第九章概率與統(tǒng)計9.2成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析考點一成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性例1（1）【多選題】已知變量x，y之間的閱歷回來方程為y=0.7x+1.05，且變量x，x2345y2.53m4.5A.mB.由表格數(shù)據(jù)知該閱歷回來直線必過3.5C.變量x，y呈正相關(guān)D.可預(yù)料當(dāng)x=10時，解：由題設(shè)，知x=2+3+4+54=3.5，則y=0.7×3.5+1.05=3.5.又y=2.5+3（2）[2020年全國Ⅱ卷]某沙漠經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡潔隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到成對樣本數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,?,20，其中xi和yi①求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘地塊數(shù)）；②求成對樣本數(shù)據(jù)xi,y③依據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更精確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：樣本相關(guān)系數(shù)r=∑解：①由已知,得樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)y=120②成對樣本數(shù)據(jù)xi,y③分層隨機抽樣：依據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層隨機抽樣.理由如下：由②知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異也很大，采納分層隨機抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一樣性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更精確的估計.【點撥】①用樣本相關(guān)系數(shù)r可以衡量兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的強弱，r的肯定值越接近于1，表示兩個變量的線性相關(guān)性越強，且r的正負即表示兩個變量相關(guān)性的正負.樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍是[?1,1變式1（1）[教材題改編]如圖是兩個變量x，y的散點圖，現(xiàn)對這兩個變量進行樣本數(shù)據(jù)分析.方案一：依據(jù)圖中全部數(shù)據(jù)，得到閱歷回來方程y=b1x+a1，樣本相關(guān)系數(shù)為r1.方案二：剔除點A.0<rC.?1<解：依據(jù)變量x,y的散點圖，知變量x，y具有負線性相關(guān)關(guān)系，且點10,21異樣.方案一中，沒有剔除點10,21，線性相關(guān)性弱些，成負相關(guān)；方案二中，剔除點10,（2）[2022年全國乙卷]某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m樣本號i12345678910總和根部橫截面積x0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量y0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得∑10i=1x①估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量.解：設(shè)這棵樹木平均一棵的根部橫截面積為x，平均一棵的材積量為y.依據(jù)題中數(shù)據(jù)，得x=y=②求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）.[答案]由題意，知r==∑=0.2474=0.0134③現(xiàn)測量了該林區(qū)全部這種樹木的根部橫截面積，并得到全部這種樹木的根部橫截面積總和為186m附：樣本相關(guān)系數(shù)r=∑n[答案]設(shè)總根部面積和X，總材積量為Y，則XY=x故該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為1209m考點二一元線性回來模型及其應(yīng)用命題角度1閱歷回來方程及其應(yīng)用例2某中學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教改采納了“探究題型—強化訓(xùn)練—檢測效果”的模式，并記錄了某學(xué)生的探究題型時間t（單位：h）與檢測效果y的數(shù)據(jù)如表所示.探究題型時間t1234567檢測效果y2.93.33.64.44.85.25.9（1）據(jù)統(tǒng)計表明，y與t之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請用樣本相關(guān)系數(shù)r加以說明（若r≥0.75，則認為y與解：因為t=∑7所以r==14所以y與t之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系.（2）建立y關(guān)于t的閱歷回來方程，并預(yù)料該學(xué)生探究題型8h附：閱歷回來直線y=bx+a樣本相關(guān)系數(shù)r=y=4.3，∑7i=[答案]由題意，設(shè)y=則b=又a=所以y關(guān)于t的閱歷回來方程為y=當(dāng)t=8時，y=【點撥】①線性閱歷回來方程的重要應(yīng)用是進行估計.②牢記求線性閱歷回來方程的步驟：第一步，列表；其次步，計算x，y，∑ni=1xiyi，∑ni=1x變式2某科技公司對近十年來高科技研發(fā)投入狀況分析調(diào)研，其研發(fā)投入y（單位：億元）的統(tǒng)計圖如圖1所示，其中年份代碼x=1，2，?，10分別指2013年，2014年，圖1圖2現(xiàn)用兩種模型A：y=bx+yt∑10∑10∑10∑10752.2582.54.512028.67表中ti=x（1）依據(jù)圖2，比較模型A，B的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由.解：應(yīng)選擇模型B.理由如下：由于模型B的殘差點比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型A的帶狀區(qū)域?qū)挾日阅Ｐ虰的擬合精度更高，閱歷回來方程的預(yù)報精度相應(yīng)越高，故選模型B比較合適.（2）依據(jù)（1）中所選模型，求y關(guān)于x的閱歷回來方程及該公司2028年高科技研發(fā)投入y的預(yù)報值（回來系數(shù)精確到0.01）.附：對于一組數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2，?，[答案]依據(jù)模型B，令t=x，研發(fā)投入y與t可用線性回來來擬合，有則d=∑10則y關(guān)于t的閱歷回來方程為y=所以y關(guān)于x的閱歷回來方程為y=2028年，即當(dāng)x=16時，所以該公司2028年高科技研發(fā)投入y的預(yù)報值為86.15億元.命題角度2確定系數(shù)與殘差例3某種農(nóng)作物可以生長在灘涂和鹽堿地，它的澆灌是將海水稀釋后進行澆灌.某試驗基地為了探討海水濃度x%對畝產(chǎn)量y海水濃度x34567畝產(chǎn)量y0.570.530.440.360.30殘差e?0.010.02mn0繪制散點圖發(fā)覺，可以用一元線性回來模型擬合畝產(chǎn)量yt與海水濃度x%之間的相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法計算得y與x?0.07x（1）求a，m,n的值；解：因為x=y=所以0.44=?0.07×所以閱歷回來方程為y=?所以y3m=y4n=（2）統(tǒng)計學(xué)中常用確定系數(shù)R2來刻畫回來效果，R2越大，回來效果越好，如假設(shè)R2=0.85，就說明預(yù)報變量y的差異有85%是說明變量附：殘差ei=yi?[答案]∑5所以確定系數(shù)R2故畝產(chǎn)量的改變有99%【點撥】用確定系數(shù)R2來刻畫回來效果，R變式3（1）【多選題】在實際應(yīng)用中，用閱歷回來方程y=bx+a中的y估計一元線性回來模型yA.隨機誤差e的方差σ2越小，用bx+aB.確定系數(shù)R2C.殘差平方和∑nD.對于n個成對樣本數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2解：隨機誤差e的方差σ2越小，用bx+a預(yù)報真實值y的精度越高，所以A錯誤.R2=1?∑ni=1yi?yi2∑（2）【多選題】某種產(chǎn)品的廣告支出費用x（單位：萬元）與銷售量y（單位：萬件）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示.廣告支出費用x2.22.64.05.35.9銷售量y3.85.47.011.612.2依據(jù)表中的數(shù)據(jù),可得閱歷回來方程y=2.27x+a＾A.第三個樣本點對應(yīng)的殘差eB.在該回來模型對應(yīng)的殘差圖中，殘差點比較勻稱地分布在傾斜的帶狀區(qū)域中C.該模型擬合效果較好D.用該閱歷回來方程可以很精確地預(yù)料廣告費用為20萬元時的銷售量解：由題意,得x=2.2+2.6+4.0+5.3+5.95=4,y=3.8+5.4+7.0+11.6+12.2考點三獨立性檢驗例4為了解某班學(xué)生寵愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班48人進行了問卷調(diào)查得到了如下的2×性別打籃球合計寵愛不寵愛男生6女生10合計48已知在全班48人中隨機抽取1人，抽到寵愛打籃球的學(xué)生的概率為23（1）請將上面的2×解：依題意，得寵愛打籃球的學(xué)生人數(shù)為48×23性別打籃球合計寵愛不寵愛男生22628女生101020合計321648（2）依據(jù)小概率值α=附：χ2=nα0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828[答案]零假設(shè)為H0由（1）得χ2依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，我們推斷【點撥】①獨立性檢驗的一般步驟：第一步，假設(shè)兩個分類變量X與Y沒有關(guān)系；其次步，計算出χ2的值；第三步，把χ2的值與臨界值比較，作出合理的推斷.變式4[2022年全國甲卷]甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行狀況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：公司是否準(zhǔn)點準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)A24020B21030（1）依據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點的概率；解：依據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點班次有240次.設(shè)“A公司長途客車準(zhǔn)點”為事務(wù)M，則PMB共有班次240次，