2.2.1橢圓及其標準方程（1）

一、教學目標

重點：橢圓的定義及橢圓標準方程,用待定系數(shù)法和定義法求曲線

方程.

難點：橢圓標準方程的建立和推導.

知識點：橢圓定義及標準方程.

能力點：通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索

能力；通過對橢圓標準方程的推導，使學生進一步掌握求

曲線方程的一般方法，提高學生運用坐標法解決幾何問題

的能力懂得欣賞數(shù)學的“簡潔美”，并滲透數(shù)形結合和等價

轉化的數(shù)學思想方法.

教育點：通過橢圓定義的歸納和標準方程的推導，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)

律、認識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力，培養(yǎng)學生

探索數(shù)學的興趣，激發(fā)學生的學習熱情.

自主探究點：1.通過教學情境中具體的學習活動（如動手實驗、自

主探究、合作交流等），引導學生發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題，并

在作出合理推導的基礎上，形成橢圓的定義；

2.探討橢圓標準方程的最簡形式，并通過對解決問題過程的

反思，獲得求曲線方程的一般方法.

考試點：橢圓定義及標準方程，利用其解決有關的橢圓問題

易錯易混點：在用橢圓標準方程時，學生一般在“焦點的位置”

上容易出錯.

拓展點：如何利用坐標法探討其它圓錐曲線的方程.

二、引入新課

【創(chuàng)設情景】

材料：對橢圓的感性認識.通過演示課前準備的生活中有關橢圓的實

物和圖片，讓學生從感性上認識橢圓.

【設計意圖】利用多媒體，展示學生常見的橢圓形狀的物品，讓學生

從感性上認識橢圓.讓學生感受現(xiàn)實，激發(fā)學生的學習興趣.

思考1:自然界處處存在著橢圓,我們如何用自己的雙手畫出橢圓呢？

思考2:在圓的學習中我們知道,平面內到一定點的距離為定長的點的

軌跡是圓.那么，到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡又是什么

呢？

【設計意圖】對于生活中、數(shù)學中的圓，學生已經有一定的認識和研

究，但對橢圓，學生只停留在直觀感受，基于它倆的關系，引導學生

用上一章所學，來研究橢圓.

動手實驗：將課前準備的繩子和圖釘分發(fā)給學生，讓學生按小組動手

畫橢圓:

實驗一、將繩子的兩個端點固定在同一個點處；筆尖視為動點，你

可以得到什么圖形？

實驗二、將繩子的兩個端點分開，固定在兩個點處（兩點距離小于繩

長）；筆尖視為動點，你能得到什么圖形？

實驗三、將繩子的兩個端點的距離逐漸拉大；筆尖視為動點，你可以

得到什么圖形?

由小組實驗并討論實驗結果，進而總結出橢圓定義.

【設計意圖】由學生親自動手，主動參與得到橢圓圖形的過程，既讓

學生有些成就感，還能感受軌跡的形成過程，由教師引導得到橢圓的

定義，提高學生觀察和總結能力.

三、探究新知

（一）歸納定義

通過師生共同總結歸納，形成橢圓概念

橢圓定義：在平面內，到兩個定點"、K的距離之和

等于常數(shù)（大于山用）的點的軌跡叫做橢圓.

這兩個定點6、K叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

注意：“和”，“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍（常數(shù)大于|五石|）

思考：焦點為耳巴的橢圓上任一點“，有什么性質？

設橢圓上任一點為M,則有附用+四可=2a（2a>2c=|6閭）

當|M￡|+|岫|>|百不時，”點的軌跡為橢圓；

當用+6|=|￡工|時，/點的軌跡為線段6居；

當|M￡|+IgKI百馬|時，M點的軌跡不存在.

【設計意圖】通過學生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學

生全程參與概念的探究過程，加深理解，提高概括能力和數(shù)學語言的

表達能力.

（二）橢圓標準方程的推導

復習提問求曲線方程的一般步驟：（教師提問，針對對于學生回答情

況做一總結）

（1）建系、設點；（2）寫出點的集合；（3）列式；（4）化簡；（5）

證明.

思考：如何建系，才能使求出的方程最簡呢？

由學生自主提出建立坐標系的不同方法，教師根據學生提出的

“建系”方式，把學生分成若干組，分別按不同的建系的方法推導方

程，進行比較。

常遇到的建系方法如下：（供教師參考）

方案一：把6、8建在X軸上，以及、工的中點為原點；

方案二：把6、入建在龍軸上，以耳為原點；

方案三：把巴、工建在X軸上，以6、K與X軸的左交點為原點；

方案四：把￡、鳥建在y軸上，以6、A的中點為原點；

【設計意圖】積極鼓勵學生用不同建系方法，讓他們充分暴露自

然思維，通過比較，得出最簡潔的方案，而不是被動地接受教材或老

師強加給的方法.

通過師生分析對比，選擇方案一比較簡潔：（師生共同求解橢圓

0x

方程)

(1)建系：以片,用所在直線為X軸，以線段8F2的垂直

平分線為y軸，建立直角坐標系。

設點：設"(x,y)是橢圓上任意一點，為了使斗鳥的

坐標簡單及化簡過程不那么繁雜，設鳥|=2c(c>0),則

耳(-C,O),F2(C,O)

設M與兩定點耳,F2的距離的和等于為

(2)寫點的集合：由橢圓的定義，橢圓就是集合

P^{M\\MF,\+\MF2\=2a}

(3)列式：|"用+|"名|=2〃J(x+cl+J+J-4+J?=2a,

(4)化簡：教師引導學生思考:我們怎么化簡兩個帶根式的式子？對

于本式是直接平方好還是移項后再平方好呢？(通過分析對比，最后

選擇移項平方)J(x+c)2+y=2a-J(x-c)?+，

兩邊平方，得：(x+c)2+y2=4/-4a^(x-c)2++(x-c)2+y2

即a2-cx=a^(x-c)2+y2

兩邊平方,得：a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

整理,得：(?2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

22

兩邊同除以/(4-c?),得二+TT=1①

a~a~-c~

由橢圓的定義知，a>c所以/_02>0

注:教師板書化簡過程,讓學生進一步明確標準方程的由來,體會化

簡的技巧.

思考1：請同學觀察右圖，你能從中找出表示a,c,77^7的線段嗎?

由圖可知，|P周=歸周=a,|0周=|0閭=c,|P0|=y/a2-c2,

令。=|尸。即/-c2=〃S>0),則方程可簡化為：b2x2+a2y2=a2b2

22

整理成：=+2=1(4>6>0)②

a-b

【設計意圖】通過思考可以讓學生進一步明確。，上C的幾何意義，加

深對橢圓定義及標準方程的理解.

⑸證明：從上述過程可以看到，橢圓上任意一點的坐標都滿足方程

②，以方程②的解(x,y)為坐標的點到橢圓的兩個焦點片(-c,0),尸2(c,0)的

距離之和為2a,即以方程②的解為坐標的點都在橢圓上，由曲線與方

程的關系知，方程②是橢圓的方程，我們把它叫做橢圓的標準方程.

22

方程=+3=1("〉"0)叫做橢圓的標準方程，焦點在X軸上，焦點是

ab~

匹(-gO)"，。)，。=，-/

思考2：如果以片,尸2所在直線為y軸，線段G鳥的垂直平分線為X軸，.

建立直角坐標系，焦點是6(0,-c),工(0，。)，橢圓的方程又如何呢？Zp

如果不想重復上述繁瑣的化簡過程，我們將如何做呢？—LA-

分析：由|加耳|+|加5|=2。且J(x+c)2+y2+J(x-c)2+:=2a,

變?yōu)椋?(y+c)2+“2+(y-=2a,即變量x與y互換位置;所以

222X2

]+%=l(a>〃>0)變?yōu)闉?會=1("〃>0)

即：橢圓的標準方程

!焦點在x軸：：：焦點在y軸：

!22

'y2x2'

!p-+p-=l(^>^>0)

CTb-1

!焦點是￡(一c,0),&(c,0)!焦點是耳(0,—c),K(0,c)：

L._____J

注：橢圓焦點的位置由標準方程中分母的大小確定。

【設計意圖】橢圓的標準方程的導出，先放手給學生嘗試，教師跟蹤

指導.再展示學生結果；教師對照圖形，加以引導，讓學生明白方程

中字母的幾何意義，對方程的理解有很大的作用；利用類比對稱，化

歸的思想得出焦點在y軸上的標準方程，避免重復的繁雜計算.

四、理解新知

1.橢圓的標準方程:

22

1)—7-+-^-T-=1(?>h>Q)焦點在x軸上，焦點是

ab~

222

耳(-c,0),F2(c,0),c=a-b

V+一

(2)L廬=1(。>。>0)焦點在y軸上，焦點是

耳(0,-c),工(0,c),c2=a2-b2

2.歸納概括，橢圓方程特征

(1)橢圓標準方程形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1；

(2)a>A>0不可少，體會a,仇c的幾何意義;

(3)橢圓焦點的位置由標準方程中分母的大小確定；

(4)橢圓標準方程中三個參數(shù)aec關系：a2=b2+c2.

【設計意圖】通過將兩個標準方程的總結加深學生對橢圓標準方程的

理解掌握，特別是焦點位置，三個參數(shù)的關系，為求解橢圓的相關問

題打下基礎.

五、運用新知

22

例1.已知橢圓的方程為：工+匕=1,貝!,b=，c=，

焦點坐標分別是=，焦距等于=;若CD

為過左焦點K的弦，則AKC。的周長為=.

分析:根據橢圓的標準方程,先確定參數(shù)。也

|CF1|+|CF2|=2a

|DF1|+|DF2|=2a

學生口答:=3,焦點坐標分別是=

(-3,0),(3,0),焦距等于=6；bF,CD的周長為=20

變式1.寫出適合下列條件的橢圓的標準方程.

(1)a=4,6=l;焦點在x軸上；

(2)a=4,c=VB;焦點在y軸上.

例2.已知橢圓的兩個兩焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),并且橢圓經過

點(|,-|),求它的標準方程.

分析:要求橢圓的標準方程,關鍵先確定參數(shù)a,b,c,本題已知c=2,結

22

合〃=/02及標準方程］+方=1(。＞。＞0),進一步確定a,Z?.

教師板書例題求解過程:

法1：因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為

22

?1340)

由橢圓定義知：2a=J(1-+2)2+(~~)2+((-2)2+(-學=2屈

所以：a=V10又因為c=2,所以〃2=々2-c?-10-4=6

22

因此，所求橢圓的標準方程為I+J=l

思考與探究:是否還有其他方法解決此類型問題

法2:因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為

22

—r+=1(。>b>0)

a1b2

因為橢圓經過點(|,-｝且b2=a2-c2=a2-4所以：

所以解方程得：/=]()萬=6因此，所求橢圓的標準方程為

r2..2

工+匕=1

106

22

注:本題多以方法二為主,如：已知橢圓J+t=l(a>8>0)的左、右焦

ab

點分別為"、尸2,橢圓上一點(石，日)到兩焦點”、鳥的距離的和等于

4,求橢圓的標準方程及焦點坐標.本題再用方法一解決顯著比較麻

煩了.

方法小結:求橢圓標準方程的步驟

(1)“定位”即確定橢圓的焦點在哪條坐標軸上；

(2)“定量”即確定的具體數(shù)值；

(3)求橢圓標準方程的常用方法：待定系數(shù)法及定義法.

【設計意圖】培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力及良好的解題習慣，同一個題

目有不同的解法，我們可以從中選擇簡捷、自然的的解題思路.本

題突出橢圓定義的應用和待定系數(shù)法的解題方法.

六、課堂小結

1.知識：本節(jié)課學習了橢圓的定義及標準方程，應注意以下幾點：

⑴橢圓的定義中。也C皆為正值，(=6+c2,其中2c是橢圓焦距;

(2)要注意特征量a也c的幾何意義，它們確定橢圓的形狀.

(3)焦點的位置由橢圓的標準方程中的分母大小或焦點坐標來

決定;求橢圓的標準方程之前應先判斷焦點位置以便確定代入哪個方

程解題.

2.思想：曲線與方程的軌跡思想，方程的思想、分類討論的思想、

待定系數(shù)法.

【設計意圖】通過橢圓的教學，加強對學生學習方法的指導，讓學生

進一步鞏固所學知識,與前面的學習目標呼應，同時應加強對學生在數(shù)學

知識與思想方法的指導.

七、布置作業(yè)

必做題：

1.動點P到兩個定點￡(-4,0),鳥(4,0)的距離之和為8,則P點的軌跡

為()

A橢圓A線段￡鳥C直線6與。.不能確定

22

2.如果橢圓工+匕=1上一點P到焦點片的距離等于6,則點P到另

10036

一個焦點F2的距離等于.

3.寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

(1)a=4,b=\?焦點在x軸上；

(2)a=4,c=V15,焦點在y軸上；

(3)a+b=l(),c=2VL

必做題答案：

1.B.

2.14

222222

3.(1)—+/=1(2)匯+/=1⑶工+21=1或X+工=i

16-1636163616

選做題：

22

1.已知橢圓的方程為土+匕=1,則。=,b=,c=,焦點

45

坐標為,焦距等于;若曲線上一點尸到焦點

K的距離為3,則點p到另一個焦點F2的距離等于，則A耳的

的周長為。

22

2.已知經過橢圓工+工=1的右焦點工作垂直于x軸的直線AB,交橢

圓于A5兩點，￡是橢圓的左焦點.

(1)求A4耳B的周長；

(2)如果A8不垂直于x軸，4\耳8的周長有變化嗎？為什么？

選做題答案：1.6,2,1,(0,-1)和(0,1),2,2亞-3,275+2

2.(1)20;(2)周長不變化，定值20.

【設計意圖】體現(xiàn)了分層、有梯度的教學，學生動手練習，加強學生

的應用意識.同時由于此題難度不太大，對基礎中下的學生還可起到

激發(fā)信心的作用，拓展智能.

八、教后反思

1.本教案的亮點是在教學過程中始終是教師作為引導者，引導學

生借助于生活中的實際問題及動手實驗歸納出橢圓的定義，在此基礎

上進一步探討橢圓的標準方程，理解。也c的幾何意義及焦點位置的決

定因素.在教學中通過例題的講述,變式訓練的加強，作業(yè)的鞏固大部

分同學基本上掌握橢圓的定義及求解標準方程等相關問題.

2.本節(jié)課在設計和教學過程中，留下了一些遺憾：想讓學生了解

的內容過多，而對學生的估計不足，使得在教學過程中，未能充分發(fā)揮

學生的主觀能動作用，其次由于課堂容量較大，在課堂上沒有充分暴

露學生的思維過程.由于各校的情況不同，建議教師在使用本教案時

靈活掌握，但必須做好定義的探究及標準方程的推導.

九、板書設計

2.2.1橢圓及其標準方程

一、引入新課例2:

二、探究新知五、課堂小結

1.橢圓的定義1.知識：

2.橢圓的標準方程2.思想：

三、理解新知：六、布置作業(yè)

四、運用新知必做題：1.2.3.

例1:選做題：1.2.

變式訓練1：

《橢圓及其標準方程》學情分析

學生是學習的主體，教師只有全面了解學生，關注學生的需求,

才能在教學上做到有的放矢，游刃有余。

本節(jié)課授課班級為普通理科班,一部分學生本身自制力差，學習

習慣不好，學習興趣不濃。不愿思考問題，上課開小差，依賴老師講

解，依賴同學的幫助，作業(yè)抄襲等等不良現(xiàn)象。少部分學生有主動學

習的行為，比較喜歡上數(shù)學課，學習熱情也很高，和老師常交流。

我認為改變學生應該首先抓學生的學習習慣。幫助學生培養(yǎng)良好

的學習習慣和學習方法。讓學生先認識數(shù)學的重要性，數(shù)學會提高大

家對問題思維能力，分析判斷能力，解決問題的能力。再教學生怎樣

學習數(shù)學，一次慢慢提高數(shù)學學習能力。激發(fā)學習興趣，養(yǎng)成自主學

習的習慣和方法。

其次加強基礎知識教學。了解到學生目前的學習情況，大部分學

生對初中的相關知識掌握不好，加強基礎知識學習。多表揚、多鼓勵。

對于課堂上踴躍發(fā)言和積極進步的學生要及時表揚。并鼓勵其他同學

向他學習，增加自信心。

《橢圓及其標準方程》效果分析

對于這節(jié)課的效果，我做以下分析，本節(jié)成功方面有：

一、學生為主體

教學中每一步都充分激發(fā)了學生的內部動機，有利于在新舊知識

的聯(lián)結點上展開教育。因而注意在關鍵處提出一些問題，且內容恰當,

難易適度，并富于思考性，易調動學生思維的積極性。讓學生主動探

索出解決問題的一般規(guī)律，同時注意培養(yǎng)學生的歸納思維能力。

二、教師為主導

本節(jié)教師的導，學生的嘗試，都能遵循學生的認識規(guī)律。通過教

師的引導學生積極、主動地獲的知識。以舊拓新，激發(fā)興趣，啟迪思

維，引導學生自己探索知識，正確處理教與學的關系。如探索橢圓的

標準方程時，給學生充分的時間去動手化簡（只要是根式化簡），發(fā)

現(xiàn)問題并解決問題。又如在得到焦點在X軸上的橢圓的標準方程的基

礎上，我們通過圖像的變換讓學生觀察并得到焦點在y軸上的橢圓的

標準方程。學生可以根據以有的知識，嘗試結論，并驗證結論，最后

總結規(guī)律。完成學習要求。

三、練習為主線

習題的多樣性,為學生設計多層次習題，讓所有學生嘗試思維情

景，讓學生看有所思，練有所想。

本節(jié)課的不足之處也有很多，主要有以下幾點：

一、讓學生更多的參與進來。如根式化簡過程，板書直接留給

學生，讓學生上黑板來完成。

二、習題設計再多樣化,，讓所有學生都有所收獲.

三、加強基本功練習，普通話，板書。教姿，教態(tài)，改變自己

的隨意性。

教材分析

1.《橢圓及其標準方程》是繼學習圓以后運用“曲線和方程”

理論解決具體的二次曲線的又一次實例。從知識上說，它是對前面所

學的運用坐標法研究曲線的幾何性質的又一次實際演練，同時它也是

進一步研究橢圓幾何性質的基礎；從方法上說，它為我們研究雙曲線、

拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎；從教材編排上說,

把橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線和圓分離獨編一章，則橢圓的

重要性就尤為突出。因此，這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)

的重點。

2.本節(jié)課采用“啟發(fā)式，探究式”的教學方法，以問題解決為

中心，注重學生學習過程，關注學生在教學活動中所表現(xiàn)出來的情感

與態(tài)度，立足以學生的發(fā)現(xiàn)為主，教師引導為輔，著眼培養(yǎng)學生的思

維能力和分析問題、解決問題的能力。同時通過動態(tài)演示的直觀性、

形象性增進學生對數(shù)學本質的理解、提高教學效率。

《橢圓及其標準方程》評測練習

必做題：

2.動點P到兩個定點6(-4,0),6(4,0)的距離之和為8,則P點的軌跡

為()

A橢圓線段耳工C直線耳入。.不能確定

2.如果橢圓工+匕=1上一點P到焦點冗的距離等于6,則點P到另

100361

一個焦點F2的距離等于.

3.寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

(1)〃=4力=1,焦點在x軸上;

(2)a=4,c=V15,焦點在y軸上;

(3)a+b=10,c=25/5.

必做題答案：

4.B.

5.14

22

22X22

6.(1)—+/=](2)匕+f=i—4--y

16163616

選做題:

22

1.已知橢圓的方程為土+匕=1,貝h=—,b=—,c=—，焦點

45

坐標為，焦距等于;若曲線上一點P到