4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用重點(diǎn)題型二：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)重點(diǎn)題型三：分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和重點(diǎn)題型四：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和重點(diǎn)題型五：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題重點(diǎn)題型六：等比數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識點(diǎn)一：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式若等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,則它的前項(xiàng)和知識點(diǎn)二:等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,關(guān)于的性質(zhì)?？嫉挠幸韵滤念?(1)數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列(2)當(dāng)是偶數(shù)時(shí),當(dāng)是奇數(shù)時(shí),(3)知識點(diǎn)三：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和的方法叫做錯(cuò)位相減法,一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的積所構(gòu)成的數(shù)列的前項(xiàng)和.第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．2．(2023·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高一期末）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．3．(2023·吉林·東北師大附中高二階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人第一天走的路程是（

）A．86里 B．172里 C．96里 D．192里4．(2023·上海市復(fù)興高級中學(xué)高一期末）已知等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為；則____________．5．(2023·福建·廈門一中模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______．第四部分：第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用典型例題例題1．(2023·甘肅白銀·高三開學(xué)考試（文））設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．128 B．127 C．64 D．63例題2．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)球從高度處自由落下，每次著地后又跳回到原來的再落下，當(dāng)它第5次著地時(shí)共經(jīng)過的路程是（

）A． B．C． D．例題3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A． B．C． D．例題4．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和．同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．2．（多選）(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，設(shè)其公比為，前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知公比大于的等比數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求.4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知公差為正的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.重點(diǎn)題型二：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)典型例題例題1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，已知，，則等于（

）A． B．C． D．例題2．(2023·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B． C． D．例題3．(2023·全國·高二）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值是（

）A． B． C． D．4例題4．(2023·全國·高二）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（

）A． B．2 C． D．例題5．(2023·山東聊城一中高三期末）已知等比數(shù)列的公比，且，則___________.同類題型歸類練1．(2023·遼寧·高二期中）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或122．(2023·全國·高三專題練習(xí)）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．12 B．18 C．21 D．273．(2023·全國·高二學(xué)業(yè)考試）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（

）A． B．C． D．4．(2023·湖北十堰·高二階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則，的等差中項(xiàng)為__________.5．(2023·江西·南昌十中模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為_______6．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比________.重點(diǎn)題型三：分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和典型例題例題1．(2023·四川·射洪中學(xué)高二開學(xué)考試）已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列，，又，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．(2023·江蘇·高三開學(xué)考試）從①，②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.已知數(shù)列滿足，______.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：若選兩個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.同類題型歸類練1．(2023·四川·成都七中高三開學(xué)考試（理））已知公差d不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．(2023·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知公差不為0的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和重點(diǎn)題型四：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和典型例題例題1．(2023·寧夏吳忠·高一期中）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．(2023·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題3．(2023·山東·高三開學(xué)考試）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.同類題型歸類練1．(2023·河南大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，（且）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．(2023·湖南衡陽·高二期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與18的等差中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.重點(diǎn)題型五：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題典型例題例題1．(2023·全國·高二單元測試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，成等差數(shù)列，求．例題2．(2023·江蘇南通·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)（i）求證：；（ii）求所有滿足的正整數(shù)，.同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2．(2023·四川省隆昌市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已如數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，且成等差數(shù)列.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.重點(diǎn)題型六：等比數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用典型例題例題1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的，明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學(xué)新說》提出了十二平均律的理論十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為，則依此規(guī)則，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．插入的第8個(gè)數(shù)為 B．插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的倍C． D．例題2．(2023·安徽滁州·高二期末）我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織出的布都是前一天的倍，已知她天共織布尺，問這女子每天織布多少？”這個(gè)問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究．某數(shù)學(xué)愛好者對于這道題作了以下改編：有甲、乙兩位女子，需要合作織出尺布．兩人第一天都織出一尺，以后幾天中，甲女子每天織出的布都是前一天的倍，乙女子每天織出的布都比前一天多半尺，則兩人完成織布任務(wù)至少需要（

）A．天 B．天 C．天 D．天例題3．(2023·安徽省宣城中學(xué)高二期末）我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇？這個(gè)問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為10尺，則在第（

）天墻才能被打穿？A．3 B．4 C．5 D．6例題4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）畢達(dá)哥拉斯樹是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹，所以被成為畢達(dá)哥拉斯樹，也叫“勾股樹”.畢達(dá)哥拉斯樹的生長方式如下：以邊長為的正方形的一邊作為斜邊，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形，得到個(gè)新的小正方形，實(shí)現(xiàn)了一次生長，再將這兩個(gè)小正方形各按照上述方式生長，如此重復(fù)下去，設(shè)第次生長得到的小正方形的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.第五部分：高第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)1．(2023·全國·高考真題（文））已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．32．（2023·全國·高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．103．(2023·湖南·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，為前100項(xiàng)和，下列說法正確的是（

）A．B．C．D．4．(2023·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．5．(2023·四川巴中·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用重點(diǎn)題型二：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)重點(diǎn)題型三：分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和重點(diǎn)題型四：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和重點(diǎn)題型五：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題重點(diǎn)題型六：等比數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識點(diǎn)一：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式若等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,則它的前項(xiàng)和知識點(diǎn)二:等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,關(guān)于的性質(zhì)常考的有以下四類:(1)數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列(2)當(dāng)是偶數(shù)時(shí),當(dāng)是奇數(shù)時(shí),(3)知識點(diǎn)三：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和的方法叫做錯(cuò)位相減法,一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的積所構(gòu)成的數(shù)列的前項(xiàng)和.第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】解：由題意得：設(shè)的公差為又又，故選：D2．(2023·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高一期末）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列為等比數(shù)列，公比，所以，解得：，所以故選：D3．(2023·吉林·東北師大附中高二階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人第一天走的路程是（

）A．86里 B．172里 C．96里 D．192里答案：D【詳解】設(shè)此人第天走的路程為，，所以此人每天走的路程可形成等比數(shù)列，依題可知，公比為，所以，解得，．故選：D．4．(2023·上海市復(fù)興高級中學(xué)高一期末）已知等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為；則____________．答案：【詳解】由已知得，故答案為：.5．(2023·福建·廈門一中模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______．答案：【詳解】由已知條件得，解得，∴；故答案為：.第四部分：第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用典型例題例題1．(2023·甘肅白銀·高三開學(xué)考試（文））設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．128 B．127 C．64 D．63答案：D【詳解】由，解得，所以公比，所以．故選：D例題2．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)球從高度處自由落下，每次著地后又跳回到原來的再落下，當(dāng)它第5次著地時(shí)共經(jīng)過的路程是（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】解：由題設(shè)知當(dāng)小球5次著地時(shí)共經(jīng)過的米數(shù)：．故選：D．例題3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故選：A例題4．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：【詳解】對于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也符合，所以.所以.由于，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和.同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴．故選:D．2．（多選）(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，設(shè)其公比為，前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．答案：ABD【詳解】因?yàn)?，所以，即，解得或，又，所以，所以A正確；數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以B正確；，所以C不正確；由，得，，所以，所以D正確．故選:ABD3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知公比大于的等比數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求.答案：(1)(2)（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，，整理可得，因?yàn)?，則，.（2）解：因?yàn)?，且，所以，?shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，因此，.4．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知公差為正的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)(2)（1）由為正項(xiàng)等差數(shù)列，，得，則，又構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），所以；（2）由（1）知，所以，又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和重點(diǎn)題型二：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)典型例題例題1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，已知，，則等于（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】因?yàn)?，且也成等比?shù)列，因?yàn)?，，所以，所?，-1，S9-S6成等比數(shù)列，所以8(S9-S6)=1，即，所以.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.例題2．(2023·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】因?yàn)榍覟榈缺葦?shù)列，故為等比數(shù)列，故，解得，故選：B.例題3．(2023·全國·高二）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值是（

）A． B． C． D．4答案：B【詳解】解：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：成等比數(shù)列，且公比不為-1即成等比數(shù)列，，，.故選：B.例題4．(2023·全國·高二）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（

）A． B．2 C． D．答案：C【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，即前10項(xiàng)分別為，所以數(shù)列的前10項(xiàng)中，，所以，故選：C．例題5．(2023·山東聊城一中高三期末）已知等比數(shù)列的公比，且，則___________.答案：120【詳解】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則，所以.故答案為：120同類題型歸類練1．(2023·遼寧·高二期中）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12答案：A【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，成等比數(shù)列，因?yàn)椋?，所以，解得或，因?yàn)?，所以，則．故選：A2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．12 B．18 C．21 D．27答案：C【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C.3．(2023·全國·高二學(xué)業(yè)考試）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（

）A． B．C． D．答案：C【詳解】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，所以，，因?yàn)椋傻?，因此?故選：C.4．(2023·湖北十堰·高二階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則，的等差中項(xiàng)為__________.答案：##【詳解】設(shè)，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，，成等比數(shù)列.因?yàn)椋?，所以，解得或（舍去?所以，的等差中項(xiàng)為.故答案為：.5．(2023·江西·南昌十中模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為_______答案：【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.若，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不合乎題意，所以，，由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可知，、、、成等比數(shù)列，且公比為，所以，，，因此，.故答案為：.6．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比________.答案：2【詳解】由題意,設(shè)奇數(shù)項(xiàng)的和為,偶數(shù)項(xiàng)的和為,得故公比故答案為2重點(diǎn)題型三：分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和典型例題例題1．(2023·四川·射洪中學(xué)高二開學(xué)考試）已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列，，又，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)(2)（1）∵為各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列，設(shè)的公差為，，且，，成等比數(shù)列.所以，解得，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.記，，則，.故數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．(2023·江蘇·高三開學(xué)考試）從①，②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.已知數(shù)列滿足，______.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：若選兩個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.答案：(1)選①，；選②，(2)（1）選①，由及，可知，所以，當(dāng)時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，適合上式，故.選②，由，得，所以為等差數(shù)列，由，，得該數(shù)列的公差，所以.（2），∴，則，∴.同類題型歸類練1．(2023·四川·成都七中高三開學(xué)考試（理））已知公差d不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.答案：(1)；(2).（1）由題設(shè)，則，即，所以，而，易得，則，故.（2）由（1）知：，則，所以.2．(2023·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知公差不為0的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和答案：(1)；(2)（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所以的通?xiàng)公式為；（2）因?yàn)椋灾攸c(diǎn)題型四：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和典型例題例題1．(2023·寧夏吳忠·高一期中）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：（1）；（2）.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，由得：，所以.由，得到所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由條件知，又將以上兩式相減得所以.例題2．(2023·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：（1）；（2）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減可得，，解得，易知也符合上式，綜上所述，，.（2）依題意：，下面先求數(shù)列的前項(xiàng)和；，，兩式相減可得，，即所以，化簡可得，，故.例題3．(2023·山東·高三開學(xué)考試）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)(2)（1）解：因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以.（2）解：由（1）可知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，所以，所以，所以.同類題型歸類練1．(2023·河南大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，（且）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：（1）證明過程詳見解析，；（2）【詳解】（1）由兩邊除以，化簡得，則數(shù)列為等差數(shù)列.其首項(xiàng)為，公差為，故，所以.（2）由于，所以，，兩式相減得，化簡得.2．(2023·湖南衡陽·高二期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與18的等差中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)(2)(1)由解得所以的公比故(2)由（1）可知，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為則，兩式相減得故.重點(diǎn)題型五：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題典型例題例題1．(2023·全國·高二單元測試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，成等差數(shù)列，求．答案：(1)(2)（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿足，故.（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即①.因?yàn)椋寓?由①②及，可得.所以例題2．(2023·江蘇南通·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)（i）求證：；（ii）求所有滿足的正整數(shù)，.答案：(1)，；(2)（i）證明見解析；（ii）或.（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因，，則，解得，即有，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，即，所以數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，.（2）（i）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是遞減的，恒有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是遞增的，恒有，又，，即，所以，.（ii）由（i）知，，當(dāng)時(shí)，，若，則，解得，即有，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，即，無整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以或.同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.答案：(1)(2)（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，所以d=2，所以.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?所以，所以q=3，所以.（2）由（1）知，，所以，所以，①則,②①-②得，，所以.2．(2023·四川省隆昌市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已如數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，且成等差數(shù)列.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.答案：(1)證明見解析(2)證明見解析（1），因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知.一方面，；另一方面，是遞增數(shù)列，所以.綜上所述，.重點(diǎn)題型六：等比數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用典型例題例題1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的，明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學(xué)新說》提出了十二平均律的理論十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為，則依此規(guī)則，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．插入的第8個(gè)數(shù)為 B．插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的倍C． D．答案：D【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為,公比為q,則,故.對于A：插入的第8個(gè)數(shù)為.故A正確；對于B：插入的第5個(gè)數(shù)為，插入的第1個(gè)數(shù)為，所以.故B正確；對于C：.要證，即證，即證，即證，即證，而成立，故C正確；對于D：.因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以故D錯(cuò)誤.故選：D例題2．(2023·安徽滁州·高二期末）我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織出的布都是前一天的倍，已知她天共織布尺，問這女子每天織布多少？”這個(gè)問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究．某數(shù)學(xué)愛好者對于這道題作了以下改編：有甲、乙兩位女子，需要合作織出尺布．兩人第一天都織出一尺，以后幾天中，甲女子每天織出的布都是前一天的倍，乙女子每天織出的布都比前一天多半尺，則兩人完成織布任務(wù)至少需要（

）A．天 B．天 C．天 D．天答案：D【詳解】解：設(shè)甲，乙每天織布分別記為數(shù)列，，由題意得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，而，故的解為,故至少需要5天，故選：D．例題3．(2023·安徽省宣城中學(xué)高二期末）我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一