本科生論文模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用指導(dǎo)老師：作者：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)二零一一年六月模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用摘要：二十世紀(jì)六十年代，產(chǎn)生了模糊數(shù)學(xué)這門新興學(xué)科。模糊數(shù)學(xué)作為一個(gè)新興的數(shù)學(xué)分支，使過(guò)去那些與數(shù)學(xué)毫不相關(guān)或關(guān)系不大的學(xué)科〔如生物學(xué)、心理學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、社會(huì)科學(xué)等〕都有可能用定量化和數(shù)學(xué)化加以描述和處理，從而顯示了強(qiáng)大的生命力和滲透力，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍大大擴(kuò)展。模糊數(shù)學(xué)自身的理論研究進(jìn)展迅速；模糊數(shù)學(xué)目前在自動(dòng)控制技術(shù)領(lǐng)域仍然得到最廣泛的應(yīng)用，并在計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)、多媒體辨識(shí)等領(lǐng)域的應(yīng)用取得突破性進(jìn)展；模糊聚類分析理論和模糊綜合評(píng)判原理等更多地被應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理、環(huán)境科學(xué)以及醫(yī)藥、生物、農(nóng)業(yè)、文體等領(lǐng)域，并取得很好效果。關(guān)鍵字：模糊數(shù)學(xué)；應(yīng)用；模糊評(píng)判；一、模糊數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)介〔一〕開(kāi)展歷史模糊數(shù)學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究和處理模糊性現(xiàn)象的一門數(shù)學(xué)新分支。它以“模糊集合”論為根底。它提供了一種處理不肯定性和不精確性問(wèn)題的新方法，是描述人腦思維處理模糊信息的有力工具。模糊數(shù)學(xué)由美國(guó)控制論專家L.A.扎德〔L.A.Zadeh,1921--〕教授所創(chuàng)立。他于1965年發(fā)表了題為《模糊集合論》〔《FuzzySets》〕的論文，從而宣告模糊數(shù)學(xué)的誕生。L.A.扎德教授提出了“模糊集合論”。在此根底上，現(xiàn)在已形成一個(gè)模糊數(shù)學(xué)體系。模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接動(dòng)力，與系統(tǒng)科學(xué)的開(kāi)展有著密切的關(guān)系。在多變量、非線性、時(shí)變的大系統(tǒng)中，復(fù)雜性與精確性形成了鋒利的矛盾，它給描述模糊系統(tǒng)提供了有力的工具。L.A.扎德教授于1975年所發(fā)表的長(zhǎng)篇連載論著《語(yǔ)言變量的概念及其在近似推理中的應(yīng)用》，提出了語(yǔ)言變量的概念并探索了它的含義。模糊語(yǔ)言的概念是模糊集合理論中最重要的開(kāi)展之一，語(yǔ)言變量的概念是模糊語(yǔ)言理論的重要方面。語(yǔ)言概率及其計(jì)算、模糊邏輯及近似推理那么可以當(dāng)作語(yǔ)言變量的應(yīng)用來(lái)處理。人類語(yǔ)言表達(dá)主客觀模糊性的能力特別引人注目，或許從研究模糊語(yǔ)言入手就能把握住主客觀的模糊性、找出處理這些模糊性的方法。有人預(yù)言，這一理論和方法將對(duì)控制理論、人工智能等作出重要奉獻(xiàn)。模糊數(shù)學(xué)誕生至今僅有22年歷史，然而它開(kāi)展迅速、應(yīng)用廣泛。它涉及純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、人文科學(xué)和管理科學(xué)等方面。在圖象識(shí)別、人工智能、自動(dòng)控制、信息處理、經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、社會(huì)學(xué)、生態(tài)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、管理科學(xué)、醫(yī)療診斷、哲學(xué)研究等領(lǐng)域中，都得到廣泛應(yīng)用。把模糊數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于決策研究，形成了模糊決策技術(shù)。只要經(jīng)過(guò)仔細(xì)深入研究就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在多數(shù)情況下，決策目標(biāo)與約束條件均帶有一定的模糊性，對(duì)復(fù)雜大系統(tǒng)的決策過(guò)程尤其是如此。在這種情況下，運(yùn)用模糊決策技術(shù)，會(huì)顯得更加自然，也將會(huì)獲得更加良好的效果?！捕硲?yīng)用前景模糊數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)中許多界限不清楚問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)工具，其根本概念之一是模糊集合。利用模糊數(shù)學(xué)和模糊邏輯，能很好地處理各種模糊問(wèn)題。模式識(shí)別是計(jì)算機(jī)應(yīng)用的重要領(lǐng)域之一。人腦能在很低的準(zhǔn)確性下有效地處理復(fù)雜問(wèn)題。如計(jì)算機(jī)使用模糊數(shù)學(xué)，便能大大提高模式識(shí)別能力，可模擬人類神經(jīng)系統(tǒng)的活動(dòng)。在工業(yè)控制領(lǐng)域中，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)，可使空調(diào)器的溫度控制更為合理，洗衣機(jī)可節(jié)電、節(jié)水、提高效率。在現(xiàn)代社會(huì)的大系統(tǒng)管理中，運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)的方法，有可能形成更加有效的決策。模糊數(shù)學(xué)這種相當(dāng)新的數(shù)學(xué)方法和思想方法，雖有待于不斷完善，但其應(yīng)用前景卻非常廣闊。二、模糊數(shù)學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)介〔一〕模糊數(shù)學(xué)的根本概念1. 模糊集〔Fuzzyset〕定義1設(shè)X是論域，稱映射A：X→[0,1]為X上的模糊集合〔Fuzzyset〕簡(jiǎn)稱F集，記為A。稱A(x)為元素x相對(duì)于F集的隸屬度。稱A(·)為F集A的隸屬函數(shù)?！?〕模糊集合的表示：，稱為元素屬于模糊集的隸屬度；那么模糊集可以表示為：，或，?！?〕模糊集合的運(yùn)算：，，并集：，交集：，補(bǔ)集：，包含：。2. 冪集定義2稱論域X上的F集的全體集合 為X上的F-冪集。3. 模糊集的-截集定義3 U上模糊子集對(duì)，那么稱為模糊集的-截集；稱為模糊集的-強(qiáng)截集；稱為、的置信水平或閾值。4.三角范數(shù)、反三角范數(shù)定義4 稱二元函數(shù)T：[0,1]*[0,1][0,1]為三角模或三角范數(shù)，簡(jiǎn)稱T-范數(shù)，滿足以下條件：假設(shè)a，b，c，d∈[0,1]，有：交換律：T(a，b)=T(b，a)結(jié)合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c))單調(diào)性：a≤c，b≤d時(shí)，T(a，b)≤T(c，d)邊界條件：T(a，1)=a，T(0，a)=0定義5 稱二元函數(shù)S：[0,1]*[0,1][0,1]為反三角范數(shù)，簡(jiǎn)稱S-范數(shù)，滿足以下條件：假設(shè)a，b，c，d∈[0,1]，有：交換律：S(a，b)=S(b，a)結(jié)合律：S(S(a，b)，c)=S(a，S(b，c))單調(diào)性：a≤c，b≤d時(shí)，S(a，b)≤S(c，d)邊界條件：S(a，1)=1，S(0，a)=a〔二〕模糊數(shù)學(xué)的根本定理1.模糊截積定義6 U上模糊子集，對(duì)，也是U上模糊集，其隸屬函數(shù)為：；稱為為與的模糊截積。分解定理1 模糊子集，那么。推論1：對(duì)。分解定理2 模糊子集，那么。推論2：對(duì)。三、模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用〔一〕模糊聚類分析的在數(shù)據(jù)挖掘的應(yīng)用實(shí)例例：設(shè)某地區(qū)設(shè)置有11個(gè)雨量站，其分布圖見(jiàn)圖5-1，10年來(lái)各雨量站所測(cè)得的年降雨量列入表5-1中。現(xiàn)因經(jīng)費(fèi)問(wèn)題，希望撤銷幾個(gè)雨量站，問(wèn)撤銷那些雨量站，而不會(huì)太多的減少降雨信息？圖5-1表5-1年降雨量列入年序號(hào)12763241594132922583113031752433202251287349344310454285451402307470319243329056347950222122032041123242462322432812673102733152853273525291311502388330410352267603290292646615822417816420350232024027835072583274324013613813014134021994218453365357452384420482228360316252915827141030828341020117943034218510324406235520442520358343251282371應(yīng)該撤銷那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人員，設(shè)備等眾多因素。我們僅考慮盡可能地減少降雨信息問(wèn)題。一個(gè)自然的想法是就10年來(lái)各雨量站所獲得的降雨信息之間的相似性，對(duì)全部雨量站進(jìn)行分類，撤去“同類”〔所獲降雨信息十分相似〕的雨量站中“多余”的站。問(wèn)題求解假設(shè)為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，特作如下假設(shè)〔1〕每個(gè)觀測(cè)站具有同等規(guī)模及儀器設(shè)備；〔2〕每個(gè)觀測(cè)站的經(jīng)費(fèi)開(kāi)支均等；具有相同的被裁可能性。分析：對(duì)上述撤銷觀測(cè)站的問(wèn)題用基于模糊等價(jià)矩陣的模糊聚類方法進(jìn)行分析，原始數(shù)據(jù)如上。求解步驟1. 利用相關(guān)系數(shù)法，構(gòu)造模糊相似關(guān)系矩陣，其中＝其中＝，＝1，2，…,11，＝，＝1，2，…,11。用C#語(yǔ)言編程計(jì)算出模糊相似關(guān)系矩陣，得到模糊相似矩陣。R=對(duì)這個(gè)模糊相似矩陣用平方法作傳遞閉包運(yùn)算，求即t〔〕＝=。注：是對(duì)稱矩陣，故只寫出它的下三角矩陣。?。?.996，那么=故第二行〔列〕，第四行〔列〕完全一致，故同屬一類，所以此時(shí)可以將觀測(cè)站分為9類{，},{}，{}，{},{},{}，{}，{},{}這說(shuō)明，假設(shè)只裁減一個(gè)觀測(cè)站，可以裁中的一個(gè)。假設(shè)要裁掉更多的觀測(cè)站，那么要降低置信水平，對(duì)不同的作同樣分析，得到＝0.995時(shí)，可分為8類，即{，,},{}，{},{},{}，{}，{},{}；=0.994時(shí)，可分為7類{，,},{,}，{},{}，{}，{},{}；=0.962時(shí)，可分為6類{，,},{,}，{，},{}，{},{}；＝0.719時(shí)，可分為5類{，,},{,}，{，},{，},{}；圖5-2聚類譜系圖再具體分析圖5-1，我們可以看到雖然和，分為一類，但和，觀測(cè)點(diǎn)相距較遠(yuǎn)，撤去是不太適宜的，保存而撤去，就更不適宜了。因此還是將其分為6類，即{,},{},{,}，{，},{，},{},依據(jù)每類最少保存一個(gè)站的原那么，最多可撤去5個(gè)站。實(shí)際應(yīng)該撤去哪幾個(gè)站就應(yīng)該依據(jù)其他條件來(lái)確定了?！捕衬：C合評(píng)價(jià)法評(píng)價(jià)某河流水質(zhì)例：待測(cè)河流取樣所得數(shù)據(jù)含量79，7.04，4.92,0.51,單位均為。試確定該河流的水質(zhì)情況屬于哪一個(gè)等級(jí)？根據(jù)有關(guān)規(guī)定，水質(zhì)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：水質(zhì)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)表〔mg/L〕1、建立評(píng)價(jià)對(duì)象因素?cái)?shù)集,水質(zhì)等級(jí)評(píng)價(jià)集合，通過(guò)比擬實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)，只取前四個(gè)等級(jí)來(lái)判別，得到的矩陣：評(píng)價(jià)對(duì)象2、對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。這里采用單個(gè)只占總體的比值來(lái)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，評(píng)價(jià)集合A進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣按照這種方法對(duì)B進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得3、貼近度的計(jì)算。矩陣D與矩陣C某列的貼近度顯示了該樣本與某種等級(jí)的接近程度，程度高的可近似歸為該等級(jí)。這里采用相對(duì)距離貼近度：由此可以得到貼近度矩陣：4、權(quán)向量的計(jì)算。在水環(huán)境評(píng)價(jià)中，污染因子的數(shù)量越來(lái)越多，單個(gè)因子對(duì)水環(huán)境的重要性個(gè)不相同，確定單個(gè)因子的權(quán)值對(duì)最終的評(píng)價(jià)結(jié)果影響較大?？紤]到不同的污染因子對(duì)河流污染程度的奉獻(xiàn)率不同，在不同等級(jí)下，相同污染因子對(duì)污染程度的奉獻(xiàn)率也可能不同，所以這里將不同等級(jí)下污染因子的奉獻(xiàn)率分開(kāi)來(lái)計(jì)算。根據(jù)之前得到標(biāo)準(zhǔn)化的矩陣C，確定第j等級(jí)下，不同污染因子的權(quán)重，所以得到權(quán)向量集5、最終隸屬度的計(jì)算：河流水質(zhì)屬于第j等級(jí)的程度,由此計(jì)算可得，取他們的