初中函數(shù)達標測試卷~

選擇題(共2小題)

1.(1999?杭州)二次函數(shù)y=2x(x-3)的二次項系數(shù)與一次項系數(shù)的和為()

A.2B.-2C.-1D.-4

D.x>0

二.填空題(共3小題)

3.如圖，在同一坐標系內(nèi)，二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸分別交于點A(-1,0),點B(2,0)和點C(0,4),一

次函數(shù)的圖象與拋物線交于B,C兩點.

(1)二次函數(shù)的解析式為:

(2)當(dāng)自變量x時，兩函數(shù)的函數(shù)值都隨x增大而減??；

(3)當(dāng)自變量x____________時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值.

4.一次函數(shù)y=-1x+l的圖象與x軸的交點坐標是,與y軸的交點坐標是.

5.一次函數(shù)y=(3-k)x+k-5的圖象不過第一象限，則整數(shù)k=.

三.解答題(共20小題)

6.如圖，直線h的解析表達式為y=-3x+3,且h與x軸交于點D,直線b經(jīng)過點A、B,直線b交于點C.

(1)求直線12的解析表達式；

(2)求4ADC的面積.

7.（2012?珠海）某商店第一次用600元購進2B鉛筆若干支，第二次又用600元購進該款鉛筆，但這次每支的進價

是第?次進價的三倍，購進數(shù)量比第一次少了30支.

4

（1）求第一次每支鉛筆的進價是多少元？

（2）若要求這兩次購進的鉛筆按同一價格全部銷售完畢后獲利不低于420元，問每支售價至少是多少元？

8.問題背景：”在aABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為遙、行i、后，求這個三角形的面積.”

小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）,再在網(wǎng)絡(luò)中畫出格點4ABC（即

△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），

（1）如圖所示.這樣不需求aABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積是.

（2）如圖我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法.若4DCE三邊的長分別為行而1、V9m2+4n2'V4m2+4n2

10.如圖

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)圖象寫出反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值x的取值范圍.

11.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-2,1）和（4,4）

（1）求一次函數(shù)的解析式，并畫出圖象；

（2）P為該一次函數(shù)圖象上一點，A為該函數(shù)圖象與x軸的交點，若SZJ>AO=6,求點P的坐標.

12.如圖，直線AB：y=-x+7與反比例函數(shù)廣乂（x>0）的圖象交點為A和B.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象回答下列問題：

①當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)的值等于反比例函數(shù)的值;

②當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.

13.已知一次函數(shù)ykkx+b的圖象與反比例函數(shù)%=一旦的圖象交于A、B兩點,且點A的橫坐標和點B的縱坐標

都是-2,求：

（1）一次函數(shù)的解析式;

（2）AAOB的面積.

14.(2007?中山)如圖，在直角坐標系xOy中，-次函數(shù)y=lqx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4)、

B(3,m)兩點.

(1)求次函數(shù)的解析式;

(2)求AAOB的面積.

15.唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說："白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河."詩中隱含著一個有趣的數(shù)

學(xué)問題--將軍飲馬問題：

如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營.請問怎樣

走才能使總的路程最短？

做法如下：如圖1,從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D,在AD的延長線上，取B關(guān)于河岸的對稱點B',連接

AB',與河岸線相交于P,則P點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到P,飲馬之后，再由P沿直線

走到B,所走的路程就是最短的.

(1)觀察發(fā)現(xiàn)

再如圖2,在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2,ND=120。，點E、F是底邊AD與BC的中點，連接EF,在線

段EF上找一點P,使BP+AP最短.

作點B關(guān)于EF的對稱點，恰好與點C重合，連接AC交EF于一點，則這點就是所求的點P,故BP+AP的最小值

為.

(2)實踐運用

如圖3,已知。O的直徑MN=1,點A在圓上，且/AMN的度數(shù)為30。，點B是弧AN的中點，點P在直徑MN上

運動，求BP+AP的最小值.

(3)拓展遷移

如圖4,已知拋物線y=ax?+bx+c(a*0)的對稱軸為x=l,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點，與x軸

交于另一點B.

①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

②在拋物線的對稱軸直線x=l上找到??點M,使AACM周長最小,請求出此時點M的坐標與△ACM周長最小值.(結(jié)

果保留根號)

16.(2008?鄂州)(1)如圖，A],A2,A3是拋物線圖象上的三點，若A|,A2,A3三點的橫坐標從左至右

依次為1,2,3.求4AiA2A3的面積.

(2)若將(1)問中的拋物線改為y=1x2-■^+2和丫=2*2+6*+。(a>0),其他條件不變，請分別直接寫出兩種情況

下AAiA2A3的面積.

22222

(3)現(xiàn)有一拋物線組：yi^ix-Ax；y2^-x-—x；ya^-^x-—x；y4^A.x-J^x；ys=—x-—x；...依據(jù)變

23612122520423063

化規(guī)律，請你寫出拋物線組第n個式子yn的函數(shù)解析式；現(xiàn)在x軸上有三點A(1,0),B(2,0),C(3,0).經(jīng)

過A,B,C向x軸作垂線，分別交拋物線組yi，y2,y3,??.，加于Ai，Bi，Ci；A2,B2,C2；A3,B3,C3；...；

An，Bn,cn.記BC為S”BQ為S2，…，SaABc為Sn，試求Si+S2+S3+.?.+S[()的值.

111222nnn

(在(問條件下，當(dāng)時有人的值不小于」工，

4)3)n>1051,70+511-9+58+...$11請?zhí)角蟠藯l件下正整數(shù)n是否存在

242

最大值？若存在，請求出此值：若不存在，請說明理由.

17.閱讀材料："最值問題"是數(shù)學(xué)中的一類較具挑戰(zhàn)性的問題.其實，數(shù)學(xué)史上也有不少相關(guān)的故事，如下即為其

中較為經(jīng)典的一則：海倫是古希臘精通數(shù)學(xué)、物理的學(xué)者，相傳有位將軍曾向他請教一個問題--如圖1,從A點

出發(fā)，到筆直的河岸1去飲馬，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢？海倫輕松地給出了答案：作點A關(guān)于直線

1的對稱點A',連接A'B交1于點P,貝iJPA+PB=A'B的值最小.

解答問題：

(1)如圖2,。0的半徑為2,點A、B、C在。O上，OAJLOB,ZAOC=60°,P是OB上一動點，求PA+PC的

最小值；

(2)如圖3,已知菱形ABCD的邊長為6,NDAB=60。.將此菱形放置于平面直角坐標系中，各頂點恰好在坐標軸

上.現(xiàn)有一動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度，沿AfC的方向，向點C運動.當(dāng)?shù)竭_點C后，立即以

相同的速度返回，返回途中，當(dāng)運動到x軸上某一點M時，立即以每秒1個單位的速度，沿MfB的方向，向點B

運動.當(dāng)?shù)竭_點B時，整個運動停止.

①為使點P能在最短的時間內(nèi)到達點B處，則點M的位置應(yīng)如何確定？

②在①的條件下，設(shè)點P的運動時間為t(s),4PAB的面積為S,在整個運動過程中，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系

式，并指出自變量t的取值范圍.

18.(2011?恩施州)如圖，在平面直角坐標系中，直線AC：產(chǎn)&x+8與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線

3

2

y=ax+bx+c過點A、點C,且與x軸的另一交點為B(x0,0),其中x0>0,又點P是拋物線的對稱軸1上一動點.

(1)求點A的坐標，并在圖1中的1上找一點Po,使Po到點A與點C的距離之和最??；

（2）若APAC周長的最小值為10+2J石，求拋物線的解析式及頂點N的坐標；

（3）如圖2,在線段CO匕有一動點M以每秒2個單位的速度從點C向點O移動（M不與端點C、O重合），過

點M作MH〃CB交x軸于點H,設(shè)M移動的時間為t秒，試把△P（）HM的面積S表示成時間t的函數(shù)，當(dāng)t為何

值時，S有最大值，并求出最大值；

（4）在（3）的條件下，當(dāng)世時，過M作x軸的平行線交拋物線于E、F兩點，問：過E、F、C三點的圓與直

32

19.（1）閱讀理解：配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，用配方法可求最大（小）值.

對于任意正實數(shù)a、b,可作如下變形a+b=（心）2+（企）?。ⅲ?+（人）2-

2\/ab+2（4-瓜）2+2Vab'

又???2~0'（7^-Vb）2+2V^O+2V^b，BPa+b>2V^b，

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：在a+b22jW（a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p,則a+b22布，當(dāng)且僅當(dāng)a、

b滿足忖,a+b有最小值2n.

（2）思考驗證：如圖1,ZXABC中，ZACB=90\CD±AB,垂足為D,CO為AB邊上中線，AD=2a,DB=2b,

試根據(jù)圖形驗證a+b224成立，并指出等號成立時的條件.

（3）探索應(yīng)用：如圖2,已知A為反比例函數(shù)尸W的圖象上一點，A點的橫坐標為1,將一塊三角板的直角頂點放

x

在A處旋轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終與x軸交于兩點D、E,F（0,-3）為y軸上一點，連接DF、EF,求四邊形ADFE

面積的最小值.

20.如圖所示，平面直角坐標系中，拋物線y=-L?+Wx+4交y軸于A,分別交X軸的負半軸、正半軸于B、C兩

33

點，過點A作人口〃*軸交拋物線于點D,過點D作DELx軸，垂足為點E.點M是四邊形OADE的對角線的交

點，點F在y軸負半軸上，且F（0,-2）.

(1)當(dāng)點P、Q分別從C、F兩點同時出發(fā)，均以每秒1個長度單位的速度沿CB、FA方向運動，點P運動到0時

P、Q兩點同時停止運動.設(shè)運動的時間為t秒.在運動過程中，以P、Q、0、M四點為頂點的四邊形的面積為S,

求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

(2)在拋物線上是否存在點N,使以B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形？若存在，直接寫出點N的坐標；不存

在，說明理由.

(3)在運動過程中，當(dāng)點P、Q分別從C、F兩點同時出發(fā)，點P以每秒1個長度單位的速度沿CB方向運動，點

Q以某一速度沿FA方向運動，當(dāng)點P運動時間t=1.5時，NPDQ=45。，求點Q的運動速度.

Ar-'D

IBOC三

21.已知：RTZ\ABC與RT^DEF中，/ACB=/EDF=90。，ZDEF=45°,EF=8cm,AC=16cm,BC=12cm.現(xiàn)將

RTAABC和RT^DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C(E)、F在同一條直線上，并按如下方式

運動.

運動-：如圖2,Z^ABC從圖1的位置出發(fā)，以lcm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q,當(dāng)

點Q與點D重合時暫停運動；

運動二：在運動一的基礎(chǔ)匕如圖3,RT4ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點Q,CB與DE交于點P,

此時點Q在DF上勻速運動，速度為&cm/s,當(dāng)QCLDF時暫停旋轉(zhuǎn)；

運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖4,RT4ABC以lcm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時

為止.

設(shè)運動時間為t(s),中間的暫停不計時，

解答下列問題

(1)在RT4ABC從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時s：

(2)在整個運動過程中，設(shè)RTZiABC與RT4DEF的重疊部分的面積為S(cm2),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，

并直接寫出自變量t的取值范圍；

(3)在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不

存在，請說明理由.

22.(2008?鎮(zhèn)江)閱讀以卜材料:

對于三個數(shù)a、b>c,用M(a,b,c)表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用min(a,b,c)表示這三個數(shù)中最小的數(shù).例

如：M{-1,2,3}-二1+2+3晶min{-1,2,3}=-1；min{-I,2,a}=a(a<-1)；-1(a>-1)

33

解決下列問題：

(1)填空：min{sin30",cos45。，tan3(T}=，如果min{2,2x+2,4-2x}=2,則x的取值范圍為

<x<；

(2)①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x.

②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論"如果M{a,b,c)=min{a,b,c},那么(填a,b,c的大小關(guān)系)”，

證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

③運用②的結(jié)論，填空：若M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y},則x+y=；

(3)在同一直角坐標系中作出函數(shù)y=x+l,y=(x+1)2,y=2-x的圖象(不需列表描點)，通過觀察圖象，填空：

min{x+l,(x-1)2,2-x}的最大值為.

23.(2007?哈爾濱)如圖，梯形ABCD在平面直角坐標系中，上底AD平行于x軸，下底BC交y軸于點E,點C

(4,-2),點D(1,2),BC=9,sinZABC^.

5

(1)求直線AB的解析式；

(2)若點H的坐標為(-1,-1),動點G從B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著BC邊向C點運動(點G可以與

點B或點C重合)，求4HGE的面積S(S#0)隨動點G的運動時間t'秒變化的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量t'的取

值范圍)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)/［秒時，點G停止運動，此時直線GH與y軸交于點N.另一動點P開始從B出

發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著梯形的各邊運動一周，即由B到A,然后由A到D,再山D到C,最后山C回到B

(點P可以與梯形的各頂點重合).設(shè)動點P的運動時間為t秒，點M為直線HE上任意點(點M不與點H重合),

在點P的整個運動過程中，求出所有能使NPHM與NHNE相等的t的值.

24.某縣種植了一種無公害蔬菜，為了擴大生產(chǎn)規(guī)模，該縣決定對這種蔬菜的種植實行政府補貼，規(guī)定每種植-畝

這種蔬菜一次性補貼菜農(nóng)若干元，隨著補貼數(shù)額的不斷增大，生產(chǎn)規(guī)模也不斷增加，但每畝蔬菜的收益會相應(yīng)降

低.經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù)y(包、每畝蔬菜的收益z(元?與補貼數(shù)額：(元)之間的關(guān)系如下表:

卜(元)0100200300...

y（畝）800160024003200

z（元）3000270024002100

（1）分別求出政府補貼政策實施后種植畝數(shù)y、每畝蔬菜的收益z與政府補貼數(shù)額x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使全縣這種蔬菜的總收益w（元）最大，政府應(yīng)將每畝補貼數(shù)額x定為多少并求出總收益w的最大值和此

時種植畝數(shù)；

（3）在取得最大收益的情況下，為了滿足市場需求，用不超過70畝的土地對這種蔬菜進行反季節(jié)的種植.為此需

修建一些蔬菜大棚，修建大棚要用的支架、塑料膜等材料平均每畝的費用為650元，此外還要購置噴灌設(shè)備，這項

費用（元）與大棚面積（畝）的平方成正比例，比例系數(shù)為25.這樣，修建大棚后的這部分土地每畝的平均收益比

沒修前增加了2000元，在扣除修建費后總共增加了85000元.求修建了多少畝蔬菜大棚.（結(jié)果精確到個位，參考

數(shù)據(jù)：72^1-414）

25.（2002?昆明）已知矩形ABCD的面積為36,以此矩形的對稱軸為坐標軸建立平面直角坐標系，設(shè)點A的坐標

為（x,y）,其中x>0,y>0.

（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出自變量x的取值范圍；

（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圓的面積S,并用下列方法，解答后面的問題：

2

方法：Va2+^=（a--）2+2k（k為常數(shù)且k>0,awO）,

a2a

：（a-上）2>0

a

i2

a，->2k

a

i2

二當(dāng)a-1=0,即a=±4時,&2+'取得最小值2k.

aa4

問題：當(dāng)點A在何位置時，矩形ABCD的外接圓面積S最小并求出S的最小值；

（3）如果直線丫=1!以+2（m<0）與x軸交于點P,與y軸交于點Q,那么是否存在這樣的實數(shù)m,使得點P、Q與

（2）中求出的點A構(gòu)成APQ的面積是矩形ABCD面積的工？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由.

6

BA

CD

初中函數(shù)達標測試卷~

參考答案與試題解析

選擇題(共2小題)

1.(1999?杭州)二次函數(shù)y=2x(x-3)的二次項系數(shù)與-一次項系數(shù)的和為()

A.2B.-2C.-1D.-4

考點：二次函數(shù)的定義.

分析：首先把二次函數(shù)化為一般形式，再進一步求得二次項系數(shù)與一次項系數(shù)的和.

解答：解：y=2x(x-3)

C2/

=2x-ox.

所以二次項系數(shù)與一次項系數(shù)的和=2+(-6)=-4.

故選D.

點評：此題考查了二次函數(shù)的一般形式，計算時注意系數(shù)的符號.

D.x>0

考點：一次函數(shù)的圖象.

專題：數(shù)形結(jié)合.

分析：根據(jù)一次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標可直接解答.

解答：解：由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)y<2時，函數(shù)的圖象在x軸的正半軸上，此時-x>0.

故選D.

點評：此題比較簡單，考查的是用數(shù)形結(jié)合的方法求不等式的解集，正確觀察函數(shù)圖象是解答此題的關(guān)鍵.

二.填空題(共3小題)

3.如圖，在同一坐標系內(nèi)，二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸分別交于點A(-1,0),點B(2,0)和點C(0,4),一

次函數(shù)的圖象與拋物線交于B,C兩點.

(1)二次函數(shù)的解析式為v=-2x?+2x+4；

(2)當(dāng)自變量x>1時，兩函數(shù)的函數(shù)值都隨x增大而減?。?/p>

—2-

(3)當(dāng)自變量xV0或x>2時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值.

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

分析：(1)可設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,分別把點A(-1,0),點B(2,0)和點C(0,4)代入解析

式求解系數(shù)即可.

(2)和(3)都可以根據(jù)函數(shù)圖象直接觀察.

解答：解：(1)根據(jù)題意，可設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax?+bx+c,

?.?二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸分別交于點A(-I,0),點B(2,0)和點C(0,4),

...分別把點A(-1,0),點B(2,0)和點C(0,4)代入解析式得，

0=a-b+c,①

0=4a+2b+c,②

4=c,③

由①②③得，a=-2,b=2,c=4,

二次函數(shù)解析式為y=-2X2+2X+4.

(2)根據(jù)圖象可知，當(dāng)x>工時，兩函數(shù)的函數(shù)值都隨x增大而減小.

2

(3)?次函數(shù)值大于二次函數(shù)值即一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)下方，根據(jù)圖象知x范圍為：x<0或x>2.

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，及函數(shù)性質(zhì)，是基礎(chǔ)題型.

4.一次函數(shù)丫=-~^<+1的圖象與x軸的交點坐標是(3,0),與v軸的交點坐標是(0,象.

考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

專題：計算題.

分析：一次函數(shù)y=--1x+l的圖象與x軸的交點坐標是y=0,與y軸的交點坐標是x=0.

解答：解：當(dāng)y=0時，x=3；當(dāng)x=0時，y=l.

...一次函數(shù)y=-1x+l的圖象與x軸的交點坐標是(3,0),與y軸的交點坐標是(0,1).

點評：本題考查的知識點為：函數(shù)與y軸的交點的橫坐標為0；函數(shù)與x軸的交點的縱坐標為0.

5.一次函數(shù)y=(3-k)x+k-5的圖象不過第一象限，則整數(shù)k=4或5.

考點：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

專題：常規(guī)題型.

分析：根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)當(dāng)比例系數(shù)小于0時，與y軸的交點在原點或y軸負半軸時函數(shù)圖象經(jīng)過第二四

象限，然后列式進行計算即可求解.

解答：解：根據(jù)題意得，3-kV0,且k-5M),

解得k>3,且仁5,

；.k的范圍是3Vk45,

?；k是整數(shù),

，k=4或5.

故答案為：4或5.

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，找出一次函數(shù)圖象不經(jīng)過第像限的條件并列出算式是解題的關(guān)

鍵，需要注意經(jīng)過原點的直線的情況，這是容易忽視而導(dǎo)致出錯的地方.

三.解答題(共20小題)

6.如圖，直線h的解析表達式為y=-3x+3,且h與x軸交于點D,直線b經(jīng)過點A、B,直線1卜匕交于點C.

(1)求直線12的解析表達式；

(2)求4ADC的面積.

考點：兩條直線相交或平行問題.

分析：(1)根據(jù)圖形，直線b經(jīng)過點A、B,利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)直線1,的解析表達式為y=-3x+3求出點D的坐標，再兩直線解析式聯(lián)立方程組求出點C的坐標,

利用三角形的面積公式求解即可.

解答：解：(1)設(shè)12的表達式為y=kx+b,由圖可知經(jīng)過點A(4,0)、B(3,

2

，4k+b=0

，

/.<3k+b=--3J

2

解得卜2,

b=-6

二直線12的解析表達式為：y='x-6；

2

(2)當(dāng)y=0時，-3x+3R,

解得x=l,

.,.點D的坐標是(1,0),

直線1,的解析表達式與直線12的解析表達式聯(lián)立得，

'尸-3x+3

,g36丈，

(=2

解得Ix,

y=~3

二點C的坐標是(2,-3),

.?.△ADC的面積」x(4-1)x|-31-1x3x3^.

222

故答案為：⑴y-1x-6,(2)

點評：本題考查了直線相交的問題與待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，難度不大，關(guān)鍵是求出點的坐標.

7.（2012?珠海）某商店第次用600元購進2B鉛筆若干支，第二次又用600元購進該款鉛筆，但這次每支的進價

是第一次進價的至倍，購進數(shù)量比第一次少了30支.

4

（1）求第一次每支鉛筆的進價是多少元？

（2）若要求這兩次購進的鉛筆按同價格全部銷售完畢后獲利不低于420元，問每支售價至少是多少元？

考點：分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用.

專題：計算題.

分析：（1）設(shè)第一次每支鉛筆進價為x元，則第二次每支鉛筆進價為2x元，根據(jù)題意可列出分式方程解答;

4

（2）設(shè)售價為y元，求出利潤表達式，然后列不等式解答.

解答：解：（1）設(shè)第一次每支鉛筆進價為x元，

根據(jù)題意列方程得，遜-普30,

x工

4

解得，x=4,

檢驗：當(dāng)x=4時，分母不為0,故x=4是原分式方程的解.

答：第一次每只鉛筆的進價為4元.

（2）設(shè)售價為y元，根據(jù)題意列不等式為：

遜x(y-4)(y-5)>420,

4H

解得，y>6.

答：每支售價至少是6元.

點評：本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意并找出題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.問題背景：“在aABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為代、行；、后，求這個三角形的面積.”

小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）,再在網(wǎng)絡(luò)中畫出格點4ABC（即

△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），

（1）如圖所示.這樣不需求^ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積是3.5.

（2）如圖我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法.若4DCE三邊的長分別為朽五7、V9m2+4n2'V4m2+4n2

考點：勾股定理；三角形的面積.

專題：網(wǎng)格型.

分析：（1）如圖1所示，可得出四邊形MNCP為正方形，AABM、AANC及aPBC都為直角三角形，由正方形

MNCP的面積-直角三角形AMB的面積-直角三角形ANC的面積-直角三角形PBC的面積，求出即可;

（2）如圖所示構(gòu)造網(wǎng)格，網(wǎng)格由邊長分別為m與n的36個小長方形構(gòu)成，由矩形DEGK的面枳-直角三

角形DEF的面積-直角三角形HGF的面積-直角三角形DHK的面積，求出即可.

解：（1）如圖1所示，可得出四邊形MNCP為正方形，△ABM、z^ANC及APBC都為直角三角形，

_

*'?SAABC=SFJ，彩MNPC-SAABM-SAANCS/\PBC=3X3--x2xl--x2x3-—x1x3=9-1-3-1.5=3.5；

222

（2）如圖所示，網(wǎng)格由邊長分別為m與n的小長方形構(gòu)成，

在RtaDEF中，EF=m,DE=4n,

根據(jù)勾股定理得：DF-E2+EF與麻

在RtZXDKH中，DK=3m,KH=2n,

根據(jù)勾股定理得:DH=?2+KH他履+小，

在RtZ\FGH中，F(xiàn)G=2m,HG=2n,

根據(jù)勾股定理得：HF^FG2+HG^4in2+4n2,

_

SADFH=S短形DEGK-SADEF-SADKHSaFGH=12mn--xmx4n-—x3mx2n-i<2mx2n=5mn.

222

故答案為：（1）3.5

點評：此題考查了勾股定理，以及三角形的面積，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，弄清題意，畫出相應(yīng)的圖形是解本題

的關(guān)鍵.

9.己知一次函數(shù)圖象如圖，寫出它的解析式.

考點：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.

專題：數(shù)形結(jié)合.

分析：設(shè)出一次函數(shù)的解析式，把（1,0）,（0,-2）代入解析式即可.

解答：解：由一次函數(shù)的圖象可知，圖象過（1,0）,（0,-2）兩點，

設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b（k*0）,

把（1,0）,（0,-2）兩點代入，得

fk+b=0

[b=-2'

（k=2

解得.

b=-2

故所求一次函數(shù)的解析式為：y=2x-2.

點評：本題考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的圖象確定出函數(shù)與坐標軸

的交點坐標，再把交點坐標代入一次函數(shù)的關(guān)系式即可.

10.如圖

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)圖象寫出反比例函數(shù)值大于詼函數(shù)值x的取值范圍.

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

專題：數(shù)形結(jié)合.

分析：（1）將N的坐標代入反比例解析式中，求出k的值，確定出反比例函數(shù)解析式，將M的坐標代入確定出

的反比例解析式中求出m的值，確定出M的坐標，將M和N的坐標代入一次函數(shù)y=ax+b中，求出a與b

的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；

（2）由M和N的橫坐標為-1和2,以及0,將x軸分為四個范圍，找出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象

上方時x的范圍即可;

解答：解：（1）將N（-l,-4）代入反比例函數(shù)y』中得：-4=^,

解得：k=4,

故反比例函數(shù)解析式為y4,

X

將M的坐標（2,m）代入反比例解析式得：m="2,

2

則M（2,2）,

將M（2,2）和N（-1,-4）代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax+b得：!-a+b=-4,

[2a+b=2

解得：產(chǎn)之，

故一次函數(shù)解析式為y=y=2x-2；

（2）由圖形可得：當(dāng)xV-1或0Vx<2時，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值.

點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用了待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合的思想，待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)

中重要的思想方法，學(xué)生做題時注意靈活運用.

11.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-2,1）和（4,4）

（1）求一次函數(shù)的解析式，并畫出圖象；

（2）P為該一次函數(shù)圖象上一點，A為該函數(shù)圖象與x軸的交點，若SAPAO=6,求點P的坐標.

考點：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

專題：綜合題；函數(shù)思想.

分析：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式是丫=2*+6（a、b是常數(shù)且axO）.然后將點（-2,1）和（4,4）代入該解析式,

利用待定系數(shù)法求得該解析式；

(2)根據(jù)(1)的解析式求得點A的坐標，然后由三角形的面積公式求得P(x,y).

解答：解：(1)設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=ax+b(a、b是常數(shù)且aM).

則卜一2a+b,

[4=4a+b

解得，③立

,b=2

所以一次函數(shù)的解析式是y=1x+2.

其圖象如圖所示：

(2)設(shè)P(X,y),連接OP.

當(dāng)y=0時，x=-4,

AA(-4,0)；

??S△PAD1x4x1~^x+2l=6,

22

解得,x=2或x=TO；

當(dāng)x=2時,y=3；

當(dāng)x=-10時，y=-3；

：.P(2,3)或P(-10,-3).

點評：本題綜合考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的圖象及一次函數(shù)圖象上點的坐標的特

征.本題要注意利用一次函數(shù)的性質(zhì)，列出方程組，求出a、b的值，從而求得其解析式.

12.如圖，直線AB：y=-x+7與反比例函數(shù)打上(x>0)的圖象交點為A和B.

x

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象回答下列問題：

①當(dāng)x為何值時，-次函數(shù)的值等于反比例函數(shù)的值；

②當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；反比例函數(shù)的圖象；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.

分析：(1)根據(jù)題意，可得出A、B兩點的坐標，再將A、B兩點的坐標代入打區(qū)即可得出解析式;

x

(2)①即求出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方時，x的取值范圍即可；

②即求出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方時，x的取值范圍即可.

解答：解：(1)?.?反比例函數(shù)行X(x>0)的圖象過點A(1,6),

X

Ak=6.

二反比例函數(shù)的解析式為：y=@.(3分)

(2)由圖象可知:

①x=l或x=6；(5分)

②1VXV6.(7分)

點評:本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.

13.已知一次函數(shù)y產(chǎn)kx+b的圖象與反比例函數(shù)y.=一旦的圖象交于A、B兩點，且點A的橫坐標和點B的縱坐標

都是-2,求：

(1)一次函數(shù)的解析式;

(2)AAOB的面積.

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

專題：計算題.

分析：（1）先把A的橫坐標和B點的縱坐標分別代入y2=-3,可確定點A的坐標為（-2,4）,B點坐標為（4,

x

-2）,然后利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的解析式；

（2）先確定次函數(shù)與y軸的交點坐標，然后利用SaA0B=S4A0C+SaB0C進行計算即可.

解答：解：（1）把x=-2代入y2=-3得y=4,把y=-2代入y2=-衛(wèi)得x=4,

XX

.?.點A的坐標為（-2,4）,B點坐標為（4,-2）,

（

把A（-2,4）,B（4,-2）分別代入y尸kx+b得I-2k+b=4,解得，fk=-1，

4k+b=-2[b=2

,一次函數(shù)的解析式為y=-x+2；

（2）如圖，直線AB交y軸于點C,

對于y=-x+2,令x=0,則y=2,則C點坐標為（0,2）,

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與??次函數(shù)的交點坐標同時滿足兩個函數(shù)的解

析式.也考查了三角形面積公式.

14.（2007?中山）如圖，在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=k|X+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（1,4）、

B（3,m）兩點.

（1）求一次函數(shù)的解析式;

（2）求AAOB的面積.

考點：反比例函數(shù)綜合題.

專題：待定系數(shù)法.

分析：（1）把A代入反比例函數(shù)解析式即可求得反比例函數(shù)解析式，把點B代入反比例函數(shù)解析式就能求得完

整的點B的坐標，把A,B坐標代入一次函數(shù)即可求得解析式；

（2）把三角形整理為矩形減去若干直角三角形的面積的形式，比較簡便.

解答:

解：（1）點A（1,4）在反比例函數(shù)y=二的圖象上，所以k2=xy=1x4=4,故有y4因為B（3,m）也在

的圖象上，

所以m4,即點B的坐標為B（3,W）,（1分）

33

k產(chǎn)=4

(3,W)兩點,所以《

一次函數(shù)丫=1＜途+1?過A（1,4）、B4

33k[+b=《

o

二一旦

13

解得《所以所求一次函數(shù)的解析式為y=（3分）

33

（2）過點A分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A'、A",過點B作x軸的

垂線，垂足為B',

貝I」S^AOB=S矩形OA，AA"+S梯形A，ABB，-S/\OAA"~S/^OBB'（4分）

=1X4+AX（4+&x（3-1）-1x1x4-Ax3xi（6分）

23223

_.1.6,

3

/.△AOB的面積為以（7分）.

點評：求一次函數(shù)的解析式需知道它上面的兩個點的坐標；求坐標系內(nèi)三角形的面積，通常整理為矩形面積減去

若干直角三角形的面積的形式.

15.唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說："白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河."詩中隱含著一個有趣的數(shù)

學(xué)問題--將軍飲馬問題：

如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營.請問怎樣

走才能使總的路程最短？

做法如下：如圖1,從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D,在AD的延長線上，取B關(guān)于河岸的對稱點B',連接

AB',與河岸線相交于P,則P點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到P,飲馬之后，再由P沿直線

走到B,所走的路程就是最短的.

（1）觀察發(fā)現(xiàn)

再如圖2,在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2,ND=120。，點E、F是底邊AD與BC的中點，連接EF,在線

段EF上找一點P,使BP+AP最短.

作點B關(guān)于EF的對稱點，恰好與點C重合，連接AC交EF于一點，則這點就是所求的點P,故BP+AP的最小值

為」在一

（2）實踐運用

如圖3,已知。0的直徑MN=1,點A在圓上，且NAMN的度數(shù)為30。，點B是弧AN的中點，點P在直徑MN上

運動，求BP+AP的最小值.

(3)拓展遷移

如圖4,已知拋物線y=ax?