高中數(shù)學“反正弦函數(shù)”PCK分析研究

上海市松江二中奚志鴻

摘要：調(diào)查研究顯示反正弦函數(shù)是教師和學生公認的難點概念。本文

運用PCK理論，對反正弦函數(shù)的作用與學習價值、知識本質(zhì)及知識間的聯(lián)

系、學習經(jīng)驗和困難分析、教學方法和策略分析進行了逐一闡述，并給出

了可供參考的一個教學案例。

關(guān)鍵詞：PCK；難點概念；反正弦函數(shù)

1986年，時任美國教育研究會主席的斯坦福大學教授舒爾曼的研究提

出，教師除了應具備學科知識與一般教學法知識外，必須在教學過程中發(fā)展

另一種新的知識（PedagogicalContentKnowledge）,即PCK,其定義為“教

師個人教學經(jīng)驗、教師學科內(nèi)容知識和教育學的特殊整合”，他還把PCK

描述為“教師最有用的知識代表形式”。①在此基礎(chǔ)上,2005年格林斯曼提

出了PCK包含的框架：（1）一門學科的統(tǒng)領(lǐng)性觀念，即關(guān)于學科本質(zhì)的

知識和最有學習價值的知識，（2）知識間的聯(lián)系，（3）學生在學習某一

知識過程中容易誤解和混淆的問題，（4）如何將特定的知識呈現(xiàn)給不同學

生的策略。舒爾曼認為PCK最能區(qū)分學科專家與教學專家、高成效教師與

低成效教師間的差別。"PCK的實質(zhì)是一種‘轉(zhuǎn)化’的智能，是教師將學科

知識‘轉(zhuǎn)化’成學生有效獲得的一種學科教學智能，即教師根據(jù)課程理念、

目標，進行系統(tǒng)思考，把學科知識有效地‘轉(zhuǎn)化’成教學任務，又由教學

任務有效地'轉(zhuǎn)化'為學生實際的獲得。第一次'轉(zhuǎn)化'主要體現(xiàn)在教師

的教學設(shè)計中，表現(xiàn)為對課程目標、內(nèi)容，學生認知基礎(chǔ)、風格、個性的

把握，教學方法、策略的選擇；第二次‘轉(zhuǎn)化'主要體現(xiàn)于課堂教學中，

表現(xiàn)為知識的呈現(xiàn)，課堂的決策、監(jiān)控、補救，媒體的使用，教學的指導、

1Shulman,L.S.Thosewhounderstand：knowledgegrowthinteaching[J].EducationalResearcher,1986,

15(2):4-14.

評價，生成問題的應對，師生關(guān)系?！雹?/p>

在高中的概念中有很多概念學生始終不能掌握好，還有的概念連教師都

覺得難以傳授好，可以稱它們?yōu)殡y點概念，所以運用PCK理論分析難點概

念是一種有效途徑。在《數(shù)學教育學報》2012年10月第21卷第5期“高

中數(shù)學十大難點概念的調(diào)查研究”一文中對上海市松江區(qū)全體在職85位高

中數(shù)學教師的問卷調(diào)查表明，在教師認為的“高中數(shù)學十大難點概念”的

排序中，“反正弦函數(shù)”列最難教的數(shù)學概念中的第八位，巧的是，對松

江區(qū)抽樣的410名學生進行問卷調(diào)查中發(fā)現(xiàn)“反正弦函數(shù)”也列最難教的

數(shù)學概念中的第八位。③雖然這是不完全統(tǒng)計，但是這樣的巧合在一定程度

上說明“反正弦函數(shù)”已成為教師和學生公認的難點概念，而PCK能有效

地轉(zhuǎn)化突破知識的難點，所以對反正弦函數(shù)進行PCK分析很有必要。

我們嘗試著用PCK分析的方法突破反正弦函數(shù)這個教學難點，對反正

弦函數(shù)教學時所涉及的知識地位與學習價值、知識本質(zhì)及知識間的聯(lián)系、

學生學習過程中的經(jīng)驗和困難、教學的方法和策略等進行整體分析。

1反正弦函數(shù)的作用與學習價值

《上海市中小學數(shù)學課程標準》在“反三角函數(shù)”這個學習內(nèi)容的學

習要求及活動建議有“理解反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念,

知道它們的基本性質(zhì)和圖像。會用計算器求反三角函數(shù)的值和用反三角函

數(shù)的值表示角的大小。”和“介紹三角學發(fā)展的概況”④。

反正弦函數(shù)是反三角函數(shù)之一，反三角函數(shù)與其它重要知識間的聯(lián)系

也要求對反正弦函數(shù)要進行透徹分析。首先，反三角函數(shù)是基本初等

函數(shù)之一,它建立在函數(shù)的理論基礎(chǔ)上，涉及到集合、映射、函數(shù)及其性質(zhì)

等眾多理論，故反三角函數(shù)的研究應在函數(shù)理論的指導下進行。其次反三角

國上海市青浦實驗研究所.小學數(shù)學新手和專家教師PCK比較的個案研究一青浦實驗的新世紀行動之四［J］上海教

育科研,2007(10):50

’阮曉明，王琴.高中數(shù)學十大難點概念的調(diào)查研究［J］.數(shù)學教育學報,2012,21(5):29

海市教育委員會編.上海市中小學數(shù)學課程標準(試行稿).上海：上海世紀出版集團上海教育出版社，2004(10)

第2版：77

函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，故反三角函數(shù)必遵循反函數(shù)的理論。為此先要

對反函數(shù)的概念必須有清晰的認識和理解,基本要素包括定義域、值域,對

應法則等互相對應,從而課題的引入、概念的產(chǎn)生應互相對照,互相印證。

反正弦函數(shù)本身的重要性也要求我們對其有必要進行透徹分析。首先,

反正弦函數(shù)是反三角函數(shù)單元學習的重點和難點。本節(jié)課與反函數(shù)的基本

概念、性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系，通過對這一節(jié)課的學習，既可以讓學生掌握

反正弦函數(shù)的概念，又可使學生加深對反函數(shù)概念的理解，而且為學習其

它反三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，起到承上啟下的重要作用，《數(shù)學學科教學基本

要求》中提及“類比反正弦函數(shù)的研究過程能對反余弦函數(shù)與反正切函數(shù)

作研究”。其次，反正弦函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，對后繼課程的學習有

著重要的作用！如最簡三角方程通解的表達，立體兒何中角的確定，直線

傾斜角的確定等。特別是在反三角函數(shù)中，反正弦函數(shù)有著模本的作用，

這一節(jié)內(nèi)容的順利解決對后一節(jié)的反余弦和反正切函數(shù)奠定了扎實的學習

方法。

2反正弦函數(shù)的知識本質(zhì)及知識間的聯(lián)系

2.1反正弦函數(shù)定義的剖析

2.1.1定義的文本解讀

上海教育出版社2008版教材在高一年級第二學期第108頁中給反正弦

函數(shù)所下的定義為：函數(shù)）,=3門戶』-2,2］的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作

［22.

x=arcsiny。習慣上用x表示自變量，用y表示函數(shù)，所以反正弦函數(shù)寫成

y=arcsinx的形式，其中定義域為［-1』，值域為。

人民教育出版社2000版教材中沒有反正弦函數(shù)定義，但在高中數(shù)學必

修2第73頁中在第4.11節(jié)“已知三角函數(shù)值求角”中有這樣一段話：”在

閉區(qū)間工二］上，符合條件sinx=a（-1。＜1）的角x,叫做實數(shù)a的反正弦,

22

記做arcsino,B|Jx=arcsina其中XE-----，且。=$也%。”

9_22一

2.1.2幾個相關(guān)概念溯源

2.1.2.1正弦函數(shù)

上海2008版教材在高一年級第二學期第81頁中的描述為：

對于任意一個實數(shù)x都對應著唯一的角(在弧度制中其弧度數(shù)等于這個

實數(shù)X),而這個角又對應著唯一確定的正弦值sinx,這樣，對于任意一個實

數(shù)x都有唯一確定的值sinx與它對應，按照這個對應法則所建立的函數(shù)，表

示為y=sinx,叫做正弦函數(shù)。

2.1.2.2反函數(shù)

上海2008版版教材在高一年級第二學期第13頁中的描述為：

對于函數(shù)y=/(x)(xeA),設(shè)它的定義域為D,值域為A,若對于A中任意

一個值y,在D中總有唯一的x值與它對應，且滿足y=/(x),這樣得到的x關(guān)

于的函數(shù)叫做y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y)。在習慣上，自變量常用x表

示，而函數(shù)用y表示，所以把它改寫為〉="|(了)(%€4)。

2.1.3定義的邏輯分析

上海版采用了定義方法中最常見的屬加種差的定義法，作為種概念

的反正弦函數(shù)的鄰近的屬概念是反函數(shù)概念，種差有兩個：①正弦函數(shù)；

②正弦函數(shù)中自變量的范圍是I工，工。

一22_

從人教版中可以看出人教版已經(jīng)淡化了反正弦函數(shù)，把函數(shù)的品種減

少了，把反正弦函數(shù)的工具作用保留了下來。

2.2反正弦函數(shù)概念的表征分析

現(xiàn)代認知心理學認為，要更好的進行數(shù)學概念教學首先應該了解數(shù)學概

念是如何在學生頭腦中記載和呈現(xiàn)的，這就是常說的數(shù)學概念的表征。鄭

毓信、梁貫成（1998年）曾指出：“概念的正確理解無非就是指建立了‘恰當

的‘心理表征”。數(shù)學概念表征的建立是一種個性化的復雜的心理過程，反

正弦函數(shù)概念在學生頭腦中的記載和呈現(xiàn)方式主要有三種。

一是符號表征：反正弦函數(shù)的符號表征為y=arcsinx,xe[-l,l]。這是一個

與初中所學的幾類函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）形式上有很

大不同的函數(shù)解析式，類似于對數(shù)函數(shù)。

二是圖形表征：反正弦函數(shù)的圖形表征

分為兩種，一種利用它與y=sinx,xG1的

L22]

互為反函數(shù)關(guān)系得到反正弦函數(shù)的圖像是函

數(shù)八sinx,xj-生目的圖像關(guān)于直線1對稱

L22_

的圖像，是一段曲線；另一種是在上一種的

基礎(chǔ)上直接記憶圖像（右圖）。

三是函數(shù)機器表征：將反正弦函數(shù)看成是一臺機器，它將內(nèi)的實

數(shù)變換為Y，與內(nèi)的角。

L22J

3反正弦函數(shù)學習經(jīng)驗和困難分析

3.1反正弦函數(shù)學習經(jīng)驗分析

3.1.1概念的發(fā)展簡史

因為反正弦函數(shù)的重要作用是對角的表示，所以追根溯源離不開三角

學，三角學起源于天文、測量、航海等實際需要。

三角學的發(fā)展階段：

（1）遠古?10世紀

用于測量三角學范圍內(nèi)的一些問題：

如在公元前3000年的古埃及建造金字塔、丈量耕地；公元前600年左右希

臘數(shù)學家泰勒斯利用相似三角形原理測量金字塔的高；公元前100多年的

我國《周髀算經(jīng)》中記錄人們用矩測高望遠。這些測量角的事實就是反三

角函數(shù)的雛形。

(2)11世紀?18世紀

三角學脫離天文學，獨立成為數(shù)學的一個分支，開始出現(xiàn)“三角函數(shù)”

的定義，為出現(xiàn)“反三角函數(shù)”提供了可能。

(3)18世紀以后

三角學研究范圍擴大，研究三角函數(shù)的主要對象，反三角函數(shù)也正式產(chǎn)

生。三角學曾屬于分析學，現(xiàn)在屬于兒何學，源于角是兒何圖形。其中，

正弦函數(shù)是最重要也是最古老的一種三角函數(shù)。而反三角函數(shù)符號的創(chuàng)用

說法很多,如有書說1729年丹尼爾(B.Daniel,1700^1782)采用“As”表

示反正弦；1776年瑞士的蘭伯特(J.H.Lambert,1728-1777)用“arc?sin”

表示反正弦，后來去掉中間的“-”便成了“arcsin”沿用下來。又有書

說“arcsin”是法國數(shù)學家拉格朗日于1772年引進的。還有書說，1813年

英國的赫謝爾(W.Herschel,1792?1891)創(chuàng)用“sinh”，后被英美派采用，

我國采用我resin”。

3.1.2學生已有的相關(guān)經(jīng)驗

在反正弦函數(shù)概念教學之前，教師有必要了解學生在學反正弦函數(shù)概

念之前已有的知識和經(jīng)歷。認知理論認為這是影響反正弦函數(shù)概念學習最

重要的因素。

(1)函數(shù)概念：反正弦函數(shù)本身是一種函數(shù)，所以函數(shù)概念的掌握與

否關(guān)系重大。

(2)正弦函數(shù)：因為反正弦函數(shù)是正弦函數(shù)的反函數(shù)，所以對正弦函

數(shù)的概念和性質(zhì)應該掌握。

(3)反函數(shù)概念和性質(zhì)：反正弦函數(shù)的研究特別是性質(zhì)基本依賴于先

前已學的反函數(shù)知識。

(4)計算器的使用：學生在學習銳角三角比時對特殊角的三角比值的

記憶已經(jīng)轉(zhuǎn)為利用計算器驗證。

3.2反正弦函數(shù)學習障礙分析

數(shù)學概念理解障礙，是指學習者在數(shù)學概念時不能順利進行描述、說

明、表達、推測、想象、比較、判別和初步應用等活動的一種狀態(tài)。

學生在反正弦函數(shù)概念學習中易發(fā)生的主要障礙有：

(1)引入反正弦函數(shù)概念時的障礙

事實上，反正弦函數(shù)這個名稱就會讓學生產(chǎn)生誤解，當教師一開始問

正弦函數(shù)有沒有反函數(shù)時，有學生會毫不猶豫地回答：“有”，因為他想今

天要學的不就是“反"正弦函數(shù)嗎。另外一個讓學生如此輕率回答的重要

原因是學生對反函數(shù)的概念原本就理解得不透徹。

(2)理解反正弦函數(shù)符號時的障礙

在學生的心目中，反函數(shù)是用反解的方法求得的，但正弦函數(shù)無法用

反解的方法求其反函數(shù)，只能是規(guī)定，而且表示符號又是全新的。

(3)反正弦函數(shù)與三角函數(shù)概念混淆時產(chǎn)生障礙

學生易犯的通病，是受定勢思維的負面影響，正弦函數(shù)的圖像已深深

地映在學生腦海中，所以把反正弦函數(shù)與正弦函數(shù)混淆，分不清反三角函

數(shù)的定義域、值域以及自變量的取值與反三角函數(shù)值的對應關(guān)系。忽視、

遺忘主值區(qū)間的情況十分常見。

(4)作反正弦函數(shù)圖像時的障礙

大部分學生知道利用反函數(shù)的性質(zhì)：互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像關(guān)于直

線y=x對稱來作出反正弦函數(shù)圖像，但在作的時候會不注意兩函數(shù)圖像與

直線y=x的相對位置，畫成有三個交點的情況。

4反正弦函數(shù)的教學方法和策略分析

4.1"反正弦函數(shù)”的知識呈現(xiàn)與教材分析

4.1.1課本內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系

反正弦函數(shù)------>反正弦函數(shù)的運用

4.1.2課本內(nèi)容具體編排

“反正弦函數(shù)”上海版教材是安排在高一數(shù)學第六章《三角函數(shù)》中,

教材(P105-P108)編排是:

(1)復習一個函數(shù)有反函數(shù)的條件

(2)分析正弦函數(shù)沒有反函數(shù)

(3)說明正弦函數(shù)在，々工|有反函數(shù)

(4)給出反正弦函數(shù)的定義和圖像、性質(zhì)、恒等式

(5)例1：求反正弦函數(shù)的值(3個小題)

(6)例2：用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式中的x(3個小題)

(7)例3:化簡下列各式(3個小題)(形如arcsin(sinx))

(8)練習共4題

①求值(反三角函數(shù)值)

②已知正弦值，求角

③判斷命題真假

④求值(形如arcsin(sinx))

(9)習題

A組6題

①求值(反三角函數(shù)值)

②用計算器求值(反三角函數(shù)值)

③用反正弦函數(shù)值的形式表示各式中的x

④求值(形如sin(arcsinx))

⑤求值(形如arcsin(sinx))

⑥應用題

B組3題

①求函數(shù)定義域(形如y=arcsin(x-l))

②求值(與反余弦函數(shù)的綜合題)

③證明題(與反余弦函數(shù)的綜合題)

4.1.3對課本編排的理解

課本在一開始復習反函數(shù)的概念,意圖是為說明定義在R上的正弦函數(shù)

不存在反函數(shù)作準備；接著說明正弦函數(shù)在有反函數(shù)，但未說明為

_22.

何取工工］;之后給出反正弦函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)以及三種例題，課

一22_

本的知識都是靜態(tài)的，其中的隱性知識、隱性問題都沒有呈現(xiàn)。

4.2反正弦函數(shù)的教學方法與策略

知識是靜態(tài)的，認識是動態(tài)的，學科教學認識是教師對教學法、學科

內(nèi)容、學習特征和學習情境等四個構(gòu)成因素的綜合理解，總是處于連續(xù)的

發(fā)展過程中，隨著學科教學認識的發(fā)展，教師能夠依據(jù)他們的理解為學科

中的特定內(nèi)容創(chuàng)造教學策略，幫助學生在既定的情境中構(gòu)建最有效的理解。

(1)針對反正弦函數(shù)概念名稱本身的誤導的教學策略——上位概念的

回憶與強調(diào)。盡管課本一開始這里復習了反函數(shù)的概念，有的學生對知識

的理解是機械的，這就要教師幫助學生再回憶、教師再強調(diào)反函數(shù)概念，

特別是“一一對應:另外，反函數(shù)是實數(shù)間的對應關(guān)系，而反正弦函數(shù)初

步理解是實數(shù)與角的對應關(guān)系，學生可能有點轉(zhuǎn)不過彎，這就需要教師強

調(diào)“反正弦函數(shù)是實數(shù)與角的對應關(guān)系”，以后再深化為反正弦函數(shù)其實還

是實數(shù)與實數(shù)的對應。

(2)針對理解反正弦函數(shù)符號時的障礙的教學策略——類比已學記號

和介紹歷史淵源。"arcsinx”這個記號與“l(fā)og/”一樣都是數(shù)學家為了表達

方便創(chuàng)造出來的，很多學生一開始會對此莫名其妙，他們會覺得還不如用

“si/x”好理解，其實歐美國家采用的就是“si/x”，我們的計算器上也

是用了這個記號，事實上這只是代號，用哪一個并不重要，但是因為我國

教材采用的是“arcsinx"，所以我們就以教材為本，尊重教材為先，而且

“arcsinx”其實也是有它的道理的，arcsin中sin是正弦，arc是什么意思呢?

arc并不是“反”的意思，它是英文單詞，解釋為“圓弧”，圓弧即圓周上

的一段，那么圓弧/與圓心角a有什么關(guān)系呢？l=ar,在單位圓中r=1,即

l=a,所以此時弧即角，角即弧。我們可以將〃c理解作角，所以arcsin從字

面上理解就是正弦值為y所對應的角，因此用arcsinx記反正弦函數(shù)是有道理

的，用這樣的數(shù)學歷史來解釋，學生也易于理解，易于接受。另一個解決

辦法可以聯(lián)系舊知識，見4.3教學參考案例。

(3)針對反正弦函數(shù)與三角函數(shù)概念混淆的教學策略——設(shè)計例題對

照。通過設(shè)計兩種函數(shù)的求值問題，讓學生自己分辨模型。課本的例1中

僅求反正弦三角函數(shù)值，教師可以在其中插入求正弦值的題，及時讓學生

靈活轉(zhuǎn)換正弦函數(shù)值和反正弦函數(shù)值。

(4)針對作反正弦函數(shù)圖像出現(xiàn)的問題的教學策略——多媒體輔助和

前期教學準備。可以讓學生描多點來作出較為正確的圖像，但是動手描點

也有局限性，教師可以采用多媒體輔助示范。兀Ayy=arcsinX

這里值得一提的是，產(chǎn)sinx,xe]。,'的圖像必I-ZA=sinx

在直線y=x的下方是在課本的配套練習冊__________/.，,

7°1i,

《數(shù)學練習部分高中一年級第二學期(試用

本)》的第五章《三角比》內(nèi)P32的復習題B/[

組第一題中具體填表已經(jīng)研究過，在此練習

冊的第六章《三角函數(shù)》的P40頁習題6.2的B組第二題也用三角函數(shù)證

明了。

4.3教學參考案例

(1)教學目標：

1.經(jīng)歷在正弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間上建立反三角函數(shù)的過程；

2.理解反正弦函數(shù)的概念，知道它的圖像與性質(zhì)；

3.會用反正弦函數(shù)的值表示角的大??；

4.在問題解決的過程中滲透數(shù)形結(jié)合等思想。

(2)教學重點：反正弦函數(shù)的概念與性質(zhì)。

(3)教學難點：反正弦函數(shù)的概念、反正弦的符號、用反正弦函數(shù)的值表

示角的大小。

(4)教學過程：

教學過程設(shè)計意圖

引入提問此處引例就是一個舊知，

1、引例：若sinx=Lxe0,-，求x.學生很容易解答，而變式題對

2L2_

于用慣計算器的學生來說，自

2、變式：若上題中“sinx=L”改為

2然而然使用計算器來解決，當

“sinx=那么X的值是什么？

3老師提醒：如果要求不能是近

3、正弦函數(shù)有沒有反函數(shù)？為什么？

似值，而是要精確值呢？學生

4、如何限制正弦函數(shù)的定義域，使其

們都不知怎么辦了，這里就是

存在反函數(shù)？

利用舊知識來引入，目的引起

5、為什么選擇這個區(qū)間？可以選別的

知識需要，激發(fā)學生的求知

區(qū)間嗎？

欲。

二、反正弦函數(shù)的概念

函數(shù)產(chǎn)sinx,xj-工二]的反函數(shù)叫做

_22.

反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx,xe[-1,1],它

的值域為「工,工。

L22J

（說明1>arcsinx一個整體的符號，

2、arcsinx的意義。）

此處引入arcsinx時，把對

師：當我們學習指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的時候,

對于y想用y的表達式來表示x時，數(shù)函數(shù)記號插入進來讓學生

當初是怎么寫的？感覺新記號不可怕，原來它的

生：x=意義與已經(jīng)學過的記號是一

師：對，那時我們就是創(chuàng)用了一個記號樣的，這樣從心理上認可了新

logX,它與/互為逆運算；現(xiàn)在這個

a記號：既然能學好對數(shù)記號，

arcsinx與sinx也是一樣。arcsinx是一個整

這個記號也不難。

體，表示一個角，這個角的正弦值是X,而

口7C71

一旦XG----,一?

L22J

師：那么x)=?

生：sin(arcsinx)-x,而且xe----

_22.

師：這個記號與其逆運算結(jié)合在一起感覺

是“無效”了，那我們還有沒有學過類似此處在老師的提示下讓

的結(jié)論。學生聯(lián)想有關(guān)對數(shù)的兩個恒

生：⑴a'=-x(x>0)等式，在老師的進一步點撥與

師：上述恒等式都是〃尸的特例

=x小結(jié)下，學生還能創(chuàng)造出新的

生：老師，那還有：arcsin(sinx)-x

恒等式，學生很有成就感；當

師：很好，但是有些恒等式要注意恒等范

然在一番滿足之后老師提出

圍，怎樣的角x經(jīng)過正弦運算、再經(jīng)過反正

恒等范圍問題，讓學生體會到

弦運算最終是本身？

生：(經(jīng)過思考和討論后認定)數(shù)學的創(chuàng)造還需數(shù)學的嚴謹

精神，從而對這一恒等式的注

arcsin(sinx)=x9

意點印象深刻。

例1、(口答)求值：

(2)arcsin出

(1)arcsin—(3)arcsin0

22

(4)arcsin1(6)arcsin41

三、反正弦函數(shù)y=arcsinx,xe[-1,1]的圖

像與性質(zhì)此處不用老師提醒，學生

T71

1、利用它與丁=5布工，XG的圖像關(guān)很自然地運用反函數(shù)知識研

于直線y=x對稱得到y(tǒng)=arcsin工的圖像。究反正弦函數(shù)，說明運用已知

71兀的密切的相關(guān)知識是學生的

2^定義域：xe[-l,l]；值域:；

ye一展5

本能，老師的作用應該是提醒

3、奇偶性：奇函數(shù)（關(guān)于原點對稱），即

學生那些不易察覺的舊知。

仕思xG[-1,1],arcsin(-x)=-arcsinx;

4、單調(diào)性：在xw[-1』內(nèi)遞增。

5、恒等式：

(1)sin(arcsinx)=x[T'l]

1i

_

_

_

*、_

_

(2)arcsin(sinx)=x1||_

9xe_

_

_

122I_

四、反正弦函數(shù)知識的運用

例2：用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式

中的X：

717C

(1)sinx=-,xG

3L22.

師：我們學習反正弦函數(shù)最大的用處是什

么？（回到引例變式）可以精確表示非特

殊角。這里的X表示什么

7171

生：此題的X表示在內(nèi)的正弦值是

_2'2J

押角。

師：那么如何表示其精確值？雖然學好了反正弦函數(shù)

（此時有的學生已經(jīng)能夠說出正確答案的概念與性質(zhì)，但學生的實際

應用才剛剛碰到，要達到真正

x=a心，3,有?的自;在疑惑，基于;這種