(時(shí)間60分鐘，滿分80分)一、選擇題(共6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分)1．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．m∥n，m⊥α?n⊥αB．α∥β，m?α，n?β?m∥nC．m⊥α，m⊥n?n∥αD．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β解析：易知A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，m，n也可能異面；對(duì)于C選項(xiàng)；n也可能在α內(nèi)；對(duì)于D選項(xiàng)α，β也可能相交，故選A.答案：A2．(·安徽十校聯(lián)考)在下列關(guān)于直線l，m與平面α，β的命題中，真命題的是()A．若l?β且α⊥β，則l⊥αB.若l⊥β且α∥β，則l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，則l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，則l∥α解析：A顯然不對(duì)，C、D中的直線l有可能在平面α內(nèi)．故選B.答案：B3．(·西城模擬)若a、b是空間兩條不同的直線，α、β是空間的兩個(gè)不同的平面，則a⊥α的一個(gè)充分條件是()A．a(chǎn)∥β，α⊥β B．a(chǎn)?β，α⊥βC．a(chǎn)⊥b，b∥α D．a(chǎn)⊥β，α∥β解析：只有選項(xiàng)D，a⊥β，α∥β?a⊥α.答案：D4．下列命題中錯(cuò)誤的是()A．若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這平面上所有直線B．若一個(gè)平面通過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直C．若一直線垂直于一個(gè)平面的一條垂線，則此直線必平行于這個(gè)平面D．若平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直解析：由線面垂直定義知，命題A正確；由面面垂直的判定定理知，命題B正確；一條直線垂直于一個(gè)平面的一條垂線時(shí)，此直線可能平行于這個(gè)平面，也可能在這個(gè)平面內(nèi)，所以命題C是錯(cuò)誤命題；由線面垂直判定定理知，命題D正確．答案：C5．(·西安模擬)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則ADA．30° B．45°C．60° D．90°解析：如圖，取BC中點(diǎn)E，連結(jié)DE、AE、AD，依題意知三棱柱為正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE為AD與平面BB1C1C所成的角．設(shè)各棱長(zhǎng)為1，則AE＝eq\f(\r(3),2)，DE＝eq\f(1,2)，tan∠ADE＝eq\f(AE,DE)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(1,2))＝eq\r(3)，∴∠ADE＝60°.答案：C6．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記作P，那么在四面體P－DEF中必有()A．DP⊥平面PEF B．DM⊥平面PEFC．PM⊥平面DEF D．PF⊥平面DEF解析：在正方形中，DA⊥EA，DC⊥FC，∴在折疊后的四面體P－DEF中有DP⊥EP，DP⊥FP，又EP∩FP＝P，∴DP⊥平面PEF.答案：A二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)7．(·揚(yáng)州模擬)已知直線l，m，n，平面α，m?α，n?α，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的________條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)解析：若l⊥α，則l垂直于平面α內(nèi)的任意直線，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要8．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足__________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)解析：由三垂線定理可知，BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)9．已知二面角M－l－N的平面角是60°，直線a⊥M，則直線a與平面N所成角的大小為_(kāi)_______．解析：如圖，二面角M－l－N中a⊥M，垂足為A，交平面N于B，過(guò)A作AC⊥l垂足為C.連結(jié)BC.根據(jù)三垂線定理有BC⊥l.所以∠ACB為二面角M－l－N的平面角．∠ACB＝60°，∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB⊥M,AC?M))?∠BAC＝90°?∠ABC＝30°.過(guò)A作AE⊥BC，垂足為E.∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥平面ABC,AE?平面ABC))?AE⊥l，∴AE⊥平面N，∴∠ABC＝30°是直線a與平面N所成的角．答案：30°三、解答題10．(·濟(jì)南模擬)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，AC⊥CD，E是AA1(1)求證：CD⊥平面AEC；(2)若平面CBE交DD1于點(diǎn)F，求證：EF∥AD.證明：(1)因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為直四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD因?yàn)镃D?平面ABCD，所以AA1⊥CD，即AE⊥CD.因?yàn)锳C⊥CD，AE?平面AEC，AC?平面AEC，AE∩AC＝A，所以CD⊥平面AEC.(2)因?yàn)锳D∥BC，AD?平面ADD1A1BC?平面ADD1A1，所以BC∥平面ADD1A因?yàn)锽C?平面BCE，平面BCE∩平面ADD1A1＝EF所以EF∥BC.因?yàn)锳D∥BC，所以EF∥AD.11．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，過(guò)BD1的平面分別交棱AA1、CC1于E、F(1)求證：A1E＝CF；(2)若E、F分別是棱AA1、CC1的中點(diǎn)，求證：平面EBFD1⊥平面BB1D1D.證明：(1)由題知，平面EBFD1與平面BCC1B1交于BF、與平面ADD1A1交于ED1.又平面BCC1B1∥平面ADD1A∴D1E∥BF，同理BE∥D1F∴四邊形EBFD1為平行四邊形，∴D1E＝BF，∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，∴A1E＝CF.(2)AE＝A1E＝FC＝FC1，AB＝BC，∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，又四邊形EBFD1是平行四邊形，∴故四邊形EBFD1為菱形．連接EF、BD1、A1C1∵四邊形EBFD1為菱形，∴EF⊥BD1.在正方體ABCD－A1B1C1D1有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1∴B1D1⊥平面A1ACC1.又EF?平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1.又B1D1∩BD1＝D1，∴EF⊥平面BB1D1D.又EF?平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1D.12．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：A1E⊥BD；(2)當(dāng)E恰為棱CC1的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面A1BD⊥平面EBD；(3)在棱CC1上是否存在一個(gè)點(diǎn)E，可以使二面角A1－BD－E的大小為45°？如果存在，試確定點(diǎn)E在棱CC1上的位置；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：連接AC，設(shè)AC∩DB＝O，連接A1O、OE，(1)證明：因?yàn)锳A1⊥底面ABCD，所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝A所以BD⊥平面ACEA1，因?yàn)锳1E?平面ACEA1.所以A1E⊥BD.(2)證明：在等邊三角形A1BD中，BD⊥A1O，∵BD⊥平面ACEA1，OE?平面ACEA1，∴BD⊥OE，所以∠A1OE為二面角A1－BD－E的平面角．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)棱長(zhǎng)為2因?yàn)镋為棱CC1的中點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)，得EO＝eq\r(3)a，A1O＝eq\r(6)a，A1E＝3a滿足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.(3)在正方體ABCD－A1B1C1D1假設(shè)棱CC1上存在點(diǎn)E，可以使二面角A1－BD－E的大小為45°，同(2)，有∠A1OE＝45°，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2EC＝x，