2.1.1向量的概念

課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P77?79,思考并完成以下問題

(1)向量是如何定義的？怎樣表示向量？

(2)向量的相關(guān)概念有哪些?

［新知初探］

1.向量的概念及表示

概念具有大小和方向的量稱為向量

具有方向的線段,叫做有向線段，以4為始點，6為終點的有向線段記作人臼，

表示

屋的長度記作1矗1.用有向線段屋］表示向量，讀作向量回

代數(shù)

印刷時，用黑體小寫字母，手寫時，小寫字母要帶箭頭

表示

［點睛］向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段.向量是規(guī)定了大小和方向的

量，有向線段是規(guī)定了起點和終點的線段.

2.與向量有關(guān)的概念

名稱定義記法

向量的

若寇=a,則祠的長度為向量的長度(模)\a\

長度(模)

零向量長度等于0的向量0

相等向量兩個向量a和8同向且等長a=b

向量的基線通過有向線段區(qū)臼的直線一

向量共線或向量的基線互相平行或重合allb

平行規(guī)定：零向量與任意向量都挈I0//a

任給一定點。和向量a,過點。作有向線段Ol|=a,則點｛相對于點。的位

位置向量

置被向量a所唯一確定,這時向量質(zhì)叫做點力相對于點。的位置向量

［點睛］共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.

［小試身手］

1.判斷下列命題是否正確.（正確的打“，錯誤的打"義”）

（1）兩個向量能比較大小.（）

⑵向量的模是一個正實數(shù).（）

（3）向量弱與向量就是相等向量.（）

答案：（l）X（2）X（3）X

2.有下列物理量：①質(zhì)量；②溫度；③角度；④彈力；⑤風(fēng)速.

其中可以看成是向量的個數(shù)（）

A.1B.2

C.3D.4

答案：B

3.已知向量a如圖所示，下列說法不正確的是（）

—a,日

A.也可以用MN表示B.方向是由材指向N

C.始點是"D.終點是"

答案：D

4.如圖，四邊形4?必和/颯?都是平行四邊形，則與觀相等的向量有/\/\

EDC

答案：國園

課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

向量的有叁概念

2

［典例］有下列說法：①向量應(yīng)和向量應(yīng)長度相等；②方向不同的兩個向量一定

不平行；③向量國是有向線段；④向量0=0,其中正確的序號為.

［解析］對于①，1應(yīng)1=1應(yīng)］|={3故①正確；

對于②，平行向量包括方向相同或相反兩種情況，故②錯誤；

對于③，向量可以用有向線段表示，但不能把二者等同起來，故③錯誤；

對于④，0是一個向量，而0是一個數(shù)量，故④錯誤.

［答案］①

IQM?1

(1)判斷一個量是否為向量應(yīng)從兩個方面入手

①是否有大?。虎谑欠裼蟹较?

(2)理解零向量應(yīng)注意的問題

零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.

［活學(xué)活用］

有下列說法：

①若向量a與向量6不平行，則a與。方向一定不相同；

②若向量畫，畫滿足寇|>|查||,且應(yīng)與函同向，則邁>［|司；

③若=則a,6的長度相等且方向相同或相反；

④由于零向量方向不確定，故其不能與任何向量平行.

其中正確說法的個數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選A對于①，由共線向量的定義，知兩向量不平行，方向一定不相同，故①正

確；對于②，因為向量不能比較大小，故②錯誤；對于③，由|a|=|6|,只能說明a,6的

長度相等，確定不了它們的方向，故③錯誤；對于④，因為零向量與任一向量平行，故④錯

誤.

［典例］在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:

①函，使|函|=4*,點4在點0北偏東45°；

封運，使1邁|=4,點8在點4正東；

③踵］,使畫|=6,點。在點6北偏東30°.

［解］(1)由于點力在點。北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點力距點。的橫向小方格數(shù)

與縱向小方格數(shù)相等.又|函1=4位,小方格邊長為1,所以點力距點。的橫向小方格數(shù)

與縱向小方格數(shù)都為4,于是點4位置可以確定，畫出向量施］如圖所示.

(2)由于點6在點/正東方向處，且|應(yīng)|=4,所以在坐標(biāo)紙上點6距點力的橫向小

方格數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點6位置可以確定，畫出向量詞如圖所示.

(3)由于點C在點6北偏東30°處，且|區(qū)目=6,依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點

C距點8的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3#-5.2,于是點C位置可以確定，畫出向

量園|如圖所示.

用有向線段表示向量的方法

用有向線段表示向量時，先確定起點，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的

終點.

必要時，需依據(jù)直角三角形知識求出向量的方向(即夾角)或長度(即模)，選擇合適的比

例關(guān)系作出向量.

［活學(xué)活用］

4

一輛汽車從1點出發(fā)向西行駛了100千米到達8點，然后改變方向，向北偏西40°方

向行駛了200千米到達C點,最后又改變方向，向東行駛了100千米到達〃點.作出向量弱,

園國圓

解：如圖所示.

題型三共線向莫皴攀向量

［典例］如圖所示，。是正六邊形4加慟的中心，口.應(yīng)=a，透］=b,

顯

(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？y~￥

(2)與a共線的向量有哪些？

(3)請---列出與a,b,c相等的向量.

［解］(D與a的長度相等、方向相反的向量有回，屈，應(yīng)，詞

(2)與a共線的向量有國，園，畫，屋，宣］,囪］,國，應(yīng)，國.

(3)與a相等的向量有屈，應(yīng)，逅；與6相等的向量有園，回，函；與c

相等的向量有囪］,國］,懣.

［一題多變］

1.［變設(shè)問］本例條件不變，試寫出與向量園相等的向量.

解：與向量同相等的向量有函踵寇.

2.［變條件，變設(shè)問］在本例中，若|a|=l,求正六邊形的邊長.

解：由正六邊形性質(zhì)知，△加為等邊三角形，所以邊長力?=|a|=1.

尋找共線向量或相等向量的方法

(1)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與

反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量.

(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同

向共線.

16-課后層級訓(xùn)練，步步提升能力

層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)

1.下列說法正確的是()

A.向量同〃同就是祠所在的直線平行于同所在的直線

B.長度相等的向量叫做相等向量

C.若a=b,b=c,貝Ua=c

D.共線向量是在一條直線上的向量

解析：選C向量應(yīng)〃畫包含畫所在的直線與同所在的直線平行和重合兩種情

況，故A錯；相等向量不僅要求長度相等，還要求方向相同，故B錯；C顯然正確；共線向

量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D錯.

2.如圖，在圓。中，向量胸，踵，祠是()

A.有相同起點的向量(Ji?)

B.共線向量入

C.模相等的向量

D.相等的向量

解析：選C由圖可知園，過，應(yīng)是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，故選

C.

3.向量應(yīng)與向量園］共線，下列關(guān)于向量國的說法中，正確的為()

A.向量國與向量應(yīng)一定同向

B.向量同,向量應(yīng)，向量同一定共線

C.向量應(yīng)與向量國一定相等

D.以上說法都不正確

解析：選B根據(jù)共線向量定義，可知祠,國這三個向量一定為共線向量,

AEB

6

故選B.

4.如圖，在nABCD中，點、E,尸分別是5的中點，圖中與以回平行的向量有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：選C根據(jù)向量的基本概念可知與國平行的向量有踵，國逶，共3

個.

5.已知向量a,6是兩個非零向量，國，同分別是與a,力同方向的模為1的向量，

則下列各式正確的是（）

A.國=H司B.國=踵或國=—踵

C.回=1D.|國|=畫|

解析：選D由于a與6的方向不知，故麗與同無法判斷是否相等,故A、B選項

均錯.又前1與同均為模為1的向量..?.|亟|=|逋|,故C錯D對.

6.已知|弱|=1,|園|=2,若N4?C=90°,則|迎=

解析：由勾股定理可知，BCfj百甘,所以|垣［=m.

答案：小

7.如圖，四邊形力版是邊長為3的正方形，把各邊三等分后，共有16nC

個交點，從中選取2個交點組成向量，則與國平行且長度為24的向量~

個數(shù)是______.\~/\\一

1

解析：圖形中共含4個邊長為2的正方形，其對角線長度為2小，在其A*'~

中一個正方形中，與園平行且長度為2m的向量有2個，所以共8個.

答案：8

8.給出下列四個條件：①a=6；②|印=|引；③a與6方向相反；④|a|=0或|引=0.

其中能使a〃6成立的條件是（填序號）.

解析：若a=b,則a與6大小相等且方向相同，所以a〃加若|a1=|引，則a與力的

大小相等，而方向不確定，因此不一定有a〃6：方向相同或相反的向量都是平行向量，因

此若a與。方向相反，則有a〃左零向量與任意向量平行，所以若|a|=0或|引=0,則a

//b.

答案：①③④

A'D

9.如圖，。是正方形/時的中心.

(1)寫出與向量屋］相等的向量；

(2)寫出與應(yīng)的模相等的向量.

解：(1)與向量應(yīng)相等的向量是園.

(2)與畫的模相等的向量有：胸，園，園，囪］,畫，回，國.

10.一輛消防車從A地去8地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行北

駛2千米到。地，然后從。地沿北偏東60°方向行駛6千米到達。地，從C

地又向南偏西30°方向行駛2千米才到達8地.—-----------

r—,,^―,西常東

(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出國，園，同，懣.

(2)求6地相對于4地的位移.

解：(1)向量同,回，畫，寇如圖所示.

(2)由題意知弱=詞.

所以4。觸比；則四邊形/吸力為平行四邊形.

所以近=皮］,則6地相對于4地的位移為“在北偏東60°的方向距4地6千米”.

層級二應(yīng)試能力達標(biāo)

1.如圖所示，梯形/靦中，對角線4C與初交于點只點反尸分別在兩腰

AD,BC上,斷過點只豆EF〃AB,則下列等式成立的是()

A.國=函B.國=函］

C.弱=屋D.四=透

解析：選D根據(jù)相等向量的定義，分析可得:

A中，同與同方向不同,故應(yīng)=因錯誤；

B中，而與同方向不同,故同=同錯誤;

C中，詞與同方向相反,故而=而錯誤;

D中，畫與屋|方向相同，且長度都等于線段跖長度的一半，故居司=而正確.

8

2.下列說法正確的是（）

A.若a〃&,b//c,則a〃c

B.終點相同的兩個向量不共線

C.若arb,則a一定不與。共線

D.零向量的長度為0

解析：選DA中，因為零向量與任意向量平行，若6=0,則a與c不一定平行.B中，

兩向量終點相同，若夾角是0°或180。，則共線.C中，對于兩個向量不相等，可能是長

度不相等，但方向相同或相反，所以a與6可能共線.

A

3.在△4?。中，點〃，￡分別為邊47,從?的中點，則如圖所示的向量中A

相等向量有（）

A.一組B.二組-------V

C.三組D.四組

解析：選A由向量相等的定義可知，只有一組向量相等，即詞=扇.

4.如圖，在菱形4%方中，ZW=120°,則以下說法錯誤的是（）

A.與畫相等的向量只有一個（不含畫）

B.與懣的模相等的向量有9個（不含國）

C.通的模為量模的十倍

D.同與扈不共線

解析：選DA項，由相等向量的定義知，與前相等的向量只有同,故A正確；B

項，因為AB=BC=CD=DA=AC,所以與H同的模相等的向量除應(yīng)外有9個，正確；C項，

在中，N447=60°,則兇=芋為，所以即=小加,故C項正確；D項，因為四

邊形肥切是菱形，所以園與園共線，故D項錯誤，選D.

5.四邊形ABCD滿足凝1=園|,且|園1=畫］,則四邊形四切是（填

四邊形/靦的形狀）.

解析：?.?國=用，：.AD//BCS.{XB\=|區(qū)Hl，四邊形4%是平行四邊形.又

［AC"'--［BD\I知該平行四邊形對角線相等，故四邊形/國力是矩形.

答案：矩形

A

6.如圖，。是正三角形1及7的中心，四邊形/切力和/跡均為平行四邊形，

則與向量⑥相等的向量為；與向量園共線的向量為；/XA

與向量囪的模相等的向量為.(填圖中所畫出的向量)B

解析：是正三角形相C的中心，.?.力=如=%，易知四邊形和四邊形血火￡均

為菱形，,與國］相等的向量為國；與畫共線的向量為園，畫；與畫的模相等

的向量為祠,園，園，質(zhì)］,圓.

答案:\OC\DC\,扇祠,園園，畫),國］

7.如圖，D,E,尸分別是正三角形力6c各邊的中點.

(1)寫出圖中所示向量與向量透)長度相等的向量.

(2)寫出圖中所示向量與向量質(zhì)J相等的向量.

(3)分別寫出圖中所示向量與向量質(zhì)］,畫共線的向量.

解：(1)與厲司長度相等的向量是同,

國，園園,圓園國園

(2)與同相等的向量是顯,應(yīng)

(3)與岳司共線的向量是底1,由，同

與國共線的向量是運，面］,詞

及選做題

8.如圖,已知函數(shù)y=x的圖象/與直線歷平行,彳0,

10

力是R上的點.求

(1)X,P為何值時,國=0；

(2)x,y為何值時，I國1=1.

x=0,

解：(1)要使屋］=0,當(dāng)且僅當(dāng)點4與點6重合，于是《m

尸—2,

(2)如圖，由已知,

所以臺點的坐標(biāo)是俘，0)

.在RtZUg中，有

|畫園『+|畫『=圖旺閨』，

即［國］1=1.

同理可得，當(dāng)區(qū)的坐標(biāo)是(一坐一4)時，M閡=1.

綜上有，當(dāng)■"=當(dāng)’［=_亞

或02,時，囪|=1.

.7=0尸一小

2.1.2向量的加法

課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P80?83,思考并完成以下問題

(1)向量的加法如何定義？

(2)在求兩向量和的運算時，通常使用哪兩個法則？

(3)向量加法的運算律有哪兩條？

［新知初探］

1.向量的加法

⑴三角形法則

已知向量a,b,在平面上任取一點4作應(yīng)=a,正=6,再作向量應(yīng)，則向

原理

量園叫做a與6的和(或和向量)，記作a+b,即a+b^A^\-^^\^Xc\

Caa.

圖示)的，上-

BABCCAB

(1)(2)(3)

［點睛］(1)和向量的始點是第一個向量的始點，終點是第二個向量的終點.

⑵零向量與任一向量a的和都有a+O=O+a=a.

(2)平行四邊形法則

已知兩個不共線向量a,b,作％*=a,?］=6,則4B,〃三點不共線,以

原理懣，同為鄰邊作平行四邊形,則對角線上的向量園=a+6,這個法則叫

做兩個向量求和的平行四邊形法則

/DQCl

圖示

(3)多邊形法則

已知〃個向量，依次把這〃個向量首尾相連,以第一個向量的始點為始點,第

原理n個向量的終點為終點的向量叫做這n個向量的和向量.這個法則叫做向量求

和的多邊形法則

12

圖示

2.向量加法的運算律

運算交換律a+，=b+a

律結(jié)合律(a+A)+c=a+(b+c)

［小試身手］

1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)兩個向量相加結(jié)果可能是一個數(shù)量.()

(2)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加.()

(3)任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線.()

答案：(1)X(2)X(3)X

2.對任意四邊形47G9,下列式子中不等于跡的是()

A.園+園B.國+應(yīng)+園

C.踵］+質(zhì)］+園|I).園+應(yīng)+國

答案：C

3.邊長為1的正方形力靦中，四+園1=()

A.2B.72

C.1D.272

答案：B

4.畫+圖國］=

答案：0

Lr>>皿'44?公、兒'1?JAAk.工山E

球呈班舜以“，牛H匕膽尖您

向量加法及其幾何意義

［典例］如圖1,圖2,圖3所示，求作向量和.

［解］如圖中①，②所示,

A

圖①圖②

首先作函=必然后作皿=6,則瀛=a+=

如圖③所示，作踵|=a,覆］="則園=a+6,再作逅=c,則國=國+四

=(a+6)+c,即％力|=a+8+c.

應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則應(yīng)注意的問題

(1)三角形法則可以推廣到〃個向量求和，作圖時要求“首尾相連”，即〃個首尾相連

的向量的和對應(yīng)的向量是第一個向量的起點指向第A個向量的終點的向量.

(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時要求兩個向量的起點重合.

(3)求作三個或三個以上的向量和時，用三角形法則更簡單.

［活學(xué)活用］

如圖，已知a,b,c,求作向量a+力+c.

解：作法：在平面內(nèi)任取一點0,如圖所示，作園=a,［AB\=b,則園=

a+b+c.

向量加法運算

［典例］化簡或計算：

(1)屈+園+詞

14

(2)祠+同+函+園+司

［解］(1)同+祠+祠=(祠+同)+同=同+同=同.

(2)弱+詞+同+同+同

=(@+園+畫+^)+而

=晶+國+回凌+國=0.

解決向量加法運算時應(yīng)關(guān)注兩點

(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算.

(2)要靈活應(yīng)用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順

序，特別注意勿將0寫成0.

［活學(xué)活用］

如圖，在正六邊形/優(yōu)頗■中，。是其中心.

____ED

則?￡2+CD

@［^］+矗+顯=_______;

@+應(yīng)=_______."

解析：①應(yīng)+畫=［1司+屈=碗］.

②應(yīng)+亟+園每+爵國+園病

③園+園+前屆+園+爵園

答案：①近］③踵

課后層級訓(xùn)練，步步提升能力

層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)

1.下列等式錯誤的是()

B.踵+園|+園=0

A.a+0=0+d=a

C.四+園=0D.國+晝頹回國

解析：選B由向量加法可知祠+值H+回=回+其=2區(qū).

2.（祠+麗I）+（而+詞）+加|等于（）

A.四B.邁

C.瑟|D.—T

解析：選c原式=（7司+麗|+麗+園|+麗］

=（逅+函）+（［^］+踵+^］）

=園+0=園.

3.下列各式不一定成立的是（）

A.a+b=b+aB.O+a=a

C.國+同=應(yīng)D.|a+/>|—\a\+\b\

解析：選DA成立，為向量加法交換律；B成立，這是規(guī)定；C成立，即三角形法則；

D不一定成立，只有a,8同向或有一者為零向量時，才有|a+6|=|a|+|引.

4.在矩形/時中，|回|=4,|迎|=2,則向量應(yīng)+國+回的長度等于（）

A.2#B.4^5

C.12D.6

解析：選B因為國+國=/記，所以國+國+踵的長度為國的模的

2倍，故答案是4m.

5.已知平行四邊形/比〃設(shè)四+由+詞+而=a,且6是一非零向量，則下

列結(jié)論：①a〃慶②a+6=a；③a+6=8；④Ia+6|<|a|+|加.其中正確的是（）

A.①③B.②③

C.②④D.①@

解析：選A?.?在平行四邊形4版中，近+逅=0,詞+向=0,:.a為零向

量，???零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于這個向量本身，，①③正確，

②④錯誤.

6.而+|^+函+|W|=..

解析：原式=而+西+麗+麗=用+函+麗=河.

答案：畫

7.已知正方形ABCD的邊長為1,|AB|=a,|Ac|=c,|JBC|=b,則|a+6+c|=.

16

解析：Ia+6+c|=|祠+同+同|=|同+同|二2|同|=2W.

答案：272

8.如圖，在平行四邊形46繆中，

_pC

⑴園+翅:

(2)園+逅+畫=;AB

(3)踵］+國+畫=；

(4)園+應(yīng)+近=.

解析：(1)由平行四邊形法則可知為園.

(2)園+諼+由=屈+閑=弱.

(3)/^+助+由=函+園=而.

(4)應(yīng)+函+應(yīng)每+國+量每+園=0.

答案：(1)國(2)應(yīng)(3)國(4)0

9.如圖，E,F,6,〃分別是梯形力比?的邊4氏BC,CD,分的中點，

化簡下列各式：//'

咽+園+國口Gc

②回+西+南十國

解:①同+同+詞=祠+扇+同=弱+國+弱=詞+謁=

園

?［^］+應(yīng)+應(yīng)+嬴亙+園+量+國=面+度+國痘

+國=0.

AA3A

10.如圖所示，中心為。的正八邊形44…44中，女尸44一］('=/\L/\

1,2,-??,7),"=|QAJJ(J=1,2,—,8),試化簡/+a5+公+益+勿.

解：因為［^+叵］=0,

所以&+&+段+瓜+勿

=畫+祠+函+函+函

=（回+函）+國+量）+國

=|網(wǎng)|=4

層級二應(yīng)試能力達標(biāo)

1.已知〃，E,b分別是△/比1的邊BC,G4的中點，則下列等

式中不正確的是（）

A.同十麗=祠8C

B.畫+遠］+［1司=0

C.+應(yīng)=叵

D.詞十詞:同

解析：選D由向量加法的平行四邊形法則可知，麗+同=同#同.

2.下列命題錯誤的是（）

A.兩個向量的和仍是一個向量

B.當(dāng)向量a與向量，不共線時，d+b的方向與2人都不同向，且|a+b|<|a|+|b|

C.當(dāng)向量a與向量力同向時，a+b,a,。都同向，且1a+引=|a|+|6|

D.如果向量a=6,那么a,6有相同的起點和終點

解析：選D根據(jù)向量的和的意義、三角形法則可判斷A、B、C都正確；D錯誤，如平

行四邊形/靦中，有應(yīng)=園，起點和終點都不相同.

3.已知△49C的三個頂點4B,，及平面內(nèi)一點尸滿足畫+國］=園，則下列結(jié)

論中正確的是（）

A."在△/鴕的內(nèi)部

B.尸在△/歐的邊46上

C."在邊所在的直線上

D.尸在△/歐的外部

解析：選D詼+福二同,根據(jù)平行四邊形法則，如圖，則點

戶在△力比外部.

4.下列命題正確的是（）

A.如果非零向量分6的方向相反或相同，那么a+6的方向必與a,6之一的方向相同

B.若港|+踵+厘|=0,則/,B,C為三角形的三個頂點

C.設(shè)a#0,若a〃（a~\~,則a〃6

18

D.若|a|一|引=|a+Z?|,則6=0

解析：選C當(dāng)a+b=0時，A選項不正確；若|AZ|+|5c|+EZ|=0,則力，B,C三

點共線或4,B,。為三角形的三個頂點，故B選項不正確；若a與b不共線，則a+6與a

不共線，故C選項正確；若|川一|引=|a+，|,則。=0或bW0（a與力反向共線，且|a|>

1引），故D選項不正確.

5.。為三角形18。內(nèi)一點，若加+麗+函|=0,貝IJ0是三角形45C的—

心.

解析：?.?園+函+硬=0,

.?國+翦—爵國

此時應(yīng)與逅共起點，

以園，國為邊構(gòu)造一平行四邊形，設(shè)4?的中點為〃點,

則加+麗=2宙,

即2函=訪,

是三角形/比1的重心.

答案：重

6.若a等于“向東走8km”，b等于“向北走8km”，則|a-\-b\=______，a+b

的方向是

解析：如圖所示，設(shè)港］=a,［Bd\=b,則園=a+4且△/阿為等腰直角三角形,

則函||=睢,/氏伍=45°.

答案：872km北偏東45°

7.如圖所示，只0是三角形力比■的邊比1上兩點，且BP=QC.求證:踵］

+屆每+國.

證明：國屆+畫

逅=回+因

.?畫+國=四+匾國園

?.質(zhì)與運I大小相等，方向相反，

.?.國+西=0,

故回+國=屋]+回+0=園+國.

I三星諉做題

8.如圖，已知向量a,b,c,

(1)求作a+8+c+d

(2)設(shè)|a|=2,e為模為1的向量，求|a+e|的最大

解：(1)在平面內(nèi)任取一點0,作函=a,懣=6,[Bd\=c,畫=d,則園=a

+b+c+a

(2)在平面內(nèi)任取一點“作詞=a,應(yīng)=d

則@+3=園+邁=函，

因為e為模為1的向量，

所以點8在以A為圓心的單位圓上(如圖所示)，

由圖可知當(dāng)點8在點臺時，0,A,臺三點共線,

所以1函即|a+e|最大，最大值是3.

2.1.3&2.1.4向量的減法數(shù)乘向量

課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

[對應(yīng)學(xué)生用書P36]

20

預(yù)習(xí)課本P84~89,思考并完成以下問題

(1)a的相反向量是什么？

(2)向量的減法運算及其幾何意義是什么？

(3)向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？

(4)向量數(shù)乘運算滿足哪三條運算律？

［新知初探］

1.相反向量

與a長度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量，記作一a.

(1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量;

(2)—(—a)=a；

(3)a+(—a)=(—a)+a=0；

(4)若a與b互為相反向量，則a=—4b——a,a+b—O.

［點睛］相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進行定義，相反向量

必為平行向量.

2.向量的減法

已知向量a,從如圖)，作詞=a,同=6,則。+應(yīng)=a.向量Vx_fc

函叫做向量a與b的差，并記作a-b,\

即園=a-6=祠-麗|.由定義可知：'

(1)如果把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為她晝，被

減向量的終點為終點的向量:

(2)一個向量麗等于它的終點相對于點0的位置向量祠減去它的始點相對于點0

的位置向量前，或簡記為“終點向量減始點向量”;

(3)從一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量.

［點睛］在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接向量終點，箭頭指向被減向量”

即可.

3.數(shù)乘向量

(1)定義：實數(shù)4和向量a的乘積是一個向量,記作4a.

⑵長度：|Aa|=|A\\a\.

(3)方向：，a(a#O)的方向：當(dāng)幺>0時，與a回方向；當(dāng)/<0時，與a反方向.特

別地，當(dāng)兒=0或a=0時，0a=0或40=0.4a中的實數(shù)才叫做向量a的系數(shù).

(4)幾何意義：就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小.

(5)運算律：設(shè)兒，〃GR,則①(4+〃)a=4a+〃a.②4(〃a)=(4〃)a；③4(a

+b)=4a+Ab.

［點睛］(1)實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如兒+a,兒一a

均無法運算.

(2)4a的結(jié)果為向量，所以當(dāng)4=0時，得到的結(jié)果為0而不是0.

4.向量的線性運算

向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運算,通常叫做向量的線性運算.

［小試身手］

1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)兩個向量的差仍是一個向量.()

(2)向量的減法實質(zhì)上是向量的加法的逆運算.()

(3)向量a與向量6的差與向量力與向量a的差互為相反向量.()

22

⑷相反向量是共線向量.()

(5)對于任意實數(shù)/〃和向量a,b,若〃㈤=/滴，則a=b.()

答案：⑴V(2)V(3)V(4)V(5)X

2.非零向量力與〃是相反向量，下列不正確的是()

A.m=nB.m——n

C.\/n\=\n\D.方向相反

答案：A

3i

3.-(a+26)--(4a—3/?)可化簡為()

55

-a-

Ac.4B.4

a+

55

4-4-

答案：C

4.在平行四邊形力解中，向量屆的相反向量為—

答案：園，H司

課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

___向__量__的__運__算__與化簡

［典例］化簡下列各式:

(3)(應(yīng)一畫)-函］)；

(4)(國+國+園-(國-踵一函.

［解］(1)原式=18a+3b—9a—3，=9a

(2)原式=氐28+5'一己一

(3)應(yīng)-國-(國-西)

=(寇+應(yīng))-(園+麗)=國-國=0.

(4)(國+園