7.5正態(tài)分布1.通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.2.理解正態(tài)曲線的特點(diǎn)，明確正態(tài)分布中參數(shù)μ，σ的意義及其對(duì)正態(tài)曲線形狀的影響.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解正態(tài)分布的特征，能夠利用正態(tài)曲線分析實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝__________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù).顯然對(duì)于任意x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為

.我們稱f(x)為

，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱

.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從

，記為X～

N(μ，σ2)，特別地，當(dāng)μ＝0，

時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.1正態(tài)密度函數(shù)正態(tài)曲線正態(tài)分布σ＝12.正態(tài)曲線的特點(diǎn)x＝μ若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝

____，D(X)＝______.3.正態(tài)分布的期望與方差μσ24.正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________________；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________________；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________________.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.0.68270.95450.9973點(diǎn)睛(1)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(即μ決定正態(tài)曲線對(duì)稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點(diǎn)；(2)正態(tài)曲線始終位于x軸上方，且與x軸所圍成的圖形面積為1；(3)σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：σ越大，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng)，所以曲線越“瘦”.

1.思考辨析，判斷正誤×提示

函數(shù)中σ的意義為標(biāo)準(zhǔn)差.(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的.(

)提示

正態(tài)曲線與x軸圍成的面積為定值1.×1.思考辨析，判斷正誤×提示

函數(shù)中σ的意義為標(biāo)準(zhǔn)差.(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的.(

)提示

正態(tài)曲線與x軸圍成的面積為定值1.×(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱.(

)(4)正態(tài)分布定義中的式子實(shí)際上是指隨機(jī)變量X的取值在區(qū)間[a，b]上的概率等于正態(tài)曲線與直線x＝a，x＝b以及x軸所圍成的封閉圖形的面積.(

)√√C3.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2),且P(X≤c)＝P(X＞c),則c等于(

) A.0 B.σ C.－μ D.μD解析由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c為對(duì)稱軸，又由X～N(μ，σ2)知對(duì)稱軸為x＝μ，故c＝μ.4.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c等于__________.2解析∵X～N(2，9)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，課堂互動(dòng)題型剖析2課堂互動(dòng)題型剖析2題型一正態(tài)曲線的應(yīng)用【例1】如圖所示是一個(gè)正態(tài)分布的圖象，試根據(jù)該圖象寫(xiě)出正態(tài)密度函數(shù)的解析式，求出隨機(jī)變量總體的均值和方差.思維升華解由于該正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，【例2】設(shè)X～N(1，22)，試求： (1)P(－1≤X≤3)；題型二利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率解∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(3≤X≤5).解∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，【遷移1】

(變換所求)例2條件不變，求P(X≥5).【遷移2】

(變換條件)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，則P(0＜X＜2)＝(

) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2C解析∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，對(duì)稱軸是x＝2.∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2，∴P(0＜X＜4)＝0.6.∴P(0＜X＜2)＝0.3.故選C.利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)對(duì)稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱的區(qū)間概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解.思維升華【訓(xùn)練2】

設(shè)X～N(1，1)，試求： (1)P(0<X≤2)；解∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1.P(0<X≤2)＝P(1－1<X≤1＋1)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(2<X≤3)；解∵P(2<X≤3)＝P(－1<X≤0)，(3)P(X≥3).解∵P(X≥3)＝P(X≤－1)，【例3】某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4，0.52).質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查1件，測(cè)得它的外直徑為5.7cm，試問(wèn)：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？題型三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用解由于外直徑X～N(4，0.52)，則X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]，即[2.5，5.5]之內(nèi)取值的概率為0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率為0.0027，而5.7?[2.5，5.5]，這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為這批零件是不合格的.解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格.判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.思維升華【訓(xùn)練3】在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80，52)，現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?0～85分的有17人，則該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人？

解∵成績(jī)服從正態(tài)分布N(80，52)， ∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85. ∴成績(jī)?cè)赱75，85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.27%，成績(jī)?cè)赱80，85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34.135%.

設(shè)該班有x名同學(xué)，則x·34.135%＝17，解得x≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，即有50×2.275%≈1(人)，即成績(jī)?cè)?0分以上的僅有1人.1.牢記4個(gè)知識(shí)點(diǎn) (1)正態(tài)曲線的概念； (2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)； (3)正態(tài)分布的期望與方差； (4)正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率.2.掌握3種方法 (1)利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的方法； (2)利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求概率的方法； (3)利用“3σ”法求正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的方法.3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

正態(tài)曲線，并非都關(guān)于y軸對(duì)稱，只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線才關(guān)于y軸對(duì)稱.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，則P(0≤X≤1)＝(

) A.0.85 B.0.70 C.0.35 D.0.15C解析P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.2.某廠生產(chǎn)的零件外徑X～N(10，0.04)，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件，測(cè)得其外徑分別為9.9cm，9.3cm，則可認(rèn)為(

) A.上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常 B.上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常 C.上午、下午生產(chǎn)情況均正常 D.上午、下午生產(chǎn)情況均異常

解析因測(cè)量值X為隨機(jī)變量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，

記I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4，10.6]，則9.9∈I，9.3?I.故選A.A3.設(shè)隨機(jī)變量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，則實(shí)數(shù)a的值為(

) A.3 B.4 C.5 D.6

解析因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性(對(duì)稱軸是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.B4.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(

)C附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.A.2386 B.2718 C.3414 D.4772解析由P(－1≤X≤1)≈0.6827，得P(0<X≤1)≈0.34135，則陰影部分的面積為0.34135，故估計(jì)落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10000×0.34135≈3414.5.設(shè)X～N(1，σ2)，其正態(tài)密度曲線如圖所示，且P(X≥3)＝0.02275，那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲20000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(

)B附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.A.12076 B.13173C.14056 D.7539解析由題意得，P(X≤－1)＝P(X

≥3)≈0.02275，∴P(－1<X<3)≈1－0.02275×2＝0.9545.∵P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，故估計(jì)落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為20000×(1－0.34135)＝13173.二、填空題6.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，則P(X<2)＝__________.7.設(shè)隨機(jī)變量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，則P(2<X<4)＝__________.1－2p即P(2<X<4)＝2P(3<X<4)＝1－2p.8.某市有48000名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10，從理論上講，在80分到90分之間有__________人.16385三、解答題9.設(shè)X～N(3，42)，試求： (1)P(－1≤X≤7)；解∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4.P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(7≤X≤11)；解∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，(3)P(X＞11).解∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，10.某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達(dá)時(shí)間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5，1)；第二條路線較長(zhǎng)但不擁擠，到達(dá)時(shí)間X服從N(6，0.16).若有一天他出發(fā)時(shí)離點(diǎn)名時(shí)間還有7分鐘，問(wèn)他應(yīng)選哪一條路線？若離點(diǎn)名時(shí)間還有6.5分鐘，問(wèn)他應(yīng)選哪一條路線？

解還有7分鐘時(shí)：

若選第一條路線，即X～N(5，1)，能及時(shí)到達(dá)的概率若選第二條路線，即X～N(6，0.16)，能及時(shí)到達(dá)的概率因?yàn)镻1<P2，所以應(yīng)選第二條路線.同理，還有6.5分鐘時(shí)，應(yīng)選第一條路線.A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)>P(X≤σ1)C.對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)>P(Y≤t)D.對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)>P(Y≥t)BC解析由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A錯(cuò)；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B正確；當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí)，由題圖可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)<P(Y≥t)，故C正確，D錯(cuò).10.135913.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：14.某市教育局為了了解高三學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試(滿分為100分)，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)X服從正態(tài)分布N(80，σ2)，已知P(X<75)＝0.3，P(X>95)＝0.1，現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位同學(xué). (1)求抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間(80，85)，(85，95)，(95，100)內(nèi)各有一位同學(xué)的概率；解P(80<X<85)＝0.5－P(X<75)＝0.2，P(85<X<95)＝0.5－0