5.6函數(shù)y=4sin?x+（p）

5.6.1勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型

5.6.2函數(shù)y=4sin?x+（p）的圖象

第一課時(shí)函數(shù)y=4sin（3x+<p）的圖象

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫出y=Asin（ox+9）

的圖象.

2.理解參數(shù)A,69,9對(duì)函數(shù)y=Asin（ox通過整體代換和圖象的變換提升學(xué)生的

+9）的圖象的影響.直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.能用圖象變換畫y=Asin（s;+9）的簡

圖.

課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究

教材知識(shí)探究

A情境引入

在物理中，簡諧運(yùn)動(dòng)中單擺對(duì)平衡的位移y與時(shí)間x的關(guān)系、交流電的電流y與

時(shí)間%的關(guān)系等都是形如y=Asin（0x+0）的函數(shù).如圖（1）所示是某次實(shí)驗(yàn)測得的

交流電的電流y隨時(shí)間x變化的圖象.

將測得的圖象放大如圖⑵所示，可以看出它和正弦曲線很相似.那么函數(shù)y=

Asin（（yx+s）與函數(shù)y=sinx有什么關(guān)系呢？

問題1.函數(shù)尸Asin(ox+夕)的周期、取值分別受哪些量的影響？

2.如何做出函數(shù)丁=而111((?%+夕)的圖象？

提示1.在函數(shù)丁=仄皿(0x+0)中最值受A的影響，最大值為|川，周期受①的影

,2兀

響/=扃

2.方法一：五點(diǎn)作圖法.方法二：圖象的變換.

A新知梳理

1.9對(duì)函數(shù)y=sin(x+0),xGR的圖象的影響

{?>()時(shí)向主卜［平移?，平移變換-----------

)=sinX_二;上個(gè)單.—sin建+股)的圖象

’的圖象.

卜<0時(shí)向一［［長度)

2.①(0>0)對(duì)函數(shù)y=sin(t?x+e)圖象的影響

T3乂時(shí)縮

y=sin(n+中)的圖象

—［()<3<i時(shí)伸長到『周

上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)期

變

換

產(chǎn)sin(3x+<p)的圖象卜-------原來的意倍.,______

縱坐標(biāo)耒變「

3.A(A>0)對(duì)y=Asin(0x+0)的圖象的影響

TA>I時(shí)伸^T)—

伸

TO<A<1時(shí)縮短到卜縮

變

換

____原來的A倍.［

、橫坐標(biāo)不變「一

函數(shù)y=Asin(c?x+夕)的值域是［―A,A］(A>0),最大值為A，最小值為一A

9影響了圖象的左右平移、0影響了函數(shù)的周期，A影響了函數(shù)的最值

教材拓展補(bǔ)遺

［微判斷］

1.把函數(shù)丁=5由大的圖象向右平移2個(gè)單位得到函數(shù)y=5垣(》+2)的圖象.(X)

提示應(yīng)得到y(tǒng)=sin(x—2)的圖象.

2.把函數(shù)丁=5皿%的圖象向左平移2兀個(gè)單位后得到的圖象與原圖象重合.(?)

3.函數(shù)y=3cos(2x+§的最大值為3.(V)

［微訓(xùn)練］

1.為了得到y(tǒng)=sin4x,x?R的圖象，只需把正弦曲線上所有點(diǎn)的()

A.橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變

B.橫坐標(biāo)縮短到原來的去縱坐標(biāo)不變

C.縱坐標(biāo)伸長到原來的4倍，橫坐標(biāo)不變

D.縱坐標(biāo)縮短到原來的去橫坐標(biāo)不變

解析①=4>1,因此只需把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)

不變.

答案B

2.把函數(shù)y=2sin3x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/p>

的3倍，得到的圖象.

3

答案y=6si吁

3.將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移,個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為

解析由題意得所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=cos2(x-1)=cos(2x-y).

答案y=cos(2x-專)

［微思考］

1.由y=sin①x(①>0)的圖象得到y(tǒng)=sin(5：+9)的圖象是如何平移的呢？

?y=sin(69X(p)—

sin4十方,

由y=sinox的圖象向左(右)平移個(gè)單位.

2.由y=sinx的圖象，得至Uy=Asin((yx+e)(0>0)的圖象是否還有其他的變換方

法？

提示sinx

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?

3

縱坐標(biāo)不變

y=sin（ftAZ）

左（右）平移9個(gè)單位

|3|

y-sin（ttxz+a）

各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐

標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁信

y=Asin（＜o(jì)?r+0

課堂互動(dòng)題型剖析

題型一“五點(diǎn)法”作函數(shù)尸Asin（0x+e）的圖象

五點(diǎn)指三個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)最值點(diǎn)

【例1】已知函數(shù)尸singx+"

利用“五點(diǎn)法”作出它在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡圖.

Ox

-1

解下面用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)尸sin0+1）在一個(gè)周期T=4兀內(nèi)的圖象.

令X=g+5，則x=2X—?

先列表，后描點(diǎn)并畫圖.

匹3兀

X0兀2兀

2T

匹2兀5兀8兀1171

X-3TTT亍

y010-10

-y

規(guī)律方法用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=以由（口工+9）的圖象關(guān)鍵是抓住五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，

即三個(gè)“平衡點(diǎn)”（即cox+（p分別取0,兀，2兀時(shí)%所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)）、一“波峰

點(diǎn)”（即0x+9取押x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)）、一個(gè)“波谷

點(diǎn)”（即①x+夕取|兀時(shí)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)）.同時(shí)也要注意“五點(diǎn)法”的逆用，即由y=

Asin（①x+夕）的圖象反過來確定cox+（p的值.

1JT

【訓(xùn)練11請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)尸點(diǎn)in（2x—前的圖象.

解函數(shù)y=；sin（2x一的周期T=y=7r,先用“五點(diǎn)法”作它在長度為一個(gè)周

7T

期上的圖象，令X=2x—不則x變化時(shí)，y的值如下表：

713兀

X兀2兀

02T

71717兀5兀1371

X

12312~6~12

1

000

y2~2

描點(diǎn)畫圖:

]-12-豆12

2

利用該函數(shù)的周期性，把它在一個(gè)周期上的圖象向左、向右平移即得y=gin（2x

一奇的圖象（圖略）.

題型二三角函數(shù)圖象的平移變換

【例2】（1）將函數(shù)y=2sin（2x+1）的圖象向右平移;個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的

函數(shù)為（）

A.y=2sin（2x+j）

B.y=2sin（2x+§

C.y=2sin（2x—孑）

D.y=2sin（2x—§

(2)要得到y(tǒng)=cos12x-5的圖象，只要將y=sin2x的圖象()

不同名稱的，利用誘導(dǎo)公式化同名

A.向左平移得個(gè)單位

B.向右平移卷個(gè)單位

c.向左平移1個(gè)單位

D.向右平移點(diǎn)個(gè)單位

解析(1)函數(shù)y=2sin(2x+1)的周期為7=啰=兀，向右平移:個(gè)周期，即向右平

移;后，得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為尸2sin[2(x—=2sin(2x—,故選D.

(2)y=sin2x=cos&-2x)=cos(2x-舒

=cos[2(x—磯=3艮一小楙.

若設(shè)_/(x)=sin2x=cos[21一目一彳,

則'+*cos(2x-^,

???向左平移/個(gè)單位.

O

答案(1)D(2)A

規(guī)律方法三角函數(shù)圖象平移變換問題的分類及策略

(1)確定函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過變換后圖象對(duì)應(yīng)的解析式，關(guān)鍵是明確左右平移

的方向，按“左加右減”的原則進(jìn)行.

(2)已知兩個(gè)函數(shù)解析式判斷其圖象間的平移關(guān)系時(shí)，首先要將解析式化為同名

三角函數(shù)形式，然后再確定平移方向和平移距離.

【訓(xùn)練2】將函數(shù)y=^cos(2x+§的圖象向左平移當(dāng)個(gè)單位長度，則所得圖象

的解析式為.

解析將函數(shù)y=Wcos(2x+各的圖象向左平移當(dāng)個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函

數(shù)為y=gcos[2(尤+$+克=啦COS(2X+TT)=—啦cos2x.

答案y=—&cos2x

題型三三角函數(shù)圖象的伸縮變換

先平移后伸縮，先伸縮后平移

_JI

[例3]說明y=2sin(2x+w)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得

到.

解法一把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移W個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=

sin(x+§的圖象；再把y=sinQ+§的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的；倍

(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=sin(2x+§的圖象；最后把y=sin(2x+§的圖象上所有點(diǎn)

的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)=2sin(2x+§的圖象.

法二將丁=5由工的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)，得到

JT

y=sinlx的圖象；再將y=sin2x的圖象向左平移4個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=

sin[[+聿)]=sin(2x+§的圖象；再將y=sin(2x+§的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸

長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即得到y(tǒng)=2sin(2x+§的圖象.

規(guī)律方法三角函數(shù)圖象變換的法一(先平移后伸縮)和法二(先伸縮后平移)需要

注意以下兩點(diǎn)：

(1)兩種變換中平移的單位長度不同，分別是附和,但平移方向是一致的.

(2)雖然兩種平移單位長度不同，但平移時(shí)平移的對(duì)象已有變化，所以得到的結(jié)

果是一致的.

【訓(xùn)練3](1)為了得到函數(shù)尸sin(3x一目的圖象，需將函數(shù)尸sin(x—施圖

象()

A.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變

B.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變

C.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼男】v坐標(biāo)不變

D.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼男M坐標(biāo)不變

(2)已知曲線G：尸cosx,。2：y=sin(2x+第，則下面結(jié)論正確的是()

A.把Q上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右

平移聿個(gè)單位長度，得到曲線C2

B.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左

平移自個(gè)單位長度，得到曲線C2

C.把Q上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平

移聿個(gè)單位長度，得到曲線C2

D.把Q上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的:倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平

移專個(gè)單位長度，得到曲線C2

解析⑴只需將函數(shù)尸sin(x—§的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅,縱坐標(biāo)不變，便

得到函數(shù)尸sin(3x—§的圖象，故選C.

(2)Ci：y=cosx=sin(x_h

c,上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來；倍

即ysin(a、T)---------------------

向左平移得個(gè)單位長度

1y=sin(2a，H--=sin2卜++)------------------------------------*

y=sin21九十W十萬J=sin21x+2J-

答案(1)C(2)D

核心素養(yǎng)■川llllllllllllllll郵IIIIIIIIIIIWIIIIIIIIIIIIIIIIIWIII全面提升刪唧

一'素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.由y=sinx的圖象，通過變換可得到函數(shù)y=Asin(0x+0)(A>0,0>0)的圖象，

其變化途徑有兩種：

小.相位變換.，,、周期變換

(l)y=sinx------>y=sin(x十夕)-----

y=sin(0x+=Asin(0x+0)；

(2)y—sinx—sina)x——

.~4,、振幅變換

y-sina?l%-rI=sin(0x十夕)------

y=Asin(cwx+9).

注意：兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同，這是易出錯(cuò)的地方,

應(yīng)特別注意.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.要得到函數(shù)y=cos(2x+l)的圖象，只要將函數(shù)y=cos2x的圖象()

A.向左平移1個(gè)單位長度

B.向右平移1個(gè)單位長度

C.向左平移3個(gè)單位長度

D.向右平移g個(gè)單位長度

解析y=cos(2x+l)=cos21+；),因此由y=cos2x向左平移;個(gè)單位，故選C.

答案C

2.要得到尸sin2x的圖象，只需將函數(shù)產(chǎn)sin(2x+：|的圖象()

A.向左平移彳個(gè)單位B.向右平移;個(gè)單位

C.向左平移得個(gè)單位D.向右平移卷個(gè)單位

OO

解析尸sin(2x+g)=sin五壬多產(chǎn)sin21，故選D.

71個(gè)單位

答案D

3.函數(shù)y=cosx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到圖

象的解析式為y=coscox,則CD的值為()

1

2B-

A.2

C.4D.1

解析由題意可知得到圖象的解析式為y=cos5,所以。=去

答案B

4.將函數(shù)y=2sin(x+§的圖象向左平移儂心0)個(gè)單位長度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的

函數(shù)為偶函數(shù)，則機(jī)的最小值為()

兀c兀

A?適B6

C.TD普

3o

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin(x+目的圖象向左平移加個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的

(兀、冗7T7T

函數(shù)為y=2sin[x+1+"zJ,所以)+加=也+],左GZ,即m=左兀+不左@Z.又機(jī)>0,

所以機(jī)的最小值為器故選B.

答案B

5.要得到函數(shù)尸sin(—x+8的圖象，可把函數(shù)尸sin(—x)的圖象向

個(gè)單位.

解析y=sin(—%)—>y=sin(—'1+目

=sin—(x-§,可把y=sin(-x)的圖象向右平移當(dāng)個(gè)單位.

答案右平移方

課后作業(yè)鞏固提息]

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.將函數(shù)Hx）=sin[2x一廳的圖象向左平移1個(gè)單位長度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐

標(biāo)縮短到原來的上縱坐標(biāo)不變），則所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）

A.y=sinxB.y=sin（4x+§

乙2哈（

C.y=sin（4x一D.y=sin（x十

解析將函數(shù)加尸sin（2x—§的圖象向左平移全個(gè)單位長度后，得到函數(shù)尸

sin艮+4一,=sin（2x+§的圖象，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（

（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)尸sin,+4的圖象，故選B.

答案B

2.把函數(shù)y=cos2x+l的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不

變）,然后向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度,得到的圖象是（）

解析把函數(shù)y=cos2x+l的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)

不變），得到函數(shù)y=cosx+l的圖象，然后把所得函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位長

度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)丁=85。+1）的圖象，故選A.

答案A

3.有下列四種變換方式：

①向左平移;個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼娜タv坐標(biāo)不變）；

②橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼纳峡v坐標(biāo)不變），再向左平移得個(gè)單位長度；

Zo

③橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼闹?縱坐標(biāo)不.變），再向左平移々7T個(gè)單位長度；

④向左平移得個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼纳峡v坐標(biāo)不變）.

oZ

其中能將正弦函數(shù)y=sinx的圖象變?yōu)槭瑂in（2x+》的圖象的是（）

A.①和②B.①和③

C.②和③D.②和④

解析①向左平移2JT個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼娜?縱坐標(biāo)不變），則正弦

函數(shù)尸sinx的圖象變?yōu)槭瑂in（2x+1）的圖象；②橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅（縱坐標(biāo)不

變），再向左平移鼻個(gè)單位長度，正弦函數(shù)尸sinx的圖象變?yōu)槭瑂in2%+1上

sinQx+春的圖象；③橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變），再向左平移1個(gè)單位長度，

正弦函數(shù)尸sinx的圖象變?yōu)槭瑂in2卜+1）=5111（2%十習(xí)的圖象；④向左平移1個(gè)

單位長度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼纳峡v坐標(biāo)不變），正弦函數(shù)丁=5由》的圖象變?yōu)?/p>

y=sin（2x+§的圖象，因此①和②符合題意，故選A.

答案A

4.要得到函數(shù)y=6cosx的圖象，只需將函數(shù)y=

&sin（2x+加圖象上的所有點(diǎn)的（）

1..JT

A.橫坐標(biāo)縮短到原來的上縱坐標(biāo)不變），再向左平移與個(gè)單位長度

Zo

1.JT

B.橫坐標(biāo)縮短到原來的手縱坐標(biāo)不變），再向右平移［個(gè)單位長度

C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移得個(gè)單位長度

D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移得個(gè)單位長度

O

解析?：y=pcosx=^/2siJx+^J,

山田缶縱坐標(biāo)不變

笈sin（2z+-^-）-|I?-------------------------------------

橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍

向左平移十個(gè)單位長度

y=J^"sin卜+5）的圖象------------------------

y=4^sin（x+Ej的圖象.

答案C

5.函數(shù)五炒=sin（ox+0）的圖象上所有的點(diǎn)向左平移胃個(gè)單位長度，若所得圖象與

原圖象重合，則①的值不可能等于（）

A.4B.6

C.8D.12

解析尸於）的圖象向左平移方后得到尸sin0卜+習(xí)+夕=sin"+聶+e），其

一71

圖象與原圖象重合，有外9=2左兀，即0=4左（左?Z）.故①的值不可能為6.

答案B

二、填空題

7T

6.利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=2sin（2x—》的圖象時(shí)，所取的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

解析令析一￡=0,71,咨，2兀得x弋，普，系,看，爭，故五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

是（胃,0）,（y,2）,（y,0）,（y,-2）,（y,0）.

答案（［，0）,（子，2）,目0）,號(hào)—2）,（,，0）

7.將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移9（0或9<2兀）個(gè)單位長度后，得到函數(shù)y=

sin（x—聿）的圖象，則9=.

解析將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移夕個(gè)單位后，得y=sin（x+。）的圖象，而

_?/匹、_?/］［兀、匕二】、）11兀

y—sin（x—%）—sin（x+）,所以夕一.

8.將函數(shù)於)=sin(5+"①>0,一芬詞圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移襲個(gè)單位長度得到y(tǒng)=sinx的圖象，則

解析y=sinx的圖象向左平移聿個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=sin[x+。圖象，再對(duì)每一

點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)=singx+|)的圖象即為xx)=sin(0x+e)的

圖象，，於)=5皿5+壽，/1)=2-

答案坐

三'解答題

9.已知函數(shù)外)=3sin(升前+3(x?R),用五點(diǎn)法畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上

的簡圖.

解⑴列表:

X.兀匹3兀

2+60兀2兀

2T

匹2兀5兀8兀1171

X-3TTT—

36303

(2)描點(diǎn)畫圖:

10.函數(shù)於)=5sin(2L§—3的圖象是由尸sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到

的？

解先把函數(shù)丁=5足》的圖象向右平移方個(gè)單位長度，得y=sin(x一4的圖象；再

把所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），得y=

sin（2x—§的圖象；然后把所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的5倍（橫

坐標(biāo)不變）得函數(shù)y=5sin（2x—§的圖象，最后將所得函數(shù)圖象向下平移3個(gè)單位

長度，得函數(shù)y=5sin（2x—3的圖象（答案不唯一）.

能力提升

H.已知函數(shù)人x)=3sin俁一：)，x?R.

(1)列表并畫出函數(shù)兀0在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡圖.

(2)將函數(shù)y=sinx的圖象作怎樣的變換可得到五x)的圖象？

14y..................................................

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IIIIIIIIII

2兀

解（1）函數(shù)Hx）的周期7=千=4兀

2

由5—今=0,宗71,咨,271,

布用7T3兀5兀7兀9兀

解付尤=/,2，g,工,■y.

列表如下：

3兀5兀7兀9兀

X三

2~2T~2