考點(diǎn)二十八：直角三角形

聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解

一、直角三角形

1.定義

有一個(gè)角是直角的三角形叫作直角三角形

2.性質(zhì)

(1)直角三角形兩銳角互余.

(2)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

(3)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3.判定

(1)兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

(2)三角形.一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

二、勾股定理及逆定理

1.勾股定理：

直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2;

2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

三、直角三角形全等的判定：

對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，除了有一般三角形全等的判定方法，還有HL定理(斜邊、直角

邊定理):

有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊"或"HL")

四、解直角三角形

解直角三角形的常用關(guān)系

在RtZXABC中，NC=90°,那么：

(1)三邊關(guān)系:a'+Z>2=c2；

(2)兩銳角關(guān)系：/A+NB=90°；

(3)邊與角關(guān)系：sinA=cosB=N,cosA=sinB=2,tanA=—；

⑷sin'A+cos2A=1

名師點(diǎn)睛☆典例分類(lèi)

考點(diǎn)典例一、直角三角形的判定

[例1](2023-2023學(xué)年山東省諸城市桃林鎮(zhèn)桃林初中期末模擬)以下條件不能判定一個(gè)三角形為直角三

角形的是()

A.三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：3B.一邊上的中線等于該邊的一半

C.三邊為1、2、1D.三邊長(zhǎng)為痛+/、Hi?-胡、2mn(mWO,nWO)

345

【答案】C

【解析】A、三個(gè)內(nèi)角之比為1:2:3,三角形有一個(gè)內(nèi)角為90。，此選項(xiàng)不符合題意；B、直角三角形中,

斜邊上的中線等于該邊的一半，此選項(xiàng)不符合題意；C、(3)2+(；)2.(；)2,三角形不是直角三角形,

543

此選項(xiàng)正確；D、三邊長(zhǎng)為(m^n2)2=(m2-n2)2+(2mn)2(m*O,n#O),此選項(xiàng)不符合題意，

故選C.

【舉一反三】

(2023年廣西防城港市防城區(qū)扶隆中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬)如圖，AABC中，CD±AB,垂足為D.以下條件中，

能證明aABC是直角三角形的有(多項(xiàng)選擇、錯(cuò)選不得分).

①/A+/B=90°

②AB'Ad+BC?

ACCD

③jiBBD

?CD2=AD?BD.

【答案】①②④.

【解析】試題解析：①?.?三角形內(nèi)角和是180°,由①知NA+NB=90°,

/.ZACB=180°-(ZA+ZB)=180°-90°=90°,

.?.△ABC是直角三角形.應(yīng)選項(xiàng)①正確.

②AB,AC,BC分別為AABC三個(gè)邊，由勾股定理的逆定理可知，②正確.

③題目所給的比例線段不是4ACB和4CDB的對(duì)應(yīng)邊，且?jiàn)A角不相等，無(wú)法證明4ACB與4CDB相似，也就

不能得到NACB是直角，故③錯(cuò)誤;

④假設(shè)aABC是直角三角形，CDLAB,

ayBD

又：CD2=AD?BD,（即AD一面）

AAACD^ACBD

,ZACD=ZB

二ZACB=ZACD+ZDCB=ZB+ZDCB=900

△ABC是直角三角形

...應(yīng)選項(xiàng)④正確;

故答案為：①②④.

考點(diǎn)典例二、直角三角形的性質(zhì)

【例2】(2023江蘇無(wú)錫第10題)如圖，△ABC中，NBAC=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將aABD

沿AD翻折得到△AED,連CE,那么線段CE的長(zhǎng)等于()

557

A.2B.-C.D.

435

【答案】D.

【解析】

試題解析：如圖連接BE交AD于0,作AH_LBC于H.

AB=3,

二BC=6+42=5,

VCD=DB,

5

.\AD=DC=DB=-,.

2

11

,.,-?BC?AH=-*AB?AC,

22

12

..AH-->

5

VAE=AB,DE=DB=DC,

；.AD垂直平分線段BE,ABCE是直角三角形,

11

,.,-?AD?BO=-?BD?AH,

22

12

.\0B=—

5

24

，BE=20B=——，

5

在RtABCE中，EC=yjBC2-BE2=卡-（y）2=-.

應(yīng)選D.

考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問(wèn)題）；2.直角三角形斜邊上的中線；3.勾股定理.

【舉一反三】

（2023湖南株洲第11題）如圖示在AABC中NB=.

【答案】25°.

【解析】

試題分析：VZC=90°,AZB=90°-ZA=90°-65°=25°；

故答案為:25°.

考點(diǎn)：直角三角形的性質(zhì).

考點(diǎn)典例三、直角三角形斜邊上的中線

【例3】（2023遼寧大連第8題）如圖，在AABC中，ZACB=90°,CDVAB,垂足為。，點(diǎn)E是A3

的中點(diǎn)，CD=DE=a,那么A8的長(zhǎng)為（

473

D.----a

3

【答案】B.

【解析】

試題分析：根據(jù)勾股定理得到CE=0a,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

,/CD1AB,CD=DE=a,/.CE=^2a,

?.?在AABC中，NACB=9（r,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，，AB=2CE=2/a,故選B.

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中位線定理及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出

規(guī)律.

【舉一反三】

（2023四川達(dá)州第9題）如圖，在△ABC中，BF平分NABC,AFLBF于點(diǎn)F,D為AB的中點(diǎn)，連接DF延長(zhǎng)

交AC于點(diǎn)E.假設(shè)AB=10,BC=16,那么線段EF的長(zhǎng)為（）

【答案】B..

【解析】

試題分析:已知AF1BF,AB=1O,D為AB中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線是斜邊的一半可得D廣gAB=AD=BD=5

且NABF^NBFD,又因BF平分/ABC,可得NCB4/DFB,即DE"BC,可判定△ADES^ABC,根據(jù)相似三角

形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求得DE=8,由EF=DE-D廣8-5=3.故答案選B.

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線；平行線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).

考點(diǎn)典例四、解直角三角形

【例4】（2023浙江嘉興第15題）如圖，把〃個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼接成一排，求得tanN8AC=l,

tanZBAC=1,tanZBA,C=1,計(jì)算tanN64C=,……按此規(guī)律，寫(xiě)出tan/%,C=

（用含〃的代數(shù)式表示）.

BC

【答案】A，-T———

13n2-n+1

【解析】

試題解析：作CUBA」于H,

由勾股定理得，BA產(chǎn)A,C=而，

31

△BAiC的面積=4-2—-二—，

22

-XV17XCH=-,

22

而

解得，CH二----，

17

那么=為5，

A4H=J4c2_cif

,CHi

??tanNBA.C=-----

4〃13

1=12-1+1,

3=22-2+l,

7=3”3+1,

tanZBA.C=----------

n-n+\

考點(diǎn)：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性質(zhì).

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理和正方形的性質(zhì)..

【舉一反三】

（廣東省廣州市越秀區(qū)2023年中考數(shù)學(xué)一模）如圖，AABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點(diǎn)E,

連接BE,假設(shè)BE=5,BC=6,那么sinC=

【解析】：DE是BC的垂直平分線，；.CE=BE=5,CD=BD=3,NCDE=90°,

.\DEy_32=4,,sinC匹，

CE5

故答案為：--

5

課時(shí)作業(yè)☆能力提升

一、選擇題

1.（重慶市秀山縣2023-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期八校聯(lián)考）如圖，中,

ZA-Tff,BC-XAC=2^,那么4?長(zhǎng)為（"

D.而

【答案】c

【解析】?..在RtZkABC中,ZA=30°,BC=2,

，AB=2BC=4,

應(yīng)選C.

2.（浙江省金華市第五中學(xué)2023-2023學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)期末模擬）在AABC中，/ACB=90°,NA=30°,CD_LAB

于D,AB=4cm,那么BD的長(zhǎng)為（）.

A.3B.4C.1D.7

【答案】C

【解析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合NACB=90°,NA=30°,得NABC=60°,BC=2,.；再由含30°

角的直角三角形可得BD是BC的一半為.1.

應(yīng)選：C.

3.（浙江省寧波市李興貴中學(xué)2023-2023學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)期末模擬）直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊

上高為h,那么以下各式總能成立的是（）

A.ab=h'B.a2+b2=2h2C—?—

abh。3"

【答案】D

【解析】根據(jù)直角三角形的面積可以導(dǎo)出：斜邊。=型.再結(jié)合勾股定理：a'b'c'.進(jìn)行等量代換，得

A

a2+b2=兩邊同除以a^,畤GT

應(yīng)選D.

4.（華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)：2023年中考模擬）“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末

望水岸，入徑四寸，問(wèn)井深幾何？"這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)？九章算術(shù)？中的“井深幾何”問(wèn)題，它的題意可以

由圖獲得〔單位：尺），那么井深為（）

A.1.25尺B.57.5尺C.6.25尺D.56.5尺

【答案】B

【解析】依題意有△ABFS^ADE,

￡5D

/.AB:AD=BF:DE,

即5:AD=0.4:5,

解得AD=62.5,

BD=ADMB=62.5-5=57.5尺。

應(yīng)選：B.

5.（2023廣西百色第10題）如圖，在距離鐵軌200米處的,3處，觀察由南寧開(kāi)往百色的“和諧號(hào)”動(dòng)車(chē),

當(dāng)動(dòng)車(chē)車(chē)頭在A處時(shí)，恰好位于3處的北偏東60。方向上，10秒鐘后，動(dòng)車(chē)車(chē)頭到達(dá)C處，恰好位于8處

西北方向上，那么這時(shí)段動(dòng)車(chē)的平均速度是（）米/秒.

A.20(73+1)B.20(73-1)C.200D.300

【答案】A

【解析】

試題分析：作BD±AC于點(diǎn)D.

?在RtZUBD中,ZABD=60°,

.,.AD=ED'tanZABD=20043（米）,

同理，CD=BD=200（米）.

則AC=2OO+2OO百（米）.

則平均速度是20°+20°的=20（JJ+1）米/秒.

105

考點(diǎn)：1.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題；2.勾股定理的應(yīng)用.

二、填空題

6.（2023湖南常德第14題）如圖，Rt△力期中/力=90°,N戶60°,止10,〃是線段力￡上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

D作<D交.BE千C,并使得N。片30°,那么切長(zhǎng)度的取值范圍是.

【解析】

試題分析：當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)后重合時(shí)，CD=0,當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)4重合時(shí)，?.?/4=90°,/比60°,斤30°,二

4CDE=4E,ZCDB=ZB,:.C芹CD,CD=CB,：.CD--BE=^>,.1OW或W5,故答案為：OW區(qū)5.

2

考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線.

7.（山東省平邑縣陽(yáng)光中學(xué)2023屆九年級(jí)一輪復(fù)習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，AEJ_BC于E,AFJ_CD于

F,假設(shè)AE=6,AF=4,cosZEAF=l,那么CF=.

B

【答案】迪

2

【解析】試題解析：8GAF^DC,

又‘：AB"DC,

ZFAB-ZFAE^/LEM-W3

又??/￡?+4—90°

CIKZEAF=-，

3

1BE1

??ms/R—-,即Htl---=-

3AJf3

DF1

又?:ZB=ZD,所以cosZJJ=———ss*?

3AD3

由題，AF=\,AE=&,

3?,9①

那么根據(jù)勾股定理，易得力尸=及jUf——=x3=

&2

CF=Z)C-2)!F=Jir-2)F^--A/5=—

22

所以此題的正確答案為逋.

2

8.在△/a'中，/比30°,AB=12,AC=6,那么除

【答案】6G.

【解析】

試題分析：斤30°,加=12,A<=6,...△｛比'是直角三角形，BC=7AB2-AC2=7122-62-673,

故答案為：6百.

A

考點(diǎn)：1.含30度角的直.角三角形；2.勾股定理.

9.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=3,AC=5,點(diǎn)E在BC上，將aABC沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC邊

上的點(diǎn)B'處，那么BE的長(zhǎng)為.

【解析】

試題分析：.在RtZkABC中，ZABC=90°,AB=3,AC=5,

.?.BC=44C：-AB：=4.

由折嶷的性質(zhì)得：BE=BE,,AB=ABy,

設(shè)BE=x,則B，E=x,CE=4-x,B'C=AC-ABZ=AC-AB=2,

a

在RtZkB'EC中，B'E；+B'C=EC\即x'+2'=(4-x)解得：x=-.

2

/.BE的長(zhǎng)為-.

2

考點(diǎn)：1.折疊的性質(zhì)；2.勾股定理；3.方程思想的應(yīng)用.

10.(2023江蘇無(wú)錫第18題)在如圖的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A,B,C,D

都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于0,那么tan/BOD的值等于.

D

【答案】3.

【解析】

試題解析：平移CD到C'D'交AB于0',如下圖,

那么NBO'D'=NB0D,

tanZB0D=tanZB0,D',

設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a,

那么O'B=括+(2a)2=右，O'D'=J(2a)2+(2a>=2亞a,BD'=3a“

作BELO'D'于點(diǎn)E,

BD'.O'F3a?2a

那么BE=

O'D'2亞a2

/.0,￡=[O管_B呼=J(5a)2-

3折

,BE

/.tanBO,E=——=—^―=3O,

O'E徑

/.tanZB0D=3.

考點(diǎn)：解直角三角形.

11.（2023黑龍江綏化第21題）如圖，順次連接腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形各邊中點(diǎn)得到第1個(gè)小三角

形，再順次連接所得的小三角形各邊中點(diǎn)得到第2個(gè)小三角形，如此操作下去，那么第“個(gè)小三角形的面

【解析】

試題分析：記原來(lái)三角形的面積為S,第一個(gè)小三角形的面積為S”第二個(gè)小三角形的面積為S2,…,

11

?；S1=-?S=-7,s>

422

111

s=—>-s=—?s,

24424

1

s丁S'

???s產(chǎn)聲?5，2,2=^rr-

考點(diǎn)：1.三角形中位線定理；2.等腰直角三角形.

三、解答題

12.（2023黑龍江齊齊哈爾第23題）如圖，在AA8C中，AD_L8C于￡>,BD=AD,DG=DC,E,

（2）連接所，假設(shè)AC=10,求的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EF=50.

【解.析】

試題分析：（1）證明aUDG經(jīng)AADC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)證明；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求出DE、DF,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

BD=AD

試題解析：（1）：AD_LBC,，NADB=/ADC=90°,在4BDG和aADC中，<Z.BDG=ZADC,

DG=DC

.,.△BDG^AADC,；.BG=AC,ZBGD=ZC,

VZADB=ZADC=90°,E,F分別是BG,AC的中點(diǎn)，ADE=-BG=EG,DF=-AC=AF,

22

；.DE=DF,ZEDG-ZEGD,ZFDA=ZFAD,AZEDG+ZFDA=90°,ADEIDF；

（2）VAC=10,/.DE=DF=5,由勾股定理得，^=^DE2+DF2=5五.

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.勾股定理.

13.（2023遼寧大連第24題）如圖，在A45C中，NC=9O°,AC=3,BC=4,點(diǎn)分別在AC,3C

上（點(diǎn)。與點(diǎn)A,C不重合），且ZDEC=ZA.將ADCE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至U\DCE.當(dāng)ADCE

的斜邊、直角邊與A8分別相交于點(diǎn)P,Q（點(diǎn)尸與點(diǎn)。不重合）時(shí)，設(shè)CD=x,PQ=y.

（1）求證：ZADP=ZDEC；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

55

-x+-

62

【答案】⑴見(jiàn)解析；（2）y=_

ZJJIo12]

—X———<x<——.

122157）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等角的余角相等即可證明；

（2）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)C'E'與AB相交于Q時(shí)，即:葭時(shí)，過(guò)P作MN〃DC',設(shè)NB=a.②

當(dāng)DC'交AB于Q時(shí)，即工<x<3時(shí)，如圖2中，作PM_LAC于M,PN_LDQ于N,那么四邊形PMDN是矩形，

7

分別求解即可；

試題解析：（1）證明：如圖1中，

A

VZEDE,=ZC=90°,.,.ZADP+ZCDE=90°,ZCDE+ZDEC=90°,

二ZADP=ZDEC.

(2)解：如圖1中，當(dāng)C'E'與AB相交于Q時(shí)，即工時(shí)，過(guò)P作MN〃DC',設(shè)4B=a