第第頁2.3圓與圓的位置關(guān)系【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：兩圓的位置關(guān)系及其判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含【題型歸納】題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系1．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離【答案】B【分析】計(jì)算兩圓的圓心距，和半徑差比較，即可得答案.【詳解】由題意得圓的圓心為，半徑為6，圓的圓心為，半徑為1，則，故兩圓內(nèi)切，故選：B2．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？计谀┮阎獔A的方程是，圓的方程是，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)含【答案】B【分析】根據(jù)圓心距以及半徑間的關(guān)系確定正確選項(xiàng).【詳解】即，所以圓的圓心為，半徑.,所以圓的圓心為，半徑.，所以兩圓外切.故選：B3．（2022秋·江蘇蘇州·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)，圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．相交【答案】B【分析】由直線過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)弦最短時(shí)直線垂直，根據(jù)斜率乘積為求出，進(jìn)而求出圓的方程，再根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定答案.【詳解】易知直線即過定點(diǎn)，因?yàn)?，故在圓內(nèi).故弦最短時(shí)直線垂直，又，所以，解得，此時(shí)圓的方程是.兩圓圓心之間的距離，半徑分別為5，3又，所以這兩圓外離.故選：B.題型二：求圓的交點(diǎn)坐標(biāo)4．（2022·高二）已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)，，滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】設(shè)，軌跡可得點(diǎn)P的軌跡方程，即可判斷該軌跡與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，且，由，得，即，故點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓心為、半徑為的圓，則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，有，所以兩圓相交，滿足這樣的點(diǎn)P有2個(gè).故選：B.5．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高二?？计谥校┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，P為圓C1：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓：的切線，切點(diǎn)為T，則滿足的點(diǎn)P有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)切線長(zhǎng)的性質(zhì)求，由條件列方程求點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則①，由已知圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，所以，，因?yàn)椋?，化?jiǎn)可得②，聯(lián)立①②可得，或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故滿足的點(diǎn)P有2個(gè)，故選：C.6．（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）求過兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算出兩圓的交點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求出線段的垂直平分線，與聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓的一般方程.【詳解】與相減得：，將代入得：，即，設(shè)兩圓和的交點(diǎn)為，則，，則，不妨設(shè)，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€的斜率為1，所以線段的垂直平分線的斜率為-1，所以線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得：，故圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的方程為，整理得：故選：D題型三：圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍7．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓：和兩點(diǎn)，，若圓上至少存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可得圓：與圓：（）位置關(guān)系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含即可滿足題意，進(jìn)而求得a的值.【詳解】圓：的圓心，半徑為，因?yàn)閳A上至少存在一點(diǎn)，使得，所以圓：與圓：（）位置關(guān)系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含，如圖所示，

或

或

所以，又因?yàn)?，所以，?故選：B.8．（2022秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a等于（

）A． B．9C．或9 D．7或【答案】D【分析】根據(jù)兩圓半徑大小關(guān)系結(jié)合圓與圓位置關(guān)系判斷，即可列方程求解實(shí)數(shù)a的值.【詳解】圓整理得：

圓心，半徑，圓的圓心，半徑由于兩圓半徑相同，故若圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切所以，整理得，解得或.故選：D.9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓，圓，若圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】確定兩圓的圓心和半徑，根據(jù)題意得到，解得答案.【詳解】圓的方程可化為，則圓心為，半徑；圓的方程可化為，則圓心為，半徑.圓與圓有公共點(diǎn)，，，解得.故選：C題型四：圓與圓的位置求圓的方程10．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知是半徑為1的動(dòng)圓上一點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則當(dāng)取最大值時(shí)，△的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)，確定的軌跡方程，結(jié)合已知可得，再根據(jù)切線的性質(zhì)、勾股定理及面積法得到關(guān)于的關(guān)系式且△的外接圓以線段為直徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系及其動(dòng)點(diǎn)距離最值情況，寫出外接圓的方程.【詳解】由，則動(dòng)圓心的軌跡方程為.為圓上的動(dòng)點(diǎn)，又，∴，∵，，，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)最大時(shí)，最大.當(dāng)時(shí)，取最大值，△的外接圓以線段為直徑，而中點(diǎn)，即中點(diǎn)為，∴外接圓方程為，即.

故選：A11．（2022秋·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┌霃綖?的圓與x軸相切，且與圓內(nèi)切，則此圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，根據(jù)與x軸相切，可得b值，根據(jù)兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑差，列出方程，可得a值，即可得答案.【詳解】設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，因?yàn)閳A與x軸相切，所以b＝6=r，因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，所以圓心距，解得，故所求圓的方程為.故選：D12．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）若圓與圓外離，過直線上任意一點(diǎn)P分別作圓的切線，切點(diǎn)分別為M，N，且均保持，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】設(shè)，由切線長(zhǎng)公式得，由此得關(guān)于的恒等式，恒等式知識(shí)可求得值，從而得結(jié)論，注意兩圓外離．【詳解】設(shè)．∵過直線上任意一點(diǎn)P分別作圓的切線，切點(diǎn)分別為M，N，且均保持，∴，即，即，∴且，∴或∵圓與圓外離，∴，∴，∴，故選：A．題型五：圓的公共弦長(zhǎng)問題（參數(shù)、弦長(zhǎng)問題）13．（2023秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓與圓的公共弦長(zhǎng)為2，則m的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)圓的圓心和半徑公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，以及公共線弦方程的求法即可求解.【詳解】聯(lián)立和,得，由題得兩圓公共弦長(zhǎng)，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，平方后整理得,，所以或（舍去）；故選：A.14．（2023秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）圓和圓的交點(diǎn)為，則有（

）A．公共弦所在直線方程為 B．公共弦的長(zhǎng)為C．線段中垂線方程為 D．【答案】D【分析】對(duì)于A，聯(lián)立兩圓方程即可得公共弦所在直線方程；對(duì)于B，由弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可；對(duì)于C，由題意可知線段中垂線為直線，求出直線的方程即可判斷；對(duì)于D，求出坐標(biāo)，計(jì)算出的值，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，聯(lián)立兩圓方程得，可得，即公共弦所在直線方程為，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)到直線：的距離為，則有，則弦長(zhǎng)公式得：，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可知線段中垂線為直線，又因?yàn)?，，所以直線的方程為，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，解得或，取，所以所以，所以，故正確.故選：D.15．（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知圓C：，P為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)四邊形APBC的面積最小時(shí)，直線AB的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)判斷出直線時(shí)，四邊形APBC的面積最小，利用圓與圓相交弦所在直線方程的求法求得正確答案.【詳解】圓的方程可化為，點(diǎn)C到直線l的距離為，所以直線l與圓C相離.依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)A，P，B，C四點(diǎn)共圓，且，所以四邊形APBC的面積，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)四邊形APBC的面積最小.所以CP：即，由，解得，即.所以以CP為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線AB的方程.故選：C

題型六：圓的共切線問題16．（2022秋·江蘇常州·高二華羅庚中學(xué)校）已知圓：與：恰好有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓有4條公切線，得到兩圓外離，然后根據(jù)外離列不等式，解不等式即可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)閳A：與：恰好有4條公切線，所以圓與外離，所以，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.17．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，圓上任意一點(diǎn)均滿足，其中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓和圓的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】由圓，可得圓心，半徑.設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)已知可列出方程組，解出，.再根據(jù)半徑為2，可得圓的方程.設(shè)，根據(jù)，整理可得圓的方程，判定兩圓的位置關(guān)系即可得出兩圓的公切線的條數(shù).【詳解】圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，所以.又圓的半徑，則圓的半徑，所以圓的方程為.設(shè)，則，.又，則，整理可得，，圓的方程為，圓心，.則圓和圓圓心距，又，則所以，圓和圓外切，所以兩圓的公切線有3條.故選：C.18．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）兩個(gè)圓：與：恰有三條公切線，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】由題意得兩圓外切，圓心距等于半徑之和，再利用基本不等式，即可求得的最小值．【詳解】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程；圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由于圓與圓恰有三條公切線，兩圓外切，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值.故選：B．題型七：圓與圓位置關(guān)系的綜合類問題19．（2022秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知圓方程：，圓相交點(diǎn)A、B．(1)求經(jīng)過點(diǎn)A、B的直線方程.(2)求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）判斷兩圓相交，再將兩圓方程相減即可作答.（2）由（1）的結(jié)論，求出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)，求出三角形面積作答.【詳解】（1）圓：的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，且有，則圓與圓相交，

由消去二次項(xiàng)得，所以直線的方程為.（2）由（1）知，點(diǎn)到直線：的距離，于是，所以的面積.20．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩圓，．(1)取何值時(shí)兩圓外切？(2)當(dāng)時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為，兩圓的公共弦的長(zhǎng)為【分析】（1）兩圓相外切，則兩圓圓心距為兩圓半徑之和，據(jù)此可得答案；（2）將兩圓方程相減，可得公共弦所在直線方程，后可得弦長(zhǎng)所在直線與圓圓心距離，后可得弦長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以兩圓的圓心分別為，，半徑分別為，.當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距為半徑之和，則，結(jié)合，解得；（2）當(dāng)時(shí)，圓的一般方程為兩圓一般方程相減得：，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為圓圓心到的距離為故兩圓的公共弦的長(zhǎng)為．21．（2021秋·江蘇南通·高二金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓的圓心在第一象限內(nèi)，圓關(guān)于直線對(duì)稱，與軸相切，被直線截得的弦長(zhǎng)為．若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為，點(diǎn)．(1)求四邊形面積的最小值；(2)直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將四邊形面積轉(zhuǎn)化為，從而利用且求得最小值，由此得解；（2）根據(jù)題意得四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得四點(diǎn)所在圓的方程，再根據(jù)弦是四點(diǎn)所在圓與圓的公共弦求得直線的方程，最后結(jié)合直線系方程即可求得定點(diǎn).【詳解】（1）依題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓關(guān)于直線對(duì)稱，，圓與軸相切：，點(diǎn)到的距離為：，圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，，所以，，又，，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，

與圓相切，，，，易得，所以，圓心到直線的距離，，即（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），四邊形面積的最小值為.（2）設(shè)，如圖，與圓相切，，，∴，∴四點(diǎn)共圓，圓心為，半徑為，所以四點(diǎn)所在圓的方程為，即，由題知弦是四點(diǎn)所在圓與圓的公共弦，所以兩圓相減，得直線的方程為,又∵，∴直線的方程為，即，所以由直線系方程可知直線的方程過和的交點(diǎn)，所以聯(lián)立方程，解得，所以直線過定點(diǎn).【雙基達(dá)標(biāo)】22．（2023·江蘇·高二）若圓與圓有公共點(diǎn)，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】由得，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.兩圓圓心距為，由于兩圓有公共點(diǎn)，所以，解得，所以.故選：D23．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交C．相切 D．內(nèi)含【答案】D【分析】分別求出兩圓圓心坐標(biāo)和半徑，比較兩圓圓心距和半徑的關(guān)系即可得到答案.【詳解】，，所以，，，則，所以兩圓內(nèi)含.故選：D.24．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谥校┮阎獔A與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則（

）A．1 B．4 C．9 D．1或9【答案】D【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意兩圓相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值，即可得到方程，解得即可.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，圓，圓心，半徑為，所以因?yàn)閮蓤A只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓相外切或相內(nèi)切，顯然兩圓不能相外切，所以，即，解得或.故選：D25．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校考期末）已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則線段的中垂線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)，然后分析出線段的中垂線就是直線，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出方程，化為一般式可得結(jié)果.【詳解】依題意可得，，因?yàn)?，，所以直線是線段的垂直平分線，所以直線的方程為：，即.故選：A26．（2021秋·江蘇南通·高二金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得圓心關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得對(duì)稱圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以對(duì)稱圓的方程為.故選：A27．（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓.(1)判斷與的位置關(guān)系；(2)若過點(diǎn)的直線被、截得的弦長(zhǎng)之比為，求直線的方程.【答案】(1)外切(2)或【分析】（1）計(jì)算出，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，直線驗(yàn)證即可；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，利用勾股定理結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.因?yàn)椋詧A與圓外切.（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，直線與圓相離，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，即，則圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，由題意可得，即，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或均符合題意.所以直線的方程為或.28．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）圓：與：相交于A、B兩點(diǎn).(1)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程；(2)求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先設(shè)圓系方程（為常數(shù)），根據(jù)圓心在直線上，求，即可求得圓的方程；（2）面積最小的圓，就是以線段AB為直徑的圓，求出該圓的圓心和半徑可得圓的方程.【詳解】（1）因?yàn)閳A的圓心不在直線上，所以所求圓不是圓，故可設(shè)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程為（為常數(shù)），即,則圓心坐標(biāo)為；又圓心在直線y＝－x上，故，解得，故所求方程為.（2）因?yàn)閳A的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以直線的方程為，即，由題意可知以線段AB為直徑的圓的面積最小，由兩個(gè)圓的方程相減可得直線的方程為，聯(lián)立，解得，則所求圓的圓心為，圓心到直線的距離，所以，所以所求圓的半徑為.故面積最小的圓的方程為.【高分突破】一、單選題29．（2022秋·江蘇南京·高二校聯(lián)考）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，從而判斷出公切線的條數(shù).【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，，所以兩圓相交，公切線有條.故選：B30．（2022秋·江蘇常州·高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)P是圓C：的動(dòng)點(diǎn)，直線l：上存在兩點(diǎn)A，B，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的幾何性質(zhì)求得正確答案.【詳解】圓，圓心為，半徑為.依題意，是圓上任意一點(diǎn)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，故以為直徑的圓的半徑的最小值是到直線距離的最大值，即，所以的最小值是.故選：A31．（2023春·江蘇南京·高二?？奸_學(xué)考試）已知圓與圓的公共弦所在直線恒過定點(diǎn)且點(diǎn)在直線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓和的方程得到公共弦所在的直線方程，可得點(diǎn)，進(jìn)而可得，再利用基本不等式即可得到的最大值.【詳解】由圓?，圓?:?，得圓?與圓?的公共弦所在直線方程為:?，由?，解得?，即?，又?在直線?上，?，即?，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，?的最大值為?.故選:D?.32．（2022秋·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C：和兩點(diǎn),，若圓C上存在點(diǎn)P使得，則m的取值范圍是（

）A．[8，64] B．[9，64] C．[3，7] D．[9，49]【答案】C【分析】設(shè)P的坐標(biāo)為，由可得P的軌跡為，又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上，所以兩圓有公共點(diǎn)，從而求解即可.【詳解】解：設(shè)P的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，所以，化簡(jiǎn)得，又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C：上，所以圓與圓C有公共點(diǎn)，所以且，解得，故選：C．33．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)，圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相離 C．外切 D．相交【答案】D【分析】由直線過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)弦最短時(shí)直線垂直，根據(jù)斜率乘積為求出，進(jìn)而求出圓的方程，再根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定答案.【詳解】易知直線過定點(diǎn)，弦最短時(shí)直線垂直，又，所以，解得，此時(shí)圓的方程是.兩圓圓心之間的距離，又，所以這兩圓相交.故選：D.34．（2023春·江蘇南京·高二?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓C：，在圓上存在點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)P的軌跡，再利用兩圓有公共點(diǎn)的充要條件求解作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由得：，整理得：，即點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，而圓C的圓心，半徑為，依題意，圓與圓C有公共點(diǎn)，即有，即，而，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D35．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，圓，若圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意求出的距離，得到P的軌跡，再由圓與圓的位置關(guān)系求得答案．【詳解】由題可知圓O的半徑為，圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得，則，在中，，所以點(diǎn)在圓上，由于點(diǎn)P也在圓M上，故兩圓有公共點(diǎn).又圓M的半徑等于1，圓心坐標(biāo)，，∴，∴.故選：D.二、多選題36．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知半徑為的動(dòng)圓與圓相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為，若動(dòng)圓與已知圓外切，則，所以；若動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，則，所以．故選：CD37．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓和圓，分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．圓與圓有四條公切線B．的取值范圍是C．是圓與圓的一條公切線D．過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則存在點(diǎn)，使得【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)兩圓心之間的距離與半徑和的比較，確定兩圓的位置關(guān)系，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)圓外離的基本性質(zhì)，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)公切線與圓心連線的位置關(guān)系以及距離，建立方程，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意可得，圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閮蓤A圓心距，所以兩圓外離，有四條公切線，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，的最大值等于，最小值為，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，顯然直線與直線平行，因?yàn)閮蓤A的半徑相等，則外公切線與圓心連線平行，由直線，設(shè)直線為，則兩平行線間的距離為2，即，故，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，易知當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，故當(dāng)時(shí)，，故D正確，故選：ABD.38．（2023秋·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)?？奸_學(xué)考試）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，是圓上的兩點(diǎn)．則（

）A．存在，，，使得B．若，均與圓相切，則弦長(zhǎng)的最小值為C．若，均與圓相切，則直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)D．若存在，，使得，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)幾何知識(shí)得到當(dāng)直線，與圓相切且最小時(shí)最大，然后求的最大值即可判斷A選項(xiàng)；利用等面積的思路得到，然后求的最小值即可得到弦長(zhǎng)的最小值，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)圓的定義得到，是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)又是圓上的兩點(diǎn)，然后讓兩圓的方程相減得到直線的方程即可得到直線過定點(diǎn)，即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)存在，，使得得到，然后求時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】

由圖可知，當(dāng)直線，與圓相切且點(diǎn)在軸上時(shí)最大，此時(shí)，，，，所以最大時(shí)是銳角，故A錯(cuò)；，所以，則當(dāng)最小時(shí)，弦長(zhǎng)最小，，所以，故B正確；設(shè)點(diǎn)，，是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，圓的方程為，即①，又，是圓②上的兩點(diǎn)，所以直線的方程為②-①：，過定點(diǎn)，故C正確；若存在，，使得，則，當(dāng)直線，與圓相切時(shí)，最大，對(duì)應(yīng)的余弦值最小，當(dāng)直線，與圓相切，且時(shí)，，，因?yàn)?，所以，則，故D正確.故選：BCD.39．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為圓C，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓C的方程是B．過點(diǎn)A且斜率為的直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為C．圓C與圓有四條公切線D．過點(diǎn)A作直線l，若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l距離為，該直線斜率為【答案】BD【分析】對(duì)A，設(shè)，再根據(jù)列式化簡(jiǎn)可得圓的方程；對(duì)B，根據(jù)垂徑定理求解即可；對(duì)C，根據(jù)圓心間的距離與半徑和差的關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而可得公切線條數(shù)；對(duì)D，分直線斜率為0與不為0討論，再根據(jù)圓心到直線距離與半徑的關(guān)系列式求解即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)，由可得，即，化簡(jiǎn)可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，過點(diǎn)A且斜率為的直線方程為，即，則圓的圓心到的距離為，故所求弦長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)C，圓圓心到圓心的距離為，又兩圓的半徑和為，故兩圓相交，有兩條公切線，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，圓C上有四個(gè)點(diǎn)到直線l距離為不合題意，設(shè)直線，則由題意C到的距離等于，即，解得，故斜率直線斜率為，故D正確；故選：BD三、填空題40．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，寫出滿足條件“過點(diǎn)且與圓相外切”的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由點(diǎn)在圓上及外切關(guān)系可得方程組，化簡(jiǎn)取值即可得其中一個(gè)符合的結(jié)果.【詳解】設(shè)滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），則有，即，兩式相減化簡(jiǎn)得.不妨取，則，故滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：（答案不唯一）41．（2023春·江蘇鹽城·高二?？奸_學(xué)考試）若圓：與圓：外切，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)兩圓外切列方程，從而求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為.由于兩圓外切，所以，得.故解得.故答案為：.42．（2022秋·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則直線過定點(diǎn)【答案】【分析】設(shè)，利用與圓的關(guān)系，得到，，進(jìn)而得到點(diǎn)均在以為直徑的圓上，進(jìn)而得到圓的方程，則直線為兩圓的公共弦，進(jìn)而可求出直線以及該直線所過的定點(diǎn).【詳解】設(shè)，則有①，又由圓的圓心為，直線，是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則，，則點(diǎn)均在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則圓的方程為，化簡(jiǎn)得；直線即為兩圓的公共弦，所以對(duì)于和，兩式相減可得直線的方程為，由①可得，，整理得，由可得，故直線過定點(diǎn)故答案為：43．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線與直線相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)易知過定點(diǎn)，過定點(diǎn)且，則在以為直徑的圓上，寫出圓的方程，并求出與圓的圓心距，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)分別在兩圓上知的最大值為兩圓心距與兩個(gè)半徑的和，最小值為兩圓心距與兩個(gè)半徑的差可得答案.【詳解】由題設(shè)，恒過定點(diǎn)，恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即垂足為，所以在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為，故軌跡方程為，而的圓心為，半徑為2，所以兩圓圓心的距離為，而、分別在兩圓上，故的最大值為，最小值為，所以.故答案為：.44．（2022秋·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與x軸交于A?B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），圓C的弦過點(diǎn)，分別過E?F作圓C的切線，交點(diǎn)為P，則線段的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)切線的垂直關(guān)系，可得在以為為直徑的圓上，求出的方程，將代入，求出點(diǎn)軌跡方程，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，即可求出結(jié)論.【詳解】，圓心，令或，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，設(shè)，為圓的切線，，在以為直徑的圓上，其方程為，即，直線為圓:與以為直徑的圓的相交弦，直線方程為，弦過點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為直線，其方程為，線段最小值為點(diǎn)到直線的距離為.故答案為:.四、解答題45．（2022秋·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）已知為圓上任意一點(diǎn)，且．(1)求的最大值和最小值；(2)若，求的最大值和最小值；(3)若，求的最大值和最小值．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)最大值為，最小值為(3)最大值為