突破2概率與統(tǒng)計的綜合1.第31屆世界高校生夏季運(yùn)動會（簡稱“成都大運(yùn)會”）于2024年7月28日在四川成都開幕，這是中國西部第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動會.為普及大運(yùn)會相關(guān)學(xué)問，營造良好的賽事氛圍，某學(xué)校實行“大運(yùn)會百科學(xué)問”答題活動，并隨機(jī)抽取了20名學(xué)生，他們的答題得分（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示（分組區(qū)間為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]）.（1）求頻率分布直方圖中a的值及這20名學(xué)生得分的80％分位數(shù)；（2）若從樣本中任選2名得分在[50，70）內(nèi)的學(xué)生，求這2人中恰有1人的得分在[60，70）內(nèi)的概率.解析（1）由頻率分布直方圖知（2a＋0.020＋0.025＋0.035）×10＝1，所以a＝0.010.設(shè)80％分位數(shù)為x，由題圖可知前3組的頻率之和為0.65，前4組的頻率之和為0.9，所以x∈[80，90），且x＝80＋0.8－0故這20名學(xué)生得分的80％分位數(shù)為86.（2）由已知可得得分在[50，60）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.01×10×20＝2，得分在[60，70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.02×10×20＝4.解法一（列舉法）記得分在[50，60）內(nèi)的學(xué)生為a，b，得分在[60，70）內(nèi)的學(xué)生為c，d，e，f.則全部的樣本點為{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15個.其中恰有1人的得分在[60，70）內(nèi)的樣本點為{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，共8個.故這2人中恰有1人的得分在[60，70）內(nèi)的概率P＝815解法二（排列組合法）從這6人中任選2人，全部基本領(lǐng)件種數(shù)為C62＝15，滿意題意的基本領(lǐng)件種數(shù)為C41C21＝8，故這2人中恰有1人的得分在[602.在高三一輪復(fù)習(xí)中，大單元復(fù)習(xí)教學(xué)法日漸受到老師們的寵愛，為了檢驗這種復(fù)習(xí)方法的效果，在A，B兩所學(xué)校的高三年級用數(shù)學(xué)科目進(jìn)行了對比測試.已知A校接受大單元復(fù)習(xí)教學(xué)法，B校接受傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)法.在閱歷兩個月的實踐后實行了考試，現(xiàn)從A，B兩校高三年級各隨機(jī)抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計他們的數(shù)學(xué)成果（滿分150分）在各個分?jǐn)?shù)段對應(yīng)的人數(shù)如下表所示：[0，90）[90，110）[110，130）[130，150]A校6145030B校14263822（1）若把數(shù)學(xué)成果不低于110分評定為數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀，低于110分評定為數(shù)學(xué)成果不優(yōu)秀，完成2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗，分析復(fù)習(xí)教學(xué)法與評定結(jié)果是否有關(guān)；單位：人數(shù)學(xué)成果不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀總計A校B?？傆嫞?）在A校抽取的100名學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方法從成果在[0，90）和[90，110）內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記抽取的3人中成果在[0，90）內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.100.010.001xα2.7066.63510.828解析（1）由題意完成2×2列聯(lián)表如下：單位：人數(shù)學(xué)成果不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀總計A校2080100B校4060100總計60140200零假設(shè)為H0：復(fù)習(xí)教學(xué)法與評定結(jié)果無關(guān).則χ2＝200×（20×60－40故依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗，推斷H0不成立，即認(rèn)為復(fù)習(xí)教學(xué)法與評定結(jié)果有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）按分層隨機(jī)抽樣的方法從成果在[0，90）和[90，110）內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，則成果在[0，90）內(nèi)的人數(shù)為3，成果在[90，110）內(nèi)的人數(shù)為7，故X的全部可能取值為0，1，2，3，P（X＝0）＝C30C73C103＝724，P（X＝1）＝C31C72C103＝2140，P（X＝故X的分布列為X0123P72171E（X）＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×13.[2024廣西玉林模擬]2024年5月10日，長征七號遙七運(yùn)載火箭劍指蒼穹，搭載天舟六號貨運(yùn)飛船為中國空間站運(yùn)輸補(bǔ)給物資，為中國空間站的航天員們長時間探究宇宙奇異供應(yīng)強(qiáng)有力的后援支持.5月30日，神舟十六號放射勝利.在“神箭”“神舟”的護(hù)送下，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名中國航天員順當(dāng)進(jìn)入太空，開啟為期5個月的太空科研之旅.某校部分學(xué)生特殊關(guān)注中國空間站的發(fā)展，若將累計關(guān)注中國空間站發(fā)展的消息6次及以上者稱為“航天達(dá)人”，未達(dá)到6次者稱為“非航天達(dá)人”.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取200人進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表所示：單位：人航天達(dá)人非航天達(dá)人合計男8040120女305080合計11090200（1）依據(jù)小概率值α＝0.01的2獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為是否為“航天達(dá)人”與性別有關(guān)聯(lián)？（2）①從隨機(jī)抽取的這200名學(xué)生中接受分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)抽取3人.記事務(wù)A＝“至少有2名是男生”，事務(wù)B＝“至少有2名既是‘航天達(dá)人’又是男生”，事務(wù)C＝“至多有1名既是‘航天達(dá)人’又是女生”.試計算PAPBAPC②由①中P（ABC）與P（A）P（B｜A）P（C｜AB）的大小關(guān)系能否推廣到更一般的情形？請寫出結(jié)論，并說明理由.參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.100.050.01xα2.7063.8416.635解析（1）零假設(shè)為H0：是否為“航天達(dá)人”與性別無關(guān)聯(lián).依據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得2＝200×（80×50－40×所以依據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨(dú)立性檢驗，我們推斷H0即認(rèn)為是否為“航天達(dá)人”與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）由題意可知：抽取的20人中，男“航天達(dá)人”有8人，男“非航天達(dá)人”有4人，女“航天達(dá)人”有3人，女“非航天達(dá)人”有5人.①事務(wù)ABC表示“抽取的3人為2名男生1名女生，男生都是‘航天達(dá)人’”和“抽取的3人為3名男生，其中至少2人是‘航天達(dá)人’”，設(shè)D＝“抽取的3人為2名男生1名女生，男生都是‘航天達(dá)人’”，E＝“抽取的3人為3名男生，其中至少2人是‘航天達(dá)人’”，P（D）＝C82（C31＋C51）C所以P（ABC）＝P（D）＋P（E）＝56285＋1495＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）＝C122C81＋C所以P（ABC）＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）.②由①中P（ABC）與P（A）P（B｜A）P（C｜AB）相等的關(guān)系可以推廣到更一般的情形，即對于一般的三個事務(wù)A，B，C，有P（ABC）＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）.理由是：P（A）P（B｜A）P（C｜AB）＝P（A）·P（AB）P（A）·4.[2024河南駐馬店6月模擬]2024年是充溢挑戰(zhàn)的一年，為應(yīng)對困難的經(jīng)濟(jì)形勢，各地出臺了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各項政策，并取得了較好的效果.某市零售行業(yè)為促進(jìn)消費(fèi)，開展了新一輪的讓利促銷活動，活動之初，利用各種媒體進(jìn)行了大量的廣告宣揚(yáng)，為了解傳媒對本次促銷活動的影響，在本市內(nèi)隨機(jī)抽取了6個大型零售賣場（分別編號為1，2，3，…，6），得到其宣揚(yáng)費(fèi)用x（單位：萬元）和銷售額y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下：123456x/萬元2356812y/萬元303440455060（1）求y關(guān)于x的閱歷回來方程，并預(yù)料當(dāng)宣揚(yáng)費(fèi)用至少多少萬元時（結(jié)果取整數(shù)），銷售額能突破100萬元.（2）經(jīng)濟(jì)活動中，人們往往關(guān)注投入和產(chǎn)出比值，在這次促銷活動中，設(shè)銷售額與投入的宣揚(yáng)費(fèi)用的比值為λ，若λ＞10，稱這次宣揚(yáng)策劃是高效的；否則為非高效的.從這6家賣場中隨機(jī)抽取3家.①若抽取的3家中含有宣揚(yáng)策劃高效的賣場，求抽取的3家中恰有一家是宣揚(yáng)策劃高效賣場的概率；②若抽取的3家賣場中宣揚(yáng)策劃高效的有X家，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：參考數(shù)據(jù)∑i=16xiyi＝1752，閱歷回來方程y＝b^x＋a中b^和a的最小二乘估計分別為b^＝∑i解析（1）x＝2+3+5+6+8+126＝6y＝30+34+40+45+50+606＝259∑i=16xi2＝22＋32＋52＋62＋82所以b^＝∑i=16xa＝y(tǒng)－b^x＝2596－3×6＝1516，所以y＝3令3x＋1516＝100，解得x＝44918故預(yù)料當(dāng)宣揚(yáng)費(fèi)用至少為25萬元時，銷售額能突破100萬元.（2）①記事務(wù)A為“抽取的3家中含有宣揚(yáng)策劃高效的賣場”，事務(wù)B為“抽取的3家賣場中恰有1家為宣揚(yáng)策劃高效賣場”，由已知數(shù)據(jù)，賣場1，2的宣揚(yáng)策劃是高效的，賣場3，4，5，6的宣揚(yáng)策劃是非高效的，P（A）＝C42C21＋C41C22C63＝45，P（故所求概率為34②由題意知X的全部可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝C43C63＝15，P（X＝1）＝C42C21C6故X的分布列為X012P131所以E（X）＝0×15＋1×35＋2×1（【另解】X聽從超幾何分布H（6，2，3），所以E（X）＝3×265.某次考試中500名學(xué)生的物理成果（滿分為150分）聽從正態(tài)分布N（100，17.52），數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖如圖所示.（1）假如成果大于135分為特殊優(yōu)秀，那么本次考試中物理、數(shù)學(xué)特殊優(yōu)秀的學(xué)生大約各有多少人？（2）假如物理和數(shù)學(xué)兩科都特殊優(yōu)秀的學(xué)生共有6人，從（1）中的這些學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都特殊優(yōu)秀的學(xué)生有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（3）依據(jù)以上數(shù)據(jù)及小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗，是否可以認(rèn)為物理特殊優(yōu)秀的學(xué)生，數(shù)學(xué)也特殊優(yōu)秀？附：①若X～N（μ，σ2），則P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545.②χ2＝n（ad－bc）2（a＋b③α0.010.0050.001xα6.6357.87910.828解析（1）因為物理成果（記為Y）聽從正態(tài)分布N（100，17.52），所以物理特殊優(yōu)秀的概率為P（Y＞135）≈（1－0.9545）×12＝0.02275數(shù)學(xué)特殊優(yōu)秀的概率為0.0016×20×34＝0.024故物理特殊優(yōu)秀的學(xué)生大約有500×0.02275≈11（人），數(shù)學(xué)特殊優(yōu)秀的學(xué)生大約有500×0.024＝12（人）.（2）物理和數(shù)學(xué)兩科都特殊優(yōu)秀的學(xué)生有6人，則由（1）可知只有一科特殊優(yōu)秀的學(xué)生有11人.X的全部可能取值為0，1，2，3，P（X＝0）＝C113C173＝33136，P（X＝1P（X＝2）＝C111C62C173＝33136，P（所以X的分布列為X0123P3333331則E（X）＝0×33136＋1×3368＋2×33136＋3×1（3）填寫2×2列聯(lián)表如下：單位：人物理特殊優(yōu)秀物理不特殊優(yōu)秀合計數(shù)學(xué)特殊優(yōu)秀6612數(shù)學(xué)不特殊優(yōu)秀5483488合計11489500零假設(shè)為H0：物理特殊優(yōu)秀與數(shù)學(xué)特殊優(yōu)秀獨(dú)立.依據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得χ2＝500×（6×483－6依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為物理特殊優(yōu)秀的學(xué)生，數(shù)學(xué)也特殊優(yōu)秀，該推斷犯錯誤的概率不大于0.001.6.[2024廣東七校聯(lián)考]規(guī)定抽球試驗規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回地任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪.假如每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為勝利，否則記為失敗.在抽取過程中，假如某一輪勝利，則停止；否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷接著下去，直至勝利.（1）某人進(jìn)行該抽球試驗時，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不勝利，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗的輪次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）為驗證抽球試驗勝利的概率不超過12，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨(dú)立進(jìn)行該抽球試驗，記t表示勝利時抽球試驗的輪次數(shù)，yt12345y23298604020求y關(guān)于t的閱歷回來方程y＝b^t＋a，并預(yù)料勝利的總?cè)藬?shù)（精確到1（3）證明：122＋（1－122）132＋（1－122）（1－132）142＋…＋（1－122）（1－附：閱歷回來方程y＝b^x＋a的系數(shù)b^＝∑i=1nxi參考數(shù)據(jù)：i=15xi2≈1.46，x≈0.46，x2≈0.212（其中xi＝1t解析（1）由題意知，X的全部可能取值為1，2，3，P（X＝1）＝（1C21）2P（X＝2）＝[1－（1C21）2]（1C3P（X＝3）＝[1－（1C21）2][1－（1C31所以X的分布列為X123P112所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝1×14＋2×112＋3×23＝3+2+24（2）令xi＝1ti，由題知，∑i=15xiyi＝∑i=1所以b^＝∑i=15xiy所以a＝90－270×0.46＝－34.2，y＝270x－34.2，故所求的閱歷回來方程為y＝270t－34.2所以