2．2直線的方程【知識點梳理】知識點一：直線的點斜式方程方程由直線上一定點及其斜率決定，我們把叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．知識點詮釋：1．點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在．點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2．當(dāng)直線的傾斜角為時，直線方程為；3．當(dāng)直線傾斜角為時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示．這時直線方程為：．4．表示直線去掉一個點；表示一條直線．知識點二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點為，根據(jù)直線的點斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點的縱坐標叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．知識點詮釋：1．b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負數(shù)；距離必須大于或等于零；2．斜截式方程可由過點的點斜式方程得到；3．當(dāng)時，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4．斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5．斜截式是點斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．知識點三：直線的兩點式方程經(jīng)過兩點（其中）的直線方程為，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．知識點詮釋：1．這個方程由直線上兩點確定；2．當(dāng)直線沒有斜率（）或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程．3．直線方程的表示與選擇的順序無關(guān)．4．在應(yīng)用兩點式求直線方程時，往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個等價的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點式的整式形式．知識點四：直線的截距式方程若直線與軸的交點為，與y軸的交點為，其中，則過AB兩點的直線方程為，這個方程稱為直線的截距式方程．a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識點詮釋：1．截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標軸平行的直線．2．求直線在坐標軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識點五：直線方程幾種表達方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數(shù)，而點斜式需要三個獨立變數(shù)．在求直線方程時，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕?，已知一點的坐標，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識點六：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式．知識點詮釋：1．A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當(dāng)時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．當(dāng)，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標系中，一個關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于、的一次方程．知識點七：直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式是直線上一定點，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在y軸上的截距不垂直于軸兩點式，是直線上兩定點不垂直于軸和軸截距式是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過原點一般式、、為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識點詮釋：在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多，應(yīng)用時若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同．知識點八：直線方程的綜合應(yīng)用1．已知所求曲線是直線時，用待定系數(shù)法求．2．根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．（1）從斜截式考慮已知直線，，；于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．（2）從一般式考慮：且或，記憶式（）與重合，，，于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．【題型歸納目錄】題型一：點斜式直線方程題型二：斜截式直線方程題型三：兩點式直線方程題型四：截距式直線方程題型五：中點坐標公式題型六：直線的一般式方程題型七：直線方程的綜合應(yīng)用題型八：判斷動直線所過定點題型九：直線與坐標軸形成三角形問題題型十：直線方程的實際應(yīng)用【典型例題】題型一：點斜式直線方程例1．(2023·全國·高二課時練習(xí)）方程表示（

）A．通過點的所有直線 B．通過點且不垂直于y軸的所有直線C．通過點且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點且除去x軸的所有直線例2．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的傾斜角，且過點，則該直線的方程為__．例3．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線過點，且直線的傾斜角為直線的傾斜角的2倍，則直線的點斜式方程為________．例4．(2023·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件求直線的點斜式方程：(1)經(jīng)過點，斜率為4；(2)經(jīng)過點，傾斜角為．例5．(2023·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點P(4,1)，且與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點斜式方程.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用點斜式求直線方程的步驟是：①判斷斜率是否存在，并求出存在時的斜率；②在直線上找一點，并求出其坐標．（2）要注意點斜式直線方程的逆向運用，即由方程可知該直線過定點且斜率為．題型二：斜截式直線方程例6．(2023·浙江·麗水外國語實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）已知的三個頂點分別是，，，則邊上的高所在直線的斜截式方程為______.例7．(2023·江西·永新中學(xué)高二期中（理））與直線垂直，且在軸上的截距為4的直線的斜截式方程是（

）A．B．或C．D．或例8．(2023·全國·高二課前預(yù)習(xí)）已知直線的方程為，的方程為，直線與平行且與在軸上的截距相同，求直線的斜截式方程．例9．(2023·全國·高二課前預(yù)習(xí)）寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率是，在軸上的截距是；(2)傾斜角為，在軸上的截距是；(3)傾斜角為，在軸上的截距是．【方法技巧與總結(jié)】（1）選用斜截式表示直線方程的依據(jù)是知道（或可以求出）直線的斜率和直線在軸上的截距．（2）直線的斜截式方程的好處在于它比點斜式方程少一個參數(shù)，即斜截式方程只要兩個參數(shù)、即可確定直線的方程，而點斜式方程則需要三個參數(shù)、、才能確定，而且它的形式簡潔明了，這樣當(dāng)我們僅知道直線滿足一個條件時，由參數(shù)選用斜截式方程具有化繁為簡的作用．（3）若直線過某一點，則這一點坐標一定滿足直線方程，這一隱含條件應(yīng)充分利用．題型三：兩點式直線方程例10．(2023·全國·高二課時練習(xí)）有關(guān)直線方程的兩點式，有如下說法：①直線方程的兩點式適用于求與兩坐標軸均不垂直的直線方程；②直線方程也可寫成；③過點，的直線可以表示成.其中正確說法的個數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．3例11．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線的兩點式方程為，則的斜率為（

）A． B． C． D．例12．(2023·全國·高二課時練習(xí)）過點和點的直線的兩點式方程是A． B． C． D．例13．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知點、，則直線AB的兩點式方程是______．例14．(2023·全國·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點?的直線的兩點式方程為___________.【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫出方程．題型四：截距式直線方程例15．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)（

）A．1 B． C．或1 D．2或1例16．(2023·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）過點，在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（

）A． B．或C． D．或例17．(2023·吉林油田高級中學(xué)高二開學(xué)考試）若直線與垂直，則的方程的截距式為（

）A． B．C． D．例18．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知三頂點坐標，為的中點，為的中點，則中位線所在直線的截距式方程為()A． B．C． D．例19．(2023·全國·高二課時練習(xí)）過點P(1，3)的直線l分別與兩坐標軸交于A，B兩點，若P為AB的中點，則直線l的截距式方程是________.例20．(2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線過點且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有______條.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用截距式求直線方程時，一定要注意討論截距是否為零．題型五：中點坐標公式例21．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點，，則經(jīng)過點且經(jīng)過線段AB的中點的直線方程為（

）A． B． C． D．例22．(2023·全國·高三專題練習(xí)）直線被直線和所截得的線段中點恰為坐標原點，則直線l的方程為______．例23．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點為，則直線l的一般式方程為______．例24．(2023·廣東·高二期末）若直線與直線，分別交于點?，且線段的中點坐標為，直線的一般式方程是___________.例25．(2023·湖北·高二階段練習(xí)）直線l過點，且與x軸，y軸分別交于A，B兩點（A?B不重合），若點M恰為線段的中點，則直線l的方程為___________.例26．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l過點，且與x軸、y軸分別交于A、B兩點．若點P恰為AB的中點，求直線l的方程．【方法技巧與總結(jié)】（1）中點坐標公式是一個重要的公式，要注意靈活地運用它來解決問題．（2）在運用中點坐標公式時，要注意與“中點”等價的有關(guān)概念的運用．（3）在具體解題時，還應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)條件運用中點坐標公式，如由平面幾何知識可知，平行四邊形的對角線相交于一點且互相平分，也就是對角線上兩頂點的中點重合等．題型六：直線的一般式方程例27．(2023·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，寫出直線方程的一般式：(1)經(jīng)過點（0，2），且傾斜角為；(2)經(jīng)過點（－2，3）和點（－1，0）；(3)經(jīng)過點（2，1），在x，y軸上有不為0且相等的截距．例28．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如果且，那么直線不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例29．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知①直線的傾斜角為30°；②直線不經(jīng)過坐標原點．寫出一個同時滿足①②的直線方程：________．（用一般式方程表示）【方法技巧與總結(jié)】讓學(xué)生體會直線方程的各種形式，以及各種形式向一般式的轉(zhuǎn)化，對于直線方程的一般式，一般作如下約定：的系數(shù)為正，，的系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù)，一般按含項、項、常數(shù)項順序排列．求直線方程的題目，無特別要求時，結(jié)果寫成直線方程的一般式．題型七：直線方程的綜合應(yīng)用例30．(2023·遼寧·高二期中）直線：與直線：（實數(shù)a為參數(shù)）的位置關(guān)系是（

）A．與相交 B．與平行C．與重合 D．與的位置關(guān)系與a的取值有關(guān)例31．(2023·四川·瀘州老窖天府中學(xué)高二期中（理））若直線與直線平行，則實數(shù)等于（

）A． B． C．或 D．例32．(2023·廣東肇慶·高二期末）“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例33．(2023·江蘇·高二）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（

）A． B．5 C． D．例34．(2023·福建·廈門外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）直線與直線垂直，則的值為（

）A． B．1 C． D．9例35．(2023·湖南·益陽平高學(xué)校高二期中）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值（

）A． B． C．3 D．6例36．(2023·貴州貴陽·高二期末（理））過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B． C． D．例37．(2023·全國·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點，且與直線：（）垂直的直線的方程為______．例38．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知在第一象限的中，，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊與BC邊所在直線的方程．例39．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，若直線與直線平行，求的值.例40．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線，直線，且，求m的值．例41．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知兩條直線，．(1)證明直線過定點，并求出該定點的坐標．(2)若，不重合，且垂直于同一條直線，求a的值．(3)從①直線l過坐標原點，②直線l在y軸上的截距為2，③直線l與坐標軸形成的三角形的面積為1這三個條件中選擇一個補充在下面問題中，并作答．若，直線l與垂直，且________，求直線l的方程．【方法技巧與總結(jié)】求直線的方程的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式．題型八：判斷動直線所過定點例42．(2023·四川眉山·高一期末（理））直線經(jīng)過的定點是______．例43．(2023·全國·高二專題練習(xí)）直線恒過定點（

）A． B． C． D．例44．(2023·河南·扶溝縣第二高中高一階段練習(xí)）不論為何實數(shù)，直線恒通過一個定點，這個定點的坐標是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】合并參數(shù)，另參數(shù)的系數(shù)為零解方程．題型九：直線與坐標軸形成三角形問題例45．(2023·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二期末）已知直線：.(1)已知，若點P到直線的距離為d，求d最大時直線的方程.(2)若直線交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，求面積的最小值.例46．(2023·吉林·長春外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）已知直線.(1)若直線不能過第三象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設(shè)的面積為，求的最小值及此時直線的方程．例47．(2023·山東省日照實驗高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線l過點.（1）若直線l在兩坐標軸上截距和為零，求l方程；（2）設(shè)直線l的斜率，直線l與兩坐標軸交點別為，求面積最小值.例48．(2023·全國·高二單元測試）已知直線l過點，與x軸正半軸交于點A?與y軸正半軸交于點B.（1）求面積最小時直線l的方程（其中O為坐標原點）；（2）求的最小值及取得最小值時l的直線方程.例49．(2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.例50．(2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點．(1)當(dāng)取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程；(2)當(dāng)取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程．例51．(2023·全國·高二課前預(yù)習(xí)）已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別為交于A、B兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為__________，此時的直線方程為__________．例52．(2023·重慶一中高一期中）已知點M為直線與直線在第一象限的交點，經(jīng)過點M的直線l分別交x，y軸的正半軸于A，B兩點，O為坐標原點，則當(dāng)取得最小值為時，a的值為________.例53．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點，且與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O是坐標原點，若________，求直線l的方程．試從下列所給的條件中任選一個補充在橫線處，并解答．①；②的面積是6．例54．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．（2）在求直線方程時，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．題型十：直線方程的實際應(yīng)用例55．(2023·北京十五中高二期中）已知直線均過點P(1，2).(1)若直線過點A(-1，3)，且求直線的方程；(2)如圖，O為坐標原點，若直線的斜率為k，其中，且與y軸交于點N，直線過點，且與x軸交于點M，求直線與兩坐標軸圍成的四邊形PNOM面積的最小值.例56．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知的頂點，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線的方程為.分別求，邊所在直線的方程.例57．(2023·江蘇·高二單元測試）已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標為，，.(1)求平行四邊形ABCD的頂點D的坐標.(2)求邊AB的高所在直線方程.例58．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知的三個頂點分別為，，．(1)求的三邊所在直線的方程；(2)求的三條中線所在直線的方程．例59．(2023·江蘇·高二）已知兩條直線，的斜率分別為，，設(shè)，的夾角（銳角）為．(1)求證：；(2)求直線與直線的夾角．例60．(2023·重慶第二外國語學(xué)校高二期中）在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3).(1)求BC邊所在直線的一般方程；(2)求BC邊的垂直平分線DE所在直線的一般方程.例61．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知，y軸為邊中線(1)求邊所在直線方程；(2)求角平分線所在直線方程．例62．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的三頂點是，，，直線平行于，交，分別于，，且、分別是、的中點．求：(1)邊上的高所在直線的方程．(2)直線的方程．例63．(2023·四川·寧南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知的三個頂點是，，.(1)求邊的高所在直線的方程和邊中線所在直線的方程；(2)若直線過點，且、到直線的距離相等，求直線的方程.【方法技巧與總結(jié)】用坐標法解決生活問題．【同步練習(xí)】一、單選題1．下列說法中錯誤的是（

）A．平面上任意一條直線都可以用一個關(guān)于，的二元一次方程（，不同時為0）表示B．當(dāng)時，方程（，不同時為0）表示的直線過原點C．當(dāng)，，時，方程表示的直線與軸平行D．任何一條直線的一般式方程都能與其他兩種形式互化2．已知點與關(guān)于直線對稱，則a，b的值分別為（

）A．2， B．－2， C．－2， D．2，3．過點P（1，1）作直線l，與兩坐標軸相交所得三角形面積為1，則直線l有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條4．已知直線x＋y＋1＝0與直線2x－my＋3＝0垂直，則m＝（

）A．2 B． C．－2 D．5．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點，且，則的歐拉線的方程為（

）A． B．C． D．6．直線經(jīng)過點，且傾斜角，則直線的方程為（

）A． B． C． D．7．已知直線l過點，傾斜角，下列方程可以表示直線l的是（

）A． B．C． D．8．已知直線：，直線是直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的直線，則直線的方程是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知直線，則下述正確的是（

）A．直線的斜率可以等于 B．直線的斜率有可能不存在C．直線可能過點 D．直線的橫、縱截距可能相等10．已知直線，，下列命題中正確的有（

）A．當(dāng)時，與重合 B．若，則C．過定點 D．一定不與坐標軸平行11．下列說法正確的是（

）A．直線必過定點 B．直線在y軸上的截距為C．直線的傾斜角為 D．若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后回到原來的位置，則該直線l的斜率12．已知，若過定點的動直線：和過定點的動直線：交于點（與，不重合），則（

）A．點的坐標為 B．直線垂直于C． D．的最大值為三、填空題13．若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P、Q，且線段PQ的中點坐標為（1，0），直線l的一般式方程是__．14．若直線l與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線l的方程為________.15．已知等邊的兩個頂點，且第三個頂點在第四象限，則邊所在的直線方程是_______.16．當(dāng)點到直線l：距離的最大值時，直線l的一般式方程是______．四、解答題17．已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．18．根據(jù)所給條件求直線方程.(1)直線過點，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點，且在兩坐標軸上的截距之和為；(3)直線過點，.19．如圖，在平行四邊形中，邊所在直線方程為，點.(1)求直線的方程；(2)求邊上的高所在直線的方程.20．已知直線，互相垂直，且相交于點．(1)若的斜率為2，與軸的交點為Q，點在線段PQ上運動，求的取值范圍；(2)若，分別與y軸相交于點A，B，求的最小值．21．已知直線過點．(1)若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若與軸正半軸的交點為，與軸正半軸的交點為，求（為坐標原點）面積的最小值．2．2直線的方程【知識點梳理】知識點一：直線的點斜式方程方程由直線上一定點及其斜率決定，我們把叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．知識點詮釋：1．點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在．點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2．當(dāng)直線的傾斜角為時，直線方程為；3．當(dāng)直線傾斜角為時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示．這時直線方程為：．4．表示直線去掉一個點；表示一條直線．知識點二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點為，根據(jù)直線的點斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點的縱坐標叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．知識點詮釋：1．b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負數(shù)；距離必須大于或等于零；2．斜截式方程可由過點的點斜式方程得到；3．當(dāng)時，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4．斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5．斜截式是點斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．知識點三：直線的兩點式方程經(jīng)過兩點（其中）的直線方程為，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．知識點詮釋：1．這個方程由直線上兩點確定；2．當(dāng)直線沒有斜率（）或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程．3．直線方程的表示與選擇的順序無關(guān)．4．在應(yīng)用兩點式求直線方程時，往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個等價的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點式的整式形式．知識點四：直線的截距式方程若直線與軸的交點為，與y軸的交點為，其中，則過AB兩點的直線方程為，這個方程稱為直線的截距式方程．a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識點詮釋：1．截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標軸平行的直線．2．求直線在坐標軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識點五：直線方程幾種表達方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數(shù)，而點斜式需要三個獨立變數(shù)．在求直線方程時，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕兀阎稽c的坐標，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識點六：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式．知識點詮釋：1．A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當(dāng)時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．當(dāng)，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標系中，一個關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于、的一次方程．知識點七：直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式是直線上一定點，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在y軸上的截距不垂直于軸兩點式，是直線上兩定點不垂直于軸和軸截距式是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過原點一般式、、為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識點詮釋：在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多，應(yīng)用時若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同．知識點八：直線方程的綜合應(yīng)用1．已知所求曲線是直線時，用待定系數(shù)法求．2．根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．（1）從斜截式考慮已知直線，，；于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．（2）從一般式考慮：且或，記憶式（）與重合，，，于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．【題型歸納目錄】題型一：點斜式直線方程題型二：斜截式直線方程題型三：兩點式直線方程題型四：截距式直線方程題型五：中點坐標公式題型六：直線的一般式方程題型七：直線方程的綜合應(yīng)用題型八：判斷動直線所過定點題型九：直線與坐標軸形成三角形問題題型十：直線方程的實際應(yīng)用【典型例題】題型一：點斜式直線方程例1．(2023·全國·高二課時練習(xí)）方程表示（

）A．通過點的所有直線 B．通過點且不垂直于y軸的所有直線C．通過點且不垂直于x軸的所有直線 D．通過點且除去x軸的所有直線答案：C【解析】為直線的點斜式方程，只能表示斜率存在的直線，且直線過點．故選：C例2．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的傾斜角，且過點，則該直線的方程為__．答案：【解析】直線的傾斜角，所以直線的斜率為又因為直線過點，所以直線的方程為，．故答案為：．例3．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線過點，且直線的傾斜角為直線的傾斜角的2倍，則直線的點斜式方程為________．答案：【解析】由直線，得斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，則，又直線過點，所以直線的點斜式方程為．故答案為：．例4．(2023·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件求直線的點斜式方程：(1)經(jīng)過點，斜率為4；(2)經(jīng)過點，傾斜角為．【解析】(1)由題得直線的點斜式方程為.(2)由題得直線的斜率為，所以直線的點斜式方程為.例5．(2023·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點P(4,1)，且與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點斜式方程.【解析】根據(jù)題意知直線l不垂直于x軸，其斜率存在且為負數(shù)，故可設(shè)直線l的方程為.在方程中，令，得；令，得.故直線l與兩坐標軸交于點與.因為直線l與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，所以，即：，解得，故直線l的點斜式方程為【方法技巧與總結(jié)】（1）利用點斜式求直線方程的步驟是：①判斷斜率是否存在，并求出存在時的斜率；②在直線上找一點，并求出其坐標．（2）要注意點斜式直線方程的逆向運用，即由方程可知該直線過定點且斜率為．題型二：斜截式直線方程例6．(2023·浙江·麗水外國語實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）已知的三個頂點分別是，，，則邊上的高所在直線的斜截式方程為______.答案：【解析】設(shè)邊上的高為，因為,所以，，解得，所以邊上的高所在直線的點斜式方程是，整理可得斜截式方程.故答案為．例7．(2023·江西·永新中學(xué)高二期中（理））與直線垂直，且在軸上的截距為4的直線的斜截式方程是（

）A．B．或C．D．或答案：A【解析】由于直線，即，可知斜率，則與直線垂直的直線斜率為，由于所求直線在軸上的截距為4，則所求直線的斜截式方程是.故選：A.例8．(2023·全國·高二課前預(yù)習(xí)）已知直線的方程為，的方程為，直線與平行且與在軸上的截距相同，求直線的斜截式方程．【解析】由斜截式方程，知直線的斜率，又因為，所以的斜率．由題意，知在軸上的截距為，所以在軸上的截距為，由斜截式，得直線的方程為．例9．(2023·全國·高二課前預(yù)習(xí)）寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率是，在軸上的截距是；(2)傾斜角為，在軸上的截距是；(3)傾斜角為，在軸上的截距是．【解析】(1)(2)因為，所以．(3)因為，所以．【方法技巧與總結(jié)】（1）選用斜截式表示直線方程的依據(jù)是知道（或可以求出）直線的斜率和直線在軸上的截距．（2）直線的斜截式方程的好處在于它比點斜式方程少一個參數(shù)，即斜截式方程只要兩個參數(shù)、即可確定直線的方程，而點斜式方程則需要三個參數(shù)、、才能確定，而且它的形式簡潔明了，這樣當(dāng)我們僅知道直線滿足一個條件時，由參數(shù)選用斜截式方程具有化繁為簡的作用．（3）若直線過某一點，則這一點坐標一定滿足直線方程，這一隱含條件應(yīng)充分利用．題型三：兩點式直線方程例10．(2023·全國·高二課時練習(xí)）有關(guān)直線方程的兩點式，有如下說法：①直線方程的兩點式適用于求與兩坐標軸均不垂直的直線方程；②直線方程也可寫成；③過點，的直線可以表示成.其中正確說法的個數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】①正確，從兩點式方程的形式看，只要，，就可以用兩點式來求解直線的方程；②正確，方程與的形式有異，但實質(zhì)相同，均表示過點和的直線；③顯然正確.故選：D.例11．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線的兩點式方程為，則的斜率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為直線的兩點式方程為，所以直線過點，，所以的斜率為．故選：A例12．(2023·全國·高二課時練習(xí)）過點和點的直線的兩點式方程是A． B． C． D．答案：B【解析】因為所求直線過點和點，根據(jù)直線的兩點式方程可得：所求直線方程為.故選B.例13．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知點、，則直線AB的兩點式方程是______．答案：【解析】直線的兩點式方程為：將點、代入得：.故答案為：.例14．(2023·全國·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點?的直線的兩點式方程為___________.答案：【解析】因為直線經(jīng)過點?，由直線的兩點式方程可得，可得，即，所以直線的兩點式方程為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫出方程．題型四：截距式直線方程例15．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)（

）A．1 B． C．或1 D．2或1答案：D【解析】當(dāng)時，直線，此時不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；當(dāng)且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.由，解得：.故的值是2或1.故選：D例16．(2023·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）過點，在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（

）A． B．或C． D．或答案：B【解析】當(dāng)所求直線不過原點時，設(shè)所求直線的方程為，因為直線過點，代入可得，即；當(dāng)所求直線過原點時，設(shè)直線方程為，因為直線過點，代入可得，即，綜上可得，所求直線的方程為或.故選：B.例17．(2023·吉林油田高級中學(xué)高二開學(xué)考試）若直線與垂直，則的方程的截距式為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因為與垂直，所以，解得，則的方程為，即.故選：C.例18．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知三頂點坐標，為的中點，為的中點，則中位線所在直線的截距式方程為()A． B．C． D．答案：A【解析】因為三頂點坐標為，又為的中點，為的中點，由中點坐標公式可得：，則直線的兩點式方程為：，故截距式方程為.故選：A．例19．(2023·全國·高二課時練習(xí)）過點P(1，3)的直線l分別與兩坐標軸交于A，B兩點，若P為AB的中點，則直線l的截距式方程是________.答案：【解析】設(shè)點A(m，0)，B(0，n)，由點P(1，3)是AB的中點可得m=2，n=6，即A，B的坐標分別為(2，0)，(0，6).則l的方程為+=1.故答案為：+=1例20．(2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線過點且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有______條.答案：【解析】依題意直線在坐標軸上的截距均不為，設(shè)直線的截距式為，∵直線經(jīng)過點，且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為，∴，解得，或，或，所以直線的條數(shù)為條．故答案為：【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用截距式求直線方程時，一定要注意討論截距是否為零．題型五：中點坐標公式例21．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點，，則經(jīng)過點且經(jīng)過線段AB的中點的直線方程為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由已知，AB中點為，又，∴所求直線斜率為，故直線方程為，即．故選：C.例22．(2023·全國·高三專題練習(xí)）直線被直線和所截得的線段中點恰為坐標原點，則直線l的方程為______．答案：【解析】設(shè)直線與和，分別交于點和，因為所截得的線段中點恰為坐標原點，可得，解得，所以和，則，可得直線的方程為，即.故答案為：.例23．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點為，則直線l的一般式方程為______．答案：【解析】設(shè)直線l的斜率為，因為直線l過，所以直線方程為，由，由，由題意可知：是截得的線段的中點，所以，即，故答案為：例24．(2023·廣東·高二期末）若直線與直線，分別交于點?，且線段的中點坐標為，直線的一般式方程是___________.答案：【解析】由題意，，，，即，，，直線的方程是，即．故答案為：．例25．(2023·湖北·高二階段練習(xí)）直線l過點，且與x軸，y軸分別交于A，B兩點（A?B不重合），若點M恰為線段的中點，則直線l的方程為___________.答案：.【解析】由題意，設(shè)，由中點坐標公式得，則，則直線l的方程為：.故答案為：.例26．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l過點，且與x軸、y軸分別交于A、B兩點．若點P恰為AB的中點，求直線l的方程．【解析】設(shè)直線l的方程為令，得；令，得．故，．因為P是AB的中點，所以，解得．故直線l的方程為，即．【方法技巧與總結(jié)】（1）中點坐標公式是一個重要的公式，要注意靈活地運用它來解決問題．（2）在運用中點坐標公式時，要注意與“中點”等價的有關(guān)概念的運用．（3）在具體解題時，還應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)條件運用中點坐標公式，如由平面幾何知識可知，平行四邊形的對角線相交于一點且互相平分，也就是對角線上兩頂點的中點重合等．題型六：直線的一般式方程例27．(2023·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，寫出直線方程的一般式：(1)經(jīng)過點（0，2），且傾斜角為；(2)經(jīng)過點（－2，3）和點（－1，0）；(3)經(jīng)過點（2，1），在x，y軸上有不為0且相等的截距．【解析】(1)因為直線經(jīng)過點，且傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線方程為，所以直線的一般方程為(2)因為直線經(jīng)過點和點，所以直線斜率為，所以直線方程為，所以直線的一般式方程為(3)由題設(shè)直線方程為，因為直線過點，所以，解得所以直線的一般式方程為例28．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如果且，那么直線不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：C【解析】由且，可得同號，異號，所以也是異號；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過第三象限.故選：C.例29．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知①直線的傾斜角為30°；②直線不經(jīng)過坐標原點．寫出一個同時滿足①②的直線方程：________．（用一般式方程表示）答案：（答案不唯一）【解析】由題意得，直線斜率為，又直線不經(jīng)過坐標原點，即一般式方程中的常數(shù)項非零，所以符合題意的一個直線方程為．故答案為：（答案不唯一）【方法技巧與總結(jié)】讓學(xué)生體會直線方程的各種形式，以及各種形式向一般式的轉(zhuǎn)化，對于直線方程的一般式，一般作如下約定：的系數(shù)為正，，的系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù)，一般按含項、項、常數(shù)項順序排列．求直線方程的題目，無特別要求時，結(jié)果寫成直線方程的一般式．題型七：直線方程的綜合應(yīng)用例30．(2023·遼寧·高二期中）直線：與直線：（實數(shù)a為參數(shù)）的位置關(guān)系是（

）A．與相交 B．與平行C．與重合 D．與的位置關(guān)系與a的取值有關(guān)答案：B【解析】由：，可得，因為且，所以與平行故選：B例31．(2023·四川·瀘州老窖天府中學(xué)高二期中（理））若直線與直線平行，則實數(shù)等于（

）A． B． C．或 D．答案：B【解析】因為直線與直線平行，所以，解得.故選：B.例32．(2023·廣東肇慶·高二期末）“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】若直線與直線平行，則有解得或，所以當(dāng)時，直線與直線平行，當(dāng)直線與直線平行時，或.故選：A例33．(2023·江蘇·高二）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（

）A． B．5 C． D．答案：D【解析】由題意直線過定點，直線可變?yōu)?，所以該直線過定點，所以，又，所以直線與直線互相垂直，所以，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以，，即面積的最大值是.故選：D.例34．(2023·福建·廈門外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）直線與直線垂直，則的值為（

）A． B．1 C． D．9答案：B【解析】由題意，得，解得.故選：B.例35．(2023·湖南·益陽平高學(xué)校高二期中）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值（

）A． B． C．3 D．6答案：D【解析】由題意，動直線過定點，直線可化為，令，可得，又，所以兩動直線互相垂直，且交點為，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：D.例36．(2023·貴州貴陽·高二期末（理））過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為所求直線與直線l平行，所以設(shè)所求直線方程為：，又所求直線過點，代入可得，解得，所以所求直線為，即.故選：A例37．(2023·全國·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點，且與直線：（）垂直的直線的方程為______．答案：【解析】當(dāng)時，直線：的斜率不存在，則所求直線的斜率為0．因為直線過點，所以直線的方程為．當(dāng)時，直線：的斜率為．設(shè)所求直線的斜率為，則，所以．因為直線過點，所以直線的方程為，即．當(dāng)時，符合上式．所以直線的方程為．例38．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知在第一象限的中，，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊與BC邊所在直線的方程．【解析】（1）因為，，所以軸，所以AB邊所在直線的方程為．（2）因為，所以，所以直線AC的方程為，即因為，所以，所以直線BC的方程為，即.例39．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，若直線與直線平行，求的值.【解析】由得，得直線的斜率為，由得，得斜率為，因為直線與直線平行，所以，解得.例40．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線，直線，且，求m的值．【解析】因為直線與直線垂直，所以，即，解得或.例41．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知兩條直線，．(1)證明直線過定點，并求出該定點的坐標．(2)若，不重合，且垂直于同一條直線，求a的值．(3)從①直線l過坐標原點，②直線l在y軸上的截距為2，③直線l與坐標軸形成的三角形的面積為1這三個條件中選擇一個補充在下面問題中，并作答．若，直線l與垂直，且________，求直線l的方程．【解析】（1）∵變形為，∴直線過定點，定點的坐標為．（2）∵，不重合，且垂直于同一條直線，∴，∴，∴．（3）方案一：選條件①．∵，∴直線，其斜率為2，又直線l與垂直，∴直線l的斜率為．∵直線l過坐標原點，∴直線l的方程為，即．方案二：選條件②．由題意設(shè)直線l的方程為，令，則，則，即，∴直線l的方程為．方案三：選條件③．由題意設(shè)直線l的方程為，令，則，令，則，∴，解得，∴直線l的方程為．【方法技巧與總結(jié)】求直線的方程的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式．題型八：判斷動直線所過定點例42．(2023·四川眉山·高一期末（理））直線經(jīng)過的定點是______．答案：（－2，－3）【解析】因為，即令，即所以過定點.故答案為:.例43．(2023·全國·高二專題練習(xí)）直線恒過定點（

）A． B． C． D．答案：A【解析】將變形為：，令且，解得，故直線恒過定點故選：A例44．(2023·河南·扶溝縣第二高中高一階段練習(xí)）不論為何實數(shù)，直線恒通過一個定點，這個定點的坐標是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】原方程可化為，由直線恒過定點可知，，解得，所以直線恒過定點故選：B【方法技巧與總結(jié)】合并參數(shù)，另參數(shù)的系數(shù)為零解方程．題型九：直線與坐標軸形成三角形問題例45．(2023·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二期末）已知直線：.(1)已知，若點P到直線的距離為d，求d最大時直線的方程.(2)若直線交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，求面積的最小值.【解析】(1)由變形得，則設(shè)直線過，要使點到直線距離最大，則滿足，，則，直線方程為，即；(2)由題知，，，令得，即，令得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為4.例46．(2023·吉林·長春外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）已知直線.(1)若直線不能過第三象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設(shè)的面積為，求的最小值及此時直線的方程．【解析】(1)由，當(dāng)時，直線的方程為，此時直線不過第三象限，合乎題意；當(dāng)時，在直線的方程中，令，可得，令，可得，若直線不過第三象限，則，解得.綜上所述，.(2)由（1）可知，，又在軸負半軸，在軸正半軸，所以，，可得.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，的最小值為，此時直線的方程.例47．(2023·山東省日照實驗高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線l過點.（1）若直線l在兩坐標軸上截距和為零，求l方程；（2）設(shè)直線l的斜率，直線l與兩坐標軸交點別為，求面積最小值.【解析】（1）因為直線l在兩坐標軸上截距和為零，所以直線l斜率存在且不為，故不妨設(shè)斜率為，則直線l方程為，所以直線在坐標軸上截距分別為，，所以，整理得，解得或所以直線l方程為或.（2）由（1）知，因為，所以面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以面積最小值例48．(2023·全國·高二單元測試）已知直線l過點，與x軸正半軸交于點A?與y軸正半軸交于點B.（1）求面積最小時直線l的方程（其中O為坐標原點）；（2）求的最小值及取得最小值時l的直線方程.【解析】（1）設(shè)l的方程為，由直線過點知，即，由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又知，所以時等號成立，此時l直線的方程為，即面積最小時直線l的方程為.（2）易知直線l的斜率存在，所以可設(shè)直線l的方程為，所以得，，所以，得，等號成立時有k，得，此時直線的方程為，即.故的最小值是24，取最小值時直線l的方程是.例49．(2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.【解析】（1）因為過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A、B，且是等腰直角三角形，所以直線l的傾斜角為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即；（2）設(shè)，，直線l的方程為，代入點可得，若選①：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時直線l的斜率，所以直線l的方程為，即；若選②：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即面積最小為4，此時直線l的斜率，所以直線l的方程為，即.例50．(2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點．(1)當(dāng)取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程；(2)當(dāng)取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程．【解析】（1）根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為,則,直線l過點,,又(當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號),,即,的最小值為8,此時直線l的截距式方程為.（2）由（1）可知,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號).的最小值為4,此時直線l的截距式方程為.例51．(2023·全國·高二課前預(yù)習(xí)）已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別為交于A、B兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為__________，此時的直線方程為__________．答案：

4

【解析】由題可知直線AB斜率為負，故設(shè)直線AB的方程為，令x＝0，則y＝1－2k；令y＝0，則x＝2－，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故當(dāng)時，有最小值4．此時，直線方程為即．故答案為：4；.例52．(2023·重慶一中高一期中）已知點M為直線與直線在第一象限的交點，經(jīng)過點M的直線l分別交x，y軸的正半軸于A，B兩點，O為坐標原點，則當(dāng)取得最小值為時，a的值為________.答案：【解析】由，得，即，在第一象限，則，設(shè)直線方程為，顯然，令得，令得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以最大值為，解得或（舍去）．故答案為：．例53．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點，且與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O是坐標原點，若________，求直線l的方程．試從下列所給的條件中任選一個補充在橫線處，并解答．①；②的面積是6．【解析】選條件①：設(shè)直線l的方程為，由題意可知，得，所以直線l的方程為，即；選條件②：設(shè)直線l的方程為．由題意可得，解得，所以直線l的方程為，即．例54．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】直線可變?yōu)?，所以過定點，又因為直線在兩坐標軸上的截距都是正值，可知，令，所以直線與軸的交點為，令，所以直線與軸的交點為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，所以此時直線為：.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．（2）在求直線方程時，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．題型十：直線方程的實際應(yīng)用例55．(2023·北京十五中高二期中）已知直線均過點P(1，2).(1)若直線過點A(-1，3)，且求直線的方程；(2)如圖，O為坐標原點，若直線的斜率為k，其中，且與y軸交于點N，直線過點，且與x軸交于點M，求直線與兩坐標軸圍成的四邊形PNOM面積的最小值.【解析】(1)因為直線均過點P(1，2)，且直線又過點A(-1，3)，所以，因為，所以，則直線的方程，即；(2)如圖所示：由題意得：直線的方程為：，令，得，即，令，得，即直線與x軸的交點為，直線又過點，所以直線的方程為：，即，令，得，即，所以，，，因為，所以當(dāng)時，PNOM面積的最小值為.例56．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知的頂點，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線的方程為.分別求，邊所在直線的方程.【解析】因為邊上的高所在直線的方程為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以，又直線AC過點，所以邊所在直線方程為，即；因為是中線所在直線方程，所以設(shè)中點，則，所以，因為點B在直線上，所以，解得，所以，因為所在的直線的斜率為，所以邊所在直線方程為，即.例57．(2023·江蘇·高二單元測試）已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標為，，.(1)求平行四邊形ABCD的頂點D的坐標.(2)求邊AB的高所在直線方程.【解析】(1)的頂點，，，則對角線AC中點為.于是得對角線BD的中點是，設(shè)，因此有，，解得：.所以平行四邊形ABCD的頂點.(2)依題意，直線AB的斜率，則邊AB上的高所在直線的斜率為，于是有：，即.所以邊AB上的高所在直線的方程為.例58．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知的三個頂點分別為，，．(1)求的三邊所在直線的方程；(2)求的三條中線所在直線的方程．【解析】(1)由，，知直線的方程為，整理得直線的方程為整理得直線的方程為，整理得(2)的中點坐標為，又所以邊上的中線所在的直線方程為，整理得的中點坐標為，又所以邊上的中線所在的直線方程為，整理得的中點坐標為，又所以邊上的中線所在的直線方程為，整理得例59．(2023·江蘇·高二）已知兩條直線，的斜率分別為，，設(shè)，的夾角（銳角）為．(1)求證：；(2)求直線與直線的夾角．【解析】(1)由題設(shè)，令分別為直線，的傾斜角且，則且，所以，得證.(2)由題設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率，所以，根據(jù)（1）的結(jié)論有，且，故.例60．(2023·重慶第二外國語學(xué)校高二期中）在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3).(1)求BC邊所在直線的一般方程；(2)求BC邊的垂直平分線DE所在直線的一般方程.【解析】(1)因為直線BC經(jīng)過B(2，1)和C(－2，3)兩點，由兩點式得BC的方程為＝，即x＋2y－4＝0.(2)設(shè)BC邊的中點D的坐標為(x，y)，則，，點D的坐標為(0，2)，由（1）知，直線BC的斜率，則BC的垂直平分線DE的斜率，由點斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.例61．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知，y軸為邊中線(1)求邊所在直線方程；(2)求角平分線所在直線方程．【解析】（1）因為，傾斜角為，，設(shè)交y軸于點M，則根據(jù)條件可知為等邊三角形，則，M為中點，則．，故直線方程為．（2）因為，傾斜角為，所以，所以內(nèi)角角平分線斜率為，故內(nèi)角平分線所在直線方程為．例62．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的三頂點是，，，直線平行于，交，分別于，，且、分別是、的中點．求：(1)邊上的高所在直線的方程．(2)直線的方程．【解析】（1）在中，，，，則直線AB的斜率為，于是得邊上的高所在直線斜率為，其方程為：，即，所以邊上的高所在直線的方程是：.（2）因直線平行于，則直線的斜率為，又邊的中點在直線上，于是得直線的方程為：，即，所以直線的方程為.例63．(2023·四川·寧南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知的三個頂點是，，.(1)求邊的高所在直線的方程和邊中線所在直線的方程；(2)若直線過點，且、到直線的距離相等，求直線的方程.【解析】(1)，，直線的方程是，即.

又的中點為，且，邊的中線所在直線的方程是.(2)直線過C點且A、B到直線的距離相等，直線與AB平行或過AB的中點M，①、當(dāng)直線與AB平行時，，直線的方程是，即，②、當(dāng)直線過AB的中點時，AB的中點M的坐標為(0，2)，，直線的方程是，即，綜上，直線的方程是或.【方法技巧與總結(jié)】用坐標法解決生活問題．【同步練習(xí)】一、單選題1．下列說法中錯誤的是（

）A．平面上任意一條直線都可以用一個關(guān)于，的二元一次方程（，不同時為0）表示B．當(dāng)時，方程（，不同時為0）表示的直線過原點C．當(dāng)，，時，方程表示的直線與軸平行D．任何一條直線的一般式方程都能與其他兩種形式互化答案：D【解析】A：因為在平面直角坐標系中，每一條直線都有傾斜角，當(dāng)時，直線的斜率存在，其方程可寫成，它可變形為，與比較，得，，；當(dāng)時，直線的斜率不存在，其方程可寫成，與比較，得，，，顯然，不同時為0，所以A說法正確；B：當(dāng)時，方程（，不同時為0）即，顯然有，即直線過原點，所以B說法正確；C：當(dāng)，，時，方程可化為，它表示的直線與軸平行，所以C說法正確；D：當(dāng)直線平行于坐標軸時一般式不能化為兩點式或點斜式，所以D說法錯誤．故選：D.2．已知點與關(guān)于直線對稱，則a，b的值分別為（

）A．2， B．－2， C．－2， D．2，答案：A【解析】易知，則直線的斜率為-2，所以，即．又AB的中點坐標為，代入，得.故選：A.3．過點P（1，1）作直線l，與兩坐標軸相交所得三角形面積為1，則直線l有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條答案：B【解析】由題意可知，直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，令，解得；令，解得.，化為，即①，②，由于方程①，方程②無解，可得兩個方程共有2個不同的解.因此直線共有2條.故選：B.4．已知直線x＋y＋1＝0與直線2x－my＋3＝0垂直，則m＝（

）A．2 B． C．－2 D．答案：A【解析】∵直線x＋y＋1＝0與直線2x－my＋3＝0垂直，∴，則m＝2，故選：A．5．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點，且，則的歐拉線的方程