7.4二項分布與超幾何分布

7.4.1二項分布

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.通過具體實例了解伯努利試驗，掌握

通過學(xué)習(xí)二項分布的概念及研究其數(shù)字

二項分布及其數(shù)字特征.

特征，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.能用二項分布解決簡單的實際問題.

課前預(yù)習(xí)知識探究

新知探究

A情境引入

“三個臭皮匠頂個諸葛亮”是在中國民間流傳很廣的一句諺語，這句諺語是非常

有道理的，下面我們從概率的角度來探討一下這個問題：

假如劉備手下有諸葛亮和9名謀士組成的智囊團(tuán)，假定對某事進(jìn)行決策時，每名

謀士決策正確的概率為0.7,諸葛亮決策正確的概率為0.85,現(xiàn)在要為某事能否

可行征求每位謀士的意見，并按照多數(shù)人的意見作出決策，試比較諸葛亮和智囊

團(tuán)決策正確概率的大小.

問題上述情境中的問題，假如讓你猜想的話，你能得到正確的答案嗎？

提示智囊團(tuán)決策正確的概率要大于諸葛亮決策正確的概率，具體怎么計算的通

過學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容即可解決.

上知識梳理

1.〃重伯努利試驗的概念

只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行

n次所組成的隨機試驗稱為〃重伯努利試驗.

2.〃重伯努利試驗具有如下共同特征

(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；

(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.

3.二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),

用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：

P(X=k)=Cripk(1—p)"~k,k=Q,1,2,…，n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記

作X?8(〃，〃).

4.一般地，可以證明：如果X?8(〃，〃)，那么E(X)=迎，D(X)^np(l-p).

拓展深化

「微判斷］

1.在〃重伯努利試驗中，各次試驗的結(jié)果相互沒有影響.(J)

2.在〃重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發(fā)生的概率可以不同.(X)

提示在〃重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發(fā)生的概率均相同.

3.如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么在〃次獨立重復(fù)試驗中這個

事件恰好發(fā)生2次的概率1(X=A)=CV(l-p)"f,k=Q,1,2,…，〃.(J)

［微訓(xùn)練］

243

2.連續(xù)擲一枚硬幣5次，恰好有3次出現(xiàn)正面向上的概率是.

32

解析設(shè)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)為X,則X?8(5,，，故P(X=3)=C，9(z1一,=

5

16'

答案尚

3.某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中

目標(biāo)的概率為.

解析設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,則X?3(3,0.6).

故P(X22)=P(X=2)+P(X=3)=d0.62(l-0.6)+C^0.63=0.648.

答案0.648

［微思考］

1.你能說明兩點分布與二項分布之間的關(guān)系嗎？

提示兩點分布是特殊的二項分布，即X?8(〃，p)中，當(dāng)”=1時，二項分布便

是兩點分布，也就是說二項分布是兩點分布的一般形式.

2.在〃次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗的結(jié)果相互有影響嗎？

提示在〃次獨立重復(fù)試驗中，各次試驗的結(jié)果相互之間無影響.因為每次試驗

是在相同條件下獨立進(jìn)行的，所以第i+1次試驗的結(jié)果不受前i次結(jié)果的影響(其

中z=l,2,…，〃-1).

■■■課堂互動二:題型剖析刪

題型一〃重伯努利試驗的判斷

【例1】判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：

(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；

(2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；

(3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出

4個白球.

解⑴由于試驗的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是〃重伯努利試驗.

(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是〃重伯努利試驗.

⑶每次抽取時，球的個數(shù)不一樣多，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不

是〃重伯努利試驗.

規(guī)律方法〃重伯努利試驗的判斷依據(jù)

(1)要看該試驗是不是在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行.

(2)每次試驗的結(jié)果相互獨立，互不影響.

【訓(xùn)練1】下列事件：①運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)"與''射中8環(huán)”；

②甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲、乙

兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”；④在

相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo).

其中是“重伯努利試驗的是()

A.①B.②

C.③D.@

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨立事件；④是〃重伯

努利試驗.

答案D

題型二〃重伯努利試驗概率的求法

【例2】某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%,計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2

位)

(1)“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確”的概率；

(2)”5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率.

解(1)記“預(yù)報一次準(zhǔn)確”為事件4則P(A)=0.8.

5次預(yù)報相當(dāng)于5次伯努利試驗.

“恰有2次準(zhǔn)確”的概率為

P=CgX0.82X0.23=0.0512心0.05,

因此5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.

(2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的對立事件為“5次預(yù)報全部不準(zhǔn)確或只有1

次準(zhǔn)確”，其概率為

P=Cgx0.25+Cix0.8x0.24=0.00672.

所以所求概率為1—P=1—0.00672=0.99.

所以“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99.

規(guī)律方法〃重伯努利試驗概率求解的關(guān)注點

(1)解此類題常用到互斥事件概率加法公式，相互獨立事件概率乘法公式及對立

事件的概率公式.

(2)運用n重伯努利試驗的概率公式求概率時，首先判斷問題中涉及的試驗是否

為〃重伯努利試驗，判斷時注意各次試驗之間是相互獨立的，并且每次試驗的結(jié)

果只有兩種(即要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，在任何一次試驗中某一事件發(fā)生的概率

都相等，然后用相關(guān)公式求概率.

3

【訓(xùn)練2】某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率都為本且每

次射擊的結(jié)果互不影響，已知射手射擊了5次，求：

⑴其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)的概率；

⑵其中恰有3次擊中目標(biāo)的概率；

⑶其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒有擊中目標(biāo)的概率.

解(1)該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)，是在確定的情

況下?lián)糁心繕?biāo)3次，也就是在第二、四次沒有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，又

因為各次射擊的結(jié)果互不影響，故所求概率為

⑵該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標(biāo)，符合〃重伯努利試驗概率模型.故

所求概率為

,、3/、2

p=cgx(|)x(i—|)=怨

⑶該射手射擊了5次，其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒有擊中目標(biāo)，

應(yīng)用排列組合知識，把3次連續(xù)擊中目標(biāo)看成一個整體可得共有C3種情況.

32

故所求概率為P=c3x(|)義［1一|)言.

題型三二項分布的均值與方差

【例3］為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物.某

人一次種植了〃株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p,設(shè)X

為成活沙柳的株數(shù)，均值取為為3,標(biāo)準(zhǔn)差吊0(X)為乎.

(1)求〃和〃的值，并寫出X的分布列；

(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率.

解由題意知,X?B(〃,p),P(X=k)=3pk(i—p)n%%=o,］,…，n

(1)由E(X)=〃p=3,￡)(X)=?p(l—p)=|,

得1—從而n=6,p=1.

X的分布列為

X0123456

131551531

P

64326416643264

(2)記“需要補種沙柳”為事件A,則P(A)=P(XW3),

得尸⑷磊+專+卷+若3或P(A)=1—P(X>3)=1—圖+專+專)=蕓所

以需要補種沙柳的概率為差21.

規(guī)律方法解決此類問題第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步代入

相應(yīng)的公式求解.若X服從兩點分布，則E(X)=p,D(X)=p(l-p);若X服從二

項分布，即X?8(〃，p),則E(X)=”p,D(X)—np{\~P)-

【訓(xùn)練3】某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.

(1)求從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；

(2)求從中有放回地隨機抽取10件產(chǎn)品，計算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差

及標(biāo)準(zhǔn)差.

解(1)用丫表示抽得的正品數(shù)，則y=o,1.

y服從兩點分布，且尸(y=o)=o.o2,p(y=i)=o.98,

所以D(y)=p(l-p)=0.98X(1-0.98)=0.0196.

(2)用X表示抽得的正品數(shù)，則X?8(10,0.98),

所以0(X)=10X0.98X0.02=0.196,

標(biāo)準(zhǔn)差為、。(X)

口.44.

素養(yǎng)達(dá)成逐步落實

一'素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.n重伯努利試驗要從三方面考慮：第一，每次試驗是在相同條件下進(jìn)行的；

第二，各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；第三，每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件

要么發(fā)生，要么不發(fā)生.

3.如果1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么〃重伯努利試驗中這個事件恰

好發(fā)生人次的概率為長伏)=(2加人(1一0)廣級=0,1,2,…，〃)，此概率公式恰為

[(1—p)+p]"展開式的第％+1項，故稱該公式為二項分布公式.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

4

1.某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率都為5,那么播下3粒種子恰有2

粒發(fā)芽的概率是()

1248

AA125Bn125

C也D型

J25u125

2

解析播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率為C3(1)X(l—§=需.

答案B

2.某電子管正品率為3本次品率為;1，現(xiàn)對該批電子管進(jìn)行測試，設(shè)第X次首次

測到正品，則尸(X=3)等于()

2.2

A.x|B.x|

,、2、2

唱D?

2

解析P(X=3)=(?x1.

答案c

3.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù)為X,

則D(X)等于()

1515

ATB彳

5

C，2D.5

解析拋擲兩枚均勻硬幣，兩枚硬幣都出現(xiàn)反面的概率為

則易知X?B(10,I],

故￡)(%)=10X(X(1—3)=?

答案A

35

4.設(shè)乂~8(2,p),若尸(X21)=%,貝Up=.

解析因為X?8(2,p),

所以P(X=?=CM&l-p)2%k=o,1,2.

所以尸(X21)=l一尸(X<1)=1-P(X=O)

35

=1-c9/?o(1-pY=1-(1-p)2=3^,

結(jié)合0<p<l,

解得p=a

答案I

5.甲隊有3人參加知識競賽，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答

錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為2余且各人答對正確與否相互之間沒

有影響.用X表示甲隊的總得分，求隨機變量X的分布列.

解由題意知，X?5(3,|),

故P(X=O)=C§X(I—|)=3,

2

2,2、2

P(X=1)=CiX2xI1—r|=-,

《iA-，)-，、(3j—27，

所以X的分布列為

X0123

1248

p

279927

課后作業(yè)鞏固提高

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.若在一次測量中出現(xiàn)正誤差和負(fù)誤差的概率都是:，則在5次測量中恰好出現(xiàn)

2次正誤差的概率是()

A得

B5

C1D圭

解析P=cgx

答案A

2.若X?5(10,0.8),則P(X=8)=()

A.C?oXO.88XO.22B.C?oXO.82XO.28

C.0.88X0.22D.0.82X0.28

解析P(X=8)=CfoXO.88XO.22.

答案A

3.設(shè)隨機變量X?；

則P(X=3)等于()

A上

A16B16

C.iD.1

oo

解析YX?4,

，P(X=3)=

cgx

答案A

4.設(shè)隨機變量X的分布列為尸(X=k)=Ci[j),k=Q,1,2,…，〃，且

E(X)=24,則D(X)的值為()

A.^B.8

C.12D.16

解析由題意可知X?B(〃，|

2

所以］〃=及X)=24.所以/?=36.

2(2、21

所以—2j=36X-X-=8.

答案B

5.某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過3個路口，在每個路口遇到紅燈的概率都是上且在各

路口是否遇到紅燈是相互獨立的，記X為遇到紅燈的次數(shù)，若丫=3X+5,則丫

的標(biāo)準(zhǔn)差為（）

A.^6B.3

C.小D.2

解析因為該同學(xué)經(jīng)過每個路口時，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成3次獨

立重復(fù)試驗，即x?03,；）,則x的方差。（X）=3X：X（1—2=|,所以y的方

差。（y）=32.D（x）=9Xg=6,所以丫的標(biāo)準(zhǔn)差為（丫）=水.

答案A

二、填空題

6.一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9,則服用這種新藥的4個病人中

至少3人被治愈的概率為（用數(shù)字作答）.

解析至少3人被治愈的概率為C^X0.93X0.1+0.94=0.9477.

答案0.9477

7.已知隨機變量X+Y=8,若X?3（10,0.6）,則E（Y）,o（y）分別是（）

A.6和2.4B.2和2.4

C.2和5.6D.6和5.6

解析因為x+y=8,所以y=8—x.

因此，求得E（y）=8-E（x）=8-10X0.6=2,

￡>（y）=（-l）2￡>W=10X0.6X0.4=2.4.

答案B

8.設(shè)隨機變量X?8（2,p）,丫?8（4,p）,若「（X2l）=5,則。（y）=.

解析由隨機變量X?伙2,P）,且P（X21）=/,得P（X21）=1—P（X=0）=l—

C9x（i-p）2=|,易得由y?/,；）,得隨機變量Y的方差r）（y）=4x|

答案I

三、解答題

9.某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每天每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相

互獨立)，求一天內(nèi)至少3人同時上網(wǎng)的概率.

解記A『(r=0,1,2,6)為“/?個人同時上網(wǎng)”這個事件，則其概率為尸(4)

=C8O.5<1—0.5)6。=C8O.56==C8."一天內(nèi)至少有3人同時上網(wǎng)”即為事件

A3UA4UA5UA6,因為A3,A4,4,4為彼此互斥事件，所以可應(yīng)用概率加法公

式，得“一天內(nèi)至少有3人同時上網(wǎng)”的概率為P=

P(A3UA4UA5UAe)=尸(A3)+P(4)+P(A5)+P(A6)=*(C?+C2+Cl+Cg)=表

21

X(20+15+6+1)=五

10.兩個人射擊，甲射擊一次中靶概率是:，乙射擊一次中靶概率是彌

(1)兩人各射擊1次，兩人總共中靶至少1次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)的概率

是多少？

(2)兩人各射擊2次，兩人總共中靶至少3次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)的概率

是多少？

⑶兩人各射擊5次，兩人總共中靶至少1次的概率是否超過99%?

解(1)共三種情況：乙中靶甲不中靶，概率為1義3=:；

121

甲中靶乙不中靶，概率為］義］=3

甲、乙全中靶，概率為

23O

「1112

故所求概率是

(2)共兩類情況：

共中靶3次，概率為

共中靶4次，概率為

。2⑸⑸XC2??=k

,一117

故所求概率為d+石=石.

(3)兩人總共中靶至少1次的概率為-C*[XC《|)=1—擊=翡＞0§9.

所以兩人各射擊5次，兩人總共中靶至少1次的概率超過99%.

能力提升

11.若隨機變量X?8(5,，，則尸(X=Z)最大時，攵的值為()

A.1或2B.2或3

C.3或4D.5

解析依題意P(X=A)=C§X(WX4，k=0,1,2,3,4,5.

32808040

可以求得P(X=0)=243,P(X=1)=243,尸(、=2)=右3，尸(X=3)=次P(X=

4)=弟，P(X=5)=圭.故當(dāng)女=1或2時尸(X=攵)最大.

答案A

12.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方

圖，如圖所示.

頻率

組距

006

005

004

003

002

O5()10()150200250日銷售量/個

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.

⑴求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日

銷售量低于50個的概率；

(2)用X表示在未來3