2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

23銳角三角函數(shù)

中考命期訛明

考點(diǎn)課標(biāo)要求考查角度

通過實(shí)例認(rèn)識銳角三角函數(shù)，知道30。45。,

常以選擇題、填空題的形式考查銳

銳角三角60。角的三角函數(shù)值；會使用計(jì)算器由已知

1角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角

函數(shù)銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值

函數(shù)值的計(jì)算等.

求它對應(yīng)的銳角.

①會利用銳角三角函數(shù)解直角三角形；常以選擇題、填空題、解答題的形式

解直角三

2②能運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)考查運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角

角形

的簡單實(shí)際問題.形有關(guān)的實(shí)際問題，以應(yīng)用題為主.

知識澈1：就角三荒函數(shù)

交口

1.銳角三角函數(shù)的定義:

BC=a,AC=b

8sA=幺祟轡,

余弦:

斜邊c

^^￡,

余切:tanA==

ZA的鄰邊b

2.幾個重要公式:

設(shè)a是一個銳角，則sina=cos（90。一a）,cosa=sin（90°—a）,sin2a+cos2a=1.

3.特殊角的三角函數(shù)值：

asinacosatana

j_

30°在.

22

V2V2

45°1

22

也j_

60°百

22

4.銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律：

①當(dāng)0?！?0。時，sina（tana）隨著角度的增大（減?。┒龃螅p?。?/p>

②當(dāng)0。<。<90。時，cosa隨著角度的增大（減小）而減?。ㄔ龃螅?

翼魚用題

【例1】（4分）（2021?福建9/25）如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)P在48的延長線上，PC,

與。。相切，切點(diǎn)分別為C,D.若AB=6,PC=4,則sinNCAO等于（）

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形；圓周角定理

【分析】連接OC、OD、CD,CO交訊于E,如圖，利用切線的性質(zhì)和切線長定理得到OC

±CP,PC=PD,OP平分/CPD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OP_LC。，則

根據(jù)圓周角定理得到NC4￡>=」NCO￡>,所以/CO8=/（7AC,然后求出sin/COP即可.

2

【解答】解：連接。C、01）、CD,CO交心于E,如圖，

?：PC,PO與。O相切，切點(diǎn)分別為CD,

：.OCLCP,PC=PD,OP平分NCPD,

：.OPLCD.

:.CB=DB,

：.ZCOB=ZDOB,

；ZCAD=-ZCOD,

2

：.ZCOB=ZCADt

在RtZ\OCP中，OPNOC'PC?=，32+4?=5,

PC4

sinZCOP=—=",

OP5

4

/.sinZCAD=-.

5

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理和

解直角三角形.

【例2】（3分）（2021?天津2/25）tan30。的值等于（）

A.—B.—C.1D.2

32

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案.

【解答】解：tan30°=^.

3

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

【例3】（5分）（2021?北京17/28）計(jì)算：2sin6（T+疵+卜5|-（%+啦）

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)幕；特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】直接利用零指數(shù)幕的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，

分別化簡得出答案.

【解答】解：原式=2x1+2石+5-1

2

=V5+2>/3+5—1

=3\/3+4.

【點(diǎn)評】此題主要考查了零指數(shù)塞的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角

函數(shù)值等知識，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

【例4】(6分)(2021?云南15/23)計(jì)算：(-3『+四產(chǎn)+(亞-1)°-2一+|x(-6).

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)幕；特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)幕

【分析】先分別計(jì)算乘方，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)基，負(fù)整數(shù)指數(shù)’累，然后在按照有理

數(shù)的混合運(yùn)算順序和法則進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：原式=9+l+1」-4=6.

22

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)慕及負(fù)整數(shù)指數(shù)基，掌握

運(yùn)算順序準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵.

知識點(diǎn)2：解直角三角形

知聚點(diǎn)梳理

1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程,叫做解直角三

角形.

2.解直角三角形的常用關(guān)系：

在3RtZ\A8C中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b,則：

(1)三邊關(guān)系：a2+Z>2=c2.

(2)兩銳角關(guān)系：ZA+Zfi=90°.

(3)邊與角關(guān)系：sinA-cosB=—,cosA=sinB,tanA=—.

ccb

(4)sirPA+cos2A=1.

3.解直角三角形的應(yīng)用常用知識：

(1)仰角和俯角：

仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角.

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角.

(2)坡度和坡角

h

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度與水平寬度/的比:,叫做坡度或坡比，一般用i

表示.

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a,i=tana.

坡度越大，a角越大，坡面越陡.

（3）方向角（或方位角）

指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角叫做方向角.

北｛偏東30度

北偏西70度70?

東

西南方向?南偏東50度

f>

【例5】（4分）（2021?云南4/23）在△4BC中，ZABC=90°.若4c=100,sinA=°,則AB

5

的長是（）

A.@B.迎C.60D.80

35

【考點(diǎn)】解直角三角形

【分析】利用三角函數(shù)定義計(jì)算出8c的長，然后再利用勾股定理計(jì)算出A8長即可.

【解答】解：：AC=100,sinA=二，

5

：.BC=60,

：.AB=yjAC2-BC2=80,

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握正弦定義.

【例6】（6分）（2021?北京22/28）如圖，在四邊形A8C￡>中，/AC8=/。4。=90°,

點(diǎn)E在8c上，AE//DC,EFLAB,垂足為F.

（1）求證：四邊形AECZ）是平行四邊形；

4

（2）若AE平分NB4C,BE=5,cosB=-,求3尸和的長.

5

D

B，----------f-------憶

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形.

【分析】（1）證AO〃CE,再由AE〃/）C,即可得出結(jié)論；

（2）先由銳角三角函數(shù)定義求出8尸=4,再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分線的性

質(zhì)得EC=EF=3,最后由平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

【解答】（1）證明：；N4CB=NCA￡）=90°,

J.AD//CE,

\'AE//DC,

四邊形AECD是平行四邊形；

⑵解：'：EFVAB,

：.ZBFE=90",

..D4BF

?COSJD=—=,

5BE

44

**?BF=—BE=—x5=4>

55

EF=BE。-BF?=>/52-42=3,

YAE平分/8AC,EFLAB,ZACE=90°,

.*.EC=EF=3,

由（1）得：四邊形AEC力是平行四邊形，

：.AD=EC=3.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、角平分線的性質(zhì)以及勾

股定理等知識；熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，證明四邊形AECD為平行四邊形是解題的關(guān)

鍵.

【例7】（8分）（2021?西藏25/27）如圖，為了測量某建筑物CO的高度，在地面上取A,B

兩點(diǎn)，使A、8、。三點(diǎn)在同一條直線上，拉姆同學(xué)在點(diǎn)A處測得該建筑物頂部C的仰角為

30°,小明同學(xué)在點(diǎn)8處測得該建筑物頂部C的仰角為45°,且AB=10m.求建筑物CD

的高度.

（拉姆和小明同學(xué)的身高忽略不計(jì).結(jié)果精確到0.1m,百~1.732）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題

【分析】連接4C、BC,由銳角三角函數(shù)定義求出8D=C￡>,A￡>=68,再由

即可求解.

【解答】解：連接AC、BC,如圖所示：

由題意得：乙4=30。，ND8c=45。，48=10m,

在RtABDC中，tanNDBC=J=tan450=1,

BD

：.BD=CD,

在RU\AC￡>中，tanADAC=—=tan30°=—,

AD3

:.AD=&CD,

：.AB=AD-BD=43CD-CD=10（m）,

解得：8=56+5=13.7（m）,

答：建筑物CD的高度約為13.7m.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，求

出BD=CQ,A￡>=GCD是解答本題的關(guān)鍵.

【例8】（3分）（2021?山西14/23）太原地鐵2號線是山西省第一條開通運(yùn)營的地鐵線路，

于2020年12月26日開通，如圖是該地鐵某站扶梯的示意圖，扶梯A8的坡度z=5：12（為

鉛直高度與水平寬度的比）.王老師乘扶梯從扶梯底端A以0.5米/秒的速度用時40秒到達(dá)

扶梯頂端8,則王老師上升的鉛直高度BC為米.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題

【分析】由坡度的定義，可設(shè)8c=5〃米，則AC=12。米，再由勾股定理得出方程，解方程即

可求解.

【解答】解：由題意得：ZACB=90°,AB=0,5X40=20（米）,

:扶梯A3的坡度i=5:12=----

AC

：.設(shè)BC=5a米，則AC=12。米，

由勾股定理得：（5。）2+（12。）2=2。2,

解得：a=—（負(fù)值已舍去）,

13

（米）,

故答案為：—.

13

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題以及勾股定理等知識；熟練掌握坡

度的定義和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【例9】（10分）（2021?天津22/25）如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔257海

里的A處遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號.一艘救生船位于燈塔C的南偏東40°方向上，同時位于A

處的北偏東60°方向上的8處，救生船接到求救信號后，立即前往救援.求AB的長（結(jié)果

取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：tan40°=0.84,G取1.73.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題

【分析】通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的意義列方程求解即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BH_LAC,垂足為“，

由題意得，NBAC=60。，NBC4=40。，AC=257,

在Rt/XABH中，

VtanZBAW=—,cosZBAH=—

AHAB

AU

BH=AHtan600=6AH，AB=---------=2AH，

cos60°

在RtABC/7中,

BH

tanZBC/7

~CH

.?.C"=*=回

tan40°tan40°

又???CA=CH+AH,

AH

257=6+AH,

tan40°

257xtan400

所以A”

tan40。+百

...AB=2x257xtan；0?！?x257x0.84=儂（海里）,

tan40°+61.73+0.84

答：AB的長約為168海里.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

【例10】（10分）（2021?青海24/25）如圖1是某中學(xué)教學(xué)樓的推拉門，已知門的寬度AO

=2米，且兩扇門的大小相同（即AB=C￡））,將左邊的門ABBiA繞門軸A4i向里面旋轉(zhuǎn)

35°,將右邊的門CQQiCi繞門軸。。向外面旋轉(zhuǎn)45°,其示意圖如圖2,求此時8與C

之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin35°?0.6,cos35°g0.8,^^1.4）

圖1圖2

【考點(diǎn)】生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；解直角三角形的應(yīng)用.

【分析】作BE1AD于點(diǎn)E,作CFA.AD于點(diǎn)F,延長FC到點(diǎn)M,使得BE=CM,則EM

=BC,在RtZ\A8E、RtaCDF中可求出AE,BE、DF、FC的長度，進(jìn)而可得出EF的長度，

再在RtAMEF中利用勾股定理即可求出EM的長，此題得解.

【解答】解：作于點(diǎn)E,作CKL4力丁點(diǎn)尸，延長尸C到點(diǎn)M,使得BE=CM,

：.AB=CD=\,

在中，NA=35°,A8=l,

ABE=AB'sinZA=IXsin350g0.6,

：.AE=AB-cosZA=\Xcos35°?=0.8,

在RtZ\C￡）尸中，ZD=45°,CD=\,

.?.CF=CZ>sinND=lXsin45°-0.7,

ADF=CD^cosZD=1Xcos45°40.7,

'：BE±AD,CFLAD,

：.BE//CM,

又YBE=EM,

四邊形BEMC是平行四邊形，

:.BC=EM,

在RtAMEF中，F(xiàn)M=CF+CM=1.3,EF=AD-AE-尸D=0.5,

EM=\lEF2+FM2=Vi-94卷1.4.

答：8與C之間的距離約為1.4米.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造直

角三角形，利用勾股定理求出8c的長度是解題的關(guān)鍵.

【例11］（8分）（2021?江西20/23）圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的

實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄8c與手臂MC始終在同一直線上，槍身54與額

頭保持垂直.量得胳膊MV=28tTO,MB=42cm,肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為

25.3cm（即MP的長度），槍身BA=8.5c7w.

（1）求N4BC的度數(shù)；

（2）測溫時規(guī)定槍身端點(diǎn)A與額頭距離范圍為3~5cm.在圖2中，若測得/BMN=68.6°,

小紅與測溫員之間距離為50cm.問此時槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？

并說明理由.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（參考數(shù)據(jù):sin66.4°*=0.92,cos66.4°=0.40,sin23.6°*=0.40,&弋1.數(shù)據(jù)

D

測d

蚩

紅

員

圖1圖2

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

［分析］（1）過點(diǎn)B作BH±MP,垂足為H,根據(jù)解直角三角形cosZBMH=—=—=0.4,

BM42

即可計(jì)算出N8MH的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可算出N48C的度數(shù)；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和已知條件可計(jì)算出NNM/的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)即可算出M/的

長度，再根據(jù)已知條件即可算出PK的長度，即可得出答案.

【解答】解：（1）過點(diǎn)8作垂足為”，過點(diǎn)例作垂足為/,過點(diǎn)P

作PK_L￡）E,垂足為K,

G?方

圖3

,

：MP=25.3cmfBA=HP=8.5cm,

:?MH=MP-HP=25.3-8.5=16.8(cm),

在RtZXBMH中,

c°s〃MH=^=闞

0.4,

BM42

???N8MH=66.4°,

\'AB//MP,

：.ZBMH+ZABC=]S00,

ZABC=180°-66.4°=113.6°；

(2)???NABC=1800-ZBMH=180°-66.4°=113.6°.

?N6MN=68.6°,ZBMH=66.4°，

?NMW=180°?NBMN-NBMH=184°-68.6°-66.4°=45

'MN=28cm,

…MIMI

?cos45=-----

MN28

.M/Q19.74。次,

?KI=50cm,

.PK=KI-MI-MP=5Q-19.74-25.3=4.96^5.0(c/w),

.此時槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是在規(guī)定范圍內(nèi).

【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法進(jìn)行計(jì)算是解

決本題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)雄

1.(6分)(2021?呼倫貝爾?興安盟18/26)計(jì)算：-22-2sin60°+|l-x/3|-

2.（5分）（2021?通遼18/26）計(jì)算：弓尸+（乃-3）°-2cos30。+|3-屈|.

3.（3分）（2021?西藏14/27）計(jì)算：（萬一3）°+（-；）-?-4sin30°=3.

4.（5分）（2021?新疆15/23）如圖，已知正方形ABC。邊長為1,￡為AB邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)

。為中心，將△￡>/!￡按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得△￡>（7/，連接EF,分別交3D,CD于點(diǎn)M,N.若

5.(10分)(2021?上海21/25)如圖，已知△A3。中，AC_LBZ),8c=8,CZ)=4,cosZABC=-,

5

BF為AO邊上的中線.

（1）求AC的長；

（2）求tan/尸的值.

6.（6分）（2021?廣東20/25）如圖，在RtZsABC中，ZA=90°,作3c的垂直平分線交AC

于點(diǎn)。，延長AC至點(diǎn)E,使CE=AB.

（1）若Af=l,求△A8O的周長；

(2)若AZ)=1B。，求tanNABC的值.

3

7.（12分）（2021?河北26/26）在一平面內(nèi)，線段48=20,線段BC=C￡）=D4=10,將這

四條線段順次首尾相接.把AB固定，讓AQ繞點(diǎn)A從AB開始逆時針旋轉(zhuǎn)角a（a>0°）

到某一位置時，BC,C。將會跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置.

論證：如圖1,當(dāng)AQ〃BC時，設(shè)AB與CO交于點(diǎn)0,求證：AO=10；

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=60°時，/ADC的度數(shù)可能是多少？

嘗試：取線段CQ的中點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)5距離最大時，求點(diǎn)M到AB的距離；

拓展：①如圖2,設(shè)點(diǎn)。與8的距離為d,若的平分線所在直線交A8于點(diǎn)P,直接

寫出BP的長（用含d的式子表示）；

②當(dāng)點(diǎn)C在A8下方，且與C￡＞垂直時，直接寫出a的余弦值.

.4-------------------------------B

備用圖2

8.（3分）（2021?呼和浩特8/24）如圖，正方形的邊長為4,剪去四個角后成為一個正八邊

形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d,根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”思想，

如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計(jì)衣的值，下面d及衣的值都正

確的是（）

A.4=8(&-1),7“8sin22.5°

sin22.5°

B.1=4(及一1),乃a4sin22.5。

sin22.5°

C.V-l),萬。8sin22.5。

sin22.5°

D.d=8（及1）,乃R4sin22.5°

sin22.5°

9.（3分）（2021?包頭12/26）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的OA邊在*軸的正半

軸上，OC邊在y軸的正半軸上，點(diǎn)6的坐標(biāo)為（4,2）,反比例函數(shù)y=4（x>0）的圖象與

x

BC交于點(diǎn)D,與對角線OB交于點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)尸，連接。。，DE,EF,

DF.下列結(jié)論：

①sinZ￡）OC=cosZBOC；②OE=BE；③2皿=；?OD.DF=2:3.

10.（3分）（2021啷爾多斯10/24）如圖①，在矩形加CD中，”為8邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)M

從點(diǎn)A出發(fā)沿折線A”-CB運(yùn)動到點(diǎn)B停止，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿AB運(yùn)動到點(diǎn)

3停止，它們的運(yùn)動速度都是lax/s,若點(diǎn)M、N同時開始運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為r（s）,△

AMN的面積為S?1）,已知S與f之間函數(shù)圖象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的是（）

②在運(yùn)動過程中，使得aAOM為等腰三角形的點(diǎn)M一共有3個.

③當(dāng)0<%,6時，s=—t2.

4

④當(dāng)，=9+6時，

⑤當(dāng)9vf<9+3百時，S=-3t+9+3y/3.

A.①③④B.①③⑤C.①②@D.③④⑤

11.（3分）（2021?赤峰16/26）某滑雪場用無人機(jī)測量雪道長度.如圖，通過無人機(jī)的鏡頭

。測一段水平雪道一端A處的俯角為50°,另一端3處的俯角為45°,若無人機(jī)鏡頭C

處的高度8為238米，點(diǎn)A,。，3在同一直線上，則雪道AB的長度為538米.（結(jié)

果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sin50°v0.77,cos50°?0.64,tan50°?1.19）

12.（12分）（2021?赤峰24/26）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、相交于點(diǎn)M,

。。經(jīng)過點(diǎn)B,C,交對角線BD于點(diǎn)E,且CE=BE,連接OE交BC于點(diǎn)F.

（1）試判斷AB與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若30=%逐，tanZCB￡）=-,求。O的半徑.

52

13.（7分）（2021?呼倫貝爾?興安盟22/26）如圖，在山坡AP的坡腳A處豎有一根電線桿

AB（即AB工MN）,為固定電線桿，在地面。處和坡面。處各裝一根引拉線3c和比），

它們的長度相等，測得AC=6米，tan/BC4=±,NRW=30°,求點(diǎn)。到A3的距離.

3

14.（8分）（2021?呼和浩特20/24）如圖，線段E尸與表示某一段河的兩岸，EF//MN.綜

合實(shí)踐課上，同學(xué)們需要在河岸上測量這段河的寬度（EF與之間的距離），已知河

對岸EF上有建筑物C、D,且CO=60米，同學(xué)們首先在河岸MN上選取點(diǎn)A處，用測角儀

測得C建筑物位于A北偏東45°方向，再沿河岸走20米到達(dá)B處，測得D建筑物位于B

北偏東55。方向，請你根據(jù)所測數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表

示即可）

15.（7分）（2021?通遼21/26）如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行.為測量

其寬度，小明在南岸邊3處測得對岸邊A處一棵大樹位于北偏東60°方向，他以1.5m/s

的速度沿著河岸向東步行40s后到達(dá)C處，此時測得大樹位于北偏東45°方向，試計(jì)算此

段河面的寬度（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：L732）

16.（8分）（2021?鄂爾多斯20/24）圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，

手機(jī)放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，托板長檢=115切機(jī)，支撐板長CD=70w〃，

板AB固定在支撐板頂點(diǎn)C處，且CB=35mm,托板A5可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞

點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，ZCDE=60°.

（1）若ZDCB=10°時，求點(diǎn)A到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個位）；

（2）為了觀看舒適，把（1）中NDCB=7（T調(diào)整為90。，再將CD繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)，使

點(diǎn)6落在直線上上即可，求C￡＞旋轉(zhuǎn)的角度.

（參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.8,cos50°?0.6,tan50°?1.2,sin26.6°?0.4,cos26.6°?0.9,

tan26.6°才0.5,6Pl.7）

圖①圖②備用圖

17.（9分）（2021?鄂爾多斯21/24）如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交

AC于點(diǎn)。，BC于點(diǎn)、E,直線4，AC于點(diǎn)尸，交A6的延長線于點(diǎn)H.

（1）求證：“尸是。。的切線;

（2）當(dāng)EB=6,cosZABE=1時，求tan”的值.

3

18.（4分）（2021?重慶A卷10/26）如圖，相鄰兩個山坡上，分別有垂直于水平面的通信基

站和ND.甲在山腳點(diǎn)C處測得通信基站頂端M的仰角為60°,測得點(diǎn)C距離通信

基站MA的水平距離CB為30優(yōu)；乙在另一座山腳點(diǎn)F處測得點(diǎn)F距離通信基站ND的水

平距離EE為50%測得山坡的坡度i=l：L25.若ND=）DE,點(diǎn)C,B,E,F

8

在同一水平線上，則兩個通信基站頂端M與頂端N的高度差為（參考數(shù)據(jù)：&=1.41,

石=1.73）（）

A.9.0/7?B.12.8mC.13.1mD.22.7加

19.（4分）（2021?重慶B卷10/26）如圖，在建筑物A3左側(cè)距樓底3點(diǎn)水平距離150米的

C處有一山坡，斜坡CC的坡度（或坡比）為1=1：2.4,坡頂。到8c的垂直距離QE=50米

（點(diǎn)A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)。處測得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50。，則建筑

物AB的高度約為（）

（參考數(shù)據(jù):sin500=0.77；cos50°~0.64；tan50°~1.19）

A

CEB

A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米

20.（4分）（2021?廣東16/25）如圖，在D4BCD中，AD=5,AB=\2,sinA=-.過點(diǎn)

5

。作。ElAB,垂足為E,貝iJsinNBCE=見叵.

-50一

21.（8分）（2021?安徽17/23）學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，學(xué)習(xí)制作機(jī)械零件.零件的截面如圖

陰影部分所示，已知四邊形4EFO為矩形，點(diǎn)8、C分別在ER。尸上，NABC=90°,Z

840=53°,AB=10cm,BC=6cm.求零件的截面面積.參考數(shù)據(jù)：sin53°"0.80,cos53°

口.60.

CD

22.（9分）（2021?河南19/23）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧

舍那佛像是石窟中最大的佛像.某數(shù)學(xué)活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度.如圖,

他們選取的測量點(diǎn)A與佛像BD的底部D在同一水平線上.已知佛像頭部BC為4加,在

A處測得佛像頭頂部B的仰角為45。，頭底部C的仰角為37.5°,求佛像BD的高度（結(jié)

果精確到0.1加.參考數(shù)據(jù)：sin37.5°?0.61,cos37.5°?0.79,tan37.5。右0.77）.

23.（10分）（2021?新疆20/23）如圖，樓頂上有一個廣告牌A8,從與樓BC相距15加的。

處觀測廣告牌頂部A的仰角為37°,觀測廣告牌底部B的仰角為30°,求廣告牌AB的高

度.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.60,cos37°*0.80,tan37°=0.75,

及七1.41,y[3^1.73）

□□□

□□□

□□□

□□□

□□□

□□□

24.（11分）（2021?新疆22/23）如圖，AC是。。的直徑，BC,KD是。。的弦，M為

BC的中點(diǎn)，OM與BD交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DE1BC,交BC的延長線于點(diǎn)石，且CD

平分Z4CE.

（1）求證：。石是。。的切線；

（2）求證：Z.CDE=ZDBE.

（3）若。E=6,tan/CDE=-,求班'的長.

3

25.（9分）（2021?河北23/26）如圖是某機(jī)場監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號指揮機(jī)（看

成點(diǎn)P）始終以3加的速度在離地面弘機(jī)高的上空勻速向右飛行，2號試飛機(jī)（看成點(diǎn)

。）一直保持在1號機(jī)P的正下方.2號機(jī)從原點(diǎn)0處沿45°仰角爬升，到4km高的A處

便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過\rnin到達(dá)B處開始沿直線BC降落，要求\rnin后到達(dá)C（10,

3）處.

（1）求0A的/?關(guān)于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號機(jī)的爬升速度;

（2）求BC的/?關(guān)于s的函數(shù)解析式，并預(yù)計(jì)2號機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）通過計(jì)算說明兩機(jī)距離PQ不超過3km的時長是多少.

［注：（1）及（2）中不必寫s的取值范圍］

26.（6分）（2021?陜西21/26）一座吊橋的鋼索立柱AO兩側(cè)各有若干條斜拉的鋼索，大致

如圖所示.小明和小亮想用測量知識測較長鋼索A3的長度.他們測得/A2O為30°,由

于8、。兩點(diǎn)間的距離不易測得，通過探究和測量，發(fā)現(xiàn)/4CZ）恰好為45°,點(diǎn)B與點(diǎn)C

之間的距離約為16〃?.已知B、C、。共線，AD±BD.求鋼索AB的長度.（結(jié)果保留根號）

27.（10分）（2021?海南20/22）如圖，在某信號塔AB的正前方有一斜坡8,坡角

ZCDK=30°,斜坡的頂端C與塔底B的距離8C=8米，小明在斜坡上的點(diǎn)E處測得塔頂

A的仰角ZA￡?V=60。，CE=4米，且BC//NE//KD,A8L8C（點(diǎn)A,B,C,D,

E,K,N在同一平面內(nèi)）.

（1）填空：NBCD=150度,NAEC=度；

（2）求信號塔的高度AB（結(jié)果保留根號）.

_C_'、、

28.（8分）（2021?山西21/23）某公園為引導(dǎo)游客觀光游覽公園的景點(diǎn)，在主要路口設(shè)置了

導(dǎo)覽指示牌，某?！熬C合與實(shí)踐”活動小組想要測量此指示牌的高度，他們繪制了該指示牌

支架側(cè)面的截面圖如圖所示，并測得43=100。加，BC=S0cm,ZABC=UO0,ZBCD=75。,

四邊形DEFG為矩形，且DE=5cm.請幫助該小組求出指示牌最高點(diǎn)A到地面EF的距離

（結(jié)果精確到0.1cm.參考數(shù)據(jù)：sin75°70.97,cos75”0.26,tan75°?3.73,72?1.41）.

29.（8分）（2021?西臧26/27）如圖，是。。的直徑，OC是半徑，延長OC至點(diǎn)。.連

接AD,AC,3C.使NC4D=Zfi.

（1）求證：AO是。。的切線；

（2）若AD=4,ianZC4D=-,求5c的長.

2

腔------/

30.（7分）（2021?吉林22/26）數(shù)學(xué)小組研究如下問題：長春市的緯度約為北緯44°,求北

緯44°緯線的長度，小組成員查閱了相關(guān)資料，得到三條信息：

（1）在地球儀上，與南，北極距離相等的大圓圈，叫赤道，所有與赤道平行的圓圈叫緯線；

（2）如圖，。。是經(jīng)過南、北極的圓，地球半徑0A約為64005?.弦BC〃O4,過點(diǎn)。作

OKLBC于點(diǎn)K,連接06.若408=44°,則以8K為半徑的圓的周長是北緯44°緯

線的長度；

（3）參考數(shù)據(jù)：R取3,sin44°=0.69,cos440=0.72.

小組成員給出了如下解答，請你補(bǔ)充完整：

解：因?yàn)?C〃OA,ZAOB=44°,

所以N5=ZAOB=44。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）（填推理依據(jù)），

因?yàn)镺K1BC,所以NBKO=90°,

在RtZ\80K中，08=04=6400.

BK=OBx（填”sinB”或“cosB”）.

所以北緯44°的緯線長C=2萬-8K.

=2x3x6400x（填相應(yīng)的三角形函數(shù)值）

=—（km）（結(jié)果取整數(shù)）.

鞏固訓(xùn)綜解析

1.（6分）（2021?呼倫貝爾?興安盟18/26）計(jì)算：-2-2-25m60。+|1-石|-竹.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)暴；特殊角的三角函數(shù)值

【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、絕對值的

性質(zhì)分別化簡得出答案.

【解答】解：原式=~1一2速+6-1-立=-二6+6-1-立=工立.

4234343

【點(diǎn)評】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、絕

對值的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

2.（5分）（2021?通遼18/26）計(jì)算：9T+（%-3）°-2cos30。+13-.

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；負(fù)整數(shù)指數(shù)幕；實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【分析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)次暴、零指數(shù)暴、特殊三角函數(shù)、絕對值的運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即

可.

【解答】解：原式=2+1-2x且+26-3

2

=-6+2逝

■

【點(diǎn)評】此題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握負(fù)整數(shù)次暴、零指數(shù)幕、特殊三角函數(shù)、絕對值的

運(yùn)算法則是解決此題關(guān)鍵.

3.（3分）（2021?西藏14/27）計(jì)算：（萬一3）°+（-1）人一4sin30°=3.

【考點(diǎn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)基；特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)基；實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【分析】直接利用零指數(shù)塞的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡

得出答案.

【解答】解：原式=1+4-4x2=1+4-2=3.

2

故答案為：3.

【點(diǎn)評】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)哥的性質(zhì)，正

確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

4.（5分）（2021?新疆15/23）如圖，已知正方形AfiCD邊長為1,E為AB邊上一點(diǎn),以點(diǎn)

力為中心，將△ZME按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得△OC尸，連接斯，分別交班），CD于點(diǎn)M,

N.若任=2,貝!JsinN￡DM=—.

DN5-5-

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形

【分析】過點(diǎn)E作EG_L3￡＞于點(diǎn)G,設(shè)AE=2x,則DN=5x,易證△FNCs△尸E8,得

—,求出x的值，進(jìn)而得到AE,EB的值，根據(jù)勾股定理求出ED,在RtZ\EBG中

EBBF

求出EG,根據(jù)正弦的定義即可求解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)￡作石G_La）于點(diǎn)G,

設(shè)AE=2x,則DV=5x,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：CF=AE=2x,ZDCF=ZA=90°,

四邊形ABCD是正方形，

:.ZDCB=90°,ZABC=90。，NABD=45。,

.-.ZDCB+ZDCF=180°,ZDCB=ZABC,

.,.點(diǎn)3,C,尸在同一條直線上，

ZDCB=ZABCfZNFC=ZEFB,

??.△FNCS^FEB,

NC_CF

~EB~~BF'

l-5x_2x

l-2xl+2x

解得：x,=—1（舍去），X-,=—

-6

AE=2xl=l,

63

ED=\lAE2+AD'=

EB=AB-AE=l--=~,

33

在Rt^EBG中，EG=BE-sin450=-x—=—,

323

也

sinZEDM=—=~^=

EDVio5

故答案為：f

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形,

證明出求出x的值是解題的關(guān)鍵.

5.(10分)(2021?上海21/25)如圖，已知△4BO中，AC_L8。,BC=8,CD=4,cosZABC=-,

5

3尸為A。邊上的中線.

(1)求AC的長；

(2)求tan/FB。的值.

C

【考點(diǎn)】解直角三角形

【分析】(1)解銳角三角函數(shù)可得解；

(2)連接CR過尸作的垂線，垂足為E,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可

得CF=fD,由勾股定理可得A￡>=2g,EF=2,即可求tanNFBD

A

【解答】解：(1),**cosZ.ABC-=-,BC=8>

AB5

AAB=10,

9：AC±BD,

在RtZXACB中，由勾股定理得，

AC=^AB'-BC2=^102-82=6,

即AC的長為6；

(2)如圖，

連接CF,過尸作3。的垂線，垂足為E,

B尸為4。邊上的中線，

即尸為A。的中點(diǎn)，