4.1指數(shù)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)1、整數(shù)指數(shù)冪的概念2、運(yùn)算法則（1）；（2）；（3）；（4）．知識(shí)點(diǎn)二、根式的概念和運(yùn)算法則1、次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是負(fù)數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．2、兩個(gè)等式（1）當(dāng)且時(shí)，；（2）知識(shí)點(diǎn)詮釋：①要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；②計(jì)算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時(shí)，開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫成的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．知識(shí)點(diǎn)三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：知識(shí)點(diǎn)四、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）當(dāng)，為無(wú)理數(shù)時(shí)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）根式問(wèn)題常利用指數(shù)冪的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算；（2）根式運(yùn)算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時(shí)可以交換、何時(shí)不能交換．如；（3）冪指數(shù)不能隨便約分．如．2、指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號(hào)先算括號(hào)里的；無(wú)括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算．負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)．在化簡(jiǎn)運(yùn)算中，也要注意公式：，，，，的運(yùn)用，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)五、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪（，為無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無(wú)限逼近的結(jié)果．（2）定義了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來(lái)的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．知識(shí)點(diǎn)六、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．【題型歸納目錄】題型一：由根式的意義求范圍題型二：利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值題型三：有限制條件的根式的化簡(jiǎn)題型四：根式與指數(shù)冪的互化題型五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值題型六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【典型例題】題型一：由根式的意義求范圍例1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若有意義，則的取值范圍是（

）A． B．∪C． D．例2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若有意義，則是（

）A．正偶數(shù) B．正整數(shù) C．正奇數(shù) D．整數(shù)例3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若要使有意義，則取值范圍是_______.變式2．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________變式3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若代數(shù)式有意義，則______．【方法技巧與總結(jié)】使根式有意義題型二：利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值例4．（2022·江蘇·贛榆智賢中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則的值為（）A．－1 B．0 C．1 D．2例5．（2022·江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）下列各式中成立的一項(xiàng)是（

）A． B． C． D．例6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）=__________.變式4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．變式5．（2022·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．0 B． C．0或 D．【方法技巧與總結(jié)】此類問(wèn)題應(yīng)熟練應(yīng)用．當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí)，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．題型三：有限制條件的根式的化簡(jiǎn)例7．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）求使等式成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.例8．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，化簡(jiǎn)：______．例9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）把代數(shù)式中的移到根號(hào)內(nèi)，那么這個(gè)代數(shù)式等于（

）A． B． C． D．變式6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若滿足關(guān)系+=+，則的值為_______________．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)于多重根式的化簡(jiǎn)，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全次方，再解答，或者用整體思想來(lái)解題．化簡(jiǎn)分母含有根式的式子時(shí)，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可題型四：根式與指數(shù)冪的互化例10．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，為正數(shù)，化簡(jiǎn)_______．例11．（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．例12．（多選題）（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．變式7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）式子的計(jì)算結(jié)果為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）運(yùn)算順序（能否應(yīng)用公式）；（2）指數(shù)為負(fù)先化正；（3）根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．題型五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值例13．（2022·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C．1 D．例14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）化簡(jiǎn)___________例15．（2022·江蘇常州·高一階段練習(xí)）（1）計(jì)算：（2）化簡(jiǎn)：變式8．（2022·江蘇·南京師大附中高一階段練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：(用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示)；（2）計(jì)算：．變式9．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)．變式10．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)【方法技巧與總結(jié)】根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)寫為最簡(jiǎn)根式．（1）被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；（2）被開方數(shù)分母為1，且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；（3）被開方數(shù)的每個(gè)因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù)．題型六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪例16．（2022·廣東中山·高一階段練習(xí)）已知，則__________.例17．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)（理））若，，則________．例18．（2022·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若，求下列各式的值(1)(2)變式11．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）（1）已知，化簡(jiǎn).（2）設(shè)，，，求的值.變式12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且，用表示．變式13．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）變式14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知，計(jì)算：；（2）設(shè)，，求的值．變式15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，且，則______．變式16．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則______．變式17．（多選題）（2022·江蘇·南京市第十三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)于“條件求值”問(wèn)題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或“化簡(jiǎn)后代換”方法求值．對(duì)冪值的計(jì)算，一般應(yīng)盡可能把冪化為底數(shù)是質(zhì)數(shù)的指數(shù)冪，再考慮同底冪的運(yùn)算法則以及乘法公式．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·四川·成都市郫都區(qū)川科外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一開學(xué)考試）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·河北·滄縣中學(xué)高一階段練習(xí)）下列運(yùn)算中正確的是（

）A． B．C． D．3．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，，，則（

）A．1 B．3 C．9 D．274．（2022·全國(guó)·高一期中）（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則化為（

）A． B． C．m D．16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．7．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）若，且，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則下列運(yùn)算中正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）下列等式中，不正確的是（

）A． B．C． D．10．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．11．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）下列運(yùn)算（化簡(jiǎn)）中正確的有（

）．A．B．C．D．12．（2022·海南·海口一中高一期中）下列命題中正確的結(jié)論的為（

）A．的結(jié)果為-9B．若，則C．若，那么等于8.D．設(shè)，，則三、填空題13．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算：___________________．14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則______.15．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）化簡(jiǎn)___________.16．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：________．四、解答題17．（2022·江蘇·南京市雨花臺(tái)中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡(jiǎn)求值：18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．19．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）閱讀材料，解決問(wèn)題：化簡(jiǎn)：．由于題目沒有給出x的取值范圍，所以要分類討論，．令，，令，得；∴的零點(diǎn)值為3，的零點(diǎn)值為，在數(shù)軸上標(biāo)出3和的點(diǎn)，數(shù)軸被分成三段，即，，；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式=5；當(dāng)時(shí)，原式．(1)求和的零點(diǎn)值；(2)化簡(jiǎn)：．(3)求方程：的整數(shù)解．20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（1）計(jì)算：；（2）已知，求．21．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求解下列問(wèn)題：(1)求值：；(2)已知，，求的值.(3)已知，求.22．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).4.1指數(shù)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)1、整數(shù)指數(shù)冪的概念2、運(yùn)算法則（1）；（2）；（3）；（4）．知識(shí)點(diǎn)二、根式的概念和運(yùn)算法則1、次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是負(fù)數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．2、兩個(gè)等式（1）當(dāng)且時(shí)，；（2）知識(shí)點(diǎn)詮釋：①要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；②計(jì)算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時(shí)，開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫成的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．知識(shí)點(diǎn)三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：知識(shí)點(diǎn)四、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）當(dāng)，為無(wú)理數(shù)時(shí)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）根式問(wèn)題常利用指數(shù)冪的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算；（2）根式運(yùn)算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時(shí)可以交換、何時(shí)不能交換．如；（3）冪指數(shù)不能隨便約分．如．2、指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號(hào)先算括號(hào)里的；無(wú)括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算．負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)．在化簡(jiǎn)運(yùn)算中，也要注意公式：，，，，的運(yùn)用，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)五、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪（，為無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無(wú)限逼近的結(jié)果．（2）定義了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來(lái)的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．知識(shí)點(diǎn)六、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．【題型歸納目錄】題型一：由根式的意義求范圍題型二：利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值題型三：有限制條件的根式的化簡(jiǎn)題型四：根式與指數(shù)冪的互化題型五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值題型六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【典型例題】題型一：由根式的意義求范圍例1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若有意義，則的取值范圍是（

）A． B．∪C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，解得.故選：D.例2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若有意義，則是（

）A．正偶數(shù) B．正整數(shù) C．正奇數(shù) D．整數(shù)【答案】C【解析】被開方數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)只能開奇數(shù)次方，所以n為正奇數(shù)，故選：C.例3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，即．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．變式1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若要使有意義，則取值范圍是_______.【答案】【解析】∵，要使有意義，則，即，∴.故答案為：.變式2．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________【答案】【解析】由，要使得有意義，則滿足，解得，故答案為：．變式3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若代數(shù)式有意義，則______．【答案】8【解析】因?yàn)橛幸饬x，所以，解得，故．故答案為：8【方法技巧與總結(jié)】使根式有意義題型二：利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值例4．（2022·江蘇·贛榆智賢中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則的值為（）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C例5．（2022·江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）下列各式中成立的一項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：C例6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）=__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.故答案為：變式4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）=0變式5．（2022·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．0 B． C．0或 D．【答案】C【解析】．當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)是，原式．故選:C．【方法技巧與總結(jié)】此類問(wèn)題應(yīng)熟練應(yīng)用．當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí)，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．題型三：有限制條件的根式的化簡(jiǎn)例7．（2022·上海·高一專題練習(xí)）求使等式成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】，要使|成立，需解得a∈[-3，3]．例8．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，化簡(jiǎn)：______．【答案】【解析】，因?yàn)?，，所以，所以．故答案為?例9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）把代數(shù)式中的移到根號(hào)內(nèi)，那么這個(gè)代數(shù)式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，，.故選：A.變式6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若滿足關(guān)系+=+，則的值為_______________．【答案】21【解析】由題意得：，則，∴x＋y＝19，∴＋＝0，則3x＋5y?2?m＝0①，2x＋3y?m＝0②，①?②得：x＋2y?2＝0，∵x＝19－y，∴y＝?17，∴x＝36，∴，∴m＝21．故答案為：21．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)于多重根式的化簡(jiǎn)，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全次方，再解答，或者用整體思想來(lái)解題．化簡(jiǎn)分母含有根式的式子時(shí)，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可題型四：根式與指數(shù)冪的互化例10．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，為正數(shù)，化簡(jiǎn)_______．【答案】【解析】原式．故答案為：．例11．（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】，而，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確.故選：CD.例12．（多選題）（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；故D正確．故選：BCD．變式7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）式子的計(jì)算結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）運(yùn)算順序（能否應(yīng)用公式）；（2）指數(shù)為負(fù)先化正；（3）根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．題型五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值例13．（2022·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】故選：C例14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）化簡(jiǎn)___________【答案】【解析】.故答案為：例15．（2022·江蘇常州·高一階段練習(xí)）（1）計(jì)算：（2）化簡(jiǎn)：【解析】（1）．（2）變式8．（2022·江蘇·南京師大附中高一階段練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：(用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示)；（2）計(jì)算：．【解析】（1）；（2）.變式9．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)．【解析】(1)．(2)．變式10．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)原式；(2)原式；(3)原式；(4)原式.【方法技巧與總結(jié)】根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)寫為最簡(jiǎn)根式．（1）被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；（2）被開方數(shù)分母為1，且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；（3）被開方數(shù)的每個(gè)因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù)．題型六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪例16．（2022·廣東中山·高一階段練習(xí)）已知，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即所以，故答案為：?7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)（理））若，，則________．【答案】【解析】．故答案為:.例18．（2022·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若，求下列各式的值(1)(2)【解析】（1）（2）變式11．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）（1）已知，化簡(jiǎn).（2）設(shè)，，，求的值.【解析】（1）由，得，∴.（2）令，，則，，，.∴.變式12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且，用表示．【解析】，因?yàn)?，所以，所以．原式．變?3．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）【解析】（1）因?yàn)椋?，所?.（2）.（3）.變式14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知，計(jì)算：；（2）設(shè)，，求的值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以?/p>

所以，即，所以，所以．

（2）因?yàn)?，所以，即．又，所以，即，由，解得，故的值?7．變式15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，且，則______．【答案】4【解析】因?yàn)?，，所以兩式相乘得，則．將代入，得，所以．故答案為：4變式16．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則______．【答案】3【解析】由，可得，，．故答案為：3變式17．（多選題）（2022·江蘇·南京市第十三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)C正確；,,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)于“條件求值”問(wèn)題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或“化簡(jiǎn)后代換”方法求值．對(duì)冪值的計(jì)算，一般應(yīng)盡可能把冪化為底數(shù)是質(zhì)數(shù)的指數(shù)冪，再考慮同底冪的運(yùn)算法則以及乘法公式．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·四川·成都市郫都區(qū)川科外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一開學(xué)考試）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：C2．（2022·河北·滄縣中學(xué)高一階段練習(xí)）下列運(yùn)算中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，正確；對(duì)于D，，錯(cuò)誤．故選：C．3．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，，，則（

）A．1 B．3 C．9 D．27【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，∴，，∴，故選：C．4．（2022·全國(guó)·高一期中）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】原式，故選：C．5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則化為（

）A． B． C．m D．1【答案】C【解析】，.故選：C．6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)A：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：，不能化簡(jiǎn)為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.7．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）若，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，即，又，且，所以.故選：A.8．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則下列運(yùn)算中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A選項(xiàng)：，∴，又，∴，∴，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，∴，故B正確；C選項(xiàng)：，，，，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，故D錯(cuò)誤，故選：B.二、多選題9．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）下列等式中，不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對(duì)于A，，

故A不正確；對(duì)于B，

，故B不正確；對(duì)于C，

中，故C不正確；對(duì)于D，

，故D正確．故選：ABC10．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】，故A錯(cuò)；，故B正確；與不同，故C錯(cuò)；，故D正確.故選：BD.11．（202