半角模型綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）

【專駁說跚】

角含半角模型，顧名思義即一個(gè)角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角

形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種:

旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和翻折目標(biāo)三角形法。

【方放技巧】

類型一：等腰直角三角形角含半角模型

⑴如圖，在4ABC中，AB=AC,ZBAC=90°，點(diǎn)D,E在BC上，且NDAE=45°，則：BD+CE=DE.

DE

旋轉(zhuǎn)法翻折法

作法1:將aABD旋轉(zhuǎn)90°作法2：分別翻折△ABD,ZkACE

（2）如圖，在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC延長線上，且/

DAE=45°，貝l|：BD+CE=DE.

（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時(shí)，亦可以進(jìn)行兩種方法的操作處理..

任意等腰三角形

類型二：正方形中角含半角模型

（1）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，NEAF=45°,連接EF,過點(diǎn)

A作AG_L于EF于點(diǎn)G,貝U：EF=BE+DF,AG=AD.

圖示（1）作法：將4ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

（2）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊CB,DC的延長線上，NEAF=45°,連接

EF,則：EF=DF-BE.

圖示（2）作法：將4ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，在四方形ABCD中，AB=A

D,ZBAD+ZC=180°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,ZEAF=2

ZBAD,連接EF,貝ij：EF=BE+DF.

圖示（3）作法：將aABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/BAD的大小

類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型

作輔助線：延長FC到G,使得CG=BE,連接DG

結(jié)論：ADEF四▲DGF；EF=BE+CF

【鼎例合折】

【類型一：等腰直角三角形角含半角模型】

【典例1】如圖，四邊形ABCD中，ZA=ZBC￡>=90°,BC=CD,若將△ABC繞著點(diǎn)C

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△￡￡>(7.

(1)求證：ZADC+ZC￡)E=180°；

(2)若A8=3C7W,AC=472cn)求的長；

(3)在(2)的條件下，求四邊形A2CD的周長和面積.

【變式1-1】如圖，RtZkABC中，ZBAC=90°,AB^AC,D、E為BC邊上兩點(diǎn)，ZDAE

=45°,過A點(diǎn)作AE_LAE,MAF=AE,連接。尸、BF.下列結(jié)論：①AABF咨AACE,

②平分/即/；③若則料；④若,

BD=4,CE=3,AB=6AB=BE,SAABD=^SAADE

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式1-2］如圖，等腰直角三角形43c中,/BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC

上，且NMAN=45°.若BM=1,CN=3,則MN的長為

【類型二：正方形中角含半角模型】

【典例2】（2022春?西山區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知正方形ABC。，點(diǎn)E、尸分別是A3、BC

邊上，且NEL甲=45°,將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△OCM.

（1）求證：AEDF沿AMDF；

（2）若正方形A8C。的邊長為5,AE=2時(shí)，求EF的長？

【變式2-1］（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長為6的正方形A8CZ）內(nèi)作/EAE=45°,

AE交BC于點(diǎn)E,交于點(diǎn)H連接ER將△AOP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

ABG.

(1)求證：GE=FE；

(2)若。尸=3,求BE的長為

【變式2-2](2021秋?山西期末)閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)

構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：

如圖1,在正方形ABC。中，以A為頂點(diǎn)的/EAf=45°,AE、Af1與BC、CD邊分別交

于E、P兩點(diǎn).易證得所

大致證明思路：如圖2,將歹繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到由NHBE=180°

可得X、B、E三點(diǎn)共線，ZHAE^ZEAF=45°,進(jìn)而可證明絲故跖=

BE+DF.

任務(wù)：

圖1圖2圖3

如圖3,在四邊形ABC。中，AB=AD,/B=/D=90°,ZBA￡>=120°,以A為頂點(diǎn)

的NEAP=60°,AE,AF與BC、CO邊分別交于￡、E兩點(diǎn).請(qǐng)參照閱讀材料中的解題

方法，你認(rèn)為結(jié)論EF^BE+DF是否依然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，

請(qǐng)說明理由.

【典例3]已知正方形ABC。中，ZMAN=45°,/MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分

別交CB,0c(或它們的延長線)于點(diǎn)N,AHLMN于點(diǎn)、H.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)

系：;

(2)如圖②，當(dāng)NM4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與4?的數(shù)量關(guān)

系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；

(3)如圖③，已知NMAN=45°,AH_LMN于點(diǎn)“，且MH=2,AH=6,求的長.(可

利用(2)得到的結(jié)論)

【變式31】探究：

(1)如圖1,在正方形ABCZ)中，E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且/E4E=45°,試

判斷BE、。尸與跖三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；

(2)如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，A2=AZ>,ZB+ZD=180°,

E、廠分別是邊BC、CO上的點(diǎn)，且/胡尸=工/氏4。”，則(1)問中的結(jié)論是否仍然

2

成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)在(2)問中，若將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E、尸運(yùn)動(dòng)到8C、CD延

長線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則(1)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)

給出結(jié)論并予以證明.

【變式3-2］已知：如圖邊長為2的正方形ABCD中，ZMAN的兩邊分別交BC、CD邊于

M,N兩點(diǎn)，且NMAN=45°

①求證：MN=BM+DN；

②若AM、AN交對(duì)角線2。于E、歹兩點(diǎn).設(shè)DE=x,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

【類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型】

【典例4】已知在△ABC中，AB=AC,D,E是邊上的點(diǎn)，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得

到△AC。，連接OE.

(I)如圖1,當(dāng)NBAC=120°,ZDAE^60°時(shí)，求證：DE=DE；

(II)如圖2,當(dāng)。七時(shí)，請(qǐng)寫出/D4E與/BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(III)當(dāng)/BAC=90°,DE=D'E,EC=C。時(shí)，請(qǐng)直接寫出8。與DE的數(shù)量關(guān)系(不

必說明理由).

【變式4-1](2017秋?錦江區(qū)期末)在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)、E,尸是邊BC所在直線上

與點(diǎn)2,C不重合的兩點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)/BAC=90°,NEA尸=45°時(shí)，直接寫出線段BE,CF,跖的數(shù)量關(guān)

系；(不必證明)

(2)如圖2,當(dāng)NA4c=60°,/EAF=30°時(shí)，已知8E=3,CF=5,求線段￡下的長

度；

(3)如圖3,當(dāng)/A4C=90°,NEAP=135°時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,BF,EP的數(shù)量關(guān)系,

【變式4-2】等邊△ABC,。為△ABC外一點(diǎn)，NBDC=120°,BD=DC,/MDN=60°,

射線DM與直線AB相交于點(diǎn)M,射線DN與直線AC相交于點(diǎn)N,

①當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且Z)M=Z)N時(shí)，直接寫出8M、NC、之間的數(shù)量關(guān)

系.

②當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且。時(shí)，猜想①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)

證明.

③當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AS、CA的延長線上時(shí)，請(qǐng)畫出圖形，并寫出8M、NC、之間的

數(shù)量關(guān)系.

半角模型(知識(shí)解讀)

【專莖說明】

角含半角模型，顧名思義即一個(gè)角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角

形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種:

旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和翻折目標(biāo)三角形法。

【方注技巧】

類型一：等腰直角三角形角含半角模型

(1)如圖，在^ABC中，AB=AC,ZBAC=90°，點(diǎn)D,E在BC上，且NDAE=45°,則:BD+CE=DE.

旋轉(zhuǎn)法翻折法

作法1:將4ABD旋轉(zhuǎn)90°作法2：分別翻折△ABD,Z\ACE

(2)如圖，在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC延長線上，且/

DAE=45°，貝!|：BD+CE=DE.

(3)如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時(shí)，亦可以進(jìn)行兩種方法的操作處理..

任意等腰三角形

類型二：正方形中角含半角模型

(1)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，NEAF=45°,連接EF,過點(diǎn)

A作AG_L于EF于點(diǎn)G,貝U：EF=BE+DF,AG=AD.

BA

圖示（1）作法：將^ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

（2）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊CB,DC的延長線上，ZEAF=45°,連接

EF,則:EF=DF-BE.

圖示（2）作法：將4ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，在四方形ABCD中，AB=A

D,ZBAD+ZC=180°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,ZEAF=2

ZBAD,連接EF,則：EF=BE+DF.

圖示（3）作法：將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/BAD的大小

類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型

B'

60y

作輔助線：延長FC到G,使得CG二BE,連接DG

結(jié)論：ADEF之ADGE；EF=BE+CF

【典例今祈】

【類型一：等腰直角三角形角含半角模型】

【典例1】如圖，四邊形ABCD中，ZA=ZBCD=90°,BC=CD,若將△ABC繞著點(diǎn)C

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△EDC.

(1)求證：ZADC+ZCDE^180°；

(2)若AB=3CTM,AC=4A/2cir，求的長；

(3)在(2)的條件下，求四邊形A8C￡)的周長和面積.

【解答】(1)證明：如圖，在四邊形ABC。中，ZA=ZBCD^90°,則/B+NA〃C=

180°.

:將AABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△EOC,

...AABC^AEDC,

：.ZCDE=ZCBA,

：.ZADC+ZCDE^180°；

(2)解：：將△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△即C,

：.AC^EC=4V2cir，AB=ED=3cin,ZAC￡=90°,

,'.AE—,J^AC—8cm,

.\AD=AE-EC=AE-AB=5cm；

(3)解：如圖，連接3D

由（2）知，AD=5cm.

則在直角△ABD中，由勾股定理得到：B￡>=7AB2+AD2^^34.

又,：BC=CD,ZBCD=90°,

:.BC=CD="^L=,

V2

四邊形ABCD的周長為：AB+AD+2BC=3+5+2=8+2；

△ABCg—

四邊形ABC。的面積=A4CE的面積=2AC?C￡=■1X4\/^X4&=16（cm2）.

22

綜上所述，四邊形A2C￡）的周長為（8+2）cm,面積為16”??.

【變式1-1］如圖，RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D、E為BC邊上兩點(diǎn)，NDAE

=45°,過A點(diǎn)作5.AF^AE,連接DRBF.下列結(jié)論：①△ABP四△ACE,

②AD平分/即尸；③若BD=4,CE=3,則AB=6&；④若AB=BE,SAABD=-1^^,

【答案】C

【解答】VAF±AE,

：.ZFAE^90°,

'：ZBAC=90°,

：.ZFAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

：.ZFAB=ZEAC,

U：AB=AC,AF=AE,

：.AABF^AACE(SAS),

故①正確；

VZZ)AE=45°,ZFAE=90°,

：.ZFAD=ZFAE-ZDAE=45°,

：.ZFAD=ZDAEf

\9AD=AD,AF=AE,

：.^FAD^/\EAD(SAS),

：.ZFDA=ZEDA,

???A。平分NEDR

故②正確；

在RtZ\A5C中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZC=45°,BC=aAB,

??,AABF^AACE,

AZABF=ZC=45°,BF=CE=3,

：.ZFBD=ZABF+ZABD=90°,

?*-^=VBF2+BD2=732+42=5,

VAMD^AEAD,

:?FD=ED=5,

：.BC=BD+DE+CE=4+5+3=12f

.\AB=6y/2^

故③正確；

9：AB=BE,ZABE=45°,

：.ZBAE=ZBEA=67.5°,

VZZ)AE=45°,

AZADE=180°-ZDAE-ZAE￡>=67.5°,

???ZADB=ZAEC,

\9AB=AC,ZABE=ZC=45°,

AABD^/\ACE(AAS),

：.BD=CE,

,;BF=CE,

:.BD=BF,

,：ZFBD^90°,

：.DF=42BD,

:.DE=MBD,

SAADE=,\]"^SAABD>

故④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，

故選：C

【變式1-2]如圖，等腰直角三角形A8C中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC

上，且NMAN=45°.若BM=1,CN=3,則MN的長為

By_______

R

c

【解答】解：將△AMB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ACF,連接NF,

:?CF=BM,AF=AM,ZB=ZACF.

:△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,

：.ZB=ZACB=45°,

VZMAN=45°,為

c

???N2VAF=N1+N3=N1+N2=9O°-45°=45°=NNAF,

在△MAN和△剛N中

'AN=AN

,ZMAN=ZFAN

AM=AF

J△MANQ/^FAN,

:?MN=NF,

VZACF=ZB=45°,ZACB=45°,

/.ZFCN=90°,

\'CF=BM=1,CN=3,

...在RL^CFN中，由勾股定理得：MN=NF==A/1Q,

故答案為：Vio.

【類型二：正方形中角含半角模型】

【典例2】(2022春?西山區(qū)校級(jí)月考)如圖，已知正方形ABC。，點(diǎn)E、尸分別是AB、BC

邊上，且/￡￡甲=45°,將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.

(1)求證：AEDF名AMDR

(2)若正方形ABC。的邊長為5,AE=2時(shí)，求取的長？

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABC。是正方形，

AZA=ZB=ZDCF=90°,AD=AB=BC=5,

由旋轉(zhuǎn)得：

ZA=ZDCM=90a,DE=DM,ZEDM=9Qa,

AZDCF+ZDCM=180°,

：.F,C、M三點(diǎn)在同一條直線上，

,：ZEDF=45°,

ZFDM=ZEDM-ZEDC=45°,

ZEDF=FDM,

,:DF=DF,

:AEDF沿AMDF(SAS)；

⑵設(shè)CF=x,

：.BF=BC-CF=5-x,

由旋轉(zhuǎn)得：AE=CM=2,

：.BE=AB-AE=3,FM=CF+CM=2+x,

'：AEDF咨4MDF,

：.EF^FM^2+x,

在RtAiEBF中，BE1+BF2=EF2,

/.9+(5-x)2=(2+x)2,

?r=15

7

'.EF=2+x=^-,

7

.?.E尸的長為空.

7

【變式2-1](2022春?路北區(qū)期末)如圖，在邊長為6的正方形ABC。內(nèi)作/瓦1尸=45°,

AE交8C于點(diǎn)E,AE交C。于點(diǎn)八連接ER將△A。尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

ABG.

(1)求證：GE=FE；

【解答】(1)證明：?..將△&￡)/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,

AADF^AABG,

：.DF=BG,ZDAF=ZBAG,

,.,ZDAB=90°,Z￡AF=45°,

：.ZDAF+ZEAB^45°,

：.ZBAG+ZEAB=45°,

ZEAF=ZEAG,

在△EAG和△￡4尸中，

'AG=AF

，ZEAG=ZEAF>

AE=AE

：./\EAG^/\EAF(SAS),

:.GE=FE,

(2)解：設(shè)尤，貝!IGE=2G+2E=3+x,CE=6-x,

/.EF=3+x,

?:CD=6,DF=3,

：.CF=3,

VZC=90°,

:.(6-x)2+32=(3+x)2,

解得，x=2,

即BE=2,

【變式2-2](2021秋?山西期末)閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45。的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)

構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：

如圖1,在正方形中，以A為頂點(diǎn)的NEAF=45°,AE,A尸與8C、CO邊分別交

于E、P兩點(diǎn).易證得E尸=2E+FD

大致證明思路：如圖2,將△AO尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到由/”8E=180°

可得X、B、E三點(diǎn)共線，ZHAE=ZEAF^45°,進(jìn)而可證明即會(huì)/XAER故跖=

BE+DF.

圖1圖2圖3

如圖3,在四邊形ABC。中，AB^AD,/B=/D=90°,ZBAD=120°,以A為頂點(diǎn)

的/EAF=60°,AE、AF與8C、CD邊分別交于E、尸兩點(diǎn).請(qǐng)參照閱讀材料中的解題

方法，你認(rèn)為結(jié)論EF=BE+DF是否依然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，

請(qǐng)說明理由.

【解答】解：成立.

證明：將△AOF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ASM,

AAABM^AADF,NA2M=ND=90°,ZMAB=ZFAD,AM^AF,MB=DF,

：./MBE=ZABM+ZABE=180°,

：.M,B、E三點(diǎn)共線，

AZMAE=ZMAB+ZBAE=ZFAD+ZBAE=ZBAD-NE4p=60°,

：.ZMAE=ZFAE,

\'AE=AE,AM=AF,

：.(SAS),

：.ME=EF,

：.EF=ME=MB+BE=DF+BE.

圖3

【典例3】已知正方形ABCD中，ZMAN=45°,/MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分

別交CB,DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M,N,A乩LMN于點(diǎn)H.

圖①圖②圖③

（1）如圖①，當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí),請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)

系：

（2）如圖②，當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到8MHDV時(shí),（1）中發(fā)現(xiàn)的A4與A8的數(shù)量關(guān)

系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明;

（3）如圖③，已知NMAN=45°,于點(diǎn)H,且Affl=2,AH=6,求NX的長.（可

利用（2）得到的結(jié)論）

【解答】解：（1）：正方形ABC。,

：.AB^AD,/B=ND=NBAD=90°,

在RtAABM和RtAADN中,

RtAABM^RtAADN(SAS),

：.ZBAM=ZDAN,AM=AN,

'：ZMAN=45°,

AZBAM+ZDAN=45°,

：.ZBAM=ZDAN=22.5°,

VZMAN^45°,AM^AN,AHLMN

：.ZMAH=ZNAH=22.5°,

：.ZBAM=/MAH,

在RtAABM和Rt^AHM中,

，ZBAM=ZMAH

<ZB=ZAHM，

AM=AM

/.RtAABM^RtAAHM(A4S),

：.AB=AH,

故答案為：AB=AH；

(2)AB=A8成立，理由如下：

延長CB至E,使BE=DN,如圖：

.四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZD=ZABE=90°,

RtAAEB^RtAAA?(SAS),

：.AE=AN,ZEAB=ZNAD,

VZDAN+ZBAM^45°,

/.ZEAB+ZBAM=45°,

：.ZEAM=45°,

：.ZEAM=ZNAM=45a,

又AM=AM,

：.AA￡M^AA2VM(SAS),

'：AB,AH是△AEM和△AMW對(duì)應(yīng)邊上的高,

：.AB=AH.

(3)分別沿AM,AN翻折和AAA反，得到△ABM和△AND,分別延長BM和

ON交于點(diǎn)C,如圖：

?.,沿AM,A2V翻折△AM”和得到△ABM和△AN。，

.?.AB=AH=A￡>=6,ZBAD^2ZMAN^90°,ZB=ZAHM=90°=NAHN=ND,

四邊形ABC。是正方形，

AH=AB=BC=CD=AD=6.

由(2)可知，設(shè)NH=x,貝l]MC=2C-BM=BC-HM=4,NC=CD-DN=CD-NH=

6-x,

在RtZJWCN中，由勾股定理，得M^uMC^+NC?,

(2+x)2=42+(6-x)2,

解得無=3,

:.NH=3

【變式31】探究：

(1)如圖1,在正方形48CD中，E、尸分別是BC、C。上的點(diǎn)，且/E4P=45°,試

判斷8E、與跖三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；

(2)如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)?在四邊形A2CZ)中，A2=AZ),ZB+ZD=180°,

E、廠分別是邊BC、C。上的點(diǎn)，且,則(1)問中的結(jié)論是否仍然

2

成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)在(2)問中，若將斯繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別￡、尸運(yùn)動(dòng)到BC、CD延

長線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則(1)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)

給出結(jié)論并予以證明.

【解答】解：⑴如圖1,將△4￡>/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使A。與重合，得到,

VZ￡AF=45°,

：.ZEAF'=ZEAF=45°,

在斯和△?!￡1尸'中，

'AF=AF'

<ZEAF7=ZEAF-

AE=AE

:.△AEQAAEF'(SAS),

:.EF=EF',

又EF'=BE+BF'=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

(2)結(jié)論所=2E+D/仍然成立.

理由如下：如圖2,將△A。/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABP',

貝l|△AZ)/絲△ABF',

ZBAF'=ZDAF,AF'=AF,BF'=DF,/ABF'=ZD,

2

ZEAF=NDAF+NBAE=ZBAE+ZBAF',

AZEAF=ZEAF',

又?.,NABC+/O=180°,

:.NABF'+ZABE=180°,

：.F'>B、E三點(diǎn)共線，

在與△AEP中，

'AF=AF'

-ZEAF=ZEAFy，

AE=AE

△A￡F^AA￡F,(SAS)，

：.EF=EF',

又,：EF=BE+BF',

:.EF=BE+DF；

(3)發(fā)生變化.EF、BE、。尸之間的關(guān)系是E/=BE-￡>E

理由如下：如圖3,將AA。尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AO與重合，點(diǎn)F落在BC上點(diǎn)

F,處，得至！J△ABP,

：./\ADF^^\ABF',

/.ZBAF'=ZDAF,AF'=AF,BF'=DF,

又且=NDAF,

2

：.ZF'AE=ZBAD-(ZBAF'+ZEAD)=ABAD-(ZDAF+ZEAD)=ZBAD-Z

FAE=NFAE,

即/AE=ZFAE,

，研，=AF

在△尸'AE與△於E中，，NF'AE=ZFAE>

AE=AE

△尸'AE^/\FAE(SAS),

：.EF=EF',

又,：BE=BF'+EF',

：.EF'=BE-BF',

即EF=BE-DF.

圖1

【變式3-2］已知：如圖邊長為2的正方形ABCD中，/MAN的兩邊分別交BC、CD邊于

M,N兩點(diǎn)，且NMAN=45

①求證：MN=BM+DN；

②若AM、AN交對(duì)角線2。于E、尸兩點(diǎn).設(shè)3尸=?DE=x,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

【解答】(1)證明：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM',

AZM1AN=ZDAN+ZMAB=45a,AM1=AM,BM=DM',

'：M'AN=NMAN=45°,AN=AN,

:.AAMN咨4AM'N',

：.MN=NM',

：.M'N=M'D+DN=BM+DN,

:.MN=BM+DN.

(2)解：VZAED=45°+ZBAE,ZFAB=45°+ZBAE,

：.ZAED=ZFAB,

/ABF=ZADE,

：.ABE4s

?BF=AB

"ADDE"

?y_=2_

2x

V

R\fC

【類型三：等邊三角形中120。含60°的半角模型】

【典例4】已知在△ABC中，AB=AC,D,E是邊上的點(diǎn)，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得

到△AC。，連接OE.

(I)如圖1,當(dāng)NBAC=120°,ZDAE^60°時(shí)，求證：DE=DE；

(II)如圖2,當(dāng)。七時(shí)，請(qǐng)寫出/D4E與/BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(III)當(dāng)/BAC=90°,DE=D'E,EC=C。時(shí)，請(qǐng)直接寫出8。與DE的數(shù)量關(guān)系(不

必說明理由).

【解答】(1)證明：：將△A3。繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△ACU,

：.AD=AD',ACAD'=BAD,

VZBAC=120°,ZDAE=60°,

ZD'AE=ZCAD'+ZCAE

=ZBAD+ZCAE

=ABAC-ADAE

=120°-60°

=60°,

NDAE=ZD'AE,

在△ADE'與△&￡>￡■中，

rAD=ADy

<ZDAE=ZDZAE-

AE=AE

?.AADE^AAD'E(SAS),

J.DE^D'E；

(II)解：ZDA￡=1Z/BAC，理由如下:

在△AOE與△ADE中,

AADE^AAD'E(SSS),

I.NDAE=ZD'AE,

：.NBAD+/CAE=ZCAD'+ZCAE=ZD'AE=ZDAEf

.\ZDAE=12/BAC；

(III)解：DE=MBD,理由如下：

VZBAC=90°,AB=AC,

.,.ZB=ZAC￡>=45°,

：.ZECD=90°,

'CEC^CD',

是等腰直角三角形，

:.D'E=MCD'=BD,

\'DE=D'E,

:.DE=?BD.

【變式4-1](2017秋?錦江區(qū)期末)在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)E,F是邊BC所在直線上

與點(diǎn)2,C不重合的兩點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)NBAC=90°,/EA尸=45°時(shí)，直接寫出線段BE,CF,跖的數(shù)量關(guān)

系；(不必證明)

(2)如圖2,當(dāng)NBAC=60°,ZEAF=30°時(shí)，已知8E=3,CF=5,求線段EF的長

度；

(3)如圖3,當(dāng)NA4c=90°,/胡尸=135°時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段。￡,BF,E尸的數(shù)量關(guān)系，

并證明.圖1圖2圖3

【解答】解：(1)結(jié)論：EF2=BE2+CF2.

理由：VZBAC=90°,AB^AC,

...將△A2E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG,連接尸G,如圖1中，

圖1

：.AG=AE,CG=BE,ZACG=ZB,NEAG=90°,

ZFCG=ZACB+