專題37圓錐曲線重點?？碱}型之軌跡方程【考點預(yù)測】求動點的軌跡方程一、直譯法如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系且這些幾何簡單明了且易于表達(dá)，那么只需把這些關(guān)系“翻譯”成含的等式，就可得到曲線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以被稱為直譯法。二、定義法若動點的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可根據(jù)定義直接求出方程中的待定系數(shù)，故稱待定系數(shù)法。三、相關(guān)點法（代入法）有些問題中，所求軌跡上點的幾何條件是與另一個已知方程的曲線上點相關(guān)聯(lián)的，這時要通過建立這兩點之間關(guān)系，并用表示，再將代入已知曲線方程，即得關(guān)系式?！镜淅}】例1．（2023·高二課時練習(xí)）等腰三角形ABC中，若底邊的兩個頂點的坐標(biāo)分別為，則第三個頂點C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，底邊的兩個頂點為，則，即第三個頂點C在線段的垂直平分線上，設(shè)，易知的中點坐標(biāo)為，，所以的垂直平分線斜率，利用直線的點斜式方程可得即的垂直平分線方程為，又三點構(gòu)成三角形，所以，即C的軌跡方程為.故選：A例2．（2023·高二課時練習(xí)）若x軸上方的一動點P到x軸的距離與它到原點的距離的比是，則點P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，其中，P到x軸的距離為，P到原點的距離，由題意知，整理得，所以，故點P的軌跡方程是，故選：C例3．（2023秋·廣東廣州·高二廣東實驗中學(xué)越秀學(xué)校?？计谀┮阎c，，動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè),因為,所以又因為,所以,即得可得點的軌跡方程為故選:.例4．（2023·高二課時練習(xí)）已知動點M到定點與的距離的和是，則點M的軌跡方程是______．【答案】【解析】因為M到頂點和的距離的和為，所以M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，設(shè)方程為（），則，，所以，，M的軌跡方程為.故答案為：.例5．（2023秋·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓，若動圓E與，都外切，則圓心E的軌跡方程為________.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，由于動圓E與圓，都外切，設(shè)動圓E的半徑為，則，所以，所以點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，設(shè)方程為，則，所以E的軌跡方程為.故答案為：.例6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知的周長是16，，，則動點的軌跡方程是______．【答案】【解析】因為的周長是16，，，所以，，故點到兩個定點的距離之和等于定值，且大于，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓（注意不共線），易得，故，所以動點的軌跡方程為.故答案為：.例7．（2023·高三課時練習(xí)）已知點F（1，0），直線，若動點P到點F和到直線l的距離相等，則點P的軌跡方程是______.【答案】【解析】根據(jù)拋物線定義可知，點在以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線上，所以，，拋物線方程為.故答案為：.例8．（2023秋·廣東東莞·高二東莞市東莞中學(xué)?？计谀┮阎€段的端點的坐標(biāo)是，端點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是__________．【答案】【解析】設(shè)，，則由已知可得.又是線段的中點，所以有，所以，所以有，整理可得.所以的軌跡方程是.故答案為：.例9．（2023·高二課時練習(xí)）已知A（－3，0），B（3，0），△ABC的周長為16，求頂點C的軌跡方程．【解析】因為△ABC的周長為16，所以，設(shè)，因此頂點C的軌跡是以A（－3，0），B（3，0）為焦點不與橫軸相交的橢圓，設(shè)，所以，所以頂點C的軌跡方程為.例10．（2023·高二課時練習(xí)）已知中的兩個頂點是，邊與邊所在直線的斜率之積是，求頂點的軌跡．【解析】設(shè)點，因為中的兩個頂點是，所以，，因為邊與邊所在直線的斜率之積是，所以，整理得所以，頂點的軌跡方程為，所以，頂點的軌跡是以為焦點，實軸為，且去掉頂點的雙曲線.例11．（2023·高二課時練習(xí)）動點P（x，y）到y(tǒng)軸的距離比到點（2，0）的距離小2，求點P的軌跡方程．【解析】依題意可得，兩邊平方得，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以點P的軌跡方程為：或.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·廣東廣州·高二西關(guān)外國語學(xué)校?？计谀┮阎獔A，圓，動圓M與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖，由題意得：，，其中，所以，由橢圓定義可知：動圓圓心M的軌跡為以為焦點的橢圓，設(shè)，則，解得：，故動圓圓心M的軌跡方程為.故選：D2．（2023·廣東廣州·高二廣州市第八十六中學(xué)?？计谀┮阎闹荛L為20，且頂點，則頂點的軌跡方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】錯∵△ABC的周長為20，頂點，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：D.錯因：忽略了A、B、C三點不共線這一隱含條件.正∵△ABC的周長為20，頂點，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為圓的一個動點，定點，線段的垂直平分線交線段于點，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，作圖如下：易知，則，即，故點的軌跡是以為焦點且長軸長為6的橢圓，設(shè)其方程為，則，則，故，則橢圓方程為：.故選：C.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖設(shè)與圓的切點分別為、、，則有，，，所以．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（右頂點除外），即、，又，所以，所以方程為．故選：A．5．（2023·廣東廣州·高二秀全中學(xué)?？计谀鰽BC的周長是8，B（﹣1，0），C（1，0），則頂點A的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵△ABC的兩頂點B（﹣1，0），C（1，0），周長為8，∴BC＝2，AB+AC＝6，∵6＞2，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，且2a＝6，c＝1，b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A.6．（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中學(xué)校考開學(xué)考試）△ABC的兩個頂點坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（

）A． B．（y≠0）C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.7．（2023·湖南婁底·高二校聯(lián)考期末）已知定點，點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則滿足.故.故.又點在圓上.故.故選:C8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的兩個頂點為,周長為16，則頂點C的軌跡方程為（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由題知點C到A、B兩點的距離之和為10,故C的軌跡為以為焦點,長軸長為10的橢圓,.故.所以方程為.又故三點不能共線,所以故選A9．（2023·全國·高三對口高考）動點在拋物線上移動，若與點連線的中點為，則動點的軌跡方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因為與點連線的中點為，所以，又因為點在拋物線上移動，所以，即；故選B.【點晴】本題主要考查求軌跡方程的求法，屬于中檔題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動點的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法④求的軌跡方程的.二、填空題10．（2023·四川資陽·高二校考期末）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.【答案】【解析】圓的圓心為，，圓的圓心為，，設(shè)動圓的圓心為，半徑為，由題意得，，則，，由橢圓定義得的軌跡方程為，故答案為：11．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知平面上動點到兩個定點和的距離之和等于，則動點的軌跡方程為__．【答案】【解析】平面上動點到兩個定點和的距離之和等于，滿足橢圓的定義，可得，，則，動點的軌跡方程為：，故答案為：.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為______.【答案】【解析】設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，則由題意可得，，相減可得，故點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，由題意可得，，，故點的軌跡方程為．故答案為：13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動點的坐標(biāo)滿足，則動點的軌跡方程為_____________．【答案】【解析】設(shè)直線，則動點到點的距離為，動點到直線的距離為，又因為，所以動點M的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為．故答案為：14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中，若定點A（1，2）與動點P（x，y）滿足，則點P的軌跡方程是___________.【答案】【解析】設(shè)點，∵，∴∵，∴，∴，即.因此點P的軌跡方程是.故答案為：15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的方程為：，定點，若，為圓上的兩個動點，則線段的中點的軌跡方程為______；若弦經(jīng)過點，則中點的軌跡方程為______．【答案】

【解析】設(shè)，，因為為線段的中點，所以，，又因為為圓上一點，所以，即，所以點的軌跡方程為．因為的中點為，所以，又因為經(jīng)過點，所以，所以點的軌跡是以線段為直徑的圓，其軌跡方程為．故答案為：；.16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓：和圓：，動圓同時與圓及圓外切，則動圓的圓心的軌跡方程為______．【答案】【解析】如圖所示，設(shè)動圓與圓及圓分別外切于點和點，根據(jù)兩圓外切的條件，得，．因為，所以，即，所以點到兩定點，的距離的差是常數(shù)且小于．根據(jù)雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的左支，其中，，則．故點的軌跡方程為．故答案為：.17．（2023·廣東廣州·高二廣州市協(xié)和中學(xué)?？计谀┮粋€動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為：______.【答案】【解析】設(shè)動圓的圓心為，半徑為R，因為動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，所以，所以，所以動圓圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，所以，所以動圓圓心的軌跡方程為，故答案為：18．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)圓，過原點作圓的任意弦，則所作弦的中點的軌跡方程為__________．【答案】【解析】∵∠OPC=90°，動點P在以M(,0)為圓心，OC為直徑的圓上，∴所求點的軌跡方程為.19．（2023·高三課時練習(xí)）已知點與兩個定點、的距離的比為，則點的軌跡方程為_____．【答案】【解析】設(shè)點坐標(biāo)為，因為點與兩個定點、的距離的比為，所以，，，，化簡得，故點的軌跡方程為．三、解答題20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點.求點的軌跡方程；【解析】設(shè)線段中點為，點，，，，，又因為點A在圓上，，即點C的軌跡方程為：.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，平面上一動點滿足：且，．求動點的軌跡方程；【解析】設(shè)，由，所以，整理得，即動點的軌跡方程．22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點到點的距離比點到直線的距離小，求點的軌跡方程．【解析】由題意可知，點到點的距離和點到直線的距離相等，故點的軌跡是以點為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)點的軌跡方程為，則，解得，故點的軌跡方程為.23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點和點，以為斜邊，求直角頂點A的軌跡方程．【解析】方法一：設(shè)點，，，，，由題意可知：，，，整理得：，三點不共線，應(yīng)去除.直角頂點的軌跡方程為：(除去兩點.方法二：設(shè)BC中點為D()，則DB＝DC＝DA，即A在以D為圓心，為半徑的圓上(不能和B、C重合)，故A的軌跡方程為(除去兩點).24．（2023·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學(xué)?？计谀┮阎男边厼椋?求：(1)直角頂點的軌跡方程；(2)直角邊的中點的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)，因為三點不共線，所以，因為，所以，又因為，所以，整理得，即，所以直角頂點的軌跡方程為.（2）設(shè)，因為，是線段的中點，由中點坐標(biāo)公式得，所以，由（1）知，點的軌跡方程為，將代入得，即所以動點的軌跡方程為.25．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，圓E：(x＋2)2＋y2＝4，點F(2,0)，動圓P過點F，且與圓E內(nèi)切于點M，求動圓P的圓心P的軌跡方程．【解析】由已知，圓E半徑為r＝2，設(shè)圓P的半徑為R，則|PF|＝|PM|＝R，|ME|＝r＝2，|PE|＝|PM|－|ME|＝R－2，所以|PF|－|PE|＝2.由雙曲線的定義知，P的軌跡為雙曲線的左支，因為a＝1，c＝2，所以b＝，所以，所求軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點與兩個定點，的距離的比為，求點的軌跡方程．【解析】設(shè)點坐標(biāo)為，因為點與兩個定點，的距離的比為，所以，整理得.故答案為：27．（2023·廣西桂林·高二?？计谥校?）已知點在圓上運動，定點，點為線段的中點，求點的軌跡方程；（2）已知兩定點，動點滿足，求點的軌跡方程.【解析】（1）由題知，點在圓上運動，定點，設(shè)，因為點為線段的中點，所以，即，因為點在圓上，即，所以，化簡得所以點的軌跡方程為；（2）由題知，兩定點，動點滿足，即，設(shè)，所以，因為，所以，化簡得，所以點的軌跡方程為；28．（2023·重慶·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的兩個頂點分別為橢圓的左焦點和右焦點，且三個內(nèi)角滿足關(guān)系式.(1)求線段的長度；(2)求頂點的軌跡方程.【解析】（1）橢圓的方程為，橢圓的方程為，分別為橢圓的左焦點和右焦點，，，線段的長度；（2）中根據(jù)正弦定理得：(為外接圓半徑)，，，,．點的軌跡是以為左右焦點的雙曲線的右支，且不包含右頂點，設(shè)該雙曲線方程為且，頂點的軌跡方程為29．（2023·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓心為C的圓經(jīng)過，兩點，且圓心C在直線上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P為圓C上的一個動點，O為坐標(biāo)原點，求OP的中點M的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，∵圓心C在直線上，∴，∵圓C經(jīng)過，兩點，∴，即，化簡得：，又，所以，∴圓心C的坐標(biāo)為，，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)，，∵M(jìn)為OP的中點，∴，∴，∵P在圓C上，∴，即，∴OP的中點M的軌跡方程為.30．（2023·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？计谥校┢矫鎯?nèi)，動點到點的距離與它到直線的距離之比為．求動點的軌跡方程．【解析】設(shè)得，點到直線的距離由題可知：化簡得：所以動點的軌跡方程為31．（2023·江西南昌·高二南昌縣蓮塘第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在①過點，②圓E恒被直線平分，③與y軸相切這三個條件中任選一個，補充在下面問題