,92,2/3；

(2)各部|'1新創(chuàng)造的價值ziE

(3)直接消耗系數(shù)矩陣.

問題：某地區(qū)有三個重要產(chǎn)業(yè)，一個煤礦、一個發(fā)電廠和一條地方鐵路.開采一元

錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及025元的運輸費.生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支

付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05元的運輸費.創(chuàng)收一元錢的運輸費，鐵路要支付

0.55元的煤費及0.10元的電費.在某一周內(nèi)，煤礦接到外地金額為50000元的定貨，發(fā)

電廠接到外地金額為25000元的定貨,外界對地方鐵路沒有需求.問三個企業(yè)在這一周

內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界的需求？

數(shù)學(xué)模型：設(shè)工I為煤礦本周內(nèi)的總產(chǎn)值，政為電廠本周的總產(chǎn)值，13為鐵路本周

內(nèi)的總產(chǎn)值,則

x\-(0.6522+0,552:3)=50000

,數(shù)-(0刎+0.05I2+010*3)=25000(4.1)

13_(0.25ii+0.05工2)=0

即

'00.650.55、《oooo'

-0.250.050.1025000

10/

Q250.050]

令

0.G50.55、‘50000'

X2,4=0.250.050.10,Y=25000

0

0.05°/I)

矩陣A稱為直接消耗矩陣,X稱為產(chǎn)出向量,Y稱為需求向量，則方程組為

X-AX=Y

即

(E-A}X=Y(4.2)

其中矩陣E為單位矩陣，(E-A)稱為列昂杰夫矩陣,列昂杰夫矩陣為非奇異矩陣.

g0O'

投入產(chǎn)出分析表：設(shè)B=(E—4尸一及C=A0120,D=(l,1,1)。.能

100

陣B稱為完全消耗矩附它與矩陣A■起在各個部門之間的投入產(chǎn)生中起平衡作用.矩

陣C可以稱為投入產(chǎn)出矩陣，它的元素表示煤礦、電廠、鐵路之間的投入產(chǎn)出關(guān)系.向

LtD稱為總投入向量，它的元素是矩陣C的對應(yīng)列元素之機分別表示煤礦、電廠、鐵

路得到的總投入.

由矩陣3向量Y,X和D,可得投入產(chǎn)出分析表4D

表4.1投入產(chǎn)出分析表單位：元

煤礦鐵路外界需求總產(chǎn)出

C11C12C13y\町

C21C22C231/2X2

鐵路C31C32C33U3辦

總投入6心壯3

計算求解按(4.2)式解方程組可得產(chǎn)出向量X,于是可計算矩陣C和向量D,計和

結(jié)果如表4.2.

表4.2投入產(chǎn)出計算結(jié)果單位：元

煤礦電廠外界翻總產(chǎn)出

煤礦036505.9615581.5150000102087.48

電廠25521.872808.152833.512500056163.02

鐵路25521.8728808.150028330.02

總投入51043.7442122.2718414.52

1.Fibonacci數(shù)列

求Fibonacci數(shù)列Fn=+Fn_2,居=6=1的通項公式。

將數(shù)列的遞推公式寫成矩陣乘積的形式（，）=（；;j'"），于是有

同理，我們也可以計算遞推數(shù)列4+4/一+…+的通項公式。

問題：一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建匯以太

陽為原點的吏角坐標系，在兩野潮上取天文颯蝕（一天文艙為地球到太陽的平

均距離；1.4959787x1011m）,在5個不同的時間對小行星作了5次觀察，測得軌道上5

個點觸標數(shù)據(jù)如表6.1.

表6.1坐標數(shù)據(jù)

?X2X3X4蹺

X坐標5.7646.2866.7597.1687.408

凱/勿1/4器

Y坐標0.G481.2021.8232.5263.360

由Kepler（開普勒）第一定律知，小行星軌道為一橢圓.現(xiàn)需要建立橢圓的方程以供

研究（注；橢圓的一般方程可表示為:a/+2a2地++2a3+2a5t/+l=0）.

問題分析與建立模型：天文學(xué)家確定小行星運