考點梳理

一、考試內(nèi)容

集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集。lax+blvc、lax+bl>c(c>0)型不等

式。一元二次不等式。

映射、函數(shù)。分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式。函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性。

反函數(shù)，互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系。指數(shù)函數(shù)。對數(shù)，對數(shù)

的性質(zhì)和運(yùn)算法則。對數(shù)函數(shù)，換底公式。簡單的指數(shù)方程和對數(shù)

二、考試要求

1.理解集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念。了解空集和全集

的意義。了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義。能掌握有關(guān)的術(shù)語和

符號，能正確地表示一些較簡單的集合。

2.理解lax+bl<c、lax+bl>c(c>0)型不等式的概念，并掌握它們的解

法。了解二次函數(shù)、一元二次不等式及一元二次方程三者之間的關(guān)

系，掌握一元二次不等式的解法。

3.了解映射的概念，在此基礎(chǔ)上理解函數(shù)及其有關(guān)的概念，掌握

互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系。

4.理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)的

單調(diào)性和奇偶性。能利用函數(shù)的奇偶性來描繪函數(shù)的圖像。

5.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕、根式的概念，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則。

6.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的性質(zhì)。

7.掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念及其圖像和性質(zhì)，并會解簡單

的指數(shù)方程和對數(shù)方程。

三、考點簡析

2.集合

(1)作用地位

“集合”是數(shù)學(xué)研究的基本對象之一。學(xué)習(xí)集合的概念，有助于

理解事物的邏輯關(guān)系和對應(yīng)關(guān)系，加深對數(shù)學(xué)的抽象特征的理解,

也能提高使用數(shù)學(xué)語言的能力。

高考試題中，對集合從兩個方面進(jìn)行考查：一方面是考查對集合

概念的認(rèn)識和理解水平，主要表現(xiàn)在對集合的識別和表達(dá)上。如對

集合中涉及的特定字母和符號，元素與集合間的關(guān)系，集合與集合

間的比較，另一方面，則是考查學(xué)生對集合知識的應(yīng)用水平，如求

方程組、不等式組及聯(lián)立條件組的解集，以及設(shè)計、使用集合解決

問題等。

(2)重點與難點

重點是集合的概念和表示法及交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算。難點是集合

運(yùn)算的綜合運(yùn)用，特別是帶有參數(shù)的不等式解集的討論。

(3)有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系

①ACIB=AoAqB；

②AUB二BoA^B；

③AqBoC，，AqC〃B；

④AACwBoCwAcB；

⑤CMAUB=IOA[B。

(4)交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①AAA=A,APl0二0,AAB=BAA；

②AUA=A,AU“二A,AUB=BUA；

③CM(AUB)=C〃AACuB，Cu(AHB)=C〃AUC〃B；

(5)有限子集的個數(shù)：設(shè)集合A的元素個數(shù)是n,則A有2n

個子集，￥—1個非空子集。

3.函數(shù)的性質(zhì)

(1)函數(shù)的概念：定義域、值域、對應(yīng)法則、反函數(shù)、復(fù)合函

數(shù)、分段函數(shù)；

(2)函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、有界性、極(最)值性、

對稱性、周期性等；

(3)函數(shù)對稱性與周期性的幾個結(jié)論：

①設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且滿足條件f(a+x)=f(b—x),則函

數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線*=與對稱；

②定義在R上的函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)任意x有f(x+a)=f(x—b),

則y=f(x)是以T=a+b為周期的函數(shù)；

③定義在R上的函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)任意x滿足條件f(x)=2b

一f(2a—x),則y=f(x)關(guān)于點(a,b)對稱；

④若y=f(x)既關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于x=b(aWb)對稱，則

y=f(x)一定是周期函數(shù)，且T=2la—bl是它的一個周期；

⑤若y=f(x)既關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點(b,c)中心對稱，則

y=f(x)一定是周期函數(shù)，且T=4la—bl是它的一個周期。

(4)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性：

①奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，圖像分別關(guān)于原點與

y軸對稱；

②任意定義在R上的函數(shù)f(x)都可以惟一地表示成一個奇函數(shù)與

一個偶函數(shù)的和。即

f(X)=〃x)+/(—X)十/(——/(—x)

V722

③若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］(OWavb)上單調(diào)遞增(減)，則f(x)在

區(qū)間［—b,—a］上也是單調(diào)遞增(減)；

若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］(OWavb)上單調(diào)遞增(減)，則f(x)

在區(qū)間Lb,—a］上單調(diào)遞減(增)；

④函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，若f(a)>f(b),則a>b;

函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，若f(a)>f(b),則a<b;

⑤若f(x)在定義域內(nèi)是增(減)函數(shù)，則它的反函數(shù)y=fT(x)在

定義域內(nèi)也是增(減)函數(shù)。

4.三個“二次”的相關(guān)問題

(1)地位作用：

三個“二次”(即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等

式)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)函和密切的聯(lián)系，同時

也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具。高考試題中近一半

的試題與這三個“二次”問題有關(guān)。

(2)二次函數(shù)的基本性質(zhì)

2

①二次函數(shù)的三種表示法：y=ax+bx+c；y=a(x—xO(x—x2)；y=a(x

2

—x0)+n(aWO)；

②當(dāng)a>0時，f(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值M,最小值m,令

Xo=g(P+q)。

若一二vp，則f(p)=m,f(q)=M;

2a

若pW—，<Xo，則f(—g)=m,f(q)=M;

2a2a

若x()W—?<q,則f(p)=M,f(—?)=m;

2a2a

若一則f(p)=M,f(q)=mo

(3)二次方程的實根分布條件:

①二次方程f(x)=O的兩根中一根比r大，另一根比r小oa-f(r)<0;

A>0

b

②二次方程f(x)=O的兩根都大于r。----->r

2a

>0o

A>0

b

P<-—<Q

③二次方程f(x)=O在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根o.2a

a-f(q)>0

."(p)〉o。

④二次方程f(x)=O在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根of(p)-f(q)vO,或

，朦。(檢驗)司//(q)=0(檢驗)。

[a"(P)〉0

⑤二次方程f(X)=O的一根小于p,另一根大于q(pvq)。仁!

[a-f<0o

(4)二次不等式的轉(zhuǎn)化策略:

①二次不等式f(x)W0的解集是：(―0°,a]U[3,+8)oa<0且

f(a)=f(B)=0.

②當(dāng)avO時，f(a)vf(B)o|a+2|>|B+2|;

2a2a

當(dāng)a>0時，f(a)vf(B)o|a+±|<|0+±-|o

2a2a

b

③當(dāng)a>0時，二次不等式f(x)>0在[p,q]上恒成立o「五(”或

/(P)>O

十五)>。>o

④f(x)>0恒成立=卜〉°或f="=°

A<0c>0o

f(x)<0恒成立O<a<0—p-a=h=0

△<0區(qū)c<0o

5.幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

(1)幕函數(shù)y=xn(n￡Q)的性質(zhì)

①當(dāng)n>0時，函數(shù)圖像過點(1,1),(0,0),且在第一象限內(nèi)

隨x增加，圖像上升;

②當(dāng)nvO時，函數(shù)圖像過點(1,1),且在第一象限內(nèi)隨x增加,

圖像下降。

6.對數(shù)運(yùn)算常用公式

(1)a10g?w=N

(2)logaM+logaN=loga(MN)

(3)logaM—logaN=loga^

n

(4)logaM=nlogaIMI

(5)logaVw=llogaIMI

'p

7

(6)logaVM=-logaIMI

、p

⑺logbM=^4

log。b

(8)10g/b=Llog同b=1

nnlogbIaI

(9)logab?logbc=logac

四、思想方法

1.求函數(shù)解析式的方法：配方法與代入法。

2.求值域的常用方法：觀察法，函數(shù)單調(diào)性法，求逆函數(shù)法，分

離法，配方法，換元法，△判別式法，不等式法等。

3.函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想，即先構(gòu)造函數(shù)，把給定問題轉(zhuǎn)化對輔助函數(shù)的性質(zhì)研

究，得出所需的結(jié)論。方程思想，就是把對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識，歸納

為對方程和方程組的認(rèn)識。

對于函數(shù)思想，應(yīng)深刻理解一般函數(shù)y=f(x)、y=尸(X)的性質(zhì)(單

調(diào)性、奇偶性、周期性、最值和圖像變換)。熟練掌握基本初等函

數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基礎(chǔ)。

函數(shù)方程思想常同數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化思想相互融合后才能充分

發(fā)揮其具體解題的功效。

【例題解析】

22

例1(1)已知集合A={xlx?—ax+a—19=0},集合B={xllog2(x

—5x+8)=l},集合C={xlm，'2x-8=i,mW0,ImlWl}滿足ACB云0,A

nc="，求實數(shù)a的值；

(2)已知集合P={xlx2-5x+4^0},Q={xlx2—2bx+b+2W0}滿足

PoQ,求實數(shù)b的取值范圍。

解(1)由條件即可得B={2,3},C={-4,2},由AAB當(dāng)0,

Anc二0,可知3EA,2任A。

將x=3代入集合A的條件得：

a2—3a-10=0

/.a=-2或a=5

當(dāng)a=-2時，慶={*區(qū)2+2*—15=0}={-5,3},符合已知條件。

當(dāng)a=5時,A={xb?—5x+6=0}={2,3},不符合條件“AnC”="，

故舍去。

綜上得：a=-2o

(2)顯然P={xllWxW4},記

f(x)=x2-2bx+b+2

若Q為空集，則由AvO得：

4b2-4(b+2)<0-l<b<2o

若Q不是空集，則應(yīng)滿足

△>o

b2-b-2>0

/(1)>0

-/?+3>0

?八4"0即<

-7/?+18>0

\<b<4

解之得：2WbW更

7

綜上得：一IvbW更

7

注對于稍復(fù)雜的某些集合題目，一定要全面考慮并仔細(xì)審題，

防止解的取值擴(kuò)大或縮小。本題的第(1)題，在“由3￡A求得

a=-2或5”后，應(yīng)清楚36A是其必要條件，但不是充分條件，因

此必須進(jìn)行檢驗，否則解的取值可能擴(kuò)大。而第(2)小題，應(yīng)該

分兩類(。=“，討論，千萬不能遺忘。“這一特殊情形。

例2已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且對于一切實數(shù)x滿足

f(x+2)=f(2—x),f(x+7)=f(7-x)

(1)若f(5)=9,求：f(-5);

(2)已知x￡[2,7]時,f(x)=(x-2)2,求當(dāng)x￡[16,20]時,函數(shù)

g(x)=2x—f(x)的表達(dá)式，并求出g(x)的最大值和最小值；

(3)若f(x)=O的一根是0,記f(x)=0在區(qū)間[—1000,1000]上的

根數(shù)為N,求N的最小值。

解(1)由f(x+2)=f(2—x)及f(x+7)=f(7—x)得:f(x)的圖像關(guān)于直

線x=2,x=7對稱。

/.f(x)=f[(x-2)+2]

=f[2-(x-2)]=f(4-x)

=f[7-(3+x)]=f(7+(3+x))

=f(x+10)

，f(x)是以10為周期的周期函數(shù)。

.\f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9

(2)當(dāng)xW[16,17],x-10￡[6,7]

f(x)=f(x-10)=(x-10-2)2=(X-12)2

當(dāng)xe(17,20],x-20e(-3,0],4-(x-20)e[4,7)

f(x)=f(x-20)=f[4-(x-20)]

=f(24-x)=(x-22)2

?((2x-(x-12)2xe[16,17]

12^_(^_22)2(17,20]

Vxe[16,17]時,g(x)最大值為16,最小值為9；xe(17,20],

g(x)>g(17)=9,g(x)^g(20)=36

，g(x)的最大值為36,最小值為9。

(3)由f(0)=0,及f(0)=f(4)=0,知f(0)在[0,10)上至少有兩個解。

而在[—1000,1000)上有200個周期，至少有400個解。又

f(1000)=0

所以最少有401個解。且這401個解的和為一200。

注題中(2)可根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性、函數(shù)的周期性，通過

作圖得到

r/\_f(x_12)~X€[16,17]

“)一[(x-22)2XE(17,20]

一般地：當(dāng)x￡[—3,2]時，4-xe[2,7]

.*.f(x)=f(4-x)=(x-2)2

??.當(dāng)x￡[—3,7],f(x)=(x—2)2

故當(dāng)xe[-3+1Ok,7+1Ok],x-1Oke[-3,7]

2

f(x)=(x-10k-2)(kez)

Af(x)=(x-10k-2)2xe[-3+10k,7+10k],(keZ)

例3設(shè)a是正數(shù)，ax+y=2(x與0,y20),記y+3x—的最大值

是M(a),試求：

(1)M(a)的表達(dá)式；(2)M(a)的最小值。

解將代數(shù)式y(tǒng)+3x—；x2表示為一個字母，由ax+y=2解出y后

代入消元，建立關(guān)于x的二次函數(shù)，逐步進(jìn)行分類求M(a)。

(1)設(shè)S(x)=y+3x—gx?,將y=2—ax代入消去y,得：

S(x)=2—ax+3x—yx2

=-1X2+(3—a)x+2

=—1[x—(3—a)]2+1(3—a)2+2(x20)

Vy^O???2—ax20

而a>0??.OWxWZ

a

下面分三種情況求M(a)

(i)^0<3-a<-(a>0),即

a

0<a<3時

a~-3ci+2>0

解得Ovavl或2<a<3時

M(a)=S(3-a)=|(3-a)2+2

(ii)當(dāng)3—a22(a>0)即

a

>0

>2時，

解得：lWaW2,這時

M(a)=S(-)=2—a,-+3,---?(-)2

aaala

2,6

=——+-

aa

(iii)當(dāng)3—aWO；即a23時

M(a)=S(0)=2

綜上所述得：

；(3一。)2+2(0<a<1)

26

----7+-(1<a<2)

M(a)=<a'a

g(3一a))+2(2<a<3)

2(?>3)

(2)下面分情況探討M(a)的最小值。

當(dāng)0<a<l或2<a<3時

M(a)=l(3-a)2+2>2

當(dāng)lWaW2時

M(a)=-4+-=-2(-^-|)2+1

?.?lWaW2nyW1

2a

???當(dāng)U時,M(a)取小值，即

a2

M(a)2M(2)=|

當(dāng)a23時,M(a)=2

經(jīng)過比較上述各類中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。

注解題經(jīng)驗的積累，有利于解題思路的挖掘，對參數(shù)a的分類,

完全依據(jù)二次函數(shù)頂點的橫坐標(biāo)3-a是否在定義域區(qū)間［0,2］內(nèi),

a

這樣就引出三種狀態(tài)，找出解題的方案。

例4已知函數(shù)f(x)=x1/2.023(pWZ)在(0,+8)上是增函數(shù)，且在其

定義域上是偶函數(shù)。

(1)求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x)的解析式。

(2)對于(1)中求得的函數(shù)f(x),設(shè)函數(shù)g(x)=—qf[f(x)]+(2q

—l)f(x)+l,問是否存在實數(shù)q(q<0),使得g(x)在區(qū)間(一8,—4]上

是減函數(shù)，且在區(qū)間(一4,0)上是增函數(shù)。若存在，請求出來；若不

存在，請說明理由。

解(1)若y=x"在X￡(0,+8)上是遞增函數(shù)，則有a>0。

在(0,+8)上是增函數(shù)，

一^p2+p+1>0

解得：一kpv3,而p￡Z

/.p=0,l,2

當(dāng)p=0或2時，有f(x)=x5不是偶函數(shù)，故p=l,此時,f(x)=x?。

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行探索求解。

,.,f(x)=x2

/.g(x)=—qx4+(2q-1)x2+l

假設(shè)存在實數(shù)q(qvO)，使得g(x)滿足題設(shè)條件。設(shè)》<X2,則

g(x,)-g(x2)

4242

=-qX]+(2q—l)xi+qx2—(2q—l)x2

22

=(X]+x2)(x2—X])[q(x,+x2)—(2q—1)]

E~—

若XI,X2(°°,4],易知Xi+x2<0,x2—Xi>0,

要使g(x)在(一8,—4]上是遞減函數(shù)，則應(yīng)有

22

q(xI+X2)—(2q—1)<0

恒成立

Vx,<—4,x2^—4

，22

..X1+X2>32,而qvO

22

.'?q(X1+x2)<32q

從而要使q(x/+x22)<2q—1恒成立，貝必有2q—lN32q

即qW—工

又30

若X1，X2?(—4,0),易知(X1+X2)(X2—X］)<0,要使g(x)在(一4,

0)上是增函數(shù)，則應(yīng)有

22

q(xI+X2)—(2q—1)>0

恒成立

*.*—4<x1<0,—4<X2<0

,22

..X］+X2<32,而q<0

22

，q(x)+x2)>32q

要使q(x/+x22)>2q—1恒成立，則必有2q—1W32q,即

綜合以上兩方面，得q=—5

故存在實數(shù)q=—《，使得g(x)在(一8,—4］上是減函數(shù)，且在(一

4,0)上是增函數(shù)。

注本例是一道綜合性較強(qiáng)的題目。對于第(2)小題，還可以

從復(fù)合函數(shù)性質(zhì)方面來考慮，就有如下解法：

設(shè)t=x2,由g(x)在(一8,—4］上是減函數(shù)，在(一4,0)上是增函數(shù),

而t=x?在［16,+8)和(0,16)上都是增函數(shù)，得

h(t)=-qt2+(2q-l)t+l在(0,16)上是增函數(shù)，在［16,+°0)±

是減函數(shù)，從而可得

例5設(shè)函數(shù)f(x)定義域為R,當(dāng)x>0時，f(x)>l,且對任意x,y

￡R,有f(x+y)=f(x)?f(y)。

(1)證明：f(O)=l;

(2)證明：f(x)在R上是增函數(shù)；

(3)設(shè)集合A={(x,y)lf(x2)?f(y2)<f(l)},B={(x,y)lf(x+y+c)=1,c

eR},若AnB二°,求c的取值范圍。

解(1)證明：為使f(x+y)=f(x)?f(y)中出現(xiàn)f(0),借助當(dāng)x>0

時，f(x)>l。則設(shè)x=O,y=l得：

f(O+l)=f(O)?f(l),即f(l)=f(O)?f(l)

Vf(l)>lAf(O)=l

(2)證明f(x)在R上是增函數(shù),即證明當(dāng)X[<X2時，有f(xi)<f(x2)o

?.?對X1,X2GR,XI<X2,,有X2—XI>0

/.f(X2)=f(Xi+X2-Xi)=f(Xi)?f(x2—Xi)

中有f(x2—Xi)>l

故要證明f(x2)>f(xi),只要證明f(x0>0即可。

事實上，當(dāng)X]>0時，f(Xi)>l>0

當(dāng)X1=O時,f(Xi)=l>0

當(dāng)Xi<0時，f(xi),f(—xi)=f(xi—xi)=f(O)=1

又?〃(一xD>lAO<f(Xi)<l

故對于一切X]￡R,有f(Xi)>0

，

..f(x2)=f(x1),f(x2—Xi)>f(X1),故命題得證。

(3)解A：f(x2+y2)<f(l)?則由單調(diào)性知x2+y2〈l。

B：由f(x+y+c)=f(O)=l和函數(shù)單調(diào)性知

x+y+c=O

故若AnB二°,用圖形分析可得:只要圓x2+y2=l與直線x+y+c=O

相離或相切即可。

故上1三1?\CN后或

V2

注第(2)題也可作如下處理:

f(x),f(—x)=f(0)=l>0,得f(一x)=一!一，證得f(x)>0恒成立。

/(x)

>^=f(x2)?f(-x1)=f(x2-x1)>l

???f(X2)>f(X1)

例6已知二次函數(shù)f(x)=ax?+bx+c和一次函數(shù)g(x)=—bx,其中

a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=O(a,b,c￡R)。

(1)求證：兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點A、B；

(2)求線段AB在x軸上的投影A11的長度的取值范圍。

解

(1)證：由卜="/+/+'消去y,得ax?+2bx+c=0

y--bx

A=4b2—4ac

=4(—a—c)2-4ac

=4(a2+ac+c2)

=4[(a+|)2+|c2]

此證法不夠自然a>b>c/.a+-,c不同時為0

2

AA>0,即兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點。

(2)設(shè)方程ax22bx+c=0的兩根為x1和x2,則

,___2bc

XY1+XY2———,X|X2-----

aa

222

IA]BII=(XI—X2)=(XI+X2)—4XIX2

Va>b>c,a+b+c=O,a>0,c<0,

...產(chǎn)+C>0,解得￡W(—2,-1)

a+2c<0a2

???[與=4[(與2+￡+1]的對稱軸是￡=__1

aaaa2

二當(dāng)(-2-1)時，/(與為減函數(shù)

a2a

???IABFE(3,12),故IA[B||￡(十,2后)

例7二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實數(shù)p、q、r滿足

，一十—乙+二=0,其中m>0,求證：

/?2+2m+lm

(i)pf(/4)<o；

(2)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)恒有解。

解(1)pf(」4)=p[p(/4y+q(/4)+H=pm[/—^―+—]=pm

加+1m+\m+1(m+l)tn+1m

1Pm品】=P2m［舞普等］二一"丁由于f(x)是二

L(〃?+])2

次函數(shù)，故pWO,又m>0,所以，pf(-^-)<Oo

in+1

(2)由題意，得f(O)=r,f⑴=p+q+r。

①當(dāng)p>0時，由(1)知f(q)vO

m+1

若r>0,則f(0)>0,又(上-)v0,所以f(x)=O在(0,“)內(nèi)有解。

m+1m+l

若rWO,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)(————)+r=———>0又

m+2mm+2m

f(^-)<0,所以f(x)=O在(—』)內(nèi)有解。

m4-1m+l

②當(dāng)p<0時同理可證。

注(1)題目點明是“二次函數(shù)”，這就暗示著二次項系數(shù)pW

Oo若將題中的“二次”兩個字去掉，所證結(jié)論相應(yīng)更改。

(2)對字母p、r分類時先對哪個分類是有一定講究的，本題的

證明中，先對p分類，然后對r分類顯然是比較好。

例8設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),已知二次方程f(x)—x=0的

兩個根Xi與x滿足0<xi<x<-o

22a

(1)證明：當(dāng)u￡(O,X[)時，UVf(U)VXi；

(2)若f(x()—x)=f(x()+x),證明：2x0<xlo

證法一(1)令F(x)=f(x)—x,因為X],X2是方程f(x)—x=0的根,

所以可設(shè)

F(x)=a(x—xOCx—x2)

當(dāng)u￡(0,X])時,*.*X]<X2，?'.得

(u—X!)(u—x2)>0,又,二a〉。，得

F(u)=a(u—x])(u—x2)>0,即uvf(u)

X[—f(u)=x\—(u+F(u))

=(X1—u)[l+a(u—x2)]

*/0<u<Xi<x<-

2a

—

所以x?—u>0,1+a(u—x2)=1+au—ax2>1ax2>0,得x1一f(u)>0。

/.f(U)<X|

故當(dāng)uW(0,X])時，uvf(u)<Xi

(2)依題意得x0=一二

2a

,.?X1,X2是方程f(x)—X=0的兩根，即X],X2是方程

ax2+(b—1)x+c=0的根，

所以X]+X2=—B

a

(ax

x()_二b一_—Q二X]-+---)---—1_--—--+2~-—1

2a2a2a

ax<1,/.x<-=—,BP2x<x

202a20lo

證法二(1)..?方程f(x)—x=0的兩根為X],X2/.f(x)—x=a(x

-X1)(X-X2)

故欲證u<f(u)<xio0<f(u)—u<xi—uu0<a(u—xD(u—x2)<x{—

—

u<=0<a(x2u)<lo

(,.,u6(0,X]),??.X]—u>0)<=0<x—u<-(a>0)

2a

0<U<X2<-,?\0<X2—uv，成立。

aa

故U<f(U)<X]成立。

(2)由于方程x1,X2是方程f(x)—x=0的根，也即ax2+(b—l)x+c=0

的兩根。

X]+X2=—31=--+—

aaa

又0<x2<l,.,.xi+l>xi+x2=~

aaaa

a

XVxo=——<—,故2xoVX]。

2a2

注解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線方程的基本形式：y=a(x

—X1)(X—X2)。另外，要求掌握用差比較證明不等式的基本變形方向：

化為乘積式或非負(fù)數(shù)之和的形式。

例9設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=l對稱,

對任意X1,X26[O4],都有f(x1+x2)=f(x1)-f(x2),且f(l)=a>Oo

(1)求嗎)及叫)；

(2)證明f(x)是周期函數(shù)；

(3)記a=f(2n+—)，求lim(lna)。

nInn

2

解(1)Vf(l)=f(i+l)=f(l)-f(1)=f(l)=a

?**f(g)=±&

又「f(1)=f()=f2(1)>0???f(1)=a；

24442

1i

同理可得f(』)=ai

4

(2)?二f(x)是偶函數(shù)，，f(-x)=f(x)

又關(guān)于x=l對稱，/.f(x)=f(2—x)

/.f(x)=f(-x)=f[2-(-x)]=f(2+x)(x￡R)

這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期。

(3)對于x￡[0,1],<|e[0,1]

???f(x)=f(f+f)=f(f)-f(f)>0(xe[0,1])(V

=/('=.?.,其中/(9,…不能同時為0,.,?/(學(xué)工0)

Vf(1)=f(n-J-)=f[-L+(n-l)?±]

22n2n2〃

=f(±)-f[(n-l)-±]

2n2〃

2n

又???嗎)=a"??f(；)=a《

22n

???f(2n+；)=f(；)Aan=a^

2n2n

?e?lim(lnan)=lim(—Ina)二0

n—xx“TOO2rl

例10已知a,b,c是實數(shù)，函數(shù)f(x)=ax?+bx+c,g(x)=ax+b,當(dāng)一1

WxWl時，lf(x)lWl。

(1)證明：IcIWl;

(2)證明：當(dāng)一IWXWI時，lg(x)lW2;

(3)設(shè)a>0,當(dāng)一IWXWI時，g(x)的最大值為2,求f(x)。

解(1)取x=0?［—1,1］,由已知得：lcl=lf(O)lW1

(2)因為g(x)=ax+b是關(guān)于x的一次函數(shù)(也可能是常數(shù)函數(shù))，

所以g(x)在區(qū)間［―1,1］上單調(diào)(aNO時，單調(diào)遞增；avO時，單

調(diào)遞減)，所以要證lg(x)lW2,只要證明lg(l)lW2,lg(-l)lW2。

???一1,0』均在區(qū)間［—1,1］內(nèi)，，由已知得

lf(-l)l=la—b+clW1lf(1)l=la+b+clW1

；?lg(l)l=la+bl=la+b+c—clWla+b+cl+lclW2

lg(—l)l=la-bl=la—b+c—clWIa—b+cl+lclW2。

???當(dāng)一IWXWI時，lg(x)lW2。

(3)因為a>0時，g(x)在［-1,1］上是增函數(shù)，所以當(dāng)x=l時,

g(x)取得最大值2,即

2=g(l)=f(l)-f(0)

所以一lWf(O)=f(l)—2W1—2=—1

從而得：c=f(O)=l

又當(dāng)x￡［—1,1］時,f(x)^-l=f(O),表明二次函數(shù)f(x)在［―1,

1］上不單調(diào)，所以有一且f(-±)=f(0)=-lo

2a2a

乂山二次函數(shù)極值的惟一性得：

一2二°，即b=0,a=2,

所以f(x)=2x?—1o

注本題第(2)小題還可這樣證明：用f(—l),f(O),f⑴表示出

a,b,Co

a+b+c=/(I)

|Zt]<a—b+c-/(-I)

c=/(0)

解得：a=/⑴7-D-f(O),b=/⑴7T),c=f(O)

故lg(x)l=lax+bl

=1[/⑴7-D-f(O)]x+/⑴7-DI

=1等f⑴+與1-f(-l)-x-f(O)l

Wl等I?|f(l)|+|^_l||f(-1)l+lxl-lf(O)l

WEl+10+1

22

_x+]+]_.+[

~2~F

=2

................名師點撥..................

i③學(xué)科：數(shù)學(xué)

丫，習(xí)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)與方程綜合能力訓(xùn)練

【綜合能力訓(xùn)練】

一、選擇題

1.已知集合M={xlx2+6x-16>0},N={xl(x—k)(x—k—2)W0},Mn

NW0,則k的取值范圍是()

A.kv—8或k>0B.kv—8或k>2C.—8WkW0

D.kW—8或kNO

2.已知集合M={xb?=a2,aW{xlx是正實數(shù)}},集合N={xlnx二a,a

WO},若N臬M,則n取值的集合是()

A.{1}B.{-1}C.{-1,1}D.{-

1,0,1}

3.已知函數(shù)f(x)=x?,集合A={xlf(x-1)=ax,xGR},且AU{xlx是

正實數(shù)}={xlx是正實數(shù)},則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(―4,+°°)B.(―8,—1]C.(0,+°°)D.(―8,一

4]U[0,+°°)

4.函數(shù)y=—xVT=^的值域是()

A.[-乎,+8)B.(—8，一竽]c.[—：,+8]D.(一

+0°)

5.已知函數(shù)f(x)=-4x2+4ax-a2-4a(avO)在區(qū)間[0』]上有最大值

-12,則實數(shù)a的值為()

A.—1B.—2C.—3D.—6

6.函數(shù)f(x)=x2—2xsin9+sin0-1(0￡R)在區(qū)間［0,1］上的極小

值為g(sin。)，則g(sin。)的最小、最大值是()

A.最小值一1,最大值一』B.最小值一3,最大值一之

44

C.最小值一2,最大值一3D.無最小值，最大值一1

44

7.當(dāng)OWxWl時，函數(shù)y=ax+a—1的值有正值也有負(fù)值，則實數(shù)

a的取值范圍是()

A.a<-B.a>lC.av1或a>lD.-<a<l

222

8.若函數(shù)f(x)=(l—m)x2—2mx—5是偶函數(shù)，則f(x)()

A.先增后減B.先減后增C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減

9.定義在(一8,+8)上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)在區(qū)間(一

8,0］上的圖像關(guān)于X軸對稱，且f(x)為增函數(shù)，則下列各選項中能

使不等式f(b)—f(—a)>g(a)—g(—b)成立的是()

A.a>b>0B.a<b<0C.ab>0D.ab<0

10.將函數(shù)y='-+a的圖像向右平移2個單位后又向下平移2個

單位，所得圖像如果與原圖像關(guān)于直線y=x對稱，那么()

A.a=—1且bWOB.a=-1且b￡R

C.a=l且bWOD.a=l且b￡R

X

11.已知函數(shù)f(x)=loga［五一(2a)X］對任意￡［；,+8］都有意義，則

實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,-］B.(0,1)C.止，1)D.(1,

4444

12.指數(shù)函數(shù)y=a',當(dāng)x>l(或XV—1)時，恒有y>2,則a的取

值范圍是()

A.(1,1)U(1,2)B.(0,1)U(l,2)C.(l,2)D.(0,1)

U(2,+8)

二、填空題

13.函數(shù)y=瘍7+log,x的值域是。

2

14.已知f(x)=a"3(a為不等于1的正數(shù)),且f(lga)=Vw,則

a=o

15.x。是x的方程ax=logax(0<avl)的解，則x0,l,a這三個數(shù)的大小

關(guān)系是。

2

16.若函數(shù)f(x)=ax+blog2(x+Vx+1)+1在(-8,o)上有最小值一

3(a,b為非零常數(shù))，則函數(shù)f(x)在(0,+8)上有最值

為O

三、解答題

17.設(shè)f(x)是定義在(一8,4-00)上的函數(shù)，對一切X6R均有

f(x)+f(x+3)=0,且當(dāng)一IvxW1時，f(x)=2x—3,求當(dāng)2<xW4時，f(x)

的解析式。

18.已知函數(shù)f(x)=ax?+(b—8)x—a—ab,當(dāng)*￡(—3,2)時,其值為

正，而當(dāng)x￡(—8,-3)U(2,+8)時，其值為負(fù)，求a,b的

值及f(x)的表達(dá)式。

19.已知函數(shù)f(x)對于x>0有意義，且滿足條件

f(2)=l,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非減函數(shù)。

(1)證明f(l)=0;(2)若f(x)+f(x—2)三2成立，求x的取值范

圍。

xx+2

20.設(shè)集合A={xl4-2+a=0,xeR}o

(1)若A中僅有一個元素，求實數(shù)a的取值集合B；

(2)若對于任意a￡B,不等式x2—6xva(x—2)恒成立，求x的

取值范圍。

21.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù)，且aWO)滿足條件：f(x

—l)=f(3—x)且方程f(x)=2x有等根。

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在實數(shù)m,n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為

[m,n]和[4m,4n],如果存在，求出m,n的值；如果不存在，說明理

由。

22.已知函數(shù)f(x)=」-+lg比

X1-x

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并給予證明；

(2)若f(x)的反函數(shù)為r1(x),證明方程f7(x)=0有唯一解;

(3)解關(guān)于x的不等式f[x(x+l)]>l。

清做完隹業(yè)后再盲答案！

參考答案

【綜合能力訓(xùn)練】

l.A2.D3.A4.A5.D6.C7.D8.B9.A10.Cll.B

12.D13.［-log,5,+oo)14.10或1()Y15.a<x0<l16.大、5

17［解］Vf(x)+f(x+3)=0,f(x+3)=-f(x)

???當(dāng)一kxWl時，f(x)=2x—3,???當(dāng)一IWXWI時，f(x+3)=-f(x)=

—2x+3.

設(shè)x+3=t,則由一IvxWl得2VtW4,又x=t—3,于是f(t)=—2(t—

3)+3=-2t+9,故當(dāng)2<xW4時，f(x)=—2x+9.

18［解］依題意知］，?

/(2)=3。+2b--16=0②

①一②得：5a—5b+40=0,即a=b—8③，把③代入②，得b2—

13b+40=0,解得b=8或b=5,分別代入③，得a=0,b=8或a=—3,b=5.

檢驗知a=0,b=8不適合題設(shè)要求，a=—3,b=5適合題設(shè)要求，故

f(x)=-3x2-3x+18.

19.［解］(1)令x=2,y=l,則f(2Xl)=f(2)+f⑴，得f⑴=0.

(2)由f(x)+f(x-2)=f(x2-2x)22,而2=l+l=f(2)+f(2)=f(4),得

f(x2-2x)^f(4).

又???f(x)為非減的函數(shù)，.?.x2—2x24,即x2—2x—420,解得xN

1+/或xWl—

又因為f(x)對x>0有意義，故x>0且X—2>0,即x>2.由以上知

所求x的范圍為x>l+行.

20.［解］⑴令2x=t(t>0),設(shè)f(t)=f2-4t+a,由f(t)=0在(0,+°°)上

僅有一根或兩相等實根、有

①f(t)=0有兩等根時，△=()=>16—4a=0=>a=4.

驗證:t?—41+4=0小=2€(0,+8)這時x=l.

②f(t)=0有一正根和一負(fù)根時，f(0)v0nav0.

③若f(0)=0,則a=0,此時4X—2*2*=0=2，=0,(舍去)，或2*=4,

Ax=2,此時A中只有一個元素。

???實數(shù)a的取值集合為B={aWO或a=4}。

(2)要使原不等式對任意ae(—8,0］u{4}恒成立，即g(a)=(x—2)

a—(x2—6x)>0恒成立。

x<2

只須《x-2<0n5—717<xW2.

g(4)>0x2-10x+8<0

2L［解］(1)'??方程ax?+bx—2x=0有等根，，△二(b—2尸=0,得b=2。

由f(x—l)=f(3—x)知此函數(shù)圖像的對稱軸方程為x=-±=l,得

2a

a=-1,故f(x)=—X2+2X.

1

2n

(2)Vf(x)=-(x-l)+l^l,，4nWl,即4-

而拋物線y=—,X2+2X的對稱軸為x=L/,當(dāng)n七時,f(x)在［m,n］

上為增函數(shù)。

若滿足題設(shè)條件的m,n存在，則［丁)=丁

即1〃:+2m=4m=卜=。或"=一2又W1.

一〃2+2〃=4〃〃=0或〃=一24

.\m=-2,n=0,這時,定義域為［—2,0］,值域為［-8,0］。

由以上知滿足條件的m,n存在,m=—2,n=0.

22,解]⑴f(x)的定義域為(一1,1),設(shè)一則f(xD—

f(x?)=+l(1+xt)(i-x2)

fe

(l-x,)(l-x2)(l-x,)(l+x2)

V(1—X1)(l—X2)>0,X[—X2<0

...V0

(1—X])(1—x2)

又(1+X0C1-x2)>0,(1-x1)(l+x2)>0,(1+XiXl-x2)-(1-

XI)(1+X2)=2(X1—x2)<0

AQ<(1+X.)(1-X2)<1

(l-x,)(l+x2)

...]b(1+項)+(—2)<Q

(l-X,)(l+X2)

故f(X|)<f(X2),即f(x)在定義域(一1,1)內(nèi)是增函數(shù)。

(2)令x=0,得f(0)=l。即x=l是方程fT(x)=0的一個解，設(shè)X1W

。是f7(x)=o的另一解,則由反函數(shù)的定義知f(0)=x1W0,這與f(0)=1

矛盾，故r1(x)=o有且只有一個解。

(3)由f[x(x+l)]>l=f(0),且f(x)為定義在(-1,1)上的增函數(shù),

得0<x(x+l)<l,解得一l<x<—1或0vx<」產(chǎn)，這也即為不等

式f[x(x+l)]>l的解。

【考點梳理】

一、考試內(nèi)容

1.曲線和方程。由已知條件列出曲線的方程。充要條件。曲

線的交點。

2.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點、焦距。橢圓的幾何性質(zhì)：范圍、

對稱性、頂點、長軸、短軸、離心率、準(zhǔn)線。橢圓的畫法。

3.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點、焦距。雙曲線的幾何性質(zhì)：

范圍、對稱性、實軸、虛軸、漸近線、離心率、準(zhǔn)線。雙曲線的畫

法。等邊雙曲線。

4.拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點、準(zhǔn)線。拋物線的幾何性質(zhì)：

范圍、對稱性、頂點、離心率。拋物線的畫法。

5.坐標(biāo)軸的平移。利用坐標(biāo)軸的平移化簡圓錐曲線方程。

二、考試要求

1.掌握直角坐標(biāo)系中的曲線方程的關(guān)系和軌跡的概念。能夠

根據(jù)所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求曲線的方程，并畫出方程

所表示的曲線。

理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，能夠初步判斷給

定的兩個命題的充要關(guān)系。

2.掌握圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)。會根據(jù)所給的條

件畫圓錐曲線。了解圓錐曲線的一些實際應(yīng)用。

對于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個二次曲線的交點坐標(biāo)

的問題（兩圓的交點除外）。

3.理解坐標(biāo)變換的意義，掌握利用坐標(biāo)軸平移化簡圓錐曲線

方程的方法。

4.了解用坐標(biāo)研究幾何問題的思想，初步掌握利用方程研究

曲線性質(zhì)的方法。

三、考點簡析

1.“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念

在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作滿足某種條件的點的集

合或軌跡）上的點與一個二元方程f（x,y）=O的實數(shù)解建立了如下關(guān)

系：

（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。

那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。

2.充要條件

（1）對于已知條件A和條件B,若A成立則B成立，即AnB,

這時稱條件A是B成立的充分條件。

（2）對于已知條件A和條件B,若B成立則A成立，即BnA,

這時稱條件A是B成立的必要條件。

（3）若既有AnB,又有BnA,那么A既是B成立的充分條

件，又是B成立的必要條件，這時稱A是B成立的充要條件。

3.圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)（各選其中一種為

例，其余同理研究）如下表:

橢圓雙曲線拋物線

平面內(nèi)到兩個平面內(nèi)到兩個定

定點Fi、F2的點Fi、F2的距離平面內(nèi)到定點

距離之和等于之差的絕對值等F和定直線/

定義1

定值于定值的距離相等的

2a(2a>IFF2l的2a(0<2a<IFi點的軌跡

點的軌跡F2I,的點的軌跡

平囿內(nèi)到