函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題

1、已知函數(shù)f(x)=(2x2—kx+k)?ex

(I)當(dāng)M為何值時(shí)，/(x)無極值；(II)試確定實(shí)數(shù)&的值，使/(x)的極小值為0

解：(I)v/'(x)=(4x-k)e-x+(.2x2-kx+k)(-l)e-x

=[-2x2+(4+k)x-2k]e-x^-2(x--)(x-2)e-x...........3分

2

.?.k=4時(shí)，r(x)=-(x-2)2e-xW0,.\/(x)在R上單調(diào)遞減,

所以，f(x)無極值........................6分

(II)當(dāng)女。4時(shí)，令/(x)=—2(x—g)(x—2)**=0,得玉=3，》2=2

k

(1)k<4時(shí)，一<2,有

2

X、k_(|，2)2

(/-8,5k)(2,+oo)

2

0+0

/,(X)--

極小值極大值

f(x)T

令于q=0,得2x(g)2-Axg+k=0,即k=0................9分

(2)k>4時(shí)，->2,有X2W)k_k

2(-8,2)

2(5什)

令/⑵=0,得k=8所以，<00>00<0

f,M

由(1)(2)知，k=0或8

極小值極大值

f(x)JTJ

時(shí)，/(X)有極小值0

2、已知函數(shù)/(x)=ax+Inx(aeR).

(I)若。=2,求曲線y=/(x)在x=l處切線的斜率；

(11)求/。)的單調(diào)區(qū)間；

(III)設(shè)g(x)=x2-2x+2,若對(duì)任意x?(0,+8),均存在々e[0,1],使得

/(Xi)<g02)，求。的取值范圍.

解：(1)由已知-&)=2+』(*>0),...........2分

/⑴=2+1=3.

故曲線y=/(x)在X=1處切線的斜率為3.4分

(II)f'(x)=a+—=aX+-(x>0).............5分

XX

①當(dāng)aNO時(shí)，由于x>0,故ax+l>0,/'(x)>0

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).............6分

②當(dāng)a<0時(shí)，山/")=0,得x=-：.

在區(qū)間(0,-3上，/'(X)>0,在區(qū)間(-L+8)上f(x)<0,

aa

所以，函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-3,單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,+8).

aa

............7分

(III)由已知，轉(zhuǎn)化為/(BmaxVgC^max.............8分

g(X)max=2............9分

由(H)知，當(dāng)a20時(shí)，/(X)在(0,+-)上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽,故不符合題意.

(或者舉出反例：存在/(e3)=ae3+3>2,故不符合題意.)............10分

當(dāng)a<0時(shí)，/(x)在(0,-3上單調(diào)遞增，在(-L+-)上單調(diào)遞減，

aa

故/(x)的極大值即為最大值，/(--)=-1+ln(—)=-1-ln(-a),.....11分

a-a

所以2>—1—ln(—a),

解得a<_4.............12分

e-

3、設(shè)函數(shù)/(x)=x—aei。

(l)求函數(shù)/(x)單調(diào)區(qū)間；

(ID若/(x)W0對(duì)xeR恒成立，求a的取值范圍；

(III)對(duì)任意n的個(gè)正整數(shù)4,電…,。“記A="+—+

n

a

(1)求證：~7-eA(i=l，2,…")(2)求證：A冽4生…4

A

解：⑴fXx)=l-ae'-'............1分

當(dāng)時(shí)，/'(x)>0,/(x)在R上是增函數(shù)........2分

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)=0得x=1—Ina................3分

若x<l—lna則/'(x)>0,從而/(x)在區(qū)間(一^/一皿/上是增函數(shù)

若x>l-lna則/'(x)<0,從而/(X)在區(qū)間(1一Ina,+8)上是減函數(shù)

綜上可知：當(dāng)aWO時(shí)，/(x)在區(qū)間(—8,+8)上是增函數(shù)。當(dāng)。>0時(shí)，在區(qū)間

(―g,l-lna)上是增函數(shù)，f(x)在區(qū)間(1—Ina,+-)上是減函數(shù).......4分

(II)由(I)可知：當(dāng)aWO時(shí)，/(x)W0不恒成立.......5分

又當(dāng)。>0時(shí)，/(x)在點(diǎn)x=l-Ina處取最大值，

且/(I一Ina)-\-\x\a-ae~'na=-lna............6分

令-Ina<0得a>1

故若/(x)W0對(duì)xeR恒成立，則a的取值范圍是[1,+-)……7分

(III)證明：(1)由(II)知：當(dāng)。=1時(shí)恒有/。)=無一"TW0成立

即x<ex'l

aJ

:.—<eA............9分

A

a，—-ia-,--ia--i

(2)由(1)知：—<eA；—<eA；...；—<eA

AAA

把以上〃個(gè)式子相乘得“生…％w'=1

A"

H

.??A>a[a2--arl

故A2%出???g................12

4、已知函數(shù)f(X)=q/-號(hào)V+x+b,其中。力eR.

(I)若曲線y=/(x)在點(diǎn)P(2,/(2))處的切線方程為y=5x-4,求函數(shù)f(x)的解析式;

(II)當(dāng)。>0時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

解：(I)/'(x)=ax2_(a+i)x+i,-------1分

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得1r(2)=5,于是a=3.----------3分

由切點(diǎn)P(2,/(2))在直線y=5%—4上可知2+。=6,解得。=4.5分

所以函數(shù)/(元)的解析式為/(%)=/_2/+X+4.------6分

(II)f\x)=ax2-(6Z+l)x+1=6Z(X--)(x-1),----------7分

a

當(dāng)0<。<1時(shí)，->1,函數(shù)/(X)在區(qū)間(-8,1)及(_L,+8)上為增函數(shù)；

aa

在區(qū)間(1,')上為減函數(shù)；-----------------------------------9分

a

當(dāng)0=1時(shí)，1=1,函數(shù)/(X)在區(qū)間(―8,+8)上為增函數(shù)；----------10分

a

當(dāng)。>1時(shí)，-<1,函數(shù)/(X)在區(qū)間(一8,3及(1,+8)上為增函數(shù)：

aa

在區(qū)間('，1)上為減函數(shù).----------------12分

a

命題意圖：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法以及分類討

論的數(shù)學(xué)思想。

5、已知函數(shù)/(x)=(ax2-2x+l>ef(aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(I)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)“X)的極值；

(II)若函數(shù)/(x)在卜1,1］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

解:(I)當(dāng)a=l時(shí),f(x)=(x2-2x+l)-e-x,

廣(x)=(2x-2)-er-(x2-2x+l)-e-x=-(x-l)(x-3)-e-x..........2分

當(dāng)x變化時(shí)，/(x),/'(x)的變化情況如下表：

(-8,1)

X1(1,3)3(3-8)

fXx)

——0+0—

極小極大

/(x)遞減遞增遞減

值值

所以，當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)/(x)的極小值為/(1)=0,極大值為/(3)=4"3..........5分

(II)于'(x)=(2ax—2),e'—(ax~—2.x+1),e'=—e''-2ax—2x+3]

令g(x)=ax2-2(。+l)x+3

①若a=0,則g(x)=—2x+3,在(一1,1)內(nèi)，g(x)>0,即/'(x)<0,函數(shù)/(x)在區(qū)

間［一1,1］上單調(diào)遞減............7分

②若a>0,則g(x)=ax2-2(a+l)x+3,其圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為

當(dāng)且僅當(dāng)g⑴20,即0<aWl時(shí)，在(一1,1)內(nèi)g(x)>0,/(x)<0,

函數(shù)/(%)在區(qū)間［―1,1］上單調(diào)遞減.............9分

③若。<0,則g(x)=ax2-2(a+l)x+3,其圖象是開口向下的拋物線，

當(dāng)且僅當(dāng),即-：Wa<0時(shí)，在(一1,1)內(nèi)g(x)>0,f\x)<0,

函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減...................11分

綜上所述，函數(shù)/")在區(qū)間［—1,1］上單調(diào)遞減時(shí)，a的取值范圍是—.…12分

6、已知函數(shù)/(x)=(/-3x+3)?e",設(shè)r>-2,f(-2)-m,f(t)-n.

(I)試確定，的取值范圍，使得函數(shù)”x)在［-2,f］上為單調(diào)函數(shù)；

(II)試判斷〃的大小并說明理由；

(DI)求證：對(duì)于任意的/>-2,總存在x°w(-2j),滿足/詈=：。-1)2,并確定這樣

的X。的個(gè)數(shù).

解：(I)因?yàn)?'。)=(》2-31：+3>/+(2%—3>，=武工一1>靖--------1分

由/'(》)>0=》>1或》<0；由/'(x)<0=0<x<l,

所以/(x)在(一8,0),(1,+8)上遞增，在(0,1)上遞減--------3分

要使/(x)在［一2,“上為單調(diào)函數(shù)，則一2<fW0-------4分

(II)因?yàn)?(x)在(-8,0),(1,+8)上遞增，在(0,1)上遞減，

.../(X)在x=l處有極小值e-------5分

13

又/(一2)==<e,

e

/(x)在［―2,+oo)上的最小值為/(—2)-------7分

從而當(dāng)^>一2時(shí),/(一2)</?),即〃?<〃--------8分

(in)證：又?.?￡^2=2”一ip,

ex°e*3

Xi/-/=g(，-if，

22

令g(X)=--X-§(f-1)2，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g(x)=/一X—§(f-1)2=0

在(-2,r)上有解，并討論解的個(gè)數(shù)--------9分

22

g(-2)=6-§Q-l)2=_§Q+2)(f-4),

2i

g(f)=f(f-1)—§(f-l)2=§(f+2)(f-l),------------10分

①當(dāng)，>4或—2<f<l時(shí),g(—2>g(f)<0,

所以g(x)=0在(-2,f)上有解，且只有一解----------11分

2

②當(dāng)1<f<4時(shí),g(—2)>OiLg(f)>0,但由于g(0)=-§(f—I)?<0,

所以g(x)=0在(-2,f)上有解，且有兩解------------12分

③當(dāng)t=1時(shí),g(x)=x2-x=0=>x=0或x=1,故g(x)=0在(一2/)上有且只有一■解；

當(dāng)f=4時(shí),g(x)=f-x-6=0=>x=-2或x=3,

所以8(幻=0在(—2,4)上也有且只有一解------------13分

2

綜上所述，對(duì)于任意的t>-2，總存在x0e(—2/)，滿足手)=|(/-1),

且當(dāng)年4或-2<fWl時(shí)，有唯一的x0適合題意；

當(dāng)l<f<4時(shí),有兩個(gè)小適合題意.--------14分

2

(說明:第(3)題也可以令9(x)=x2—x,xe(-2/),然后分情況證明］(f—1)2在其值域

內(nèi))

7、已知函數(shù)/(x)=lnx—ax2+(q—2)x.

(I)若)(X)在X=1處取得極值，求。的值；

(II)求函數(shù)y=/(x)在出2,例上的最大值.

解：(I)???/(x)=lnx—ax2+(q-2)x,.?.函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8).i分

-1__1_2izx~+(o—2)x_(2x—l)(izx+1)..

f\zx)=一一2ax+(a-2)=-------------------—=----------------.3分

XXX

???/(X)在冗=1處取得極值，

即廣⑴=_(2-1)(〃+1)=0,

.?.〃=—1.5分

當(dāng)。=一1時(shí)，在(；,1)內(nèi)/'(x)<0,在(1,+8)內(nèi)/'(x)>0,

,x=1是函數(shù)y=/(x)的極小值點(diǎn)./.a=-1.6分

(II),：a2<a,/.0<a<1.7分

41_2以2+(a-2)x_(2x-l)(ax+l)

j(X)=2QX+(q-2)=---------------=--------------

xxx

?/x￡(0,4-co),/.6fX+1>0,

.?./(x)在(0,；)上單調(diào)遞增；在g,+8)上單調(diào)遞減，9分

①當(dāng)時(shí)，/(x)在［片,。］單調(diào)遞增，

二/max(X)=/(&)=Ina-a'+t?-2a；10分

1

a>-nr

②當(dāng)［2,即L<a<3n寸，/(x)在(/一)單調(diào)遞增，在(士。)單調(diào)遞減,

12222

a2<—

2

?'1=n2-4+—=4-1-n2；11分

1/y

③當(dāng)一</,即時(shí);/(x)在［/，0單調(diào)遞減，

，工伽(“)=/(。2)=21n4-/+/-2/.12分

綜上所述，當(dāng)0<awg時(shí)，函數(shù)y=/(x)在上的最大值是

In〃—o'+—2〃；

1J?

當(dāng)萬<a<—時(shí)，函數(shù)y=/(x)在上的最大值是1―1—In2；

B

當(dāng)〃-時(shí)，函數(shù)y=/(x)在伍2,〃］上的最大值是

2In?！猳'+/—2/.13分

8、已知函數(shù)/*)=(〃/-%)lnx-^ax24-x.(aeR).

(I)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=/(x)在(ej(e))處的切線方程(e=2.718...);

(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解：(I)當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=x-x\nx,f*(x)=-Inx,2分

所以〃e)=0,f\e)=-\,..................4分

所以曲線卜=/(x)在(e,/(e))處的切線方程為了二-x+e...................5分

(11)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,2)

f'(x)=(ax2—x)—+(lax-1)Inx-ax+1=(lax-1)Inx,..............6分

x

①當(dāng)a40時(shí)，2ax-l<0,在(0,1)上/>'(x)>0,在(l,+8)上/(x)<0

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上遞減：............................8分

②當(dāng)0<。<1時(shí)，在(0,1)和(，,+oo)上/,(x)>0,S(1,—)±/'(%)<0

22a2a

所以/(x)在(0,1)和(工,一)上單調(diào)遞增，在(1,口~)上遞減；................10分

2a2a

③當(dāng)a時(shí)，在(0,8)上，(x)對(duì)且僅有了'⑴=0,

所以/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；......................12分

④當(dāng)時(shí)，在(0,工)和(1,+8)上/")>0,在(-?-[)上八x)<0

22a2a

所以/(x)在(0,—)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(―,1)上遞減..............14分

2a2a

9、已知函數(shù)/(x)=(l—q)e、(x>0),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

x

(I)當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=/(x)在(1,/(I))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積；

(II)若函數(shù)/(x)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，且極大值與極小值的積為e)

求a的值.

2

m/T、.X—ax+ax

解：(I)f(x)=----------e\3分

當(dāng)a=2忖，f\x)=x2-2^+2er,

x~

廣⑴=-p—xe1=e,/(l)=-e,

所以曲線y=/(x)在(1J⑴)處的切線方程為了=*一26,5分

切線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,0),(0,—2e),6分

所以，所求面積為工x2xk2e|=2e.7分

(II)因?yàn)楹瘮?shù)/*)存在個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，

所以，方程產(chǎn)-6+。=0在(0,+8)內(nèi)存在兩個(gè)不等實(shí)根，8分

e△=-4a>0,八

則19分

a>0.

所以a>4.10分

設(shè)士,》2為函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，

則xt+x2=a,xtx2=a,11分

5

因?yàn)?f(xl)f(x2)=e,

所以，士N.e』x上二區(qū)e-=e‘，12分

王々

a5

即中)XXa—a，e=e,

2+/+4Q,+2_e5,+"e"=e,

XjX2a

解得，〃=5,此時(shí)/(幻有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以。=5.14分

3

10、已知函數(shù)/(x)=ax3--(cz+2)x2+6x-3.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(%)的極小值；

(2)試討論曲線y=/(x)與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

22.(本小題滿分12分)

(I)函數(shù)的定義域?yàn)?-1,+8)........................................................................1分

??

?/,(7r)\=2［(r+l)--1-1］=2x、(r+2/),

x+1r+1

由/'(力>0，得*>0;由廣〃)<0，得一................3分

f(*)的遞增區(qū)間是(0,+8>遞減區(qū)間是(-1,0).............................4

分

(II),/由/(x)=2傘+2)=0,得產(chǎn)0,產(chǎn)-2(舍去)

X+1

由(I)知f(*)在［1—1,0］上遞減，在［0,上遞增.

又/(l-l)=X+2./(e-l)=e'-2,且/-2>l+2.

eee-

???當(dāng)xed-Le-l］時(shí)，f(x)的最大值為區(qū)-2.

故當(dāng)時(shí)，不等式f(*)<而恒成立..........................8分

(III)方程/(1)=/+1+。，x-+1-2ln(l+x)=0.

記g*)=/-。+1-21n(l+x),

2x-1

x+l

由g'(x)>0,得X>1或KT(舍去).由g'(x)<0,W-1<X<1.

/.g(x)在［o,1］上遞減,在［1,2］上遞增.........................10分

為使方程/(x)=x2+x+”在區(qū)間［0,2］上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，

fg(0)20,

只須g(x)=0在［0,1］和(1,2］上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根,于是有<0

OV/qU，

g(2)>0.

,/2-21n2<3-21n3,........................11分

/.實(shí)數(shù)a的取值范圍是2-21n2<a<3-21n3...................12分

11、已知函數(shù)/(x)=",g(x)=ox+l(a是不為零的常數(shù)且aeR)。

(1)討論函數(shù)/(x)=/(x)-g(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=—1時(shí)，方程/(》)W(月=，在區(qū)間［—1,1］上有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)，的取值范圍；

(3)是否存在正整數(shù)N,使得當(dāng)“eN+且”〉N時(shí)，不等式

+++…+恒成立，若存在，找出一個(gè)滿足條

件的N,并證明；若不存在，說明理由。

解：(1)因?yàn)槭?x)=(ax+l)e”,

所以F=aex+(qx+l)/=+1+工］,................］分

當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn)'(x)>O<^x>-l--,

a

所以尸(x)在區(qū)間(—8,—1-3上是減函數(shù)，在區(qū)間(T—L+8)上是增函數(shù)；……3分

aa

當(dāng)a<0時(shí)，F(xiàn)'(x)<O<=>x>-l--,

a

所以F(x)在區(qū)間(—8,—1—1)上是增函數(shù)，在區(qū)間(—1—工,+8)上是減函數(shù)；……5分

aa

(2)當(dāng)a=—1時(shí):由(1)知道/(x)在區(qū)間(—8,0)上是增函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上是減

函數(shù)，所以當(dāng)x=0時(shí)取得極大值/(0)=1,................7分

2

又F(-l)=-,F(l)=0,方程/(x)?g(x)=t在區(qū)間［—1,1］上有兩個(gè)解，

e

實(shí)數(shù)，的取值范圍是亡2』)；.........................................9分

當(dāng)時(shí),

11111

—I-----1-------1-------F+■■?+---------------F--------------+??

23424021+12402,+2?+擊)

11

>-+++-??+=-x4022=2011

242

所以:14分

12、設(shè)函數(shù)/(x)-ax-(a+1)ln(x+l)(a>-1).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)。>0時(shí),設(shè)/(X)的最小值為g(a),若g⑷<f恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

(I)解：f\x)=a-C，~-(x>—1),---------------1分

x+1x+1

當(dāng)a=0時(shí)，f'(x)=—<0,

x+\

所以函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(-1,―),無增區(qū)間；

，1、

a(x——)

當(dāng)時(shí)，f'(x)=-----J

x+1

若a>0,由f\x)>>—,ill/'(光)<0得一l<x<L,

aa

所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(一1,L),增區(qū)間為(-,+oo)；

aa

/1、

ia(x—)

若一1<4<0,此時(shí)一<一1,所以//(x)=-------全<0,

ax+1

所以函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(-1,+8),無增區(qū)間;

綜上，當(dāng)-1<aWO時(shí)，函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(-1,+8),無增區(qū)間,

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(一1一)，增區(qū)間為(工,+8).--6分

aa

(II)解：由([)得，g(a)=/(-)=l-(a+l)ln(-+l),------------7分

aa

因?yàn)閍>0,所以g(a)<f=史°-」<0=L-(i+_L)]n(l+L)-」<0,

aaaaaa

令h(x)=x-(l+x)ln(l+x)-tx(x>0),則h(x)<0恒成立,

由于//(x)=-ln(l+x)-f,

當(dāng)￡20時(shí)，hXx)<0,故函數(shù)/2(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，

所以/2(幻</2(0)=0成立；------------10分

當(dāng)f<0時(shí)，若/(元)>0得

故函數(shù)爪工)在(0,￡一'-1)上是增函數(shù)，

即對(duì)/2(x)>/i(0)=0,與題意不符；

綜上，￡20為所求.------------12分

13^設(shè)函數(shù)f(x)=其中。>0,b,cER.

(i)若r(g)=o,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)求證:當(dāng)OWxW1時(shí),|廣(九)|Wmax{廣(0),廣⑴}.(注：max{a,b}表示a,b中的

最大值)

解：⑴由廣(3=0,得。=氏.......................................1分

故/(x)=ax3—2ax2+ax+c.

z2

S/(x)=a(3x-4x+l)=0,得x產(chǎn)g,x2=l............................2分

列表：

1(g,1)

X(-8，1)1(1,+8)

3

f\x)+0-0+

fM增極大值減極小值增

由表可得，函數(shù)")的單調(diào)增區(qū)間是S，'及(…8).................4分

(2)f\x)=3ax2-2(a+b)x+b=3a(x-a—^)2一"」1———.

3〃3a

①當(dāng)空^21,或七時(shí)，則廣(工)在［0,1］上是單調(diào)函數(shù)，

3a3a

所以「⑴W/'(x)W/'(0),或廣(O)Wr(x)W/'(l),且廣(0)+廣⑴=a>0.

所以I廣(x)|Wmax{廣(0),廣⑴}......................................8分

②當(dāng)0〈交叱<1,即-a<b<2a,貝iJ-三士生二W/'(x)Wmax{f'(O)J，l)}.

3a3a

⑴當(dāng)-a<b<4時(shí)，則0<a+bW名.

22

22

所以廣⑴_(tái)a+b-ab=2/-y-2而=3--3+4>［標(biāo)>0

3a3a3a4

所以|/'(x)|Wmax{/'(0)J'⑴}...................................12分

(ii)當(dāng)3Vb<2a時(shí)，則3-@)(6-2。)<0,即一vo.

222

所以二處一比才>/一“二匕>0,即廣(0)>￡±比0.

3a3a3a3。

所以|/'(x)|Wmax{/'(0)J'⑴}.

綜上所述：當(dāng)OWxWl時(shí)，|廣(x)|Wmax{廣(0),廣⑴}.................16分

14、已知函數(shù)/(x)=plnx+(p-l*+1

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(II)當(dāng)p=l時(shí)，/(x)《依恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍；

(ID)證明：ln(〃+l)<l+,+'+-+■!■(/7eN*).

23n

解：(I)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),/6)=￡+2(〃一1卜=止心二^“D分

XX

當(dāng)P>1時(shí)，/'W>0,故〃x）在（0,+8）單調(diào)遞增;

當(dāng)p<0時(shí)，/'（%）<0,故/（x）在（0,+8）單調(diào)遞減；.........4分

當(dāng)0Vp<l時(shí)，令尸（x）=0,解得x=

則當(dāng)X€時(shí),/'(x)>0；時(shí),/,（X）<0.

故/(x)在0,單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.6分

P=114.InX

(II)因?yàn)閤>0,所以當(dāng)時(shí)，/(x)WAx恒成立+上吐

X

令/?*)=1+皿工,

則&W8分

X1m

一InX

因?yàn)?(幻=「^,由〃(幻=0得x=l,

x

且當(dāng)xe(0,1)時(shí)，/z'(x)>0；當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，A'(x)<0.

所以〃(%)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減.所以/l(X)max=〃(D=l，故左■……1。分

(III)由(H)知當(dāng)女=1時(shí)，有當(dāng)時(shí)，/(x)<xBPlnx<x-l,

人〃+1el〃+11口…/1、11

令x=----,則In----<—,即ln(〃4-l)-ln?<—12分

nnnn

21

所以ln±<LIn—<—,…，In----<—

1122nn

J.ri4/n12[3]〃+l[11

相加傳In—FIn—F,?,In----<1d---F,?—

12n2n

而ln2+ln'+…ln"^=ln]2.3…”1]=E(〃+1)

12nU2nJ

所以ln(n+1)<1+—+—H---h—,N*)稔凱............14分

23n

15、已知/(x)是二次函數(shù)，/'(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的xeR,

廣(幻=/(了+1)+/恒成立.

(I)求/(x)的解析表達(dá)式;

(H)設(shè)f>0,曲線C：了二門外在點(diǎn)打八八力處的切線為/,/與坐標(biāo)軸圍成的三

角形面積為S(f).求S⑺的最小值.

解：(I)設(shè)/(x)=4/+bx+c貝(J/'(x)=2ax+/?,...(2分)

/(x+1)=a(x++b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c.

由已知，得2ax+b=(a+l)x2+(2a+b)x+a+b+c,

a+1=0

<2a+b=2a,解之，得。=-1,。=0,c=l,

a+h+c=h

；?/(x)=-x2+1...........(4分)

2

(H)由(1)得，P(t,l-t)f切線/的斜率％=/()=—2r,

???切線l的方程為y—(1一產(chǎn))=-2t(x一。，即y=—2〃+f2+1...................仿分)

廠+1

從而/與x軸的交點(diǎn)為A(--------,0),/與y軸的交點(diǎn)為8(0,產(chǎn)9+1),

2t

(t~+I)2

：.S(t)=-~~—(其中f>0)...................(8分)

At

(〃+1)(后+1)(收-1)

??s(f)=-------------------------