角平分線的判定人教版高中數(shù)學(xué)必修二R·數(shù)學(xué)八年級（上冊）12.3

角的平分線的性質(zhì)理解角平分線判定定理掌握角平分線判定定理的證明方法并解決相關(guān)問題會判斷一個點是否在一個角的平分線上學(xué)習(xí)目標∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．【幾何語言】角平分線上的點到角的兩邊的距離相等角平分線的性質(zhì)復(fù)習(xí)回顧新課導(dǎo)入如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處500m.這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？∠AOB內(nèi)是否存在一點到OA、OB的距離相等，且距離O點500m轉(zhuǎn)化AOB自學(xué)指導(dǎo)認真看課本49-50頁內(nèi)容，5分鐘內(nèi)完成：1.課本49頁思考題.2.角平分線判定的內(nèi)容是什么？3.嘗試總結(jié)角平分線判定定理的幾何語言.要求：動腦思考.動手標記課本中的重點和疑點.5分鐘后檢測學(xué)習(xí)成果！推進新課問題：交換角平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論？角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.思考這個結(jié)論正確嗎？知識點一角平分線的判定已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是

D、E，PD=PE.求證：點

P在∠AOB的平分線上.BADOPE知識點一角平分線的判定BADOPE證明：作射線

OP.∴點

P在∠AOB

的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP.OP=OP，PD=PE，【幾何語言】角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上角平分線的判定定理∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴點P在∠AOB的平分線上（OP

平分∠AOB）．知識點一角平分線的判定位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系作夾角的角平分線

OC

，

截取

OD

=2.5cm，D

即為所求.

D解：∵∴圖上距離=0.025m=2.5cm.回顧導(dǎo)入如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處500m.這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P．求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等．證明：過P

點作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM

是△ABC的角平分線，點P

在BM

上，∴PD=PE.同理

PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等．EDF回顧導(dǎo)入思考EDF【結(jié)論】三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點P在∠A的平分線上拓展到三角形三邊所在直線距離相等的點有幾個呢？4個P1P4P2P3歸納總結(jié)角平分線的性質(zhì)角平分線的判定圖示已知條件結(jié)論OP平分∠AOBPD⊥OA于點DPE⊥OB于點EPD=PEPD⊥OA于點DPE⊥OB于點EPD=PEOP平分∠AOB隨堂演練1.

如圖，O

是△ABC

內(nèi)一點，且點

O

到三邊

AB，AC，BC

的距離相等，即

OF

=

OE

=

OD，若∠BAC

=

100°，則∠BOC

的度數(shù)是（）A

A.140°

B.130°C.120°

D.110°隨堂演練2.如圖，△ABC的三邊AB、AC、BC的長分別是5、7、9，其三條角平分線將△ABC分成三個三角形，則S△OAB:S△OAC:S△OBC=________.5:7:9隨堂演練3如圖，△ABC的∠ABC的外角的平分線BD

與∠ACB

的外角的平分線CE

相交于點P.求證：點P

到三邊AB，BC，CA

所在直線的距離相等.【課本P50練習(xí)第2題】∴PM=PN，同理PN=PQ，∴點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.隨堂演練證明：過P作PM⊥AC于M，PN⊥BC

于N，PQ⊥AB于Q.∵CE為∠MCN的平分線，QNM∠B=∠C，BE=CF，∠BED=∠CFD，綜合運用4.如圖，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，BE=CF.求證：AD平分∠BAC.證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BED=∠CFD=90°在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（ASA）.∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分線，即AD平分∠BAC隨堂演練5.如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E為BC的中點，且AE平分∠BAD.求證：①DE平分∠ADC證明：①如圖，過點E作EF⊥AD于F，∵∠B=90°，∴AE平分∠DAB，∴EB=EF.∵E是BC的中點，∴BE=CE

∴EF=CE.又∠C=90°，EF⊥AD，∴DE平分∠ADC.F隨堂演練5.如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E為BC的中點，且AE平分∠BAD.求證：②AB+CD=AD.②在Rt△AEB和Rt△AEF中，AE=AE，EB=EF，∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL