正

弦

定

理

教

學

設

計

學

附屬中

南大學

?河

：開封

單位

杰

：范俊

作者

《正弦定理》教學設計

一、教學內(nèi)容分析

本節(jié)課《正弦定理》第一課時，出自新人教A版必修5第一章第一節(jié)《正弦定理和余

弦定理》。課程安排在"三角、向量”知識之后，是三角函數(shù)知識在三角形中的具體運用，

更是初中"三角形邊角關(guān)系"和"解直角三角形”內(nèi)容的直接延續(xù)和拓展，同時更是處理可

轉(zhuǎn)化為三角形計算的其他數(shù)學問題及生產(chǎn)生活實際問題的重要工具。

本節(jié)課的內(nèi)容共分為三個層次：第一，從實際問題導入，在解直角三角形的邊角關(guān)系的

基礎上，觸碰解斜三角形的思維困惑點，形成疑問，激發(fā)學生探究欲望，提出斜三角形的邊

角關(guān)系的猜想；第二，帶著疑問，對猜想進行驗證，首先對特殊的斜三角形邊角關(guān)系進行驗

證和實驗探究驗證，其次是嚴密的數(shù)學推導證明；第三，得到正弦定理，解決引例，首尾呼

應，并學以致用，簡單應用。

正弦定理其實是把"大邊對大角、小邊對小角"這一幾何關(guān)系的解析化，從三角學的歷

史發(fā)展來看，三角函數(shù)其實就是有關(guān)三角形、圓的性質(zhì)的解析表達。這樣在悄無聲息中，滲

透了學科發(fā)展中研究觀點和研究方法的娉變。這其實是一個推陳出新的過程。

通過這三個層次,探索——發(fā)現(xiàn)——證明，從實際中來,到實際中去。通過課堂，體

會直觀感知、大膽猜想、實驗探究、理論驗證、實際應用的學習過程。

二、教學目標設置

1、從已有三角形知識出發(fā)，通過觀察、實驗、猜想、驗證、證明，從特殊到一般得到

正弦定理，掌握正弦定理，了解正弦定理的一些推導方法，并學會應用正弦定理解決斜三角

形的兩類基本問題；

2、通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能

力，增強學生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生的縝密思維；

3、通過自主探究、合作交流，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學生勇于探索、善

于發(fā)現(xiàn)、不畏艱難的思維品質(zhì)和個人素養(yǎng)；

4、培養(yǎng)學生合情合理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法，通過平面幾何、三角函數(shù)、正弦

定理等知識之間的聯(lián)系體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

三、學情分析

本節(jié)課內(nèi)容基本上安排在高一下學期或高二上學期講授，學生在初中已經(jīng)學過平面幾何

的相關(guān)知識，并能夠熟練地解直角三角形，必修四中也剛剛學過三角函數(shù)，對于新章節(jié)的理

解上不會有太大問題。雖然有一定的觀察分析能力和解決問題的能力，但是在前后知識的串

聯(lián)上會有一定的難度。所以，對于教師而言，應該提高學生的學習積極性，多設置思維引導

點，帶領(lǐng)學生一起分析問題并解決問題；在問題的處理上，更加注重前后知識的串聯(lián)，用已

有知識解決新問題，并得到新知識。

四、教學策略分析

本節(jié)課采用問題探究式教學模式，循序漸進，用問題驅(qū)動課堂教學，在老師的引導下,

讓學生探究、合作、交流、展示，盡可能多的質(zhì)疑、探究、討論，多參與課堂知識的生成和

發(fā)現(xiàn)的過程，形成思維。

五、重難點分析

本節(jié)課的重點是：正弦定理的發(fā)現(xiàn)、探究、證明以及兩類主要的應用；

本節(jié)課的難點是：正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程。

六、教學準備

制作多媒體課件；Z+Z動態(tài)演示軟件動畫制作

七、教學過程分析

(1)實例引入，激發(fā)動機

引例：

1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，測繪人員只有皮尺和測角儀兩種工具，沒法跨河

測量，利用現(xiàn)有工具，你能幫忙設計一個測量A、B兩點距離的

方案嗎？

問題設計意圖:引導學生從熟知的直角三角形出發(fā),解決實

際問題,為后續(xù)處理一般三角形埋下伏筆。

2、如果測量人員任意選取C點，，測出BC的距離是54m,

NB=45,ZC=60.問根據(jù)這些數(shù)據(jù)能解決測量者的問題嗎？

根據(jù)題目中的敘述，很明顯可以抽象成這樣的一個數(shù)學模

型：在AA8C中，BC=54,NB=45，,NC=60.求邊長A8.

問題設計意圖:對于一般三角形,學生比較熟悉轉(zhuǎn)化為直角三角形解決,轉(zhuǎn)化化歸的思

想為后續(xù)證明埋下伏筆。

再看這個數(shù)學問題，已知三角形的部分邊長和內(nèi)角，求其他邊長和內(nèi)角。這個問題其實

是解斜三角形的邊角關(guān)系問題。但是沒有學過，我們知道在任意三角形中有大邊對大角，小

邊對小角的關(guān)系，那么我們是否能夠得到這個邊、角關(guān)系準確量化的表示呢？

問題設計意圖:通過實際問題引入,能夠很好地激發(fā)學生的求知欲望。在新的問題產(chǎn)生

時,學生根據(jù)已有的知識是迷茫的,有疑惑的,這個時候也正是產(chǎn)生知識缺陷，急需新知識

的時候,恰如其分的勾起了學生求知的欲望。

(2)實驗探究，驗證猜想

探究一：直角三角形邊角關(guān)系

如圖：在R/AABC中，NC是最大的角，所對的斜邊c是最大的邊，探究邊角關(guān)系。

在中，設8。=。,4。=。,43=。，根據(jù)正弦函數(shù)定義可得：

.?.sinA=—;sinB=—1

?.」/K

sinAsinB\

又??,sinC=l"\

.?」=上=，L\

sinAsinBsinC'aH

問題設計意圖：從最特殊的直角三角形入手,作為后續(xù)探究的基礎,也很容易得到。

探究二：斜三角形邊角關(guān)系

實驗1：如圖，在等邊AA3c中，乙4=N8=NC=—,對應邊的邊長=,

3

ahc

驗證——=——=——是否成立？

sinAsinBsinC

實驗2:如圖，在等腰A4BC中，N4=NB=30°,NC=12(r,對應邊的邊長

a:b:c=\:l:^，驗證‘一=-^=」一是否成立？

sinAsinBsinC

問題設計意圖:一般斜三角型中特殊的三角形進行驗證,由特殊到一般,實驗2中,

也滲透了作高,求出三邊關(guān)系,為后續(xù)證明埋下伏筆。

過渡：如果說這兩個特殊的三角不足以代表一切，再一般的斜三角形呢？

實驗3:借助多媒體演示，發(fā)現(xiàn)隨著三角形的任意變換，，一、上、」一的值相等。

sinAsinBsinC

通過這樣的一些實驗，我們可以猜想

sinAsinBsinC

過渡：我們雖然通過數(shù)學實驗并借助于多媒體，得到了：對于斜三角形，

o但是并沒有經(jīng)過嚴密的數(shù)學推導，那么如何證明這個結(jié)論呢？

sinAsinBsinC

設計意圖:從已有的知識結(jié)構(gòu)出發(fā),不讓學生在思維上出現(xiàn)跳躍,逐層遞進，通過已經(jīng)

熟悉的直角三角形的邊角關(guān)系的探究作為切入點,再對特殊的斜三角形進行驗證，過渡到一

般的斜三角形邊角關(guān)系的探究。讓學親自體驗數(shù)學實驗探究的過程，逐層遞進，激發(fā)學生的

求知欲和好奇心,體會到數(shù)學實驗的歸納和演繹推理兩個側(cè)面。多媒體技術(shù)的引入演示,讓

學生更加直觀感受到變換，加深理解。

(3)證明猜想，得到定理

1、證明方法1一作高法

如圖，在銳角三角形中，設BC=a,C4=0,A8=c。

引入語言：直接處理銳角三角形沒法處理，能夠借助于已有的直角三角形，通過添加輔

助線，使角和邊出現(xiàn)在直角三角形中呢？

證明：在AABC中例高線CD,

貝!I在RtAADC和RABDC中

CD-bsinA,

CD=asinB

即bsinA=asinB

_?_=上，同理可證:=

sinAsmBsinAsinC

a_b_c

sinAsinBsinC

那么在鈍角三角形中是否成立呢？請同學們嘗試著分組自己證明一下。學生展示。

總結(jié)：我們把三角形邊角關(guān)系的這條性質(zhì)稱為正弦定理(lawofsines),即在任意一個三

ah「

角形中‘各邊和它所對的角的正弦的比相等‘即乖=蠲=氤

過渡：多么完美的比例式，無論三角形形狀如何，三條邊與對角正弦的比值始終頑固的

相等，但是比例值是多少呢？那么，在這里，除了這種平面幾何的證明方法以外，還有很多

的證明方法，我們借助于三角形的外接圓，再介紹一種證明三角形正弦定理得方法。有直角

三角形的推導過程可以看出，‘一、上、」一的比值相等，都等于C,即三角形的外接

sinAsinBsinC

圓半徑。那么對于一般的三角形呢？

2、證明方法2—^卜接圓法

證明：做“3。勺外接圓。過點C連接圓心與圓交于點），連接AD,C

設圓的半徑為R

???ACA。為RA且人=Rsin且aN￡>=N3

b

???/?=2Rsin氏即---=2R

sinB

―ac

同理:-----=2R,-------=2R

sinAsinC

???—^―=—=—^―=2R

sinAsinBsinC

由此可得，任意三角形中，每一條邊長和對角正弦的比值都等于三角形外接圓直徑。

總結(jié)：因為時間有限，關(guān)于正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學可以在課下進行探

索證明。通過這些實驗和證明，我們已經(jīng)明確，在任意三角形中，各邊和它所對的角的正弦

a_b_c

的比相等，即

sinAsinBsinC

設計意圖:經(jīng)歷猜想到證明的過程,讓學生體會到數(shù)學新知識得獲得僅僅靠猜想和演繹

推理是不夠的，必須經(jīng)過嚴密的數(shù)學推導進行證明才可以。在這個過程中，也進一步促進學

生數(shù)學思維思維品質(zhì)的提升。

（4）定理應用，解決引例

引語：現(xiàn)在請同學們，回過頭來解決一下引例中的問題。

解：根據(jù)正弦定理，得：

AB

-^?,A=180-45-60=75

sinCsinA

今轡=276（八一回

sinA

答：A、8兩點間的距離是27G（卡—0）。

過渡：這樣就很好的利用了正弦定理中的三角形邊角量化關(guān)系，根據(jù)已知的量得到未知

的量，這樣的數(shù)學處理過程就稱為解三角形。

定義：T殳地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊。、b、c?叫做三角形的元

素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。

總結(jié)：求角度也常借助于三角形的內(nèi)角和公式。

設計意圖：讓學生了解三角形的概念，形成知識的完備性?；剡^頭來，解決引例中的問

題，讓學生體會學習正弦定理新知識解決實際問題的方便激發(fā)學生不斷探索新知識的欲望。

(5)學以致用，解決問題

引語：根據(jù)正弦定理這個等式，如果把期中某一個量看做未知量，那么根據(jù)方程思想，

我們就可以解決三角形的哪些問題呢？

1、如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一個角和另兩邊。如：

bsinA

a-------;

sinB

2、如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩個角。如：

.，a.一

sinA=—sinB;

h

例1:在AABC中，已知A=30°,8=45°,a=2c見解三角形。

分析：已知三角形中兩角及一邊，求其他元素，第一步可由三角形內(nèi)角和求出第三個角，

再由正弦定理求其他兩邊。

解：由三角形內(nèi)角和可導：

C=180o-30°-45o=105°

由正弦定理」一二芻二三；得：

sinAsinBsine

，什竺毆="怨￡=2正

sinAsin300

c_asinC_2sinl05°_2sin(60。+45。)_入桓

sinAsin30°sin30"

例2:在A4BC中，已知。=26b=2&A=45°,解三角形。

分析：已知三角形兩邊與其中一邊的對角，第一步可以根據(jù)正弦定理得到B的正弦，

會出現(xiàn)兩種情形，接下來就要進行分類討論。

解：

b

由正弦定理」」得：

sinAsinBsinC

OsinA_26sin450_V3

sinB=

a-272—2

vBe（0,180）

.?.8=60°或120°

當5=60。時,C=75°

c_asinC_2后sin75°_2后sin（30。+45。）_底、叵

當3=120°時,C=15°

（一asinC_2億畝15°_2行sin（45°-30°）_娓_五

sinAsin45°sin45°

設計意圖:讓學生解決問題,提升學習的蛹,體驗學習的樂趣。

(6)小結(jié)

1、正弦定理的內(nèi)容(一L=—竺=」一=2R)及其證明的思想方法；

sinAsinBsinC

2、正弦定理的主要應用：①已知三角形的兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形的

兩邊和其中一邊的對角，求其他元素；

3、轉(zhuǎn)化化歸的思想、方程的思想、分類討論的思想。

設計意圖:讓學通過自己的語言表達學習的收獲,在本節(jié)課即將結(jié)束的時候,讓學生

自我總結(jié)，加深印象，培養(yǎng)學生的自我總結(jié)能力,也幫助學生重新回顧重點知識和數(shù)學思想。

(7)作業(yè)設計

1、正弦定理的其他證明方法；

2、通過以下題目，在已知三角形兩條邊和其中一條的對角的條件下探究三角形

解的情況：

①在AA8C中，已知A=45°,a=6,b=6,求8；