專題4.3應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值（真題測試）一、單選題1．（2008·安徽·高考真題（文））設(shè)函數(shù)則（）A．有最大值 B．有最小值 C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)2．(2023·四川·高考真題（文））已知a為函數(shù)f（x）=x3–12x的極小值點，則a=（）A．–4 B．–2 C．4 D．23．(2023·陜西·高考真題（文））設(shè)函數(shù)f（x）=+lnx，則（）A．x=為f(x)的極大值點 B．x=為f(x)的極小值點C．x=2為f(x)的極大值點 D．x=2為f(x)的極小值點4．(2023·全國·高考真題（文））已知函數(shù)f(x)=,下列結(jié)論中錯誤的是（）A．,f()=0B．函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對稱圖形C．若是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間（-∞,）單調(diào)遞減D．若是f（x）的極值點，則()=05．(2023·遼寧·高考真題（理））設(shè)函數(shù)滿足則時，（）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值6．(2023·全國·高考真題（文））函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．7.（2023·廣西南寧·高三模擬預(yù)測（理））某制藥公司生產(chǎn)某種膠囊，其中膠囊中間部分為圓柱，且圓柱高為l，左右兩端均為半球形，其半徑為r，若其表面積為S，則膠囊的體積V取最大值時()A． B． C． D．8．(2023·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（湖北省十堰市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末）已知函數(shù)，若，為的兩個不同的極值點，則實數(shù)a的取值可能是（

）．A． B． C．3 D．410．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為，是的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是（

）A．， B．是的極大值點C．是的極小值點 D．是的極小值點11．(2023·山東·模擬預(yù)測）已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．有最大值 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最大值412．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若是函數(shù)的極值點，則B．若是函數(shù)的極值點，則在上的最小值為C．若在上單調(diào)遞減，則D．若在上恒成立，則三、填空題13．(2023·湖北·荊州中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)是函數(shù)的一個極值點，則與的關(guān)系為________．14．(2023·江蘇·高考真題）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為__________．15．(2023·全國·高考真題（理））已知函數(shù)，則的最小值是_____________．16．(2023·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））若存在實數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有相同的切線，且相同切線的斜率為，則實數(shù)的最大值為_________．四、解答題17．(2023·北京·清華附中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)求證:函數(shù)存在最小值.18．(2023·江西·高考真題（文））已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，(Ⅰ)求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)，求在上的最大值和最小值19.(2023·北京·高考真題（文））已知函數(shù)，（），（1）若曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a,b的值（2）當時，若函數(shù)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍20．(2023·湖南·高考真題（文））設(shè)函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點和，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．21．(2023·山東·高考真題（理））已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.22．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．專題4.3應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值（真題測試）一、單選題1．（2008·安徽·高考真題（文））設(shè)函數(shù)則（）A．有最大值 B．有最小值 C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)答案：A【解析】【詳解】，則．當時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減．所以在處取到極大值，故選A2．(2023·四川·高考真題（文））已知a為函數(shù)f（x）=x3–12x的極小值點，則a=（）A．–4 B．–2 C．4 D．2答案：D【解析】【詳解】試題分析：，令得或，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值點為2，即，故選D.3．(2023·陜西·高考真題（文））設(shè)函數(shù)f（x）=+lnx，則（）A．x=為f(x)的極大值點 B．x=為f(x)的極小值點C．x=2為f(x)的極大值點 D．x=2為f(x)的極小值點答案：D【解析】【詳解】，由得，又函數(shù)定義域為，當時，，遞減，當時，，遞增，因此是函數(shù)的極小值點．故選D．4．(2023·全國·高考真題（文））已知函數(shù)f(x)=,下列結(jié)論中錯誤的是（）A．,f()=0B．函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對稱圖形C．若是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間（-∞,）單調(diào)遞減D．若是f（x）的極值點，則()=0答案：C【解析】【詳解】試題分析：由于三次函數(shù)的三次項系數(shù)為正值，當x→－∞時，函數(shù)值→－∞，當x→＋∞時，函數(shù)值也→＋∞，又三次函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，故一定穿過x軸，即一定?x0∈R，f(x0)＝0，選項A中的結(jié)論正確；函數(shù)f(x)的解析式可以通過配方的方法化為形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通過平移函數(shù)圖象，函數(shù)的解析式可以化為y＝x3＋nx的形式，這是一個奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標原點對稱，故函數(shù)f(x)的圖象是中心對稱圖形，選項B中的結(jié)論正確；由于三次函數(shù)的三次項系數(shù)為正值，故函數(shù)如果存在極值點x1，x2，則極小值點x2＞x1，即函數(shù)在－∞到極小值點的區(qū)間上是先遞增后遞減的，所以選項C中的結(jié)論錯誤；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，顯然選項D中的結(jié)論正確.5．(2023·遼寧·高考真題（理））設(shè)函數(shù)滿足則時，（）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值答案：D【解析】【詳解】函數(shù)滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.6．(2023·全國·高考真題（文））函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D7.（2023·廣西南寧·高三模擬預(yù)測（理））某制藥公司生產(chǎn)某種膠囊，其中膠囊中間部分為圓柱，且圓柱高為l，左右兩端均為半球形，其半徑為r，若其表面積為S，則膠囊的體積V取最大值時()A． B． C． D．答案：A分析：由圓柱和球的表面積公式將l用r和S表示出來，再代入圓柱體積和球體積公式，表示出膠囊的體積V，利用求導(dǎo)求出V的最大值及此時r的值.【詳解】依題意，，故，當時，，取最大值．故選：A8．(2023·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當時，，當時，，所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.二、多選題9．（湖北省十堰市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末）已知函數(shù)，若，為的兩個不同的極值點，則實數(shù)a的取值可能是（

）．A． B． C．3 D．4答案：AD【解析】分析：求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點數(shù)確定參數(shù)a.【詳解】，因為有兩個不同的極值點，所以，解得或；故選：AD.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為，是的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是（

）A．， B．是的極大值點C．是的極小值點 D．是的極小值點答案：BD【解析】分析：根據(jù)極值的定義、極值的性質(zhì)和圖象變換逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對A.是的極大值點，并不是最小值點，故A不正確；對B.相當于關(guān)于軸的對稱圖象，故應(yīng)是的極大值點，故B正確；對C.相當于關(guān)于軸的對稱圖象，故應(yīng)是的極小值點，跟沒有關(guān)系，故C不正確；對D.相當于先關(guān)于軸的對稱，再關(guān)于軸的對稱圖象.故D正確.故選：BD.11．(2023·山東·模擬預(yù)測）已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．有最大值 B．有最小值3 C．有最小值 D．有最大值4答案：BD【解析】分析：對于A,直接由基本不等式求得，即可判斷A；對于B，將代入中，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對于C,將變形為，展開后，利用基本不等式即可判斷；對于D,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，即可判斷.【詳解】對于A選項，因為，且，所以由可得，當且僅當時等號成立，.故A錯誤；對于B選項，由，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C選項，因為所以，當且僅當即時等號成立，故C錯誤對于D選項，因為，令，解得或（舍），令，解得，令，解得，故，此時，故D正確故選：BD12．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若是函數(shù)的極值點，則B．若是函數(shù)的極值點，則在上的最小值為C．若在上單調(diào)遞減，則D．若在上恒成立，則答案：ABC【解析】分析：對于A，由可求出的值，對于B，由選項A，可求得，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出在上的最小值，對于C，由題意可得，可求出的范圍，對于D，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可【詳解】對于A，由，得，因為是函數(shù)的極值點，所以，得，經(jīng)檢驗是函數(shù)的極小值點，所以A正確，對于B，由選項A，可知，則，由，得或，由，得，所以在和遞增，在上遞減，所以當時，時，取得最小值，所以B正確，對于C，因為在上單調(diào)遞減，所以，即，得在上恒成立，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以C正確，對于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以上單調(diào)遞增，所以，所以，所以D錯誤，故選：ABC三、填空題13．(2023·湖北·荊州中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)是函數(shù)的一個極值點，則與的關(guān)系為________．答案：【解析】分析：利用求解即可.【詳解】解：因為，所以，又因為是極值點，所以，即：2a+b=-3.又因為，所以，故答案為：14．(2023·江蘇·高考真題）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為__________．答案：.【解析】【詳解】分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個零點的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果.詳解：由得，因為函數(shù)在上有且僅有一個零點且，所以，因此從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，15．(2023·全國·高考真題（理））已知函數(shù)，則的最小值是_____________．答案：【解析】【詳解】分析：首先對函數(shù)進行求導(dǎo)，化簡求得，從而確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，減區(qū)間為，增區(qū)間為，確定出函數(shù)的最小值點，從而求得代入求得函數(shù)的最小值.詳解：，所以當時函數(shù)單調(diào)減，當時函數(shù)單調(diào)增，從而得到函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，所以當時，函數(shù)取得最小值，此時，所以fxmin=2×(?32)?32=?3316．(2023·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））若存在實數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有相同的切線，且相同切線的斜率為，則實數(shù)的最大值為_________．答案：.【解析】分析：分別設(shè)出兩個函數(shù)與的切點為與，再分別求出導(dǎo)函數(shù)，由公切線的斜率求出的切點坐標進而求出切線方程，再由公切線斜率求出的切點橫坐標與的關(guān)系，函數(shù)的切點即為，代入公切線中化簡得，求的最大值，即可求出答案.【詳解】設(shè)函數(shù)的切點為，函數(shù)的切點為分別對函數(shù)進行求導(dǎo)，，由相同切線的斜率為，得故切線方程為故函數(shù)的切點為.把切點代入中得令，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增當時，，函數(shù)單調(diào)遞減故故實數(shù)的最大值為故答案為：.四、解答題17．(2023·北京·清華附中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)求證:函數(shù)存在最小值.答案：(1)(2)證明見解析【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到切線的斜率，從而得到切線方程；（2）首先求出導(dǎo)函數(shù)，當時令，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可得到的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，當時可得，即可求出的最小值，從而得證；(1)解：當時，，則，所以，又，所以切線方程為；(2)證明：因為，，所以，①當時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，且，，所以存在，使得，即當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，②當時，因為，所以恒成立，且當時等號成立，所以，綜上可得函數(shù)存在最小值；18．(2023·江西·高考真題（文））已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，(Ⅰ)求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)，求在上的最大值和最小值答案：：（Ⅰ）（Ⅱ）（i）當時，在上取得最小值，在上取得最大值當時，在取得最大值，在取得最小值當時，在取得最小值在取得最大值當時，在取得最小值當時，在取得最小值【解析】【詳解】：（Ⅰ）由，得則，依題意須對于任意，有當時，因為二次函數(shù)的圖像開口向上，而，所以須，即當時，對任意有，符合條件；當時，對于任意，，符合條件；當時，因，不符合條件，故的取值范圍為（Ⅱ）因（i）當時，，在上取得最小值，在上取得最大值（ii）當時，對于任意有，在取得最大值，在取得最小值（iii）當時，由得①若，即時，在上單調(diào)遞增，在取得最小值在取得最大值②若，即時，在取得最大值，在或取得最小值，而，則當時，在取得最小值當時，在取得最小值19.(2023·北京·高考真題（文））已知函數(shù)，（），（1）若曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a,b的值（2）當時，若函數(shù)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍答案：【解析】【詳解】試題分析：（1）求a,b的值,根據(jù)曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，可知切點處的函數(shù)值相等，切點處的斜率相等，列方程組,即可求出的值；（2）求k的取值范圍．,先求出的解析式,由已知時，設(shè),求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的極值點，進而可得時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；時，函數(shù)在在區(qū)間上的最大值小于，由此可得結(jié)論．試題解析：（1）,因為曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，所以,所以;（2）當時，，，，令，則，令，得，所以在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中為極大值，所以如果在區(qū)間最大值為，即區(qū)間包含極大值點，所以．20．(2023·湖南·高考真題（文））設(shè)函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點和，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．答案：（1）答案見解析：（2）不存在【解析】【詳解】（1）定義域為，，令，①當時，，，故在上單調(diào)遞增，②當時，，的兩根都小于零，在上，，故在上單調(diào)遞增，③當時，，的兩根為，當時，；當時，；當時，；故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，，因為.所以,又由（1）知，，于是，若存在，使得，則，即，亦即（）再由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以，這與（）式矛盾，故不存在，使得.21．(2023·山東·高考真題（理））已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)得斜率，由點斜式寫出直線方程.（Ⅱ）寫出函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得到，由于的正負與的取值有關(guān)，故可令，通過應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，明確其正負.然后分和兩種情況討論極值情況即可.試題解析：（Ⅰ）由題意又，所以，因此

曲線在點處的切線方程為，即

.（Ⅱ）由題意得

，因為，令則所以在上單調(diào)遞增.因為所以當時，當時，(1)當時，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時取得極小值，極小值是；(2)當時，由得，①當時，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以當時取得極大值.極大值為，當時取到極小值，極小值是；②當時，，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；③當時，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以當時取得極大值，極大值是；當時取得極小值.極小值是.綜