專題09圓重點分析圓的基本性質(zhì)是中考考查的重點，常以選擇題，填空題和解答題考查為主；其中選擇題和填空題的難度不會太大，對應(yīng)用、創(chuàng)新、開放探究型題目，會根據(jù)當前的政治形勢、新聞背景和實際生活去命題，進一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來于生活，又應(yīng)用于生活。難點解讀難點一：圓的有關(guān)概念圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所形成的圖形叫圓。這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點：在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。備注：圓心確定圓的位置，半徑長度確定圓的大小。【補充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A,B為端點的弧記作，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距。難點二：弧長，扇形與圓錐的有關(guān)計算設(shè)QUOTE/的半徑為R，QUOTE/圓心角所對弧長為l，弧長公式：QUOTE/（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)）扇形面積公式：QUOTE/圓錐的側(cè)面積公式：(其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑)母線的概念：連接圓錐頂點和底面圓周任意一點的線段。圓錐體表面積公式：QUOTE/（l為母線）【備注】1）圓錐的表面積=扇形面積=底面圓面積2）扇形的弧長為圓錐的底面圓周長2πR難點三：陰影部分面積的計算求陰影部分面積的幾種常見方法：1）公式法；2）割補法；3）拼湊法；4）等積變形構(gòu)造方程法；5）去重法。難點四：正多邊形與圓正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形。正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距?！窘忸}思路】1.正邊形半徑、邊心距和構(gòu)成直角三角形。2.已知其中兩個值，第三個值可以借助勾股定理求解。正多邊形的對稱性：1）正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。2）一個正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．對稱中心就是這個正多邊的中心?！拘〗Y(jié)】正n變形的內(nèi)角為，外角為，中心角為內(nèi)角和為（n-2）×180°。真題演練1.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，P是弦AB上的一個動點（不與A，B重合），下列符合條件的OP的值是（）A.6.5 B.5.5 C.3.5 D.2.5【答案】C【解析】連接OB，作OM⊥AB與M．根據(jù)垂徑定理和勾股定理，求出OP的取值范圍即可判斷．【詳解】解：連接OB，作OM⊥AB與M．∵OM⊥AB，∴AM=BM=AB=4，在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，∴．∴，故選：C．【點撥】本題考查了垂徑定理、勾股定理，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解．2.如圖，半圓O的直徑，將半圓O繞點B順針旋轉(zhuǎn)得到半圓，與AB交于點P，則圖中陰影部分的面積為（）A. B.C.8π D.【答案】A【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明是等腰直角三角形，再由結(jié)合扇形面積公式及三角形面積公式解題即可.【詳解】解：由題意得，是等腰直角三角形故選：A.【點撥】本題考查扇形的面積等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.3.如圖，的直徑為26，弦的長為24，且，垂足為，則的長為（）A.25 B.8 C.5 D.13【答案】B【解析】連接OA，由垂徑定理得到M為AB中點，求出AM的長，在直角三角形AOM中，利用勾股定理求出OM的長，再由求出CM的長即可．【詳解】解：連接OA．∵直徑，，∴,在中，,,根據(jù)勾股定理得：．則故選：B．【點撥】此題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．4.如圖，點，，，在上，是的一條弦，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】連接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根據(jù)點D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形OCD中利用三角函數(shù)即可求出答案．【詳解】連接CD，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴，∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD=，故選：D．【點撥】本題考查了圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數(shù)的定義；熟練掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．5.如圖，已知是的直徑，與相切于點，連接，．若，則的值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥BC，設(shè)BC＝x，AC＝3x，根據(jù)勾股定理得到AB＝，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵，∴設(shè)BC＝x，AC＝3x，∴AB=∴OB＝AB＝，∴tan∠BOC＝，故選C．【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6.如圖，是的直徑，點，在上，，交于點．若．則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先根據(jù)圓周角定理得到∠，再根據(jù)等弧所對的弦相等，得到，∠，最后根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．【詳解】解：∵是的直徑∴∠∵∴∴∠∵∴∠∴∠∴∠故選：B．【點撥】此題主要考查圓周角定理和弧、弦及圓周角之間的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理和三者之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．7.如圖，扇形中，，平分交于點，點，分別是，上的動點，若，當最小時陰影部分的面積為_____________．【答案】．【解析】當A.D.E三點共線時，AE取得最小值，，算出和即可求．【詳解】解∶連接AD，∵OC平分∠AOB∴扇形BOC與扇形AOC關(guān)于OC對稱∴BD+DE=AD+DE即：當A.D.E三點共線時，AD+DE取得最小值A(chǔ)E∴當AE⊥OB時，AE取得最小值∵∠AOB=60°，則OE=OAcos60°=∵OA=OB=∴OE=BE∵DE⊥OB，OE=BE∴△BDO為等腰三角形，OD=BD，∠DOB=∠DBO=30°∴DE=OEtan30°=1∴．故答案為：【點撥】本題主要考查最值問題與圖形面積，三角函數(shù)的使用與計算，了解三點共線時線段和最小是解題的關(guān)鍵．8.如圖，以為直徑作為圓周上的點，，若點為垂直平分線上的一動點，則陰影部分周長的最小值為_________．【答案】【解析】根據(jù)CD固定求出PC+PD最小時陰影部分周長的最小，再利用對稱性即可求最小值.【詳解】解：∵長為定值∴當PC+PD最小時陰影部分周長的最小.如圖,連接BD，BD與MN的交點,即為點P．∵，∴∠BAD=120°．∵AB=AD=1，∴∠ABD=∠ADB=30°，過點A作AE上BD于點E，在Rt△ABE中，BE=AB·cos30°=∴BD=2BE=，∵MN是BC的垂直平分線，∴BP=PC，∴PC+PD=BP+PD=BD=，即PC+PD的最小值為，連接OD，∵∠ABC=60°，∠ABD=30°，∴∠DBC=30°∴∠DOC=60°∴OD=OC=1，∴∴陰影部分周長的最小值為【點撥】本題考查圓中弧長計算，解題的關(guān)鍵是看出PC+PD最小時陰影部分周長的最小.9.如圖，等邊三角形的邊長為2，以為圓心，1為半徑作圓分別交，邊于，，再以點為圓心，長為半徑作圓交邊于，連接，，那么圖中陰影部分的面積為________.【答案】.【解析】過作于，于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角形的面積和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】過A作于，于，等邊三角形的邊長為2，，，，，，圖中陰影部分的面積，故答案為．【點撥】本題考查了扇形的面積的計算，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以O(shè)B為直徑作半圓，圓心為點C，過點C作OA的平行線分別交兩弧點D.E，則陰影部分的面積為_____．【答案】π﹣2【解析】根據(jù)題意和圖形，作出合適的輔助線，即可求得陰影部分的面積．【詳解】解：連接OE，如圖，∵CE∥OA，∴∠BCE=90°，∵OE=4，OC=2，∴CE=OC=2，∴∠CEO=30°，∠BOE=60°，∴S陰影部分=S扇形BOE﹣S△OCE﹣S扇形BCD=﹣×2×2﹣=π﹣2．故答案為π﹣2【點撥】本題考查扇形面積的計算、等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB過點，，（O為坐標原點）的半徑為1，點P在直線AB上，過點P作的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為_______．【答案】．【解析】連接OP．根據(jù)勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，當OP⊥AB時，線段OP最短，即線段PQ最短．【詳解】解：連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵當PO⊥AB時，線段PQ最短；又∵A（﹣2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，∴AB＝，∴OP＝AB＝2，∴PQ＝．故答案為：．【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識點．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角來解決有關(guān)問題．12.在中，為直徑，為上一點．（Ⅰ）如圖①，過點作的切線，與的延長線相交于點，若，求的大??；（Ⅱ）如圖②，為優(yōu)弧上一點，且的延長線經(jīng)過的中點，連接與相交于點，若，求的大小．【答案】（Ⅰ）26°；（Ⅱ）69°．【解析】（Ⅰ）連接OC，如圖①，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCP=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠CAB=32°，則利用三角形外角性質(zhì)可計算出∠POC，然后利用互余計算∠P的度數(shù)；（Ⅱ）如圖②，根據(jù)垂徑定理的推論，由點E為AC的中點得到OD⊥AC，則利用三角形外角性質(zhì)得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106°，再根據(jù)圓周角定理得到，然后利用三角形外角性質(zhì)可計算出∠DPA的度數(shù)．詳解】（Ⅰ）連接，如圖①，為切線，，，，，，；（Ⅱ）如圖②，點為的中點，，，，，．【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了垂徑定理和圓周角定理．13.如圖，AB為的直徑，CD是弦，且于點E，連接AC,OC,BC．（1）求證：．（2）若，，求的直徑．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，可求得，又因為是等腰三角形，即可求證；（2）設(shè)的半徑為，則，，利用垂徑定理得到，在中，利用勾股定理即可得到的半徑為，進而即可得到直徑．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）設(shè)的半徑為，∴，，∵，∴，在中，，即，，解得，，所以直徑為．【點撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等、垂徑定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握運用以上知識點．14.如圖，等邊三角形內(nèi)接于，是上一動點，連接，，，延長到點，使，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）填空：①若，，則的長為____________；②當?shù)亩葦?shù)為_________時，四邊形為菱形．【答案】（1）證明見解析；（2）①3；②30°．【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根據(jù)圓周角定理可得∠CBD=∠CAD，∠ABC=∠ADC，根據(jù)角的和差關(guān)系及外角性質(zhì)可得∠ABD=∠ACE，利用SAS可證明△ABD≌△ACE，可得AD=AE，即可得△ADE是等邊三角形；（2）①根據(jù)線段的和差關(guān)系可得DE的長，由（1）可知△ADE是等邊三角形，可得AD=DE，即可得答案；②如圖，連接OB.OC，根據(jù)圓周角定理可知∠BOC=2∠BAC=120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OCB=30°，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠BCD=30°，根據(jù)圓周角定理可得∠BAD=∠BCD=30°，可得答案．【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠CBD與∠CAD是所對的圓周角，∴∠CBD=∠CAD，同理可得：∠ABC=∠ADC=60°，∵∠ACE=∠CAD+∠ADC，∴∠ACE=∠ABC+∠CBD=∠ABD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴△ADE是等邊三角形．（2）①∵BD=CE=1，DE=CD+CE，CD=2，∴DE=3，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=DE=3．故答案為：3②如圖，連接OB.OC，∵∠BAC和∠BOC分別是所對的圓周角和圓心角，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OCB=30°，∵四邊形為菱形，∴∠BCD=∠OCB=30°，∵∠BAD和∠BCD都是所對的圓周角，∴∠BAD=∠BCD=30°，∴當?shù)亩葦?shù)為30°時，四邊形為菱形．故答案為：30°【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)及菱形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．15.古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長AB至點C，使BC＝OB，點E是線段OB的中點，DE⊥AB交⊙O于點D，點P是⊙O上一動點（不與點A，B重合），連接CD，PE，PC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)是一個確定的值．回答這個確定的值是多少？并對小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明．【答案】（1）見解析；（2），解析【解析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）連接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等邊三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)可得∠CDB＝30°，從而可得∠ODC＝90°，所以O(shè)D⊥CD，所以CD是⊙O的切線；（2）連接OP，由已知條件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“兩組邊成比例，夾角相等”證明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如答圖，連接OD，DB，∵點E是線段OB的中點，DE⊥AB交⊙O于點D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等邊三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE為△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）這個確定的值是．證明：如答圖，連接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在△ACE中，AC＝CE，⊙O經(jīng)過點A，C且與邊AE，CE分別交于點D，F(xiàn)，點B是上一點，且＝，連接AB，BC，CD．（1）求證：△CDE≌△ABC；（2）若AC為⊙O的直徑，填空：①當∠E＝_______時，四邊形OCFD為菱形；②當∠E＝_______時，四邊形ABCD為正方形．【答案】（1）見解析；（2）①60°；②45°．【解析】（1）先判斷出，進而得出，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出點是的中點，再利用，點是的中點，即可得出，即可得出結(jié)論；②先判斷出，，進而得出，再判斷出，即可得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴∠DCE＝∠BAC，∵∠CDE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，∴△CDE≌△ABC(AAS)；（2）如圖1，①連接，是直徑，，，四邊形是菱形，，，，（經(jīng)過三角形一邊的中點平行于一邊的直線必平分第三邊），，（經(jīng)過三角形一邊的中點平行于一邊的直線必平分第三邊），，（垂直平分線上的點到兩端點的距離相等），，，是等邊三角形，∴；②四邊形是正方形，，，，，，，，，是等腰直角三角形．∴．【點撥】本題是圓的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和等腰直角三角形的判定，三角形的中位線，判斷出是解本題的關(guān)鍵．17.如圖，已知∠MAN，按下列要求補全圖形．（要求利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）①在射線AN上取點O，以點O為圓心，以O(shè)A為半徑作⊙O分別交AM、AN于點C.B；②在∠MAN的內(nèi)部作射線AD交⊙O于點D，使射線AD上的各點到∠MAN的兩邊距離相等，請根據(jù)所作圖形解答下列問題；（1）連接OD，則OD與AM的位置關(guān)系是，理論依據(jù)是；（2）若點E在射線AM上，且DE⊥AM于點E，請判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系；（3）已知⊙O的直徑AB＝6cm，當弧BD的長度為cm時，四邊形OACD為菱形．【答案】（1）平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）相切，理由見解析；（3）π【解析】（1）根據(jù)角平分線的定義、圓的性質(zhì)可得，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可得證；（2）利用切線的定義即可判定；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)、圓的半徑相等可得是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得，可得，利用弧長公式即可求解．【詳解】解：補全圖形如下：；（1），∵根據(jù)作圖可知AD平分∠MAN，∴，∵，∴，∴，∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；（2）相切，理由如下：∵DE⊥AM，，∴，∴直線DE與⊙O相切；（3）∵四邊形OACD菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．【點撥】本題考查尺規(guī)作圖、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長公式等內(nèi)容，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18.如圖，在中，，，以邊上上一點為圓心，OA為半徑作，恰好經(jīng)過邊的中點，并與邊相交于另一點．（1）求證:是的切線．（2）若，是半圓上一動點，連接，，．填空：①當?shù)拈L度是________時，四邊形是菱形；②當?shù)拈L度是___________時，是直角三角形．【答案】（1）見解析（2）①②或【解析】（1）首先連接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點D，易得AB=BD，繼而證得∠ODB=∠BAC=90°，即可證得結(jié)論；（2）①易得當DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度數(shù)，半徑OD的長，則可求得答案；②分別從∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵在中，，，∴，∵是的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴是的切線.（2）解：①當DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形；如圖2，設(shè)DE交AC于點M，連接OE，則DE=2DM，∵∠C=30°，∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，∵∠BAC=90°，∴DE∥AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵AB=BD，∴四邊形ABDE是菱形；∵AD=BD=AB=CD=BC=，∴△ABD是等邊三角形，OD=CD?tan30°=1，∴∠ADB=60°，∵∠CDE=90°-∠C=60°，∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°，∴∠AOE=2∠ADE=120°，∴的長度為：；故答案為：；②若∠ADE=90°，則點E與點F重合，此時的長度為：=π；若∠DAE=90°，則DE是直徑，則∠AOE=2∠ADO=60°，此時的長度為：π；∵AD不是直徑，∴∠AED≠90°；綜上可得：當?shù)拈L度是π或π時，△ADE是直角三角形．故答案為：π或π．【點撥】本題屬于圓的綜合題．考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及弧長公式等知識．注意準確作出輔助線，利用分類討論思想求解是解題的關(guān)鍵．19.如圖，是的直徑，是半圓上任意一點，連接并延長到點，使得，連接，點是弧的中點．（1）證明：．（2）①當時，是直角三角形；②當時，四邊形是菱形．【答案】（1）見解析；（2）①135，②60【解析】（1）根據(jù)，，可證得；（2）①根據(jù)是直角三角形，可得，由，可求出的度數(shù)；②由四邊形是菱形可得，均為等邊三角形，則，得，即可求出.【詳解】（1）是的直徑，，又，，；（2）①∵是直角三角形，，，，；②∵四邊形是菱形，，∴，均為等邊三角形，∴，∵，，，．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊行的性質(zhì)，靈活運用