第一章特殊平行四邊形專題2特殊平行四邊形中的最值問題數(shù)學九年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數(shù)學九年級上冊BS版01專題解讀◎問題綜述四邊形中的最值問題是近幾年中考的熱點問題，試題層出

不窮，形式多樣，往往綜合了幾何變換，有一定難度，具有很

強的探索性.通過研究發(fā)現(xiàn)這類問題，常常利用“兩點之間線段

最短”“垂線段最短”“斜邊大于直角邊”“三角形三邊關系

定理”等來解決.數(shù)學九年級上冊BS版02典例講練類型一

“將軍飲馬”模型

如圖，已知菱形ABCD的對角線AC＝12，面積為24，△

ABE是等邊三角形.若點P在對角線AC上移動，求PD＋PE的最小值.解：如圖，連接BD交AC于點O，連接PB.

∴BD＝4.∵四邊形ABCD是菱形，

∵AC與BD互相垂直平分，∴PD＝PB.

∴PE＋PD＝PE＋PB.

∵PE＋PB≥BE，∴當E，P，B三點共線時，PE＋PD的值最小，最小值為BE

的長.∵△ABE是等邊三角形，

【點撥】兩定一動，動點在直線上的最值問題就是“將軍飲馬”最值問題，常常利用軸對稱來解決問題.

如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC的中點，點P是

AC邊上的一個動點，連接BP，EP，則BP＋EP的最小值為

?.

2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD邊的中

點，點P，Q為BC邊上兩個動點，且PQ＝2，當四邊形APQE

的周長最小時，則BP的長為

?.4

【解析】由題知PQ，AE的長均為定值，∴當四邊形APQE的

周長最小時，AP＋QE最小.如圖，在AD上截取線段AF＝PQ

＝2，作點F關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為

點Q，過點A作FQ的平行線交BC于一點，即為點P，此時AP

＋QE最小.過點G作BC的平行線交DC的延長線于點H.

則四邊形FGHD為矩形.∴CH＝AB＝4.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD

＝BC＝8，∠D＝90°，∠QCE＝90°.∵PQ＝2，∴DF＝AD－

AF＝6.∴GH＝6.∵點E是CD的中點，∴CE＝2.∴EH＝2＋4＝6.∴EH＝GH.

∴∠GEH＝45°.設BP＝x，則CQ＝BC－BP－PQ＝8－x－2＝6－x，在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ

＝CE.

∴6－x＝2，解得x＝4.∴BP的長為4.故答案為4.類型二

垂線段最短

如圖，在Rt△ABC中，已知AC＝2，BC＝4，點P為斜邊

AB上一動點，PE⊥BC，PF⊥CA，求線段EF長的最小值.解：如圖，連接CP.

∵PE⊥BC，PF⊥CA，∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°.∴四邊形ECFP是矩形.∴EF＝PC.

∴當CP最小時，EF也最小.∵垂線段最短，∴當CP⊥AB時，CP最小.

【點撥】“兩動點之間距離”最小值問題，可轉化為“一定一

動”最值問題.本題中運用矩形的對角線相等將EF長的最值轉

化為CP長的最值是解決問題的關鍵.

如圖，過邊長為1的正方形的中心點O引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于點A，B，則線段AB長的最小值是

?.

2.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P為AB

邊上一動點（不與點A，B重合），PE⊥OA于點E，PF⊥OB

于點F.

若AC＝20，BD＝10，求EF的最小值.解：如答圖，連接OP.

∵四邊形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，

∴∠AOB＝90°.在Rt△ABO中，由勾股定理，得

∵PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，∴∠OEP＝∠OFP＝90°.答圖∴四邊形OEPF是矩形.∴EF＝OP.

則當OP取最小值時，EF的值最小.

答圖類型三

利用三點共線取最值

如圖，點M，N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM＝BN，連接AC，交BN于點E，連接DE，交AM于點

F，連接CF.

若正方形的邊長為6，求線段CF長度的最小值.

∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL）.∴∠DAM＝∠CBN.

∴△DCE≌△BCE（SAS）.∴∠CDE＝∠CBE.

∴∠DAM＝∠CDE.

∵∠ADF＋∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝180°－90°＝90°.如圖，取AD的中點O，連接OF，OC，

在Rt△ODC中，

∵OF＋CF≥OC，

【點撥】“一定一動”最值問題的關鍵是找到動點的軌跡，或

者找動態(tài)過程中的不變量，利用三角形三邊關系解決.本題中利

用全等三角形的判定與性質得到“動中有靜”，直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的三邊關系，確定

出CF最小時點F的位置是解題關鍵.

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AD，CD

邊上的動點（不與端點重合）連接BE，BF，點E，F(xiàn)在運動過程中，始終保持∠EBF＝45°，連接EF.

過點B作BH⊥EF，

垂足為H，連接DH，則DH的最小值為

?.

【解析】如答圖，延長DC至點G，使CG＝AE，連接BG，

BD.

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠A＝∠BCD＝∠BCG＝90°.

∴BE＝BG