數(shù)學代數(shù)函數(shù)與概率統(tǒng)計應(yīng)用一、代數(shù)函數(shù)1.1函數(shù)概念：函數(shù)是一種關(guān)系，使得一個集合（定義域）中的每個元素都對應(yīng)著另一個集合（值域）中的一個元素。1.2函數(shù)的表示方法：（1）列表法：將自變量和對應(yīng)的函數(shù)值列成表格。（2）解析法：用公式或方程來表示函數(shù)的關(guān)系。1.3函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)性：函數(shù)在定義域內(nèi)遞增或遞減。（2）奇偶性：函數(shù)關(guān)于原點對稱。（3）周期性：函數(shù)值在某個區(qū)間內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)。1.4一次函數(shù)：形式為y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)。1.5二次函數(shù)：形式為y=ax^2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)。1.6函數(shù)圖像：一次函數(shù)的圖像為直線，二次函數(shù)的圖像為拋物線。二、概率統(tǒng)計2.1隨機事件：在相同條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。2.2概率：隨機事件發(fā)生的可能性。2.3古典概率：在所有可能結(jié)果中，滿足條件的結(jié)果數(shù)目與總結(jié)果數(shù)目的比值。2.4條件概率：在已知某個事件發(fā)生的條件下，另一個事件發(fā)生的可能性。2.5統(tǒng)計量：用來描述一組數(shù)據(jù)特征的量。2.6平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)個數(shù)。2.7中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)從小到大排列后，位于中間位置的數(shù)。2.8眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。2.9方差：衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量。2.10標準差：方差的平方根，衡量一組數(shù)據(jù)離散程度的量。2.11概率分布：隨機變量取各種可能值的概率。2.12期望值：隨機變量取各種可能值的加權(quán)平均值。2.13variance：衡量隨機變量取值離散程度的量。三、數(shù)學應(yīng)用3.1線性方程的應(yīng)用：解決實際問題中的等量關(guān)系。3.2函數(shù)模型的應(yīng)用：建立函數(shù)模型，解決實際問題。3.3概率統(tǒng)計的應(yīng)用：分析數(shù)據(jù)，做出決策。3.4應(yīng)用題：結(jié)合實際問題，運用數(shù)學知識進行解答。習題及方法：一、代數(shù)函數(shù)習題已知一次函數(shù)y=2x-1，求證：對于任意實數(shù)x，函數(shù)值y的符號與x的符號相同。（1）分析一次函數(shù)的斜率k=2>0，說明函數(shù)隨著x的增大而增大。（2）當x>0時，y=2x-1>0；當x<0時，y=2x-1<0。（3）因此，對于任意實數(shù)x，函數(shù)值y的符號與x的符號相同。已知二次函數(shù)y=x^2-4x+4，求證：該函數(shù)的圖像是一個開口向上的拋物線。（1）分析二次函數(shù)的a=1>0，說明拋物線開口向上。（2）計算頂點坐標：x=-b/(2a)=2，y=c-(b^2)/(4a)=4-4=0，頂點坐標為(2,0)。（3）因此，該函數(shù)的圖像是一個開口向上的拋物線。已知函數(shù)y=|x-1|，求解方程y=3。（1）根據(jù)絕對值的定義，當x-1≥0時，y=x-1；當x-1<0時，y=-(x-1)。（2）分兩種情況討論：情況一：x-1=3，解得x=4；情況二：-(x-1)=3，解得x=-2。（3）因此，方程y=3的解為x=4或x=-2。二、概率統(tǒng)計習題拋擲一枚硬幣兩次，求恰好出現(xiàn)一次正面的概率。（1）列舉所有可能結(jié)果：正正、正反、反正、反反。（2）其中，恰好出現(xiàn)一次正面的結(jié)果有：正反、反正。（3）因此，恰好出現(xiàn)一次正面的概率為2/4=1/2。某班級有30名學生，已知其中12名學生喜歡打籃球，15名學生喜歡打足球，5名學生既喜歡打籃球又喜歡打足球。求該班級中喜歡打籃球或足球的學生人數(shù)。（1）根據(jù)容斥原理，喜歡打籃球或足球的學生人數(shù)為：喜歡打籃球的學生人數(shù)+喜歡打足球的學生人數(shù)-同時喜歡打籃球和足球的學生人數(shù)。（2）代入數(shù)據(jù)得：12+15-5=22。（3）因此，該班級中喜歡打籃球或足球的學生人數(shù)為22人。某商店進行打折促銷活動，滿100元減30元，滿200元減60元，求購買一件270元的商品實際支付的金額。（1）根據(jù)促銷活動規(guī)則，購買270元的商品，滿足滿200元減60元的條件。（2）實際支付金額為：原價-優(yōu)惠金額=270-60=210元。三、數(shù)學應(yīng)用習題已知某班級有男生和女生共50人，男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍。求該班級中女生的人數(shù)。（1）設(shè)女生人數(shù)為x，男生人數(shù)為3x。（2）根據(jù)題意，男生和女生人數(shù)之和為50，即：x+3x=50。（3）解方程得：x=50/4=12.5。（4）因為人數(shù)必須是整數(shù)，所以女生人數(shù)為12人。一輛汽車從甲地出發(fā)，以60km/h的速度行駛，行駛3小時后到達乙地。求甲地到乙地的距離。（1）根據(jù)速度、時間和路程的關(guān)系，路程=速度×時間。（2）代入數(shù)據(jù)得：路程=60km/h×3h=180km。（3）因此，甲地到乙地的距離為180km。某商店購進一批商品，每件成本為10元，售價為15元。若商店賣出80%的商品后，剩余商品打8折出售。求商店賣出這批其他相關(guān)知識及習題：一、代數(shù)函數(shù)的拓展已知函數(shù)y=ax^2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），求證：函數(shù)的圖像是一個開口向上（a>0）或開口向下（a<0）的拋物線。（1）根據(jù)二次函數(shù)的a值判斷拋物線的開口方向。（2）當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。（3）利用頂點坐標公式，計算頂點的橫坐標x=-b/(2a)，縱坐標y=c-(b^2)/(4a)，可得頂點坐標。已知一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖像與y軸交于點(0,b)，求證：該函數(shù)的圖像是一條直線。（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義，函數(shù)圖像是一條直線。（2）直線與y軸的交點為(0,b)，即可得直線在y軸上的截距。（3）直線在坐標平面上的任意兩點確定一條直線，因此一次函數(shù)的圖像是一條直線。二、概率統(tǒng)計的拓展某班級有男生和女生共60人，男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍。學期末，男生中有40%的學生參加了數(shù)學競賽，女生中有30%的學生參加了數(shù)學競賽。求該班級參加數(shù)學競賽的學生人數(shù)。（1）設(shè)女生人數(shù)為x，男生人數(shù)為3x。（2）根據(jù)題意，男生和女生人數(shù)之和為60，即：x+3x=60。（3）解方程得：x=60/4=15。（4）男生人數(shù)為3x=45。（5）參加數(shù)學競賽的男生人數(shù)為45×40%=18，女生人數(shù)為15×30%=4.5。（6）因此，該班級參加數(shù)學競賽的學生人數(shù)為18+4.5=22.5。某商店購進一批商品，每件成本為10元，售價為15元。若商店賣出80%的商品后，剩余商品打8折出售。求商店賣出這批商品后的盈利。（1）設(shè)商店購進的商品件數(shù)為n。（2）賣出80%的商品，即賣出0.8n件。（3）剩余20%的商品，即剩余0.2n件。（4）打8折出售的商品售價為15×80%=12元。（5）商店賣出0.8n件商品的收入為：15×0.8n=12n。（6）剩余0.2n件商品的收入為：12×0.2n=2.4n。（7）商店總收入為：12n+2.4n=14.4n。（8）商店的總成本為：10n。（9）盈利為：總收入-總成本=14.4n-10n=4.4n。三、數(shù)學應(yīng)用的拓展已知某班級有男生和女生共36人，男生人數(shù)比女生多20%。求該班級中男生和女生的人數(shù)。（1）設(shè)女生人數(shù)為x，男生人數(shù)為36-x。（2）根據(jù)題意，男生人數(shù)比女生多20%，即：男生人數(shù)=女生人數(shù)+20%×女生人數(shù)。（3）代入數(shù)據(jù)得：36-x=x+