第一章隨機(jī)過(guò)程的基本概念

自然界和現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的現(xiàn)象一般分為兩類現(xiàn)象，一類為確定性現(xiàn)象，另

一類為不確定性現(xiàn)象。

何謂確定性現(xiàn)象呢？如果我們向上拋一支粉筆，則該粉筆必然下落；水在

100C必然會(huì)開(kāi)；同性相斥，異性相吸等等，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。大學(xué)一

二年級(jí)所學(xué)的微積學(xué)、代數(shù)、議程等主要是研究確定性現(xiàn)象。

對(duì)于確定性現(xiàn)象又可稱為必然現(xiàn)象。必然現(xiàn)象的主要特點(diǎn)是條件和結(jié)果之間

存在著必然聯(lián)系，即條件具備，某種結(jié)果必然發(fā)生，因此我們可由條件預(yù)測(cè)結(jié)果。

而另一類現(xiàn)象在自然界社會(huì)工程中也是經(jīng)常出現(xiàn)，即不確定性現(xiàn)象，又可稱

為隨機(jī)現(xiàn)象，或偶然現(xiàn)象，其特點(diǎn)是條件和結(jié)果之間不存在的必然聯(lián)系，無(wú)必然

的因果關(guān)系，因此不能用必然條件的方法來(lái)加以定量研究。如，在相同條件拋同

一枚硬幣，其出現(xiàn)的結(jié)果可能有兩種，正面或反面，但最終結(jié)果到底是正面還是

反面不能預(yù)先斷言。又如商店每天的營(yíng)業(yè)額，一天中不同時(shí)刻的氣溫等這些現(xiàn)象

都是不確定現(xiàn)象。由于不確定現(xiàn)象不存在因果關(guān)系，是不是它們就沒(méi)有規(guī)律可研

究呢？

事實(shí)上，人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐研究后發(fā)現(xiàn)，雖然隨機(jī)現(xiàn)象就每一次試驗(yàn)結(jié)果來(lái)

說(shuō)具有不確定性，但在相同條件下大量重復(fù)試驗(yàn)其結(jié)果就呈現(xiàn)出某種規(guī)律性，著

名的蒲豐試驗(yàn)表明在相同條件下大量重復(fù)拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)大致等于

出現(xiàn)反面的次數(shù)。

上述事實(shí)表明，隨機(jī)現(xiàn)象從一次試驗(yàn)上看，似乎沒(méi)有什么規(guī)律存在，但當(dāng)它

們大量出現(xiàn)時(shí)，從總體上講卻呈現(xiàn)出一種總體規(guī)律性，這就是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種統(tǒng)

計(jì)規(guī)律的存在，就是隨機(jī)數(shù)學(xué)的研究基礎(chǔ)。因此今后我們?cè)陔S機(jī)數(shù)學(xué)中，一說(shuō)“統(tǒng)

計(jì)規(guī)律”時(shí)大家就要想到大量重復(fù)的試驗(yàn)。

概率統(tǒng)計(jì)隨機(jī)過(guò)程就是研究隨機(jī)現(xiàn)象是否具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。

統(tǒng)計(jì)方法的基本思想是從一組樣本分析、判斷整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)，或判定某一

論斷以多大的概率來(lái)保證其正確性，或算出發(fā)生錯(cuò)誤判斷的概率,簡(jiǎn)言之就是''由

局部推測(cè)總體”，“由特殊來(lái)研究一般”，是歸納法的具體應(yīng)力。為了研究隨機(jī)現(xiàn)

象，下面我們首先需要給出如下幾個(gè)定義解釋：

隨機(jī)試驗(yàn)：具有下述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。

①可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行。

②每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先確定試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。

③每次試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。

隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。

必然事件：隨機(jī)試驗(yàn)中必然發(fā)生的事情。

注意必然事件和不可能事件不是隨機(jī)事件，但為了今后討論，我們把它作一

種特殊的隨機(jī)事件。

樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（事件樣本），組成的集合叫做隨

機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，記為S。

隨機(jī)變量：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間S={e},如果對(duì)于每一個(gè)ewS,

都有一個(gè)實(shí)數(shù)X（e）與之對(duì)應(yīng)，則X為定義在S上的隨機(jī)變量。

有了隨機(jī)變量我們就可以在一定的統(tǒng)計(jì)意義下，定量地用隨機(jī)變量描述隨機(jī)

現(xiàn)象的變化規(guī)律，從而達(dá)到認(rèn)識(shí)世界和改造世界的目的。

再者，引入了隨機(jī)變量，我們可以利用數(shù)學(xué)分析的方法更好地研究隨機(jī)現(xiàn)象。

由此我們可以簡(jiǎn)單的說(shuō)概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象就是研究隨機(jī)世界（空間）中隨

機(jī)變量的變化規(guī)律，為此我們自然需要考慮建立隨機(jī)變量的“函數(shù)關(guān)系”，這個(gè)

“函數(shù)關(guān)系”在隨機(jī)數(shù)學(xué)中我們一般用隨機(jī)變量的分布函數(shù)、或者分布律及數(shù)字

特征等來(lái)描述。

§1.1隨機(jī)過(guò)程的概念引入

我們知道，在自然界中的變化過(guò)程可以廣義地分為兩類。一類為確定性過(guò)程,

另一類為不確定性過(guò)程或隨機(jī)過(guò)程。

何謂過(guò)程呢？通俗講凡和時(shí)間有關(guān)的變化稱為過(guò)程。

例如真空中的自巾落體運(yùn)動(dòng)，假定初速為零，則有

1,

X⑴=”t>0

這個(gè)函數(shù)關(guān)系確定了物體在任意時(shí)刻r>0離開(kāi)初點(diǎn)的精確位置，存在必然確

定的因果關(guān)系，顯然X與時(shí)間f有關(guān)，構(gòu)成一個(gè)過(guò)程。這個(gè)過(guò)程我們把它稱為確

定性過(guò)程。另一類過(guò)程是沒(méi)有確定的變化形式，沒(méi)有必然的變化規(guī)律，如商店每

天的營(yíng)業(yè)額顯然是一個(gè)不確定量即隨機(jī)變量，進(jìn)一步分析知該營(yíng)業(yè)額"還

和時(shí)間f有關(guān)，即M。），由此M構(gòu)成一個(gè)過(guò)程，這里稱這個(gè)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程；

又如傳呼臺(tái)傳呼小組每天接到傳呼的次數(shù)，X顯然不能確定，即為隨機(jī)變量,

進(jìn)一步分析知這個(gè)X還和時(shí)間f有關(guān)，即XQ）,所以X⑺也構(gòu)成一個(gè)過(guò)程，即隨

機(jī)過(guò)程；類似地，氣溫、氣壓、商店每天的顧客流量等都構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。

下面我通過(guò)一個(gè)具體的過(guò)程實(shí)例來(lái)導(dǎo)出隨機(jī)過(guò)程一般的數(shù)學(xué)定義。

設(shè)有一電子直流放大器

U（，）=oX3

圖1.1

其中U⑺為輸入信號(hào)，K為放大器，也表示對(duì)輸入信號(hào)U⑺的放大倍數(shù)，X⑺

為放后的輸出信號(hào)。

顯然對(duì)于該放大器，當(dāng)UQ)=O,

也就是沒(méi)有輸入信號(hào)時(shí)，XQ)應(yīng)為零,

但是由于放大器內(nèi)部元件以及外部

電磁波等各種干撓的影響，使得當(dāng)

U⑺=0時(shí)，輸出UQ)#0,由此造成

所謂的輸出零點(diǎn)漂移。進(jìn)一步分析發(fā)

現(xiàn)這個(gè)輸出零點(diǎn)漂移在相同條件，比

如每天的某一時(shí)刻進(jìn)行觀測(cè)，如果我

們觀測(cè)是了n天，就可得〃條輸出零

電子直流放大器的零點(diǎn)飄移

點(diǎn)漂移曲線王(0,X2?…,xQ懈

圖1.2電子直流放大器的零點(diǎn)漂移

些曲作出，如圖1.2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)

這些曲線形態(tài)不一樣，即每條曲線各不相同，不能用統(tǒng)一的確定函數(shù)表示，但它

們都是時(shí)間/的函數(shù)即零點(diǎn)漂移構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程記為X(f),也可以說(shuō)這些曲線

的全體(時(shí)間函數(shù)的全體)集合就構(gòu)成了一個(gè)零點(diǎn)漂移隨機(jī)過(guò)程，即

X(f)={xi(t)…2⑺…},其中每一曲線即⑺又可稱為隨機(jī)過(guò)程的樣本曲線函數(shù)(時(shí)

間函數(shù))，i=l,2…,“…。顯然，由圖1.2所所示的在一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，隨機(jī)過(guò)程

必取一個(gè)樣本函數(shù)，但究竟取哪?一個(gè)函數(shù)則在試驗(yàn)前不能確定，但是在大量的重

復(fù)實(shí)驗(yàn)中，可知道隨機(jī)過(guò)程呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。因此直觀地講，隨機(jī)過(guò)程既是時(shí)

間，的函數(shù)，也是試驗(yàn)可能結(jié)果e的函數(shù)，記為XQ,e)。

進(jìn)一步分析可以看出對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(r)={x/①…}。

當(dāng)我們?nèi)《╱力時(shí)刻時(shí)有

X(G={x?)…當(dāng)&)…}

由圖1.2可以看出，%也),%&),…天6)取值各不相同，沒(méi)有必然的規(guī)律。若

把修(介),…網(wǎng)(功看成是隨機(jī)過(guò)程X(t)在時(shí)刻A的各種可能取值，很顯然X(t,)是一

個(gè)隨機(jī)變量。

又如：

在地震勘探工作中，我們通過(guò)檢波器把混有隨機(jī)干擾的隨時(shí)間變動(dòng)的地層結(jié)

構(gòu)信號(hào)記錄下來(lái)，如圖1.3所示。

在。點(diǎn)放炮，在4點(diǎn)記錄儀把接收到的混有干擾的地震信號(hào)波記錄下來(lái)，

我們?cè)谙嗤瑮l件下做了〃次記錄，則可得"個(gè)彼此有差異的地震波形(曲線)。

如在時(shí)間加觀察它們的信號(hào)波的值X(fo)是一個(gè)隨機(jī)變量，也就是說(shuō)，混有隨機(jī)

干擾的地層結(jié)構(gòu)信號(hào)波構(gòu)成一個(gè)依賴于時(shí)間t的隨機(jī)過(guò)程。

定義隨機(jī)過(guò)程：設(shè)E是隨機(jī)試

驗(yàn)，它的樣本空間是5=卜｝,若對(duì)

于每一-個(gè)eeS，總有一個(gè)確定的時(shí)

間函數(shù)X(r,e)與之對(duì)應(yīng)。這樣對(duì)于

所有ees,就可能得到一族時(shí)間t

的函數(shù)，稱為隨機(jī)過(guò)程，族中的每

一個(gè)函數(shù)稱為這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本

函數(shù)。

由定義可知，對(duì)于一個(gè)特定的

圖1-3

試驗(yàn)結(jié)果4eS,總有一個(gè)確定時(shí)

間函數(shù)該函數(shù)是普通意義下確定的時(shí)間函數(shù)(樣本函數(shù))，又由定義知，

當(dāng)取定"澗,X4,e)與e有關(guān)，由于是一個(gè)隨機(jī)變量，如果讓《變動(dòng)，

i=1,2…,可得一族隨機(jī)變量XX八),…,X?,e)。

因此從這個(gè)意義上講隨機(jī)過(guò)程X(t,e)又可看成是依賴于時(shí)間f的一族隨機(jī)變

量。由此可給出下面另一種形式的隨機(jī)過(guò)程定義。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，省略e,用X(f)

表示隨機(jī)過(guò)程。

定義隨機(jī)過(guò)程：

如是對(duì)于每一給定的f,eT,i=l,2…,X&)都是隨機(jī)變量，則X⑺是一個(gè)隨機(jī)

過(guò)程?；蛘哒f(shuō)，隨機(jī)過(guò)程是依賴于時(shí)間的一族隨機(jī)變量。

隨機(jī)過(guò)程的兩種定義本質(zhì)是一致的，一般在理論分析采用第二定義，在實(shí)際

應(yīng)用中采用第一定義。

§1.2隨機(jī)過(guò)程的分類

隨機(jī)過(guò)程的分類方法很多，由此導(dǎo)致隨機(jī)過(guò)程的類型也很多，下面介紹常用

的幾種類型隨機(jī)過(guò)程。

1.按隨機(jī)變量和指標(biāo)集類型分類

(1)連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程XQ,e),如果隨機(jī)變量X(e)是連續(xù)變化

的，feT也是連續(xù)變化的，則稱X(/,e)為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。注意這里指標(biāo)集為0

WtV+8,orT-{t,<x><t<+oo}o如正弦波隨機(jī)過(guò)程X。)=asin3r+e)。

(2)離散型隨機(jī)過(guò)程：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(f,e),如果X?,e)取值離散，而t

是連續(xù)，則稱X(f,e)為離散型隨機(jī)過(guò)程，如電報(bào)信號(hào)過(guò)程。也可簡(jiǎn)單地說(shuō)時(shí)間連

續(xù)，狀態(tài)離散。

(3)連續(xù)型隨序列：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程x?,e),如果x(e)連續(xù)，而eeT是離散

變化，如T={…,-2匕0,-Z,0,k,2Z,…}或T={0/2k，…},則稱X(t,e)為連續(xù)型隨

機(jī)序列，也就是時(shí)間離散，狀態(tài)連續(xù)。

(4)離散型隨機(jī)序列：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(f,e),如果狀態(tài)X(f,e)離散，時(shí)間

，也是離散，則稱X(f,e)為離散型隨機(jī)序列。注意，為了適應(yīng)數(shù)字技術(shù)的需要，

對(duì)連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行量化、分層，就得離散隨機(jī)序列。如伯努力試驗(yàn)、隨機(jī)游

動(dòng)等。

2.按隨機(jī)過(guò)程功能分類

①平穩(wěn)過(guò)程；②高斯過(guò)程；③馬爾可夫過(guò)程；④二階過(guò)程；⑤獨(dú)立增量過(guò)程；

⑥維也納過(guò)程；⑦白噪聲過(guò)程等。其它過(guò)程還很多，如泊松過(guò)程、分枝過(guò)程、更

新過(guò)程、生滅過(guò)程等。

§1.3隨機(jī)過(guò)程的描述

我們知道概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象是隨機(jī)變量的變化規(guī)律，由此我們需要建立隨

機(jī)變量的數(shù)學(xué)模型或稱函數(shù)關(guān)系，這里函數(shù)關(guān)系在概率統(tǒng)計(jì)中就叫分布函數(shù)(或

稱概率密度函數(shù))。類似的，隨機(jī)過(guò)程也是要研究XQ)的變化規(guī)律，進(jìn)而建立隨

機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型或函數(shù)關(guān)系，下面我們來(lái)分析如何建立所謂隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)關(guān)

系0

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X。)，嚴(yán)格地說(shuō)我們不能在圖上用一條曲線簡(jiǎn)單地表示一

個(gè)過(guò)程，因?yàn)榘措S機(jī)過(guò)程的定義，該隨機(jī)過(guò)程可表為：

乂（，）=&（，）》2（5）,一、七,0）,--｝的集合，為了研究隨機(jī)過(guò)程的變化規(guī)律，我們

暫且假定隨機(jī)過(guò)程可以在圖上用一條曲線來(lái)表示，如圖1.4。

當(dāng)然這條曲線不能作為具體的樣本函數(shù)，而應(yīng)把它看作全部可能樣本函數(shù)的

集合。

XQ）

■

圖1.4

現(xiàn)在我們動(dòng)用記錄器來(lái)記錄X⑺的變化過(guò)程，由于記錄器不可能連續(xù)地記下

過(guò)程，而只能記下過(guò)程X⑺在確定時(shí)刻乙占…/”下的狀態(tài)。前面已講過(guò)，在確定

的時(shí)刻，上，隨機(jī)過(guò)程變成為通常的隨機(jī)變量，于是記錄器在灰…兒時(shí)刻，就

記錄下相應(yīng)的結(jié)果XQJ,…x”,）。顯然，當(dāng)記錄器的速度相當(dāng)快時(shí);即時(shí)間間隔

加=4-%很小（或〃很大）時(shí).，我們可用X（G，X?“）這〃個(gè)隨機(jī)變量的變化來(lái)

描述隨機(jī)過(guò)程的變化規(guī)律。這樣，在一定的近似程度下，我們可以通過(guò)研究多維

隨機(jī)變量的變化規(guī)律，即分布函數(shù)關(guān)系來(lái)代替研究隨機(jī)過(guò)程的變化規(guī)律，由此進(jìn)

而建立起近似隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。簡(jiǎn)單地說(shuō)要建立隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)關(guān)系，我們

可以用該過(guò)程的多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)來(lái)近似。為此我們需要給出隨機(jī)過(guò)

程的多維分布函數(shù)定義。首先定義隨機(jī)過(guò)程的一維、二維分布函數(shù)。

定義一維分布函數(shù)：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X"），當(dāng)取定々eT時(shí)，X（4）為隨機(jī)變量,

該隨機(jī)變量X9）的分布函數(shù)記為

則稱4（XVI）為隨機(jī)過(guò)程X⑺的一維分布函數(shù)。

同隨機(jī)變量一樣，若與（七；，1）對(duì)X1的偏導(dǎo)數(shù)存在，則有

.；f.)..

x；""=Px(x崗)

ox.

這里稱Px（x,;t,）為隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度。

例1.1求隨機(jī)過(guò)程X?）=xcos創(chuàng)的一維概率密度函數(shù)，式中。是常數(shù)，X

是一個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

解對(duì)于任意取定時(shí)間AeT,X（G=xcos切是一個(gè)隨機(jī)變量，由隨機(jī)過(guò)程的

一維分布函數(shù)及一維概率密度函數(shù)定義知

Fx(X]；G)=P(XQ])W若)=P(xcotyf]Sx.)

又：x~N(0,l)/|J/(x)=

&(X]?)=中flcosw,ilf(x)dx

BYBY上“1

后exP

21cosa)t])

注意，F(xiàn)x""）是x"的二元函數(shù)，%又可稱為是：時(shí)刻的狀態(tài)％=x（G。

結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，顯然隨機(jī)過(guò)程X⑺的一維分布函數(shù)、一維概率密度具有

普遍隨機(jī)變量分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的各種性質(zhì)。惟一的差別是隨機(jī)過(guò)程的一

維分布函數(shù)和一維密度都是時(shí)間，的函數(shù)，即是一個(gè)動(dòng)態(tài)的分布函數(shù)和概率密度。

由上面的分布知隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過(guò)程X"）在=心）

時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的一個(gè)狀態(tài)X（〃）的變化規(guī)律。顯然此時(shí)由隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)

來(lái)近似描述X"）的變化規(guī)律，其數(shù)學(xué)模型誤差太大。

為了比較全面地描述隨機(jī)過(guò)程XQ）的變化規(guī)律，我們引入隨機(jī)過(guò)程的二維分

布函數(shù)。

定義隨機(jī)過(guò)程的二維分布函數(shù)：

對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X⑺在任意兩個(gè)時(shí)刻/有X（G，X&）兩個(gè)隨機(jī)變量（兩個(gè)狀

態(tài)），我們把這兩個(gè)隨機(jī)變量的二維分布函數(shù)記為：

尸X（X"2；f"2）=P{X（f|）W^,X（f2）X,）

稱Fx（X「X23?。殡S機(jī)函數(shù)過(guò)程以方）的二維分布函數(shù)。

若Fx區(qū),々達(dá),巧）對(duì)國(guó),的二階偏異數(shù)存在，則有

所X（西,々，乙，弓）—P（YY-ffA

d^2-八"2'I，2）

稱之為隨機(jī)過(guò)程X⑺的二維概率密度。

隨機(jī)過(guò)程的二維分布函數(shù)比一維分布函數(shù)包含了隨機(jī)過(guò)程變化規(guī)律更多的

信息，但它仍不能完整地反映出隨機(jī)過(guò)程的全部特性及變化規(guī)律。用同樣的方法,

我們可以引入隨機(jī)過(guò)程X⑺的〃維分布函數(shù)和〃維概率密度。

Fx（x],x2,-?,,xn',t},t2?-?,tn）

=p{x&）<笫高&）x2,-,x（tn）xn]

GF、.A；；',…r“）

=?即…,x,

dxtdx2…dxn

顯然，當(dāng)〃取得愈大，隨機(jī)過(guò)程XQ）的〃維分布函數(shù)就愈能描述隨機(jī)過(guò)程的

變化規(guī)律及其統(tǒng)計(jì)特性。

還需要指出，在實(shí)際工程中還會(huì)遇到需要同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩上以上隨機(jī)過(guò)程

的變化規(guī)律，如商店每天營(yíng)業(yè)額M⑺和顧客流量。⑺相互間的關(guān)系及其變化規(guī)

律。類似地，我們可引入兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程XQ）,丫⑺的聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合概率密

度函數(shù)定義。

Fx,y（*，…，％”；>1，…，',3）

=P{X&）W跖x?,y（o―…,Sym]

同理，

2d用八王,…，x“；.…，y“;…工）

5x{---dxn辦?…②,“

仿概率統(tǒng)計(jì)也有性質(zhì)：

性質(zhì)1.1若x?）,y（t）,相互獨(dú)立,則

PxY（X]y”;?！?）

=…怎;-F),耳(M……或)

這里我們要告訴大家在實(shí)際工程中，要想通過(guò)將〃取得很在來(lái)得到過(guò)程的我

維分布函數(shù)進(jìn)而用多維分布函數(shù)作為X(f)的數(shù)學(xué)模型，理論上可行，但實(shí)際操作

很復(fù)雜。

習(xí)題一

1.若隨機(jī)過(guò)程X")為XQ)=4,-oo<f<+oo,式中A為(0,1)上均勻分布

的隨機(jī)變量，求X⑺的一維概率密度Px(x;f)o

2.設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(f)=Acos(w+6)"eR,其中振幅A及角頻率0均為常數(shù),

相位。是在［-肛方］上服從均勻分布的隨機(jī)變量，求X(f)的…維分布。

第二章隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

從上面的分析可知，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程XQ),要研究它的變化規(guī)律，常常需

要建立起它的“函數(shù)關(guān)系”，也就是建立隨機(jī)過(guò)程的多維分布。因?yàn)殡S機(jī)過(guò)程X⑺

的多維分布可以比較全面地描述隨機(jī)過(guò)程的整個(gè)變化規(guī)律的統(tǒng)計(jì)特性，但要建立

過(guò)程的分布函數(shù)一般比較復(fù)雜，使用也不便，甚至不可能。怎么辦呢？事實(shí)上，

在許多實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)隨機(jī)過(guò)程的“函數(shù)關(guān)系”不好確定時(shí)，我們往往可以退而

墳其次，像引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征一樣，引入隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征。用這些數(shù)

字特征我們認(rèn)為基本上能刻劃隨機(jī)過(guò)程變化的重要統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而且用隨機(jī)過(guò)程的

XQ)的數(shù)字特征，又便于運(yùn)算和實(shí)際測(cè)量。

顯然，對(duì)于隨機(jī)變量X,它的的數(shù)字特征我們主要介紹了數(shù)學(xué)期望、方差、

相關(guān)函數(shù)來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程X。)的主要統(tǒng)計(jì)特性。

例2.1設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度

f_fl+x，0

八力一、I,OWWI

求f(x),求(X)o

解：VE(x)=|xf(x)dx

J-00

D(X)=D(X2)-[￡(X)]2

E(X)=Ix(l+x)Jx+fx(l-x)

J—1J0

E(X2)=J：x(l+x)dx+rx(l-x)dx=1

,,1

D(X)=E(X2)-[E(X)2]=-

6

注意：隨機(jī)變量的數(shù)字特征計(jì)算結(jié)果是一個(gè)確定的數(shù)。

而隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征不是數(shù)，是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的確定函數(shù)。

§2.1隨機(jī)過(guò)程X⑺的數(shù)學(xué)期望

對(duì)于某個(gè)給定時(shí)刻t,隨機(jī)過(guò)程成為一個(gè)隨機(jī)變量，因此可按通常隨機(jī)變量

的數(shù)學(xué)期望方法來(lái)定義隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。

定義XQ)的數(shù)學(xué)期望。

r+8

xP

E[X(，)]=機(jī)x⑺=Jrx(x；t)dx

式中，心(卬)是x⑺的一維概率密度函數(shù)。E[XQ)]又可稱為X⑺的均值,

這個(gè)均值函數(shù)理直力可以理解為

在某一給定時(shí)刻t隨機(jī)過(guò)程的所

有樣本函數(shù)的平均值。如圖2.1

所示。顯然由圖2.1可看出，隨機(jī)

過(guò)程X⑺就在￡[%(/)]附近起伏變

化，圖中細(xì)線表示樣本函數(shù)，粗

線表示均值函數(shù)。

隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望，〃x(t)

如果我們計(jì)論的隨機(jī)過(guò)程是

圖2.1隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望，〃式。

接收機(jī)輸出端的一條噪聲電壓，

這個(gè)E[XQ)]就是噪聲電壓在某一瞬時(shí)1的統(tǒng)計(jì)平均值(又稱集平均值)。

§2.2隨機(jī)過(guò)程的均勻方值與方差

對(duì)于某一固定的時(shí)一刻，隨機(jī)過(guò)程X⑺就成為-個(gè)隨機(jī)變量，由此可給出隨機(jī)

過(guò)程均方值定義。定義隨機(jī)過(guò)程X(f)的均方值：

22

=E[X(t)]=fxPx(x；t)dx

J—00

式中，為X(f)的一維概率密度函數(shù)。

定義隨機(jī)過(guò)程的方差(又可稱二階中心矩)：

&⑺=D[X(r)]=E{[X(/)-Mx(f)『}

顯然蟾⑴是關(guān)于，的函數(shù)，且為非負(fù)函數(shù)。

定義隨機(jī)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)離差：

/(5)=亞53"(少

注：隨機(jī)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差是表示了隨機(jī)過(guò)程在f時(shí)刻偏離均值E[E(r)]的程度

大小，如圖2.2所示。

§2.3隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)

隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望、方差描述了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻的重要數(shù)字特征

值，但它們不能反映隨機(jī)過(guò)程的內(nèi)在聯(lián)系，這一點(diǎn)可以通過(guò)下圖的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程

x（。、y?）來(lái)說(shuō)明。

圖2.3具有相同數(shù)學(xué)期望和方關(guān)的兩個(gè)不同隨機(jī)過(guò)程

對(duì)于這兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，從直觀上講，它們都具有大致相同的數(shù)學(xué)期望和方差,

但兩個(gè)過(guò)程的內(nèi)部結(jié)構(gòu)卻有著非常明顯的差別，其中X”）隨機(jī)時(shí)間變化緩慢，這

個(gè)過(guò)程在兩個(gè)不同的時(shí)刻的狀態(tài)之間有著較強(qiáng)的相關(guān)性，而過(guò)程丫⑺的變化要急

劇得多，其不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的相關(guān)性，顯然很弱。怎樣去研究和反映一個(gè)隨

機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的內(nèi)在聯(lián)系呢？為此我們引入自相關(guān)函數(shù)（簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)）來(lái)

描述隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

定義隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)：

Rx(%/2)=及＞(4*。2)]

p+oo

XXP(七,""2)dX]dx

J-cox2x2

這就是隨機(jī)過(guò)程x(f)在兩個(gè)不同時(shí)亥"通的狀態(tài)x(G，x&)之間的混合原點(diǎn)

矩，自相關(guān)函數(shù)就反映了X(f)在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的相關(guān)程度。若在定義

式中取f=f1=f2，則有

Rx4由)=Rx(t"=E[Xt)X(t)]=E[X\t)]

此時(shí)自相關(guān)函數(shù)即為均方值。

式中，Px^,x2-,t.,t2)為過(guò)程X。)的二維概率密度函數(shù)。

例2.2求隨機(jī)相位正弦波過(guò)程X(f)=acos(創(chuàng)+6)的均值、方差和自相關(guān)函

數(shù)，其中。的概率密度為

1/241<3<2TT

f⑹=<

0其它

解當(dāng)取定fwT時(shí),X(f)=acos(初+。)是一個(gè)隨機(jī)變量，且該隨機(jī)變量X")

顯然是隨機(jī)變量。的函數(shù)。由求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理，

E(y)=￡[g(X)]=「'g(x)/(x)dx

J-X

有E[X⑻=Mx(f)=J7/+J：

「2/r1

=J()acos(M+0)—d0=O

Rx&,，2)=E[x(G,X(f2)]

=E[acos(a)tx)+0]-acos(cot2+0)

2

=aE[cos(cyf]+6)cos(a)t2+0)]

o.2萬(wàn)1

=acos(69t+0)cos{cot+0)——dO

Jox22)

22

aa~z.

—cosCOT=—cosco(t2-%)

又???cx(W2)=&(32)-MX(4)MX“2)

當(dāng)令，I=，2=，，

cx{t,t)=E{[X(t)-Mx⑻2}=D[X(/)]

=Rx(t")-M：⑴=\

例2.3給定隨機(jī)過(guò)程X?)=AcosG，+3sinG/,式中69是常數(shù)，A和8是

兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，而且￡(4)=石(3)=0,磯42)=磯52)=。2,試求XQ)

的均值和自相關(guān)函數(shù)。

解VX(t)=Acoscot+Bsincot,且A,B獨(dú)立

/.E[AB[=E(A)?E(B)=0

當(dāng)取定，時(shí)，X(r)為隨機(jī)變量

/.E[X(/)]=E[Acoscot]+E[BsinG〃

=co(StE[A\+sin^yrE[B]-0

RX(W2)=E[X(GX?2)]

=E[(Acoscot{+BsincotA)+(Acoscot2+cos6?Z2)]

2

=E[Acosa)t}coscot2+ABcosa)t2]

2

+BAsincot}coscot2+Bsina)txsincot2

2

=cos①八coscot2E[A]+cosa)txsincot2E[AB]

+sina)tcoscotl2E[AB]

2

+sin@八sincot2E\B]

22

=crcos叫coscot2+asincotsincot2

2

=CTCOSCD(tx-t2)

有時(shí)為了描述隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)不同時(shí)刻小殳間內(nèi)在聯(lián)系，我們還可以

用協(xié)方差函數(shù)中心化自相關(guān)函數(shù)來(lái)定義。

定義協(xié)方差函數(shù)：稱

Q(W2)=E{[X(力2)-MX(G][X(G-MX?2)]

+00

Jx,-Mx(O][x2-Mx(f2)]

P(x,,xdxdx

nx2{2

為隨機(jī)過(guò)程X⑺的協(xié)方差函數(shù)。

由定義可知,當(dāng)取「y時(shí)

2

Cx(rp?2)=E{[X(o-Mx(o]}=Z)[x(r)]=(t)

...此時(shí)的協(xié)方差就是方差。

注意，實(shí)際上自相關(guān)函數(shù)仆由，，2)與Cx?"2)所描述的特性是幾乎一致的。

性質(zhì)2.1“需)〃,區(qū))

證.CX(W2)=E{[X&)—MX(G】[X&)-MX?2)]}

=E[X(GX(f2)-X(GMx(f2)]

-肛(仍。2)+%用)孫心)

=E[X(GX?2)]-E[X(G]Mx(f2)

=Rx(tl,t2)-2Mx(t,)Mx(t2)+Mx(tl)Mx(t2)

=Rx(tl,t2)-Mx(tl)Mx(t2)

從上式分析可知，隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)CxC%)與其自相關(guān)函數(shù)仆(小，2)

只差一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值，特別當(dāng)隨機(jī)過(guò)程的任意時(shí)刻數(shù)學(xué)期望E[X")]=O時(shí)，二

者完全相同。

§2.4兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的互相關(guān)函數(shù)

隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)描述了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程本身的內(nèi)在聯(lián)系，而要描述兩個(gè)

過(guò)程在不同時(shí)亥"為之間的相互關(guān)系，我們引入了互相關(guān)函數(shù)的定義。

定義互相關(guān)函數(shù)：稱

Rxy(t?t2)=E[X(tl)Y(t2)]

:+00,+00

=xyPXi,(x,y;t,,t2)dxdy

J-00J—00

為兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)。

式中：

/^(》/汽也)為在：/2兩個(gè)不同時(shí)刻隨機(jī)變量*&)、丫&)的聯(lián)合概率密度

函數(shù)。

同理也可給出與之相對(duì)應(yīng)的互協(xié)方差函數(shù)。

定義互協(xié)方差函數(shù)：稱

CXY(ti,t2)=E{[X(tl)-Mx(tl)][Y(t2)-MY(t2)]}

=rr[X-Mx(tt)][y-My(t2)]

J-00?r—oo

PXY(X,y,t1,t2)dxdy

為兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互協(xié)方差函數(shù)。

性質(zhì)2.2CXYQI,t1)=Rxy(tl,t1)-Mx(%)My(t2)

證略)o

在上式中，若對(duì)任意I"?都有

RxyQi/2)=°

則稱XQ),丫⑺為正交過(guò)程，此時(shí)

Cxy(t?t2)=-Mx(tJ)Mr(t2)

在上式中，若Cx"f"2)=。，又稱x?),丫⑺互不相關(guān)；此時(shí)

推論：若兩個(gè)隨機(jī)獨(dú)立，則它們必不相關(guān)。反之，兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程不相關(guān)，還

不能斷言它們的相互獨(dú)立。(除非是正態(tài)過(guò)程)。

注：自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、協(xié)議差函數(shù)其結(jié)果是數(shù)，而不再是一個(gè)過(guò)程。

習(xí)題二

1.若隨機(jī)過(guò)程X⑺為X?)=Af-8<f<+8,式中A為(0,1)上均勻分布的

隨機(jī)變量，求E[X(f)],Rxd)

2.給定一隨機(jī)過(guò)程X⑺和常數(shù)?,試以X⑺的相關(guān)函數(shù)表示隨機(jī)過(guò)程

丫⑺=XQ+a)—XQ)的自相關(guān)函數(shù)。

3.已知隨機(jī)過(guò)程X(f)的均值Mx⑺和協(xié)方差函數(shù)Cx(%4)，。⑺是普通函數(shù)，

試求隨機(jī)過(guò)程丫⑺=X⑺+9⑺是普通函數(shù)，試求隨機(jī)過(guò)程Y(t)=X⑺+夕⑺的均

值和協(xié)方差函數(shù)。

4.設(shè)X(f)=Acosaf+5sinaf,其中A,B是相互獨(dú)立且服從同一高斯(正

態(tài))分布N(0Q2)的隨機(jī)變量，。為常數(shù)，試求X⑺的值與相關(guān)函數(shù)。

第三章隨機(jī)分析簡(jiǎn)介

§3.1隨機(jī)過(guò)程的收斂性

隨機(jī)過(guò)程的收斂性是研究隨機(jī)分析的基礎(chǔ)，由于隨機(jī)過(guò)程的不確定性，其收

斂性的選擇也是多種多樣的，本節(jié)主要介紹均方收斂，這是因?yàn)榫绞諗磕芎?jiǎn)化

分析、比較實(shí)用。今后，本書(shū)分析和研究問(wèn)題一般都使用均方收斂概念。

定義依均方收斂：考慮隨機(jī)變量序列｛%,〃=0,1,2…｝,如果存在隨機(jī)變量x

滿足

limE｛|x?-x|2｝=0

則稱隨機(jī)變量序列/依均方收斂于隨機(jī)變量X,并記為

limx=x

“T8n

或一"<s>xCm?s---是英文Mean一Square的縮寫(xiě)）

1.兩個(gè)均方收斂性判據(jù)

里斯-菲希爾定理：對(duì)隨機(jī)變量序列=0,1,2--）構(gòu)造柯西序列％-九，

如果滿足

lim，瑞-%『｝=0（3.1）

則必然存在一個(gè)隨機(jī)變量X,使得

洛夫準(zhǔn)則（又稱均方收斂準(zhǔn)則）：隨機(jī)變量序歹1」｛乙,〃=0,1,2,-一｝均方收斂于

x的充要條件是

limE[xnxtn\=c（c取常數(shù)）

2.均方收斂的性質(zhì)

（1）如果隨機(jī)變量序列五,“=0,1,2,…｝依均主收斂于隨機(jī)變量x,則有

limE{x?}=E{limx?}=E{x}(3.2)

（2）均方收斂是唯一的。如果和x“一則必有x=y

(3)如果x“一,貝U有

lim=E[盯](3.3)

00

(4)如果馬和立」,。和匕是任意常數(shù)，則有

lim(ax4-by)=ax+by(3.4)

”->8nn

研究隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)變化規(guī)律，在一定條件下，有時(shí)我們也可以借助數(shù)學(xué)分

析的工具建立起隨機(jī)過(guò)程的收斂性、連續(xù)性、可微性、可積性等概念，進(jìn)而可對(duì)

隨機(jī)過(guò)程的變化規(guī)律有更清楚的分析了解。這部分內(nèi)容屬于隨機(jī)分析，這里我們

只作簡(jiǎn)介。當(dāng)然在此基礎(chǔ)上，我們還可建立隨機(jī)微分方程，自從伊藤1961年建

立隨機(jī)微分方程理論以來(lái)，隨機(jī)微分方程發(fā)展很快，已滲透到各領(lǐng)域。

§3.2隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性

定義：若隨機(jī)過(guò)程X⑺滿足limE[IXQ+&)-X(f)F]=0,則稱隨機(jī)過(guò)程XQ)

ATT8

于t時(shí)刻在均方意義下連續(xù)(簡(jiǎn)稱機(jī)?S連續(xù))。

另一方面，由定義知

E[|X(f+A)卜XQ)2]

=E[|xQ+&)XQ+△)-XQ+ZV)XQ)-X⑺XQ+加)-X(f)X⑺0

=￡[XQ+Af)XQ+&)]_E[XQ+&)XQ)]_E[XQ)XQ+4)]_E[X(f)XQ)]}

=/?x(f+△，/+A/)_/?x(，+A/,t)_/?x(，,，+△，)—Rx(t,t)

.,.有|j"E[|X(r+Af)-X(f)「]

=lim[Rx(f+A/,t+A/)一RxQ+Af,f)—Rx(t,f+)—(f,t)]

對(duì)于右邊極限式，自相關(guān)函數(shù)是64的函數(shù)。

欲使右邊極限為零，則需&&j)中，6=?2=f，才能保證隨機(jī)過(guò)程均方連續(xù)。

對(duì)于左邊，若隨機(jī)過(guò)程均方連續(xù)，則隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，在4=?2=工上

也處處連續(xù)。

總之，若隨機(jī)過(guò)程處處均方連續(xù)，則它的自相關(guān)函數(shù)所在乙=，2=，上也處處

連續(xù)，反之也成立。

性質(zhì)3.1若隨機(jī)過(guò)程X(f)是〃?"連續(xù)的，則它的數(shù)學(xué)期望也必定連續(xù)，即：

lim￡[XQ+ZV)]=E[XQ)](3.5)

ArTO

證設(shè)丫=*“+加)-乂心是一個(gè)隨機(jī)變量

?*.E[Y]=E[Y2]-E2[Y]

￡[y2]=D[r]+￡2[r]^E2[y]

，E[Y2]^E2[Y]

：.E[IX(/+Ar)-X(f)I2]S2[X(r+Af)-X(r)]0

又X(t)均方連續(xù)

limEIIXQ+加)—XQ)2]=O

4To

由夾擠定理知

limE[IXQ+4)-X(f)]=0

A/TO

limE[IXQ+&)=limE[IXQ)]=E[X⑴]

A/->0A/-?0

，\imE[X(t+加)]=￡[limXQ+△，)]=E[X")]

加一>0A/->0

這表明求極限和求數(shù)學(xué)期望的次序可以交換，這是一個(gè)非常有用的結(jié)果，以

后經(jīng)?？捎玫健?/p>

§3.3隨機(jī)過(guò)程的微分及其數(shù)學(xué)期望與相關(guān)函數(shù)

1.隨機(jī)過(guò)程的微分

我們知道一般函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義是

ry(x+Ax)-y(x)d)

4ToAxdx

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，在一定條件下，是不是也有類似的導(dǎo)數(shù)定義，即：

XQ+4)—XQ),,.dXt)

rlim--------------------v=A⑴=------

A—Ndt

我們說(shuō)當(dāng)隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)，即

limW△匕⑺，…,1面工3)7“⑺,…

AffO△tA/->0△t

的極限都存在，則可以說(shuō)隨機(jī)過(guò)程的導(dǎo)數(shù)存在，然而在隨機(jī)過(guò)程

X(f)={%⑺…x"(f)…}中可能有某些樣本函數(shù)的極限不存在，但大部分都存在，

為此我們給出一個(gè)條件較弱的隨機(jī)過(guò)程在均方意義下(即平均意義下)的導(dǎo)數(shù)存

在定義。

定義均方可微：如果X⑺滿足下式

lim[fN+&)-X(f)一*,⑺,=0

則稱X(f)在七時(shí)刻具有均方導(dǎo)數(shù)X'(f)=",記為

dt

=X?)=limX?+Af)X(f)(3.5)

dt4ToN

一般函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)的前提是函數(shù)必須連續(xù)，因此隨機(jī)過(guò)程存在導(dǎo)數(shù)的前提也

需要隨機(jī)過(guò)程必須連續(xù)。但是，對(duì)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程要求它們所有樣本函數(shù)都連續(xù)很

困難，為此我們定義了所謂的均方連續(xù)，并給出隨機(jī)過(guò)程的均方導(dǎo)數(shù)與它的相關(guān)

函數(shù)關(guān)系,即：

性質(zhì)3.2如果自關(guān)函數(shù)/?、&2)在乙=￡2時(shí)連續(xù)，且存在二階偏導(dǎo)數(shù)

d-R

則隨機(jī)過(guò)程在均方意義下存在導(dǎo)數(shù)(證明略)

應(yīng)當(dāng)指出，隨機(jī)過(guò)程有導(dǎo)數(shù)，首先過(guò)程必須是連續(xù)的，但隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性

不能保證過(guò)程一定有導(dǎo)數(shù)。

2.隨機(jī)過(guò)程的均方導(dǎo)數(shù)Xd)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)y(x)=x?),由均方導(dǎo)數(shù)定義，有

X(f+Af)-X(/)

y?)=X?)=lim

4T0Ar

lim*"4匕X(。

E[Y(t)]=E[XXt)]=E

AT。Z

E[X(f+4)-X(f)]

=lim------------------------

加TOAr

=lim-----------------------------

A—OAz

limMS。)-肛⑺=d網(wǎng))

ATArdt

dt

上式說(shuō)明：隨機(jī)過(guò)程X。）的導(dǎo)數(shù)X'（t）的數(shù)學(xué)期望等于它的數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù),

且上式的量都是普通非隨機(jī)函數(shù)，因此這個(gè)導(dǎo)數(shù)具有一般意義。

3.隨機(jī)過(guò)程的XQ）的導(dǎo)數(shù)X'（f）=y（f）的自相關(guān)函數(shù)

性質(zhì)3.3如果x（t）的導(dǎo)數(shù)x\t）=y（o存在，則丫⑺的自相關(guān)函數(shù)可表示為:

dtxdt2

證

Hy（廿2）=以"4）丫口）］

limX（r,+Ar,）-X（r,）

=EY（t2）

Mf。M

EHmX儲(chǔ)+。）丫））一XQJY&）

“I-0△八

由?X&+絕》?2）]—aXQJYG）]

|jmRxy（G+△[/）~~勺丫（4/2）

M—O△/]

（3.7）

HRXY（，”，2）

的

又：

RXY（ti,t2）=E[X（tl）Y（t2）]

=EX（GlimX優(yōu)+頌AX）?）

絕以絕

?」X（GX&+AG）-X（GX&）-

-u1：rn匕

絕一。|_M

=limE[X（GX&+加2）]—E[X（GX?2）]

A12fo絕

_jjmRx（」/2+&I）-RX（，2,4）

42To△右

_dRxQikg

dt2

???代々,」=".-

dt2

Raf\=2RXY（4%）_e—x（4）

y“2―dt,——嬴、―aZ一,

：.'Ik27（3.8）

dt{dt2

§3.4隨機(jī)過(guò)程的積分

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X（f）={X（中），…,X?,eJ…}={X］（）…,X.（f）,…},如果

它的每一個(gè)時(shí)間樣本函數(shù)可積，在一般意義下可理解隨機(jī)過(guò)程X"）可積，然而

在實(shí)際問(wèn)題中要求所有的時(shí)間樣本函數(shù)都可積很困難，于是我們給出在大多數(shù)樣

本函數(shù)可積條件卜一的所謂隨機(jī)過(guò)程均方可積定義。該定義類似高等數(shù)學(xué)函數(shù)可積

定義：簡(jiǎn)述為，/（X）在幾們上可積，則有

hm￡/?）Ax,=/=［于（x）dx

Ax->0Ja

/=1

=㈣囪4）菁-小0

仿此，類似可給出隨機(jī)過(guò)程均方可積定義。

定義隨機(jī)過(guò)程均方可積：當(dāng)我們把積分區(qū)間［a,切分成n個(gè)小區(qū)間修并令

Ar-max細(xì)，當(dāng)"->8或&0時(shí)，若

r?-12'

lim］［=0

"ILi=lJ

則稱Y為隨機(jī)過(guò)程在均方意義下的積分?？杀硎緸椋?/p>

丫=li嗎￡X（GM=『XQ）d（3.9）

注意，由隨機(jī)過(guò)程x（f）均方可積定義可知其積分結(jié)果y應(yīng)為一個(gè)隨機(jī)變量。

由隨機(jī)過(guò)程的均方可積定義，我們還可給出帶有權(quán)函數(shù)的隨機(jī)過(guò)程均方可積

定義，即

f?b

y(，)=IX(A)h(A,t)dA(3.10)

Ja

式中，〃(/M)是一個(gè)權(quán)函數(shù)，且該函數(shù)為普通函數(shù)，而積分結(jié)果是一個(gè)新的

隨機(jī)過(guò)程。

在