第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定（第二課時(shí)）數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)01菱形的判定.（1）定義法：有一組

相等的平行四邊形是菱形.（2）判定定理：①對(duì)角線

的平行四邊形是菱形；②四條邊

的四邊形是菱形.（3）其他：對(duì)角線

的四邊形是菱形.鄰邊

互相垂直

相等

互相垂直平分

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版典例講練02

已知四邊形

ABC

D為平行四邊形，有下列條件：①

AC

⊥

B

D；

②∠

BA

D＝90°；③

AB

＝

BC

；④

AC

＝

B

D.其中能使?

ABC

D

為菱形的有

（填序號(hào)）.【思路導(dǎo)航】根據(jù)菱形的判定定理對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行逐一判斷

即可.①③

【解析】根據(jù)菱形的判定定理和定義：對(duì)角線互相垂直的平行

四邊形是菱形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可知①

③符合，②④不符合.故答案為①③.【點(diǎn)撥】菱形的判定方法有多種：①一組鄰邊相等的平行四邊

形是菱形；②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；③四邊相

等的四邊形是菱形；④對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.

菱形是特殊的平行四邊形，判定四邊形是菱形時(shí)，常在平行四

邊形的基礎(chǔ)上加上菱形獨(dú)有的條件.

1.下列說法中，正確的是（

B

）A.兩組鄰邊相等的四邊形是菱形B.一條對(duì)角線平分一組內(nèi)角的平行四邊形是菱形C.對(duì)角線互相垂直且一組鄰邊相等的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形B2.如圖，在四邊形

ABC

D中，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段

A

D，

BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別是線段

B

D，

AC

的中點(diǎn).當(dāng)四邊形

ABC

D的

邊滿足

時(shí)，則四邊形EGFH是菱形.AB

＝

CD

如圖，在?

ABC

D中，

BC

＝2

AB

，

AB

⊥

AC

，分別在邊

BC

，

A

D上的點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于

AC

對(duì)稱，連接EF，

A

E，

C

F，DE.（1）試判斷四邊形

A

E

C

F的形狀，并說明理由；（2）求證：

A

E⊥DE.【思路導(dǎo)航】（1）由對(duì)角線互相垂直平分可得到四邊形

A

E

C

F

的形狀；（2）先求得∠

A

E

C

的度數(shù)，進(jìn)而可求得∠

C

ED的度

數(shù)，即可得到∠

A

ED的度數(shù).（1）解：四邊形

AECF

為菱形.理由如下：∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

AD

∥

BC

，∴∠

CAF

＝∠

ACE

.

如圖，設(shè)

AC

與

EF

相交于點(diǎn)

O

.

∵點(diǎn)

E

與點(diǎn)

F

關(guān)于

AC

對(duì)稱，∴

OE

＝

OF

且

EF

⊥

AC

.

∴△

AOF

≌△

COE

（

AA

S）.∴

OA

＝

OC

.

又∵

OE

＝

OF

，

EF

⊥

AC

，∴四邊形

AECF

為菱形.（2）證明：∵

BC

＝2

AB

，

AB

⊥

AC

，∴∠

ACB

＝30°.∴∠

B

＝60°.∵四邊形

AECF

為菱形，∴

AE

＝

CE

.

∴∠

EAC

＝∠

ACB

＝30°.∴∠

BAE

＝60°＝∠

B

.

∴

AE

＝

BE

＝

AB

，∠

AEB

＝60°.∴∠

AEC

＝120°.

【點(diǎn)撥】菱形的判定方法可以從邊和對(duì)角線兩個(gè)方面去探尋，

若已知對(duì)角線互相垂直，則可以考慮證明四邊形是平行四邊

形，解決問題的關(guān)鍵是要熟悉菱形的各種判定方法.

1.如圖，在△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°，

BC

＝

6，點(diǎn)D為斜邊

AB

上一點(diǎn)，以

C

D，

CB

為邊作?

C

DE

B

.

當(dāng)

A

D

＝

時(shí)，則?

C

DE

B

為菱形.6

2.（2023·張家界）如圖，已知點(diǎn)

A

，D，

C

，

B

在同一條直線

上，且

A

D＝

BC

，

A

E＝

B

F，

C

E＝DF.（1）求證：

A

E∥

B

F；

（2）若DF＝F

C

，求證：四邊形DE

C

F是菱形.證明：（2）由（1）知，△

AEC

≌△

BFD

，∴∠

ECA

＝∠

FDB

.

∴

CE

∥

DF

.

又∵

CE

＝

DF

，∴四邊形

DECF

是平行四邊形.又∵

DF

＝

FC

，∴?

DECF

是菱形.

已知△

ABC

是等邊三角形，點(diǎn)D是射線

BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D

不與點(diǎn)

B

，

C

重合），△

A

DE是以

A

D為邊的等邊三角形，過點(diǎn)

E作

BC

的平行線，分別交射線

AB

，

AC

于點(diǎn)F，G，連接

B

E.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段

BC

上時(shí)，求證：△

A

E

B

≌△

A

D

C

.

圖1（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在

BC

的延長(zhǎng)線上時(shí)，探究四邊形

BC

GE是

怎樣特殊的四邊形，并說明理由.圖2（3）在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形

BC

GE是菱形？并說明理由.【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)△

ABC

，△

A

DE都為等邊三角形尋找

等量關(guān)系，利用“SAS”證明全等即可；（2）利用（1）中的

方法得到△

A

E

B

≌△

A

D

C

，再判斷出∠DEG＝∠

B

DE，進(jìn)而

求出∠

B

EG的度數(shù)，即可得出結(jié)論；（3）由菱形的性質(zhì)得出

B

E＝

BC

，進(jìn)而得出

BC

＝

C

D，即可得出結(jié)論.（1）證明：∵△

ABC

是等邊三角形，∴

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝60°.∵△

ADE

是等邊三角形，∴

AE

＝

AD

，∠

DAE

＝60°.∴∠

BAC

＝∠

DAE

.

∴∠

BAC

－∠

BAD

＝∠

DAE

－∠

BAD

，即∠

DAC

＝∠

EAB

.

∴△

AEB

≌△

ADC

（S

A

S）.圖1（2）解：四邊形

BCGE

是平行四邊形.理由如下：∵△

ABC

是等邊三角形，∴∠

ACB

＝60°.∴∠

BCG

＝180°－∠

ACB

＝120°.∵△

ADE

是等邊三角形，∴∠

AED

＝∠

ADE

＝60°.∵

FG

∥

BC

，∴∠

EGC

＝∠

ACB

＝60°，∠

DEG

＝∠

BDE

.

同（1）的方法，得△

AEB

≌△

ADC

（S

A

S），圖2∴∠

AEB

＝∠

ADC

.

∴∠

AEB

＋∠

DEG

＝∠

ADC

＋∠

BDE

＝∠

ADE

＝60°.∴∠

BEG

＝∠

AEB

＋∠

DEG

＋∠

AED

＝60°＋60°＝120°.∴∠

BEG

＋∠

EGC

＝180°.∴

BE

∥

CG

.

又∵

FG

∥

BC

，∴四邊形

BCGE

是平行四邊形.圖2（3）解：當(dāng)

CD

＝

BC

時(shí)，四邊形

BCGE

是菱形.理由如下：由（2）知，四邊形

BCGE

是平行四邊形，△

AEB

≌△

ADC

（S

A

S），∴

BE

＝

CD

.

又∵

CD

＝

BC

，∴

BE

＝

BC

.

∴?

BCGE

是菱形.【點(diǎn)撥】動(dòng)態(tài)過程的探究問題，只需抓住變化過程中的不變

量，如圖形的形狀、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等.在本題中只需抓住共頂點(diǎn)

的三角形旋轉(zhuǎn)前后全等，即變化中永遠(yuǎn)相等的量.圖2

如圖，在

Rt

△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝20，∠

A

＝60°.點(diǎn)

P

從

點(diǎn)

B

出發(fā)沿

BA

方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)

A

勻速運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)

A

出發(fā)沿

AC

方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)

C

勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)

動(dòng).設(shè)點(diǎn)

P

，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts

.過點(diǎn)

P

作

PM

⊥

BC

于點(diǎn)

M

，連接

P

Q，Q

M

.