例題精講例題精講【例1】．定義一種新運(yùn)算：，例如．若，則k＝．變式訓(xùn)練【變1-1】．定義：對(duì)于實(shí)數(shù)a，符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，則x的取值范圍是（）A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7【變1-2】．規(guī)定：符號(hào)[x]叫做取整符號(hào)，它表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：[5]＝5，[2.6]＝2，[0.2]＝0．現(xiàn)在有一列非負(fù)數(shù)a1，a2，a3，…，已知a1＝10，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an﹣1+1﹣5（[]﹣[]），則a2022的值為．【例2】．定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它的加、減、乘法運(yùn)算與整數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：（4+i）+（6﹣2i）＝4+6+i﹣2i＝10﹣i（2﹣i）（3﹣i）＝6﹣2i﹣3i+i2＝6﹣5i﹣1＝5﹣5i根據(jù)以上信息計(jì)算（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝．變式訓(xùn)練【變2-1】．賈憲是生活在北宋年間的數(shù)學(xué)家，著有《黃帝九章算法細(xì)草》《釋鎖算書》等書，但是均已失傳．所謂“賈憲三角”指的是如圖所示的由數(shù)字所組成的三角形，稱為“開方作法本源”圖，也稱為“楊輝三角”．賈憲發(fā)明的“開方作法本源“圖作用之一，是為了揭示二項(xiàng)式（a+b）n（n＝1，2，3，4，5）展開后的系數(shù)規(guī)律，即（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．則二項(xiàng)式（a+b）n（n為正整數(shù)）展開后各項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A．2n﹣1+1 B．2n﹣1+2 C．2n D．2n+1【變2-2】．已知n行n列（n≥2）的數(shù)表中，對(duì)任意的i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，n，都有aij＝0或1．若當(dāng)ast＝0時(shí)，總有（a1t+a2t+…+ant）+（as1+as2+…+asn）≥n，則稱數(shù)表A為典型表，此時(shí)記表A中所有aij的和記為Sn．（1）若數(shù)表，，其中典型表是；（2）典型表中S5的最小值為．1．對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b定義兩種運(yùn)算：a⊕b＝，a?b＝，并且定義運(yùn)算順序仍然是先做括號(hào)內(nèi)的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）?3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）?2＝3?2＝2，則等于（）A． B．3 C． D．22．對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，我們規(guī)定符號(hào)Min{a，b}表示a、b中較小的值，如Min{2，4}＝2，按照這個(gè)規(guī)定，方程Min{}＝的解為（）A．1或3 B．1或﹣3 C．1 D．33．定義：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記做x＝logaN．例如：因?yàn)?2＝49，所以log749＝2；因?yàn)?3＝125，所以log5125＝3．則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，則a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4 B．3 C．2 D．14．我們把稱作二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為＝ad﹣bc．如＝2×5﹣3×4＝﹣2，請(qǐng)你計(jì)算的值為．5．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+1）◎（m﹣2）＝16，則m＝6．設(shè)n為正整數(shù)，記n！＝1×2×3×4×…×n（n≥2），1?。?，則+++…++＝．7．新定義：任意兩數(shù)m，n，按規(guī)定y＝﹣m+n得到一個(gè)新數(shù)y，稱所得新數(shù)y為數(shù)m，n的“愉悅數(shù)”．則當(dāng)m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悅數(shù)”y為正整數(shù)時(shí)，正整數(shù)x的值是．8．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式23＝8可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式3＝log28，對(duì)數(shù)式2＝log636，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式62＝36．計(jì)算log39+log5125﹣log232＝．9．對(duì)于正整數(shù)m，我們規(guī)定：若m為奇數(shù)，則f（m）＝3m+3；若m為偶數(shù)，則f（m）＝．例如f（5）＝3×5+3＝18，f（8）＝＝4．若m1＝1，m2＝f（m1），m3＝f（m2），m4＝f（m3），…，依此規(guī)律進(jìn)行下去，得到一列數(shù)m1，m2，m3，m4，…，mn，…（n為正整數(shù)），則m1+m2+m3+…+m2021＝．10．如圖，把平面內(nèi)一條數(shù)軸x繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜90°）得到另一條數(shù)軸y，x軸和y軸構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系．規(guī)定：過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)A在x軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，點(diǎn)B在y軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為b，則稱有序數(shù)對(duì)（a，b）為點(diǎn)P的斜坐標(biāo)．（1）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的斜坐標(biāo)是；（2）在某平面斜坐標(biāo)系中，已知θ＝60°，點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)N的斜坐標(biāo)是．11．歐拉是18世紀(jì)瑞士著名的數(shù)學(xué)家，他的貢獻(xiàn)不僅遍及高等數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在初等數(shù)學(xué)中也留下了他的足跡．下面是關(guān)于分式的歐拉公式：＝（其中a，b，c均不為零，且兩兩互不相等）．（1）當(dāng)r＝0時(shí)，常數(shù)p的值為．（2）利用歐拉公式計(jì)算：＝．12．任何一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：（s、t是正整數(shù)，且s≤t），如果在n的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6這三種，這時(shí)就有F（18）＝＝．給出下列關(guān)于F（n）的說(shuō)法：①F（2）＝；②F（48）＝；③F（n2+n）＝；④若n非0整數(shù)，則F（n2）＝1，其中正確說(shuō)法的是（將正確答案的序號(hào)填寫在橫線上）．13．對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．請(qǐng)結(jié)合上述材料，解決下列問題：（1）min{sin30°，cos60°，tan45°}；（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值．14．定義為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：＝ad﹣bc．例如：＝5×8﹣6×7＝﹣2．（1）求的值．（2）若＝20，求m的值．15．材料：對(duì)于一個(gè)四位正整數(shù)m，如果滿足百位上數(shù)字的2倍等于千位與十位的數(shù)字之和，十位上數(shù)字的2倍等于百位與個(gè)位的數(shù)字之和，那么稱這個(gè)數(shù)為“相鄰數(shù)”．例如：∵3579中，2×5＝3+7＝10，7×2＝5+9＝14，∴3579是“相鄰數(shù)”．（1）判斷7653，3210是否為“相鄰數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若四位正整數(shù)n＝1000a+100b+10c+d為“相鄰數(shù)”，其中a，b，c，d為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，設(shè)F（n）＝2c，G（n）＝2d﹣a，若為整數(shù)，求所有滿足條件的n值．16．我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．例如：（a+b）0＝1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：（1）（a+b）5展開式共有項(xiàng)，系數(shù)和為．（2）求（2a﹣1）5的展開式；（3）利用表中規(guī)律計(jì)算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中規(guī)律計(jì)算不給分）；（4）設(shè)（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，則a1+a2+a3+…+a16+a17的值為．17．若規(guī)定f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），且m，n為正整數(shù)，例如f（3，1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7．（1）計(jì)算f（4，3）﹣f（3，4）；（2）試說(shuō)明：；（3）利用（2）中的方法解決下面的問題，記a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f（27，2），b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）．①a，b的值分別為多少？②試確定ab的個(gè)位數(shù)字．18．請(qǐng)閱讀以下材料，解決問題．我們知道：在實(shí)數(shù)體系中，一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不可能為負(fù)數(shù)，即a2≥0．但是，在復(fù)數(shù)體系中，如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么形如a+bi（a、b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似，例如計(jì)算：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5＝3i；若兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們的實(shí)部和虛部分別相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等；若它們的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)共軛，如1+2i的共軛復(fù)數(shù)為1﹣2i．根據(jù)材料回答：（1）填空：①（2+i）（3i﹣1）＝；②將m2+9（m為實(shí)數(shù)）因式分解成兩個(gè)復(fù)數(shù)的積：m2+9＝；（2）若a+bi是（1+2i）2的共軛復(fù)數(shù)，求（b﹣a）2022的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值．19．式子“1+2+3+4+…+100”表示從1開始的連續(xù)100個(gè)正整數(shù)的和，由于上述式子比較長(zhǎng)，書寫不方便，為了簡(jiǎn)便起見，可以將上述式子表示為，這里“∑”是求和的符號(hào)．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示為，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示為．（1）把寫成加法的形式是；（2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示為；（3）計(jì)算：．20．好學(xué)的小賢同學(xué)，在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)發(fā)現(xiàn)：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：x?2x?3x＝3x3，常數(shù)項(xiàng)為：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次項(xiàng)是多少呢？要解決這個(gè)問題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)他發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就是：×5×（﹣6）+2×（﹣6）×4+3×4×5＝﹣3，即一次項(xiàng)為﹣3x．請(qǐng)你認(rèn)真領(lǐng)會(huì)小東同學(xué)解決問題的思路，方法，仔細(xì)分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對(duì)多項(xiàng)式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計(jì)算（x﹣5）（3x+1）（5x﹣3）所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為．（2）若計(jì)算（x2+x﹣1）（x2﹣2x+a）（2x+3）所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為2，求a的值；（3）若（x+1）2022＝a0x2022+a1x2021+a2x2020+…+a2021x+a2022，則a2021＝．21．閱讀下列材料．材料一：對(duì)于一個(gè)四位正整數(shù)，如果百位數(shù)字大于千位數(shù)字，且個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱這個(gè)數(shù)是“雙增數(shù)”；如果百位數(shù)字小于千位數(shù)字，且個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字，則稱這個(gè)數(shù)是“雙減數(shù)”．例如：3628、4747是“雙增數(shù)”，5231、9042是“雙減數(shù)”