第3講導數(shù)與函數(shù)的極值、最值課標要求命題點五年考情命題分析預料借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；能利用導數(shù)求某些函數(shù)的極大值、微小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值；體會導數(shù)與單調性、極值、最大（?。┲档年P系.導函數(shù)圖象的應用該講始終是高考的重點和難點.基本考法為求極值、最值，已知函數(shù)極值、最值求參數(shù)值（或范圍），難度中等；綜合考法為通過探討函數(shù)的性質解決不等式、零點、極值點偏移等問題，更突出應用，難度偏大.預料2025年高考命題常規(guī)，在復習備考時，要會構造函數(shù)，進而通過探討新構造函數(shù)的性質，數(shù)形結合解決問題.利用導數(shù)探討函數(shù)的極值2024新高考卷ⅡT11；2024新高考卷ⅡT22；2024全國卷乙T21；2024全國卷乙T16；2024全國卷乙T10；2024全國卷乙T20；2024全國卷ⅠT20利用導數(shù)探討函數(shù)的最值2024新高考卷ⅠT22；2024全國卷乙T11；2024全國卷甲T6；2024新高考卷ⅠT15；2024全國卷ⅢT201.函數(shù)的極值條件f'（x0）＝0x0旁邊的左側f'（x）＞0，右側f'（x）＜0x0旁邊的左側f'（x）①＜0，右側f'（x）②＞0圖象極值f（x0）為極大值③f（x0）為微小值極值點x0為極大值點x0為④微小值點微小值點和極大值點統(tǒng)稱為⑤極值點，微小值和極大值統(tǒng)稱為⑥極值.易錯警示（1）極值點不是點，若函數(shù)f（x）在x＝x1時取得極大值，則x1為極大值點，極大值為f（x1）.（2）極大值與微小值的大小沒有必定關系，微小值可能比極大值大.（3）有極值的函數(shù)確定不是單調函數(shù).（4）導數(shù)值為0的點不愿定是函數(shù)的極值點.例如，f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是極值點.2.函數(shù)的最大（小）值假如在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f（x）的圖象是一條連綿起伏的曲線，那么它必有最大值和最小值.辨析比較函數(shù)極值與最值的區(qū)分與聯(lián)系極值最值區(qū)分（1）極值是個“局部”概念，只能在定義域內部取得；（2）在指定區(qū)間上極值可能不止一個，也可能一個都沒有.（1）最值是個“整體”概念，可以在區(qū)間的端點處取得；（2）最值（最大值或最小值）最多有一個.聯(lián)系（1）極值有可能成為最值，最值只要不在區(qū)間端點處必定是極值；（2）在區(qū)間[a，b]上圖象是一條連續(xù)曲線的函數(shù)f（x）若有唯一的極值，則這個極值就是最值.1.[易錯題]下列說法正確的是（C）A.函數(shù)的極大值比微小值大B.函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內的極大值是唯一的C.函數(shù)的最大值不愿定是極大值，極大值也不愿定是最大值D.f'（x0）＝0是x0為可導函數(shù)y＝f（x）的極值點的充分不必要條件解析對于A，由極大值與微小值的概念可知，函數(shù)的極大值不愿定比微小值大；對于B，函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內假如有最大值，則最大值是唯一的，但極大值不愿定；對于C，由極大值與最大值的概念可知C正確；對于D，在函數(shù)的極值點處f'（x0）＝0，但是使f'（x0）＝0成立的x0未必是極值點，如當x0為定義域的左右端點時f'（x0）可以等于0，但此時x0不是極值點.2.設函數(shù)f（x）的定義域為R，x0（x0≠0）是f（x）的極大值點，則下列結論確定正確的是（D）A.?x∈R，f（x）≤f（x0） B.－x0是y＝f（－x）的微小值點C.－x0是y＝－f（x）的微小值點 D.－x0是y＝－f（－x）的微小值點解析極值是函數(shù)的一種局部性質，因此不能確定在整個定義域上f（x0）是否最大，故A錯誤；因為函數(shù)f（x）與y＝f（－x）的圖象關于y軸對稱，所以－x0是y＝f（－x）的極大值點，故B錯誤；因為函數(shù)f（x）與y＝－f（x）的圖象關于x軸對稱，所以x0是y＝－f（x）的微小值點，而－x0是否為y＝－f（x）的微小值點不確定，故C錯誤；因為函數(shù)f（x）與y＝－f（－x）的圖象關于原點對稱，所以－x0是y＝－f（－x）的微小值點，選項D正確.3.[2024遼寧省部分學校聯(lián)考]函數(shù)f（x）＝（－2x＋4）ex在區(qū)間[1，＋∞）上的最大值為2e.解析f'（x）＝（－2x＋2）ex，當x∈[1，＋∞）時，f'（x）≤0，f（x）單調遞減，所以f（x）max＝f（1）＝2e.4.若函數(shù)f（x）＝x3－ax2＋2x－1有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（－∞，－6）∪（6，＋∞）.解析由已知，得f'（x）＝3x2－2ax＋2.因為函數(shù)f（x）有極值，所以f'（x）＝0有變號零點，所以Δ＝4a2－24＞0，解得a＞6或a＜－6，所以實數(shù)a的取值范圍為（－∞，－6）∪（6，＋∞）.研透高考明確方向命題點1導函數(shù)圖象的應用例1（1）[浙江高考]函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是（D） A B C D解析依據(jù)題意，已知導函數(shù)的圖象與x軸有三個交點，且每個交點的兩邊導函數(shù)值的符號相反，因此函數(shù)f（x）在這些零點處取得極值，依據(jù)f（x）有兩個微小值和一個極大值可解除A，C；記導函數(shù)f'（x）的零點從左到右分別為x1，x2，x3，又在（－∞，x1）上f'（x）＜0，在（x1，x2）上f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（－∞，x1）上單調遞減，在（x1，x2）上單調遞增，由x2＞0解除B.故選D.（2）[多選/2024陜西省漢中市聯(lián)考]設f'（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，y＝f'（x）的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（BC）A.函數(shù)確定有三個零點B.函數(shù)確定有三個極值點C.函數(shù)有最小值D.函數(shù)圖象確定經(jīng)過坐標原點解析易知函數(shù)f（x）在（－∞，0），（1，2）上單調遞減，在（0，1），（2，＋∞）上單調遞增，所以函數(shù)f（x）確定有三個極值點0，1，2，B正確；函數(shù)f（x）有最小值，為f（0），f（2）中的較小者，C正確；函數(shù)f（x）的圖象可能都在x軸上方，其零點個數(shù)可能是0，A錯誤；函數(shù)f（x）的圖象不愿定過原點，D錯誤.故選BC.方法技巧依據(jù)函數(shù)圖象推斷極值的方法（1）由y＝f'（x）的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f（x）的可能極值點.（2）由y＝f'（x）的圖象可以看出y＝f'（x）的值的正負，從而可得函數(shù)y＝f（x）的單調性，進而求得極值（點）.留意要看清晰所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導函數(shù)的圖象.訓練1[多選]已知函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（AB）A.f（a）＜f（b）＜f（c）B.f（e）＜f（d）＜f（c）C.x＝c時，f（x）取得最大值D.x＝d時，f（x）取得最小值解析由f'（x）的圖象可知，當x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）時，f'（x）＞0；當x∈（c，e）時，f'（x）＜0.所以f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上單調遞增，在（c，e）上單調遞減.對于A，因為a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），A正確；對于B，因為c＜d＜e，所以f（e）＜f（d）＜f（c），B正確；對于C，由單調性知f（c）為極大值，當x＞e時，可能存在f（x0）＞f（c），C錯誤；對于D，由單調性知f（e）＜f（d），D錯誤.命題點2利用導數(shù)探討函數(shù)的極值角度1求函數(shù)的極值例2[全國卷Ⅱ]若x＝－2是函數(shù)f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的極值點，則f（x）的微小值為（A）A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1解析因為f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1，所以f'（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）ex－1＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]ex－1.因為x＝－2是函數(shù)f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的極值點，所以－2是x2＋（a＋2）x＋a－1＝0的根，將x＝－2代入解得a＝－1，所以f'（x）＝（x2＋x－2）ex－1＝（x＋2）（x－1）ex－1.令f'（x）＞0，解得x＜－2或x＞1，令f'（x）＜0，解得－2＜x＜1，所以f（x）在（－∞，－2）上單調遞增，在（－2，1）上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，所以當x＝1時，f（x）取得微小值，且f（x）微小值＝f（1）＝－1，故選A.方法技巧求可導函數(shù)f（x）的極值的步驟（1）確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)f'（x）；（2）求方程f'（x）＝0的根；（3）推斷f'（x）在方程f'（x）＝0的根旁邊的左右兩側的符號；（4）求出極值.角度2已知函數(shù)的極值（點）求參數(shù)例3（1）[多選/2024新高考卷Ⅱ]若函數(shù)f（x）＝alnx＋bx＋cx2（a≠0）既有極大值也有微小值，則（A.bc＞0 B.ab＞0C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0解析因為函數(shù)f（x）＝alnx＋bx＋cx2（a≠0），所以函數(shù)f（x＋∞），f'（x）＝ax2－bx－2cx3，因為函數(shù)f（x）既有極大值也有微小值，所以關于x的方程ax2－bx－2c＝0有兩個不等的正實根x1，x2，則Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，即b2+8ac>0（2）[開放題/2024北京市第五十五中學4月調研]已知函數(shù)f（x）＝（x－a）（x－3）2（a∈R），當x＝3時，f（x）有極大值.寫出符合上述要求的一個a的值：4（答案不唯一，滿意a＞3即可）.解析由題意得，f'（x）＝（x－3）2＋（x－a）×2（x－3）＝（x－3）（x－3＋2x－2a）＝（x－3）（3x－2a－3），令f'（x）＝0，解得x＝3或x＝2a當2a+33＞3，即a＞3時，f（x）在（－∞，3）上單調遞增，在（3，2a+33）上單調遞減，所以f（x所以a＞3，a可取4，故答案為4（答案不唯一，滿意a＞3即可）.方法技巧已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要領列式依據(jù)極值以及極值點處導數(shù)為0列方程（組），利用待定系數(shù)法求解.驗證因為f'（x0）＝0不是x0為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必需驗證根的合理性.留意若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）上存在極值點，則y＝f（x）在（a，b）上不是單調函數(shù)，即函數(shù)y＝f'（x）在區(qū)間（a，b）內存在變號零點.訓練2（1）[多選]曲線f（x）＝a（x＋1）ex在點（－1，f（－1））處的切線方程為y＝1ex＋b，則下列說法正確的是（ACA.a＝1，b＝1e B.f（x）的極大值為C.f（x）的微小值為－1e2 D.f（解析依題意，f'（x）＝aex＋a（x＋1）ex＝（ax＋2a）ex，f'（－1）＝ae－1＝1e，解得a＝1，所以f（x）＝（x＋1）ex，f'（x）＝（x＋2）ex.又f（－1）＝0，所以1e×（－1）＋b＝0，所以b＝1e，故A正確.令f'（x）＝0，解得x＝－2，當x∈（－∞，－2）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（－∞，－2）上單調遞減；當x∈（－2，＋∞）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（－2，＋∞）上單調遞增.所以當x＝－2時，函數(shù)f（x即f（－2）＝－1e2，f（x）的極大值不存在，故B，D錯誤，C正確.（2）已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝4，b＝－11.解析f'（x）＝3x2＋2ax＋b.由題意，得f'(1）=0，f（1）=10，即2a＋b+3=0，a2＋a＋b+1=10，解得a=4，b＝－11或a＝－3，b=3.當a＝4，b＝－11時，f'（x）＝3x2＋－3，b＝3時，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2，在x＝1旁邊的左右兩側，恒有f'（x）＞0，不變號，此時函數(shù)f（x）在x＝1處無極值.綜上，a＝4，b＝－11.命題點3利用導數(shù)探討函數(shù)的最值角度1求函數(shù)的最值例4[2024全國卷乙]函數(shù)f（x）＝cosx＋（x＋1）sinx＋1在區(qū)間[0，2π]的最小值、最大值分別為（D）A.－π2，π2 B.－3C.－π2，π2＋2 D.－3π2解析由f（x）＝cosx＋（x＋1）sinx＋1，x∈[0，2π]，得f'（x）＝－sinx＋sinx＋（x＋1）cosx＝（x＋1）cosx.令f'（x）＝0，解得x＝－1（舍去）或x＝π2或x＝3因為f（π2）＝cosπ2＋（π2＋1）sinπ2＋1＝2＋π2，f（3π2）＝cos3π2＋（3π2＋1）sin3π2＋1＝－3π2，又f（0）＝cos0＋（0＋1）sin0＋1＝2，f（2π所以f（x）max＝f（π2）＝2＋π2，f（x）min＝f（3π2）＝－方法技巧求函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值的方法（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調遞增（遞減），則f（a）為最?。ù螅┲担琭（b）為最大（?。┲担唬?）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內有極值，則要先求出函數(shù)在（a，b）內的極值，再與f（a），f（b）比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有唯一一個極值點，這個極值點就是最值點，此結論在導數(shù)的實際應用中常常用到.角度2已知函數(shù)的最值求參數(shù)例5[全國卷Ⅲ]已知函數(shù)f（x）＝2x3－ax2＋b.（1）探討f（x）的單調性.（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的全部值；若不存在，說明理由.解析（1）對f（x）＝2x3－ax2＋b求導，得f'（x）＝6x2－2ax＝2x（3x－a）.令f'（x）＝0，得x＝0或x＝a3若a＞0，則當x∈（－∞，0）∪（a3，＋∞）時，f'（x）＞0；當x∈（0，a3）時，f'（x）＜0.故f（x）在（－∞，0）和（a3，＋∞）上單調遞增，在（0，若a＝0，則f（x）在R上單調遞增.若a＜0，則當x∈（－∞，a3）∪（0，＋∞）時，f'（x）＞0；當x∈（a3，0）時，f'（x）＜0.故f（x）在（－∞，a3）和（0，＋∞）上單調遞增，在（a3（2）滿意題設條件的a，b存在.（i）當a＜0時，由（1）知，f（x）在[0，1]上單調遞增，所以f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（0）＝b，最大值為f（1）＝2－a＋b，所以b＝－1，2－a＋b＝1，則a＝0，b＝－1，與a＜0沖突，所以a＜0不存在.（ii）當a＝0時，由（1）知，f（x）在[0，1]上單調遞增，所以由f（0）＝－1，f（1）＝1得a＝0，b＝－1.（iii）當0＜a＜3時，由（1）知，f（x）在（0，a3）上單調遞減，在（a3，1）上單調遞增，所以f（x）在[0，1]上的最小值為f（a3）＝－a327＋b＝－1，最大值為f（f（1）＝2－a＋b.若－a327＋b＝－1，