3.4實際問題與一元一次方程（第1課時）教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第三章“一元一次方程”3.4實際問題與一元一次方程第1課時，內(nèi)容包括利用一元一次方程分析與解決配套、工程等問題.2.內(nèi)容解析配套問題、工程問題等是實際生活中的常見問題，也是可借助方程模型解決的典型問題之一，并具有一定的代表性.這類問題的背景和表達(dá)都更貼近實際，其中的有些數(shù)量關(guān)系也比較隱蔽．對這些問題的探究可以使學(xué)生進(jìn)一步體驗一元一次方程與實際的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)運(yùn)用一元一次方程分析和解決實際問題的能力.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：配套問題、工程問題的探究過程．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）理解配套問題、工程問題的背景，分清有關(guān)數(shù)量關(guān)系，能正確找出作為列方程依據(jù)的主要等量關(guān)系列方程解決問題.（2）掌握用一元一次方程解決實際問題的基本過程.2.目標(biāo)解析（1）理解問題相關(guān)的概念，能夠找出解決問題所需的關(guān)鍵量，并利用一元一次方程將之求出．（2）經(jīng)歷配套問題、工程問題的探究過程，掌握用一元一次方程解決實際問題的基本過程．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在小學(xué)階段及前面學(xué)習(xí)對列方程解決實際問題雖然有所了解，但是本節(jié)教材所涉及的實際問題的背景和表達(dá)都更加貼近實際，數(shù)量關(guān)系有的比較隱蔽，有的比較抽象，有的則更為復(fù)雜，需要學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗理清、理解，經(jīng)歷探究用一元一次方程解決實際問題的基本過程，進(jìn)而逐步提升他們分析問題、解決問題的能力，有效積累探究、交流、反思等數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會轉(zhuǎn)化化歸和方程模型思想，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：在探究過程中準(zhǔn)確找到題目中隱含的相等關(guān)系．四、教學(xué)過程設(shè)計（一）回顧舊知小學(xué)我們學(xué)過工程問題，請回答下列問題：1.一項工作甲單獨(dú)做需要5天完成，乙單獨(dú)做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，兩人合作3天完成的工作量是，此時剩余的工作量是.；；；．2.一項工作甲單獨(dú)做需要a天完成，乙單獨(dú)做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，兩人合作3天完成的工作量是_________，此時剩余的工作量是_________.；；；．工作量、工作時間、工作效率的關(guān)系：1.工作量=___________×____________；工作時間；工作效率．2.工作時間=___________÷____________；工作量；工作效率．3.工作效率=___________÷____________.工作量；工作時間．（二）新課導(dǎo)入從前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)中已經(jīng)可以看出，方程是分析和解決問題的一種很有用的數(shù)學(xué)工具.從本節(jié)課開始，我們將重點(diǎn)學(xué)習(xí)如何用一元一次方程解決實際問題.生活中，有很多需要進(jìn)行配套的問題，如課桌和凳子、螺釘和螺母、電扇葉片和電機(jī)等，大家能舉出生活中配套問題的例子嗎？（三）典例分析例1：某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個螺釘或2000個螺母.1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？解：設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，(22－x)名工人生產(chǎn)螺母.依題意，得2000(22－x)＝2×1200x.解方程，得x＝10.所以22－x＝12.答：應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母.師生活動：學(xué)生思考，教師適時引導(dǎo)：本題需要我們解決的問題是什么？題目中哪些信息能解決人員安排的問題？螺母和螺釘?shù)臄?shù)量關(guān)系如何？學(xué)生確有困難，教師可提示學(xué)生列出表格．師生歸納：生產(chǎn)調(diào)配問題通常從調(diào)配后各量之間的倍、分關(guān)系尋找相等關(guān)系，建立方程.解決配套問題的思路：1.利用配套問題中物品之間具有的數(shù)量關(guān)系作為列方程的依據(jù)；2.利用配套問題中的套數(shù)不變作為列方程的依據(jù).【設(shè)計意圖】使學(xué)生經(jīng)歷“實際問題——數(shù)學(xué)問題——實際問題”的過程，有助于提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．針對訓(xùn)練：1.如圖，足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，黑皮可看作正五邊形，白皮可看作正六邊形，求白皮，黑皮各多少塊？解：設(shè)足球上黑皮有x塊，則白皮為(32－x)塊，五邊形的邊數(shù)共有5x條，六邊形邊數(shù)有6(32－x)條．依題意，得2×5x=6（32－x）,解得x=12，則32－x=20.答：白皮20塊，黑皮12塊.2.一套儀器由一個A部件和三個B部件構(gòu)成.用1立方米鋼材可做40個A部件或240個B部件.現(xiàn)要用6立方米鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做A部件，多少鋼材做B部件，才能恰好配成這種儀器？共配成多少套？解：設(shè)應(yīng)用x立方米鋼材做A部件，則應(yīng)用(6－x)立方米做B部件.根據(jù)題意，列方程：3×40x=(6－x)×240.解得x=4.則6－x=2.共配成儀器：4×40=160（套）.例2：整理一批圖書，由一個人做要40h完成.現(xiàn)計劃由一部分人先做4h，然后增加2人與他們一起做8h，完成這項工作.假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？解：設(shè)先安排x人做4h，根據(jù)題意得等量關(guān)系：前部分工作總量+后部分工作總量=總工作量1可列方程，解方程，得4x＋8(x＋2)＝40，4x＋8x＋16＝40，12x＝24，x＝2.答：應(yīng)先安排2人做4小時.師生活動：師生共同思考，教師適時點(diǎn)撥，幫助學(xué)生分析：在工程問題中：工作量=人均效率×人數(shù)×?xí)r間；工作總量=各部分工作量之和.【設(shè)計意圖】使學(xué)生經(jīng)歷“實際問題——數(shù)學(xué)問題——實際問題”的過程，有助于提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．針對訓(xùn)練：1.加工某種工件，甲單獨(dú)作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)．問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？解：設(shè)乙需工作x天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)，則甲做了（12－x）天.依題意，得.解得x=8.答：乙需工作8天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù).2.有一批零件加工任務(wù)，甲單獨(dú)做需要40h完成，乙單獨(dú)做需要30h完成.甲做了幾小時后，因另有緊急任務(wù)離開，剩下的任務(wù)由乙單獨(dú)完成，乙比甲多做了2h.求甲做了幾小時？解：設(shè)甲做了xh.依題意，得.解方程，得x＝16.答：甲做了16小時.【設(shè)計意圖】在教師引領(lǐng)完成例題之后，依次給出練習(xí)，使學(xué)生獲得的解題經(jīng)驗得以鞏固，并通過應(yīng)用練習(xí)轉(zhuǎn)化為能力．（四）當(dāng)堂鞏固1.一條地下管線由甲工程隊單獨(dú)鋪設(shè)需要12天，由乙工程隊單獨(dú)鋪設(shè)需要24天.如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，要多少天可以鋪好這條管線？解：設(shè)要x天可以鋪好這條管線，由題意得：.解方程，得x=8.答：要8天可以鋪好這條管線.2.收割一塊水稻田，若每小時收割4畝，預(yù)計若干小時完成，收割后，改用新式農(nóng)機(jī)，工作效率提高到原來的倍，因此比預(yù)計時間提早1小時完成.求這塊水稻田的面積．解：設(shè)這塊水稻田的面積為x畝.依題意，得.解方程，得x＝36.答：這塊水稻田的面積為36畝.【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對建立方程模型解決這些問題的一般方法的掌握．（五）能力提升1.某人一天能加工甲種零件50個或加工乙種零件20個，1個甲種零件與2個乙種零件配成一套，30天制作最多的成套產(chǎn)品，若設(shè)x天制作甲種零件，則可列方程為.2×50x=20(30－x)2.一項工作，甲獨(dú)做需18天，乙獨(dú)做需24天，如果兩人合做8天后，余下的工作再由甲獨(dú)做x天完成，那么所列方程為.3.某家具廠生產(chǎn)一種方桌，1立方米的木材可做50個桌面或300條桌腿，現(xiàn)有10立方米的木材，怎樣分配生產(chǎn)桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿剛好配套，共可生產(chǎn)多少張方桌？（一張方桌有1個桌面，4條桌腿）解：設(shè)用x立方米的木材做桌面，則用(10－x)立方米的木材做桌腿.根據(jù)題意，得4×50x=300(10－x)，解得x=6，所以10－x=4，可做方桌為50×6=300（張）.答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300張方桌.4.一件工作，甲單獨(dú)做20小時完成，乙單獨(dú)做12小時完成，現(xiàn)在先由甲單獨(dú)做4小時，剩下的部分由甲、乙合做.剩下的部分需要幾小時完成？解：設(shè)剩下的部分需要x小時完成，根據(jù)題意得：.解得x=6.答：剩下的部分需要6小時完成.5.一個道路工程，甲隊單獨(dú)施工9天完成，乙隊單獨(dú)做24天完成．現(xiàn)在甲乙兩隊共同施工3天，因甲另有任務(wù)，剩下的工程由乙隊完成，問乙隊還需幾天才能完成？解：設(shè)乙隊還需x天才能完成，由題意得：.解得x=13.答：乙隊還需13天才能完成．【設(shè)計意圖】進(jìn)一步考查學(xué)生對建立方程模型解決此類問題的一般方法的掌握．（六）感受中考1．（2022?南充）《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何．”設(shè)雞有x只，可列方程為（）A．4x＋2(94－x)=35 B．4x＋2(35－x)=94 C．2x＋4(94－x)=35 D．2x＋4(35－x)=94【解答】解：因為上有三十五頭，且雞有x只，所以兔有(35－x)只．依題意得：2x＋4(35－x)=94．故選：D．2.（2分）（2021?北京16/28）某企業(yè)有A，B兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線．在一天內(nèi)，A生產(chǎn)線共加工a噸原材料，加工時間為（4a+1）小時；在一天內(nèi)，B生產(chǎn)線共加工b噸原材料，加工時間為（2b+3）小時．第一天，該企業(yè)將5噸原材料分配到A，B兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時間相同，則分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為．第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給A生產(chǎn)線分配了m噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了n噸原材料．若兩條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則的值為．【解答】解：設(shè)分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5－x）噸，4x+1＝2（5－x）+3，解得：x＝2，所以分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為5－2＝3（噸），所以分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2：3；所以第二天開工時，給A生產(chǎn)線分配了（2+m）噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了（3+n）噸原材料，因為加工時間相同，所以4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3，解得：m=n，所以，故答案為：2：3；．3.（8分）（2019?安徽省17/23）為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負(fù)責(zé)施工．甲工程隊獨(dú)立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進(jìn)26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進(jìn)2米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作多少天？【解答】解：設(shè)甲工程隊每天掘進(jìn)x米，則乙工程隊每天掘進(jìn)（x－2）米，由題意，得2x+（x+x－2）＝26，解得x＝7，所以乙工程隊每天掘進(jìn)5米，（天）答：甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作10天．【設(shè)計意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓(xùn)練，使學(xué)生提前感受中考考什么，進(jìn)一步了解考點(diǎn)．（七）課堂小結(jié)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2.分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，常用的方法是什么？需要注意哪些問題？3.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，嘗試用自己的語言描述，如何建立方程模型來解決實際問題？【設(shè)計意圖】通過問題引領(lǐng)學(xué)生梳理探究過程，歸納用一元一次方程解決實際問題的方法．（八）布置作業(yè)P106：習(xí)題3.4：第4、5題.P107：習(xí)題3.4：第9題.五、教學(xué)反思本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生進(jìn)入中學(xué)后代數(shù)知識學(xué)習(xí)的又一次重要跨越．在前面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)、整式的加減和一元一次方程的解法，對數(shù)的認(rèn)識已經(jīng)由非負(fù)數(shù)有理數(shù)擴(kuò)展到有理數(shù)，知道了用字母可以表示具有一般意義的數(shù)量關(guān)系，掌握了解一元一次方程的一般步驟和基本方法，學(xué)生對代數(shù)知識的學(xué)習(xí)正逐步深入，他們的代數(shù)變形能力正逐步提高．本節(jié)是第三章一元一次方程的最后一節(jié)，是對前面所學(xué)內(nèi)容的綜合運(yùn)用，也是七上教材“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的壓軸內(nèi)容．列方程解決實際問題是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是貫穿本章前后的一條主線．在前面討論一元一次方程解法時，也是先給出實際問題，然后通過設(shè)未知數(shù)列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步驟的．本節(jié)是直接運(yùn)用解一元一次方程的一般步驟與方法解決實際問題．這樣設(shè)計教材，既揭示了學(xué)習(xí)解一元一次方程的必要性，體現(xiàn)了一元一次方程在實際生活中廣泛的應(yīng)用價值，也有利于學(xué)生帶著問題（如何解一