2020年新高考全國1數學高考真題變式題17-22

題

原題17

1.在①ac=6,②csinA=3,③c=這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，

若問題中的三角形存在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題:是否存在.ABC,它的內角A5C的對邊分別為且sinA=esin8,C=g,

o

________?

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

變式題1基礎

2.在,ABC中，a,8,c分別是角A,B,C的對邊，B=a=3.

(1)若人=￡,求

4

(2)若,求c的值及二ABC的面積.

請從①人=萬，②sinC=2sinA,這兩個條件中任選一個，將問題(2)補充完整，并

作答.

變式題2基礎

3.在①=卑，②4cos(B+C)+2cos2A=-3,③不這三個條件

acosAJ3cosAsm(A+C)

中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

已知在二ABC中，角A,B,C所對的邊分別是小b,c,.

⑴求角4;

(2)若q=J五，〃+c=4應，求ABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

變式題3鞏固

4.已知二ABC的三邊。,b，。所對的角分別為A,B,C,若acos8+bcos4=2Z?,<7=6,

J22

請在①sinB+GcosB=2,?cosIB-3\/3cosB+4=0,③-----J=a-也c這三個條

a

件中任選一個，補充在題干中，并進行解答.

⑴求颯

⑵求c.

變式題4鞏固

5.在①GnsinC=c(cosA+l)；②(o-b)(sinA+sin5)=(c-b)sinC；③

4%ABC=&(〃+/一層)中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并作答.

問題：在ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,且______.

(1)求角4的大小；

(2)若。=2,求A3C的周長/的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

變式題5鞏固

6.在.ABC中，角A,8,C所對的邊分別為4仇c,從以下三個條件中任選一個：①

cvosB=(2a-/?)cosC；②2csin(A+qJ=a+〃；③bsin'=csinB,解答如下的問題：

(1)求角C；

(2)若。為線段AB上一點，且滿足CD=8O=24),設NBCD=9,求夕

變式題6提升

7.在①sin2c=GcosC，②c(2+cosB)=島sinC,③6sinA+且acosB=0這三個條件

中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問

題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在二A8C,它的內角A,8,C所對的邊分別為“,4c,且匕=7,c=5,?

變式題7提升

8.1.在“8C中，角A,B,C對邊分別為a,b,c,a=2屈,(a+fe)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

(1)求角A的大小；

(2)求.

在①AABC面積的最大值；②AABC周長的最大值；③AABC的內切圓的半徑最大值.中

任選一個做為問題(2),并給出問題的解答.

原題18

9.已知公比大于1的等比數列｛《,｝滿足/+%=20必=8.

(1)求｛《,｝的通項公式；

(2)記/為｛4｝在區(qū)間(0,，碩，中的項的個數，求數列｛耙｝的前100項和品,。.

變式題1基礎

10.已知數列也｝的前〃項和為s“，且s”=2%—2(〃eN*),數列圾｝的前〃項和為7.，

滿足Z,="2(〃GN*).

試卷第2頁，共16頁

⑴求數列｛《,｝,也｝的通項公式；

(2)求數列｛4也,｝的前〃項和.

變式題2基礎

11.已知數列｛%｝的前〃項和S〃=2〃+，+A,若｛a,,｝為等比數列.

(1)求實數A及｛《,｝的通項公式；

⑵設bn—\og2cm,求數列｛加｝的前〃項和Tn.

變式題3鞏固

12.設m,〃eN*,現給出以下三個條件：①%=8,a,ltl-S?=2;②5§=32，對于

任意機,〃eN*，*《產°,且a,"+”=%；③4=2,52=6,5?+1=35),-25?_,(n>2).

從以上三個條件中任選一個，補充在本題相應的橫線上，再作答(如果選擇多個條件作

答，則按第一個解答計分)

已知數列｛4｝的前〃項和為S“，滿足

⑴求｛4｝的通項公式均：

(2)記￡=展上，數列出｝的前“項和為小求證：1<7；,<2.

變式題4鞏固

13.已知正項數列｛4｝的前”項和為s,,且4=1,s“+i+s”=du.

(1)求數列｛為｝的通項公式；

(2)求證:梟+臺++梟<2.

變式題5鞏固

14.數列｛4｝中，4=-g，2a“=a"T-"-l("W2,"eN*),設2=a“+〃.

⑴求證：數列他,｝是等比數列；

⑵求數列｛〃"｝的前”項和1；

變式題6提升

15.數列｛4｝中，4=-；，2a“=a,i-〃-l(〃22,〃wN"),設4=可+".

(1)求證：數列也｝是等比數列；

(2)求數列｛“〃,｝的前〃項和乙；

（3）若c“=（gj-a“，2為數列｛冬魯力的前〃項和，求不超過巴岡的最大的整數.

變式題7提升

16.己知等比數列｛凡｝的各項均為正數，2牝,%,4%成等差數列，且滿足%=4詔，

數列6｝的前〃項之積為%且不+7=1.

（1）求數列｛凡｝和也｝的通項公式；

（2）設％=①，求數列｛%｝的前“項和小

冊

（3）設4=2乎，若數列｛4｝的前"項和M“，證明：

%,”“+i303

原題19

17.為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽

3

查了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：Rg/m）,得下表：

^\so：

[0,50](50,150](150,475]

PNI25

[035]32184

(35,75]6812

(75/15]3710

（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO,濃度不超過150”的概率;

（2）根據所給數據，完成下面的2x2列聯表：

[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

（3）根據（2）中的列聯表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與

S0?濃度有關？

試卷第4頁，共16頁

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

變式題1基礎

18.為了比較注射4,B兩種藥物后產生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將

這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物4,另一組注射藥物

A下表1和表2分別是注射藥物A和藥物8后的試驗結果.(皰疹面積單位：mn?)

表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數分布表

皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)

頻數30402010

表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數分布表

皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)

頻數1025203015

⑴完成下面2x2列聯表;

皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2總計

注射藥物A61=b=

注射藥物BC=d=

總計n=

(2)能否在犯錯誤概率不超過0.01的前提下，認為“注射藥物4后的皰疹面積與注射藥物

8后的皰疹面積有差異”？

變式題2基礎

19.某藥廠主要從事治療某種呼吸道慢性疾病8的藥物的研發(fā)和生產.在研發(fā)過程中，為

了考察藥物A對治療慢性呼吸道疾病8的效果，對200個志愿者進行了藥物試驗，根據

統(tǒng)計結果，得到如下2x2列聯表.

慢性疾病B

藥物合計

未患病患病

未服用3050

服用80

合計200

(1)完成該列聯表并判斷是否有90%的把握認為藥物A對治療慢性呼吸道疾病B有效？

并說明理由;

(2)該藥廠研制了一種新藥，宣稱對治療疾病B的有效率為90%,隨機選擇了5個病人,

經過該藥治療后，治愈的人數不超過3人，你是否懷疑該藥廠的宣傳？并說明理由.

-be?

附：K2=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

尸(一困0.1000.0500.010

2.7063.8416.635

變式題3鞏固

20.2021年8月份，義務教育階段“雙減”政策出臺，某小學在課后延時服務開設音樂、

科技、體育等特色課程，為進一步了解學生選課的情況，隨機選取了200人進行調查問

卷，整理數據后獲得如下統(tǒng)計表：

喜歡體育不喜歡體育

己選體育課(A組)7525

未選體育課(B組)4555

(1)若從樣本內喜歡體育的120人中用分層抽樣方法隨機抽取16人，問應在A組、8組

各抽取多少人？

試卷第6頁，共16頁

(2)能否有99.5%的把握認為選報體育延時課與喜歡體育有關?

附:

P(K2>k)0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

犬2=n(ad_bc￥

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

變式題4鞏固

21.2020年一位返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)青年小李在其家鄉(xiāng)開了一家蛋糕店，由于業(yè)務不熟練，誤將

昨天制作的2個蛋糕和今天制作的3個蛋糕用相同的包裝盒子包好后混放在一起給了客

戶，小李追回來后，現需要拆開將其區(qū)分，直到找出2個昨天制作的蛋糕或者找出3個

今天制作的蛋糕為止.

(1)若小李隨機拆開兩個盒子，求拆開后恰好是今天制作的蛋糕的概率；

(2)為提高蛋糕店的服務水平，小李隨機調查了光顧過該店的50名男顧客和50名女顧客,

每位顧客對該蛋糕店的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯表.

①估計男顧客對該蛋糕店的滿意的概率以及顧客對該蛋糕店的滿意的概率；

②能否有95%的把握認為男、女顧客對該蛋糕店服務的評價有差異？.

滿意不滿意總計

男顧客401050

女顧客302050

總計7030100

n^ad-bcy

(a+/j)(c+d)(tz+c)(Z?+d)

P(K至院)0.050.010.001

“03.8416.63510.828

變式題5鞏固

22.為了調查90后上班族每個月的休假天數，研究人員隨機抽取了1000名90后上班

族作出調查，所得數據統(tǒng)計如下圖所示.

(1)求。的值以及這1000名90后上班族每個月休假天數的平均數(同一組中的數據用該

組區(qū)間的中點值作代表)

(2)以頻率估計概率，若從所有90后上班族中隨機抽取4人，求至少2人休假天數在6

天以上(含6天)的概率；

(3)為研究90后上班族休假天數與月薪的關系，從上述1000名被調查者中抽取300人,

得到如下列聯表，請將列聯表補充完整，并根據列聯表判斷是否有97.5%的把握認為休

假天數與月薪有關.

月休假不超過6天月休假超過6天合計

月薪超過500090

月薪不超過5000140

合計300

變式題6提升

23.北京某高中舉辦了一次“喜迎國慶”的讀書讀報知識競賽，參賽選手為從高一年級和

高二年級隨機抽取的各100名學生.圖1和圖2分別是高一年級和高二年級參賽選手成

績的頻率分布直方圖.

試卷第8頁，共16頁

(1)分別估計參加這次知識競賽的兩個年級學生的平均成績；

(2)若稱成績在68分以上的學生知識淵博，試估計該校高一、高二兩個年級學生的知識

淵博率；

(3)完成下面2x2列聯表，并回答是否有99%的把握認為高一、高二兩個年級學生這次讀

書讀報知識競賽的成績有差異.

合

成績低于6。分人數成績不低于60分人數

計

高一年級

高二年級

合計

變式題7提升

24.手機廠商推出一款6寸大屏手機，現對500名該手機使用者(200名女性，300名

男性)進行調查，對手機進行評分，評分的頻數分布表如下：

區(qū)間[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

女性用戶

頻數2040805010

區(qū)間[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男性用戶

頻數4575906030

(1)完成下列頻率分布直方圖，計算女性用戶評分的平均值，并比較女性用戶和男性

用戶評分的波動大小(不計算具體值，給出結論即可)；

(2)把評分不低于70分的用戶稱為“評分良好用戶”，能否有90%的把握認為“評分良

好用戶”與性別有關？

n^ad-bcy

參考公式：K2=其中n=a+b+c+d

(n+匕)(c+d)(a+c)(0+d)'

尸國法)0.100.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

原題20

25.如圖，四棱錐P-A8C。的底面為正方形，PDLI&ABCD.設平面見。與平面PBC

的交線為/.

(1)證明：平面POC；

(2)已知PD=A￡>=1,。為/上的點，求尸8與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

變式題1基礎

26.在邊長為2的菱形ABCZ)中，4網￡>=60。，點E是邊AB的中點(如圖1).將4ADE

沿OE折起到△AQE的位置，連接AB，AC,得到四棱錐A-8CDE(如圖2).

試卷第10頁，共16頁

圖1圖2

(1)證明：￡>EJ_平面A8E；

(2)若AELBE,連接CE,求直線CE與平面A。。所成角的正弦值.

變式題2基礎

27.如圖，四棱錐P-A3C。中，AB//CD,且ZBAP=/COP=90，

(1)求證：平面A4O_L平面A8CZ)；

(2)若△R4D是等邊三角形，底面A8CD是邊長為3的正方形，E是R4中點，求直線8E

與平面PC。所成角的正弦值.

變式題3鞏固

28.如圖，四棱錐P-ABC。中，A8CO為正方形，..為等腰直角三角形，且

ZAPS=90°,平面R4B_L平面A6a>,E、F分別為AC、BP中點.

(1)證明：EF〃平面PCD；

(2)求直線E尸與平面PAC所成角的正弦值.

變式題4鞏固

29.如圖，在正三棱柱ABC-4冉&中，AB=1,M=2,。為CG的中點.

(1)求異面直線A片與BD所成角的余弦值；

(2)求直線ABt與平面\BD所成角的正弦值.

變式題5鞏固

30.如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，AC±BC,AC=BC—AAt=2.

(1)求異面直線AC和AB所成角的大小;

(2)求直線4。和平面A84A所成角的大小.

變式題6提升

31.如圖，C是以為直徑的圓。上異于A,B的點，平面R4CJ?平面A8C,

PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分別是PC,P8的中點，記平面AEF與平面48c的

交線為直線/.

試卷第12頁，共16頁

(I)求證：直線/_L.平面PAC；

(II)直線/上是否存在點Q,使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余？若

存在，求出IAQI的值；若不存在，請說明理由.

變式題7提升

32.如圖，在直三棱柱ABC—4月￡中，AC±BC,AC=BC=AAt,。為A向的中點,

G為的中點，E為G。的中點，BF=3AF,點P為線段BQ上的動點(不包括線段

Bq的端點).

(1)若EPH平面CFG,請確定點P的位置；

(2)求直線CP與平面CFG所成角的正弦值的最大值.

原題21

33.已知函數f(x)=ae*T-Inx+lna.

(1)當”=e時，求曲線y=f("在點(1,/。))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面

積；

(2)若不等式恒成立，求。的取值范圍.

變式題1基礎

34.已知函數f(x)=1x2-(a+i)inx-!(aeR,4H0).

22

(1)討論函數的單調性；

(2)若對任意的xe[l,y),都有f(xRO成立，求”的取值范圍.

變式題2基礎

35.已知函數/(x)=ar-lnx(a是常數).

⑴當a=2時，求“X)的單調區(qū)間與極值；

⑵若Vx>0J(x)>0,求°的取值范圍.

變式題3鞏固

2

36.已知函數〃x)=eW+cosx,g(x)=a-21nx+—.

⑴求曲線y=〃x)在點(7J5))處的切線方程；

⑵若/(g(x))>2恒成立，求。的取值范圍.

變式題4鞏固

37.設函數/(x)=x-ae，(awR).

⑴求函數〃x)的極值：

⑵若V以在xw[0,+co)時恒成立，求a的取值范圍.

變式題5鞏固

38.已知函數〃x)=￥.

⑴求函數〃x)的極值和零點個數；

⑵若f(x)〈依恒成立，求實數％的取值范圍.

變式題6提升

39.已知函數/(x)=lnx+l,g(x)=e'-l.

⑴判斷是否存在過原點的直線/與〃x),g(x)的圖像都相切.若存在，求出直線/的方

程；若不存在，請說明理由.

(2)若a>0,且<"(")+"在(1,一)上恒成立,求實數a的取值范圍.

e

變式題7提升

40.已知/(x)=^x2-2x-31nx,(x)=x3+x2-Inx.

⑴求“X)在(1J。))處的切線方程；

試卷第14頁，共16頁

(2)若不等式礦(x)-g'(x)>/(x)-2x+a-6對任意x〉l成立，求。的最大整數解.

原題22

41.已知橢圓C：J+￡=l(a>〃>0)的離心率為孝，且過點A(2,l).

(1)求C的方程：

(2)點、M,N在C上，且4W_LAN,AD^MN,。為垂足.證明：存在定點Q,使

得|。。|為定值.

變式題1基礎

r2v2

42.己知橢圓=+2T=1(。>匕>0)的左、右頂點分別為A,B,且|A8|=2VLe是

abz

橢圓的離心率，點(e,且)在橢圓上.

2

(1)求橢圓的方程：

(2)若P是橢圓上的動點，且P與A,B不重合，直線/垂直于x軸，/與直線AP,BP

分別交于M，N兩點，設直線4MBM的斜率分別為為，k2,證明：無戊2為定值.

變式題2基礎

43.已知橢圓的方程為離心率e瀉,6,鳥分別是橢圓的左、

右焦點，過橢圓的左焦點耳且垂直于長軸的直線交橢圓于M、N兩點，且|MN|=友.

(1)求橢圓的方程；

(2)已知直線/與橢圓相交于尸、Q兩點，。為原點，且試探究點。到直線/

的距離是否為定值?若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

變式題3鞏固

44.已知橢圓C：E+A=l經過點(0,右)，離心率為:，直線/經過橢圓C的右焦

a'b~2

點尸交橢圓于A、8兩點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/交)，軸于點M,且MAEAF，MB="BF，當直線/的傾斜角變化時，探

求義+"的值是否為定值？若是，求出的值；否則，請說明理由.

變式題4鞏固

45.在平面直角坐標系xOy中，點M(-3,0),點N(3,0),點尸是平面內一動點，且直線

的斜率與直線PN的斜率之積為-5,記點P的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

⑵過點(1,0)的直線/與C交于A,B兩點，則在x軸上是否存在定點￡>,使得D4gB的

值為定值？若存在，求出點力的坐標和該定值；若不存在，請說明理由.

變式題5鞏固

46.已知橢圓￡:=+當=1(a>〃>0)的短軸長為2.離心率為叫直線x=9被橢圓E所

a'h-2e

截得的線段長為6.

⑴求橢圓E的方程；

⑵直線/：y=^+m與橢圓E相交于A8兩點，且2&?+1=4/，求證：OAB(。為坐

標原點)的面積為定值.

變式題6提升

22

47.已知橢圓C:二+4=1(八6>0)的面積為出如上頂點為A,右頂點為B,直線AB

a'b~

與圓。:/+產=］4相切，且橢圓C的面積是圓。面積的15?倍.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)P為圓。上任意一點，過尸作圓0的切線與橢圓C交于M,N兩點，試問|尸“卜|尸時

是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

變式題7提升

48.已知橢圓C:￡+與=l(a>b>0)的離心率為如，兩焦點斗工與短軸兩頂點圍成

a~b3

的四邊形的面積為4亞.

⑴若尸為橢圓C上一點，且4戶K=60。，求△2/=；鳥的面積；

(2)我們稱圓心在橢圓C上運動，半徑為■的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”，過原點。作橢圓C

的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A,3兩點，若直線04,。8的斜率存在，記

為%,自.

①求證：為定值；

②試問|。4「+口8「是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

試卷第16頁，共16頁

參考答案:

1.詳見解析

【分析】方法一：由題意結合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到4力的比例關系，根

據比例關系，設出長度長度，由余弦定理得到，的長度，根據選擇的條件進行分析判斷和求

解.

【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理

由sinA=GsinB可得：*=6,不妨設4=6加力=〃7（加＞0）,

則：+6?-2abcosC=3，"2-2xG〃x〃?x且=,/,B|Jc=m.

2

若選擇條件①：

據此可得：ac=￡mxm=#＞府=Ji，:.m=\,此時c=/n=l.

若選擇條件②:

ni2+m2-3m2_1

據此可得：cosA=

2bc2M~~2

則：sinA==—，此時：csinA=mx—=3,則：c=m=2^3.

22

若選擇條件③:

可得￡=生=1，與條件c=J。矛盾，則問題中的三角形不存在.

bm

［方法二］:正弦定理

7T57r

由。=上，A+8+C=4,得人=二一8.

66

由sinA二esin8,得sin（^-8〕=V3sinB,即—cosB+—sinB=6sinB,

k6；22

得tan8=3.由于0＜8＜萬，得B=§.所以6=c,A=F.

363

若選擇條件①：

ac

.ac-----=-----

由----=-----，得zn.24.n得a=>/3c.

sinAsinCsin—sm—

jo

解得c=b=l,a=6.所以,選條件①時問題中的三角形存在，此時c=l.

若選擇條件②:

.27r

由csinA=3,得csin——■=3,解得C=26，則〃=(?=26.

3

答案第1頁，共59頁

由，得si"si/得a=百c=6?

sinAsinC

36

所以，選條件②時問題中的三角形存在，此時c=2后.

若選擇條件③：

由于c=J。與。=c矛盾，所以，問題中的三角形不存在.

【整體點評】方法一：根據正弦定理以及余弦定理可得。，瓦c的關系，再根據選擇的條件即

可解出，是本題的通性通法,也是最優(yōu)解；

方法二：利用內角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角A,可求出角8,從而可得

2777T

b=cA=-.B=C=-,再根據選擇條件即可解出.

y36

2.(1)—；

2

(2)選①c=4,S4笈=36；選②c=6,SABC="~

【分析】(1)根據正弦定理計算即可得出結果;

(2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再結合三角形的面積公式計算即可.

(1)

ba

B=g"3,A=j,由正弦定理，得

sinBsinA

3G3指

所以"=------xsinB=

sinA022

2

⑵

選①：由余弦定理，得從="+c2-2accosB,BP13=c2+9-2x3cxl,

整理，得C2-3C-4=0,由C>0,得C=4,

所以SABC=gacsinB=；x3x4x—=3月;

選②：因為sinC=2sinA,由正弦定理，得片2a,

所以c=6,所以StBC=—acsinB=ix6x3x—=^^-.

ABC2222

3.(l)A=y

⑵地

2

答案第2頁，共59頁

【分析】(1)從三個條件中任選一個，然后利用誘導公式、二倍角公式、正弦定理等知識轉化

求解即可.

(2)根據第(1)問所求，利用余弦定理建立三邊關系，求出稅的值，最后代入三角形面

積公式求解即可.

(1)

(1)方案一：選條件①.

上用會占2b-ccosC先2sinB-sinCcosC

根據正弦定理及------=——-得------——=——-,

acosAsinAcosA

整理得2sinBcosA=cosCsinA+sinCcosA,

即2sin8cosA=sin(A+C),

易知A+C=〃一

所以2sinSeosA=sinB,

又sinB/O,所以cosA='，

2

jr

又Ae(0,%),(注意角的范圍)故A=§.

方案二：選條件②.

在：ABC中，B+C=n-A,所以cos(B+。=-cosA,

結合二倍角公式，可得TeosA+2(2COS2A-l)=-3,

所以4cos2A_4cosA+l=0,

得cosA=g.

JT

又AG(0,?),所以A=1.

方案三：選條件③.

在：ABC中，A+C=TC-B,所以$由(4+。)=§m8,

.a_b

所'GeosAsin8,

sinAsinB「

結合正弦定理可得，~j=----T=<=，得tan4=g.

，3cosAsin8

又Ae((U),所以A=\-JT.

⑵

答案第3頁，共59頁

根據余弦定理可得，

a2=h~+c2-2hccosA=（b+c）2-2hc-2hccosA,

又。=V14，b+c=4^2，A=5，

所以（E）2=（40）2-2bc-20cxL,得bc=6,

2

所以SABC=—Z?c-sin/I=—x6xsin—=^^-.

ABC2232

71

4.（1）^=-

⑵c=46

【分析】（1）由正弦定理得到c=?,如果選①利用輔助角公式得到角的大?。蝗绻x②,

利用倍角公式可求得角的余弦值，進而得到角的大小；如果選③，結合。=6,可求

得每一個邊長，再利用余弦定理得到角的余弦值，從而得到結果；

（2）由第一問知：a=6,c=2b,8=^，結合余弦定理得到結果即可.

6

（1）

由正弦定理得到sinAcosB+sinBcosA=2sinB=>sinC=2sinB

.\c=2b,

如果選①

sin8+Gcos8=2sin（B+q）=2nBq；

如果選②，由cos2B—3月cosB+4=0,

化簡得到2cos2B-38cosB+3=0=>cosB=—或G（舍去）

2

rr

8￡（0,4），.二6=一；

6

如果選③，----=a-\[?）c,

a

已知。=6,c=2b,代入上式化簡得至1」/一4>&+12=0=>/?=26，

c=46,.。=6

根據余弦定理得到cos3="+>一”=立,Be（0,乃）

2ac2''

答案第4頁，共59頁

:.B=-

6

(2)

TT

由第一問知：。=6,c=2b,B=—,

6

根據余弦定理得到：cosB=H=也,

2ac2

代入解得：c=4>/3.

5.(1)條件選擇見解析，A=。

⑵/?4,6]

【分析】(1)選擇①，運用正弦定理及輔助角公式可求解；選擇②運用正弦定理及余弦定理

可求解；選擇③，由三角形面積公式及余弦定理可求解.

(2)由正弦定理及輔助角公式可求解.

(1)

選擇①，由正弦定理可得由sinAsinC=sinC(cosA+l),

又Ce(0,萬)，所以sinC>0,則GsinA-cos4=l,

則2sin(A—[=l,故而(4-7)=；.

又因為一丁<4一丁〈苧，所以A-7=￡,解得A=g.

666663

選擇②，由正弦定理可得(”-。)(4+與=(。-9。，

則〃2+。2-a2-be,

則由余弦定理可得hc=2/?ccosA,故cosA=1.

2

77

又因為0<4<%，所以A=§.

選擇⑨由三角形面積公式可得4xg/?csinA=y[i(b2+ci-a1)=2?ccosA,得tanA=6.

又因為0<A<乃，故斗二楙.

⑵

由正弦定理得h=，一sinB=—sinB,c=-^sinC=生叵sinC.

sinA3sinA3

答案第5頁，共59頁

因為3=4一A—C='27r—C,0<C<—27c,

33

4出

所以/=a+/?+c=2+n^+sinC)=2+.siny^-Cj+sinC

=2+—[—cosC+-sinC

3122J

=2+4sin(C+2).

「冗7154my冗)(1

又"<C+”<T，所以sinC+工￡；』f從而/?4,6].

o6okbJ\Z

6.⑴方

【分析】(1)選①，根據三角恒等變換化簡可求出cosC,即可得角，選②，由正弦定理統(tǒng)

一為角，由三角恒等變換求解，選③，由正弦定理統(tǒng)一為三角函數，根據三角恒等變換化簡

求解；

(2)根據CD=53=24D,再由正弦定理化及三角變換化為關于6的正切，求角即可.

(1)

選①：由正弦定理可得，sinCeosB=(2sinA-sinB)cosC,

/.sinCeosB=2sinAcosC—sinBcosC,

2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA.

VAe(0,7T),「.sinAwO,/.cosC=^.

2

又Ce(0,

由

選②:2csin^A+-^a+b展開得x/3csinA+ccosA-a-b=0-

又由正弦定理可知y/3sinCsinA+sinCcos/I-sin/I-sin=0,

在,ABC中，sinB=sin(A4-C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以GsinCsinA-sinA-sinAcosC=0.

又A￡(0,n),則sinA>0,

所以/sinC-cosC=1,

答案第6頁，共59頁

所以2sin(c-^)=l,可得sin(C-^)=；.

又Ce(O,嘰所以C-江沁，當，

O\00)

所以c-g=g，可得c=g.

663

選③：bsina：'=csinB,可得bsin(氣C)=/>cos苧=csinB.

cccc

由正弦定理可得sin8cos—=sinCsinB,又sinBxO,可得cos—=sinC=2sin—cos—.

2222

因為Ce(O,兀)，品(0，?？傻胹in*g,

可得當=：，所以c=？.

263

(2)

因為BD=CD,所以B=ZBCD=&,

冗2

在AACD中，ZACO=§—夕/04。=§兀一。，

AD_CD

由正弦定理得噸司二備皿

因為CD=2AD,所以2sin(]-6)=sin]：7i:一6),GR^3cos0—sin0cos0+-^sin0,

所以Osin。-且cos8=0,即tan0=—.

223

7T

又o<y,

所以。=g

6

7.答案見解析.

【分析】選擇①，利用二倍角正弦公式得2sinCcosC=gcosC，通過邊與角的關系知cosCwO,

進而得sinC=走，再利用正弦定理計算得sinB>l,出現矛盾，故不存在；

2

選擇②，由正弦定理結合逆用兩角和差化積公式計算得8=看27r，利用余弦定理可得。=3,

再利用面積公式得解：

選擇③，利用正弦定理結合同角之間的關系得到8=與，利用余弦定理可得。=3,再利用

面積公式得解；

【詳解】選擇①sin2C=GeosC

由sin2c=GcosC，W2sinCcosC=V3cosC-

答案第7頁，共59頁

若cosC=0,Ce(O,</r),C=y,與c<Z?矛盾，0*cosC0,.e?sinC=-y-.

Ch

若這樣的，ABC存在，根據正弦定理，由芻=告，

sinesin8

得sinB=M2=^>1,與sinBVl矛盾.

c10

所以，若選擇條件①，則問題中的三角形不存在.

選擇②c(2+cosB)=J%sinC

在工ABC中，根據正弦定理,WsinC(2+cosB)=>/3sinBsinC.

CE（0,^）,則sinC>0,2+cos3=A/^sin3,即Visin8-cos8=2,整理為

血（喂卜1.

CC冗n冗、冗n冗冗八24

0<B<TT---<B<—,..B=—,B=—.

F666623

根據余弦定理，a2+C2-2accosB=b2,結合8=7,c=5,

廠?/+5。-24=0，解得：。=3或。=-8（舍去）.

ABC的面積為S=』acsinB=史巫.

24

選擇③bsinA+G〃COS8=0

在1ABe中，根據正弦定理，Wsin5sinA+>/3sinAcosB=0,即sin4（sin8+6cosB）=0.

AW（0,TT）,則sinA>0,「?sin8+GcosB=0.

Be（0,^）,sinB>0?cosB0,「.tanB="n'=-G,B=.

cos83

根據余弦定理，a2+c2-2accosB=b2結合匕=7,c=5,

/+5。-24=0,解得：a=3或。=-8（舍去）.

二?ABC的面積為S='〃csin3=4叵.

24

【點睛】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦

定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有44c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cos光的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊二

（4）代數變形或者三角恒等變換前置；

答案第8頁，共59頁

（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；