引言有這樣一則故事：陰險的大臣想讓有才華的大臣下臺，最終這位有才華的大臣被陷害，皇上準(zhǔn)備殺掉他，但是又認(rèn)為這位大臣雖然有罪但卻不應(yīng)該被殺死，于是就把生死二字寫在了兩張紙上，抽到生就是生，抽到死就殺掉，然而，那位陰險的大臣在紙上搞了小動作，使得他抽出的任意紙上都寫有死字。這種詭計被有才華的大臣的好友識破，迅速告訴了他，并且打算和他一起去皇上那揭露陰險的計謀。這位大臣卻拒絕這樣做，并且開心的對朋友說：“不可以采取一丁點行動，當(dāng)紙在我手中時，我便立即放進(jìn)嘴里，這時斬首員只能看剩余的紙，最終斬首員就會判斷出我嘴里吞下去的紙的上面標(biāo)有生字，這時我就可以免于砍頭了[1]p104。從這則故事中，可以看出，這位有才華的大臣使用了生與死的反證法，機(jī)智巧妙的解除了自己即將被殺害的風(fēng)險，使得自己存活了下來。哈代是英國有名的數(shù)學(xué)家，他認(rèn)為反證法對于數(shù)學(xué)家來說是一種非常有利且厲害的武器當(dāng)中的一種[2]。他同時也認(rèn)為反證法比象棋獲得勝利的方式還要厲害，數(shù)學(xué)家在使用反證法的時候首先是全部的進(jìn)行否定，最后贏得成功[3]p98。這體現(xiàn)了反證法極其高的地位同時也彰顯了反證法這種方法的絕美之處，一旦掌握了反證法的特點，就能靈活運用，同時也能夠使得思維得到開闊，能力得到提升[4]p61。一．反證法的教學(xué)價值為了培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，教師應(yīng)該適時的在課堂教學(xué)中滲透反證法的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生通過教師的熏陶，對反證法的使用方法及步驟有了進(jìn)一步的理解，在做題時能夠采用逆向思維的方式來思考一些數(shù)學(xué)問題，使得學(xué)生對待問題時會更深入的理解。1、開拓逆向思維逆向思維主要根據(jù)對立面去探究所給的問題，最終將疑難化解[17]。很多學(xué)生在思考數(shù)學(xué)問題時總是習(xí)慣用正向思維的方式，根據(jù)題目中的已知條件按部就班的推算出所要得到的結(jié)果，但往往這種從正面思考問題的方法有時候不夠靈活，很容易將簡單問題復(fù)雜化，甚至在演算的時候步驟繁瑣，使得整個的思維混亂找不到突破點，但是如果從反面入手，通常會起到思維順暢的效果，通過逆向思維，使得對整個解題思路非常清晰，學(xué)生在解題過程中采用正逆思維交替從而使得問題最終得到解答。因此反證法能夠開拓學(xué)生的思維，使得學(xué)生脫離思維定勢，提高答題的效率以及自己解題的準(zhǔn)確率。2、促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的形成對于我們數(shù)學(xué)學(xué)科而言思維方法是必不可少的，而數(shù)學(xué)思維是一種科學(xué)的合理的方法，它是數(shù)學(xué)的精華。如今的課堂模式較過去而言更加完善，它注重學(xué)生的能動性以及創(chuàng)造性。國外的數(shù)學(xué)教育方面明顯沒有我們中國的教育好，然而我們中國高校學(xué)生的創(chuàng)新精神卻沒有國外的強(qiáng)，因為我們中國的應(yīng)試教育更多的注重于數(shù)學(xué)習(xí)題的練習(xí)，一味地給學(xué)生布置很多題目，卻基本不會過多的去引導(dǎo)學(xué)生積極思考，深入理解題目的含義，也基本不會過多的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法，最終使得學(xué)生的成績出現(xiàn)了極端分布的狀況即一部分同學(xué)數(shù)學(xué)思維能力非常強(qiáng)，一部分同學(xué)出現(xiàn)了逆反心理，不喜歡數(shù)學(xué)，更極端的是對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了害怕的心理，認(rèn)為數(shù)學(xué)這門科目非常的難懂，不好學(xué)。因此反證法這種數(shù)學(xué)方法就能夠非常好的促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成。3、促進(jìn)思維縝密性反證法對于每個細(xì)節(jié)都要考慮的很齊全，反證法和直接證明法從字面上看兩者截然不同，但是它們在本質(zhì)上卻有著很大的關(guān)聯(lián)。從整體來觀察我們使用的方法是反證法，但是細(xì)看，我們假設(shè)了過后進(jìn)行推導(dǎo)的過程都是直接證明的方法。但是用直接證明法推導(dǎo)時又涉及到反證法，用以明確所用的條件，在假設(shè)時要弄清楚原命題對立面是什么，準(zhǔn)確的寫出對立面的一切情況，不能漏掉其他情況。通過反證法的學(xué)習(xí)還可以使得學(xué)生做事更加細(xì)心，思維變得更加嚴(yán)謹(jǐn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的耐力。二．反證法概述1定義反證法是從對立面的方向進(jìn)行證明的，將原命題的結(jié)論否決，然后得出與題目中已知條件矛盾，因而得到原結(jié)論正確，這種方法為間接證明[5]p92。反證法顧名思義它是一種證明方式，它和人的邏輯思維是一體化的，相互聯(lián)系的[6]p86。2、理論基礎(chǔ)反證法是亞里士多德所呈現(xiàn)的兩種思維邏輯規(guī)律即矛盾律和排中律[7]。反證法是符合情理的，因為它是根據(jù)兩種規(guī)律所發(fā)展的[8]。反證法運用的基石是排中律和矛盾律[9]。它們的定義是有差異的，排中律，一定有一個為真，即要么A或者非A。矛盾律是指對于一個命題在同一個證明過程中不能既是真命題又是假命題。反證法根據(jù)一系列的證明，最終推導(dǎo)出矛盾體，依照矛盾律得出判斷一些矛盾時，矛盾不可能都是真的，肯定有一個是不是真的[10]p56。3、反證法解題步驟用反證法來解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題時可以從以下步驟著手：首先，假設(shè)結(jié)論不成立，從這個假設(shè)入手；接著，經(jīng)過一系列的推導(dǎo)得出與反命題矛盾，或者與題目中的條件以及一些定理、定義、公式矛盾；最后，得到假設(shè)不成立，即原命題成立。所以，證明方法的熟練運用是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一個非常重要的方法之一[11]。4、種類反證法是從正面使用很難但是從對立面使用很容易的一種方法，它能夠使得不容易突破的問題變得很輕松，甚至能將不會發(fā)生的事變成一種會發(fā)生的事[12]。反證法實際上被稱為歸謬法，但是歸謬法的情況是不相同的，可以將其劃分為窮舉歸謬法和簡單歸謬法[13]p5。（1）簡單歸謬法如果對立面出現(xiàn)一種情形，則只需要將此種情況推翻，從而得到反證的效果[18]p225。例1.若兩條直線平行于第三條直線，則此兩條直線平行。已知:，求證：證明：假設(shè)與不平行，設(shè)與相交于點，又,因而,故過Q點有兩條不同的直線分別與OP平行（與原命題矛盾）假設(shè)不成立，所以。（2）窮舉歸謬法如果命題對立面有很多種情況，那么把所有對立面情形都推翻，才能得到反證的效果[19]p102。例2.若>≥2,則有>.證明：假設(shè)≤，則有=，則=≥2,與已知條件矛盾；<，則2≤<，與已知條件矛盾。所以，>。三.數(shù)學(xué)中反證法的運用題型反證法應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)許多教學(xué)過程中，當(dāng)命題中出現(xiàn)“最多”、“至少”等一些詞時通常會運用反證法[24]p21。對于一些特定的定理的證明，往往也會使用反證法，因為很多命題從正面去推導(dǎo)往往不是很容易，但如果從反面論證就很容易證明出來，反證法常見的題型主要分為以下幾類[25]p13。1、否定性命題當(dāng)原命題結(jié)論中出現(xiàn)“沒有”、“不能”等一些詞時，用正面的方法很難解答，但用反證的方法確恰到好處[10]p56。例3.求證：如果是自然數(shù)，則，那么不能被15整除。證明：假設(shè)能被15整除，那么一定能被5整除所以的尾數(shù)為0或者5又因為為偶數(shù)，所以的尾數(shù)只能為0，即的尾數(shù)一定為8又因為對任意的自然數(shù)的尾數(shù)都不為8，故矛盾，從而不能被15整除。2、肯定性命題例4.求證：等腰三角形的底角是銳角。已知：是等腰三角形，，求證：為銳角證明：假設(shè)不為銳角，則底角或者則，這與矛盾故為銳角。3、限定性命題限定性命題就是原命題中中有“最多”、“最少”、“不多于”或“頂多”等詞語[8]。（1）“最多”例5.若：全為正整數(shù)求證：在這三個數(shù)中，至多有一個數(shù)大于1.證明：假設(shè)中至少有兩個數(shù)大于1，不妨設(shè)則：.兩式相加，得所以，與是正整數(shù)矛盾.假設(shè)不成立，故原命題成立。（2）“最少”例6.已知：證明：方程中，最少有一個含有未知數(shù)的等式有實數(shù)根。證明：假設(shè)兩個含有未知數(shù)的等式均沒有實數(shù)根所以根的判別式可以得到，所以又因為所以即又因為由已知條件知所以矛盾。即中，至少有一個方程沒有實數(shù)根。例7.已知都是實數(shù)且，，求證：中最少有一個大于0。證明：假設(shè)都不大于0，即那么。而與假設(shè)矛盾，故中最少有一個大于0。4、無窮型命題“無限”、“無窮”是無窮性命題的特征，那么對于這樣的命題而言如果直接用正面的方法來證明并不是一件容易的事情，此時，如果我們用反面的方法即反證法來證明那么就輕而易舉了[20]p141。例8.證明素數(shù)是無限個[21]p103。分析：針對無窮型的題目，由題目中的已知條件出發(fā)去尋求某種特征，通常而言比較繁瑣且難度系數(shù)比較大，對于這樣的題型并不是束手無策的，我們可以運用反證法采用逆向思維的方法將命題中的“無窮”、“無線”轉(zhuǎn)化為“有窮”、“有限”。從而依次進(jìn)行推導(dǎo)最終得到結(jié)論。證明：假設(shè)素數(shù)是有限個的.設(shè)最大素數(shù)為，那么有限個素數(shù)序列為：令整數(shù)從中可以得到不能被整除，不能被整除，...，不能被整除，因而可以得到不能被所設(shè)的素數(shù)序列所整除，故為素數(shù)，又因為，故與假設(shè)最大素數(shù)為矛盾，從而證得素數(shù)是無限個。5、唯一性命題如果命題的結(jié)論只有一個且是肯定的，那么在做這類題型時就是用反證法將其轉(zhuǎn)化成結(jié)論的不唯一性，即所得結(jié)論的結(jié)果不是只有一種情況[22]p2。例9.若，證明的方程有且僅有一個根。證明：根據(jù)題意可得，那么至少有一個根為假設(shè)方程不是只有一個根，令為方程的兩個不相等的根，則兩式做差得，又因為，所有人以故，這與題目中矛盾，故方程有且僅有一個根。6、一些存在性命題例10.若求證：，則存在使成立.證明：假設(shè)對所有使恒成立.設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，又因為，矛盾所以結(jié)論成立。例11.對邊之和相等的一個平行四邊形存在一個內(nèi)切圓。圖1證明：如圖1所示，如果（1）假設(shè)四邊形不存在內(nèi)切圓，作☉O與之三條邊相切，則與☉O要么相離要么相交 經(jīng)過點畫與☉O的切線交或其延長線上，交點為,又（2）當(dāng)與☉O相離時（1）-（2）得，，則此時與三角形不等式矛盾。當(dāng)與☉O相交時（2）-（1）得，，則此時與三角形不等式矛盾故與☉O不相交且不相離，假設(shè)不成立，原結(jié)論成立。7、全稱肯定性命題命題中呈現(xiàn)“都是”、“全部”、“總有”等全稱肯定的詞眼用反證法來證明比較簡單、方便[23]。例12.證明：對于任意的自然數(shù)，總是最簡分?jǐn)?shù)。證明：假設(shè)不是最簡分?jǐn)?shù)，令（1），（2）（），且為最簡分?jǐn)?shù)，根據(jù)（2）3-（1）2得：，，又因為為整數(shù)，為分?jǐn)?shù)，從而不成立，故假設(shè)不成立。8、不等量命題例13.已知，且求證：證明：假設(shè)將代入上式得，即又因為所以所以因而與矛盾，假設(shè)不成立，故原命題成立。例14.若在△EFG中，∠G>∠F求證：EF>EG圖2證明：如圖2所示，假設(shè)EF<EG或EF=EG如果EF=EG，則△EFG為等腰三角形所以∠F=∠G，與已知∠G>∠F矛盾，如果EF<EG，在EF延長線上取一點H，使得EF=EG，連接DC，所以△EHG為等腰三角形，即∠H=∠EGH又∠EFG為△HGF的一個外角所以∠EFG>∠H=∠EGH而∠EGH>∠EGF,與已知矛盾，故假設(shè)不成立,原命題正確。例15求證:已知：有兩個實數(shù)根都不等于零，且互不相等求證：.證明：假設(shè)若方程為，從而，這與已知條件矛盾。若，則方程為，解得又因為，所以方程無解，與已知條件矛盾。若，則方程為，得：，與已知條件矛盾.故假設(shè)不成立，原命題成立。例16.證明不能分解成兩個因式乘積并且因式都為一次的。證明：假設(shè)能表示為兩個因式乘積并且因式都為一次的，則使其分解為：（其中均不為0），所以比較系數(shù)得根據(jù)（1），（3）得；根據(jù)（4），（5）得，所以，又根據(jù)（3），（5）得，所以（2）為，則與（4）矛盾，因而假設(shè)不成立，原結(jié)論成立。例17.求證：這一系列數(shù)中無完全平方數(shù)。解析：證明：假設(shè)為數(shù)的完全平方數(shù)，則因為等式右邊是偶數(shù)，所以為偶數(shù)。又因為，且為數(shù)的完全平方數(shù)，所以為奇數(shù)則和都是偶數(shù)，所以設(shè)：所以所以等式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)所以等式不成立從而可得不是完全平方數(shù)故原命題正確。9、基本命題基本命題就是數(shù)學(xué)中最初的結(jié)論，該命題所蘊含的公設(shè)、定義能夠被利用的非常少，因而如果從正面解答很不容易，但是用反證法卻立竿見影[14]p22。例18.相交兩條直線只有一個交點。圖3已知：如圖3所示，直線交于點求證：僅有一個交點證明：假設(shè)兩條直線除了交于點外，還交于點，所以直線是有兩個點決定的，則兩點確定直線，此時與“兩點僅確定一條直線”的定理矛盾.所以直線不會相交與兩點從而原命題正確。10、基本定理和初始性命題由于在證明某些基本定理時，我們除了已經(jīng)學(xué)過的公理及推理外，在此之前所導(dǎo)出的定理不多，這時常用反證法[15]p28。例19.證明勾股定理：已知：△的邊依次為:，∠，求證：證明：假設(shè)，又因為>0所以令，且>0則>>0，>>0，所以>從而>于是中任意兩個數(shù)之和一定大于第三個數(shù)，故可以作一個△,它的三條邊為則，因為為最長，所以∠是△中的最大角，故在直角三角形和△中，則∠∠故三角形不是直角三角形，則。四.使用反證法的注意點1、假設(shè)合理反證法解題時關(guān)鍵性的問題在于，它的思考過程與解題特點[16]。對于結(jié)論的否定要合理且正確，要根據(jù)原命題合理的進(jìn)行假設(shè)，也就是要求學(xué)生能夠?qū)υ}的結(jié)論進(jìn)行否定，并且語言組織要正確，同時還要突出反證法的結(jié)構(gòu)特征。2、表明推理特征使用反證法證題，本質(zhì)上就是將結(jié)論否決，推出矛盾，然而矛盾出現(xiàn)的時間以及出現(xiàn)的特征是不能夠被人提前知曉的，我們往往思考與原結(jié)論有聯(lián)系的命題。對于一些幾何問題要證明其結(jié)論需要用到與其相關(guān)的公設(shè)、定義、定理等。因此，在證明這類型的題目時只需用反證法直接合理的將其結(jié)論否定，再依次逐步進(jìn)行推理，如果在證明過程中出現(xiàn)了矛盾，那么其證明也就到此為止。3、靈活變通運用學(xué)生在解題過程中，遇到證明類題型，首選的方法是用直接證明的方式，如果直接證明方式行不通，這時候再利用反證法解決。數(shù)學(xué)證明題的題型各具特色，盡管大部分的題型用反證法來證明都可以解決問題，但是并不是一切證明題都用反證法。我們要知道靈活變通，要做到具體的問題具體分析，不能思維定勢，使得題目越做越復(fù)雜。五.反證法的教學(xué)建議反證法在中學(xué)教材中并沒有明確概念，因為它所涉及的知識比較復(fù)雜，但是它在中學(xué)數(shù)學(xué)中都有所提及，因此有如下建議：1、多次反復(fù)，螺旋上升中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法知識點并不是很難，這就需要學(xué)生能夠不斷地練習(xí)，熟能生巧，通過題目的不斷呈現(xiàn)，最終使學(xué)生的知識呈螺旋式上升。2、滲透數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練嚴(yán)密教師能夠激發(fā)孩子的思維能力，學(xué)生在做題的過程中通過思考探索以及課堂上老師的帶領(lǐng)，因而開拓學(xué)生的思維，促使通過題目中得出的思想方法使得學(xué)生綜合能力得到提升。3、共同探究，總結(jié)歸謬類型反證法的主心骨是歸謬。要想得到新的結(jié)論，就要在推算時有目的的創(chuàng)設(shè)矛盾，找到矛盾點，從而總結(jié)出原命題正確。參考文獻(xiàn)[1]屈秀環(huán).談數(shù)學(xué)教學(xué)中的新課引入[J].金色年華,2010(3):104-104.[2]Hardy,G.H.AMathematiciansApology[M].CambridgeUniversityPress.1940.[3]胡曉年.談?wù)劮醋C法[J].才智,2010(18):98-98.[4]沈有釗.關(guān)于反證法證題的探討[J].黔東南民族師專學(xué)報,1994(Z2):61.[5]田潔.反證法原理及其應(yīng)用[J].銅仁學(xué)院學(xué)報,2007,(14):92-93.[6]段耀勇,楊朝明.反證法的歷史沿革[J].武警學(xué)院學(xué)報,2003,19(4):86-88.[7]亞里士多德(Aristotle).形而上學(xué)[M].商務(wù)印書館,1959.[8]奚定華.高中數(shù)學(xué)解題方法[M].上海:上海教育出版社,2004.[9]莫美珍.淺談反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊,2018(17).[10]惠莉.淺談數(shù)學(xué)反證法[J].試題與研究:教學(xué)