高中高一數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。

2、集合的中元素的三個(gè)特性：1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無(wú)序性.

3、集合的表示：(1){…}如{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋，大西洋,印度洋，北冰洋}

(2).用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

4.集合的表示方法：列舉法與描述法。

常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集2有理數(shù)集匕實(shí)數(shù)集區(qū)

5.關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A記作aWA,相

反，a不屬于集合A記作a任A

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表

示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。

6、集合的分類(lèi)：

(1).有限集含有有限個(gè)元素的集合

(2).無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合

(3).空集不含任何元素的集合例：{x|xJ-5}=包

二、集合間的基本關(guān)系

L“包含”關(guān)系一子集注意：Aq5有兩種可能(1)A是B的一部分，；(2)A與B是同一集合。反之：集

合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A^B或B^A

2.“相等”關(guān)系:對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任

何一個(gè)元素都是集合A的元素,我們就說(shuō)集合A等于集合B,即：A=B

①任何一個(gè)集合是它本身的子集。即AA

②如果AB,且AwB那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作A.B(或B,A)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集,記為啰

規(guī)定：空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運(yùn)算

1.交集的定義：一般地，由所有屬于A(yíng)且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

記作AAB(讀作"A交B"),即ACB={x|xEA,且x^B}.

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集。記作：

AUB(讀作“A并B“)，即AUB={x作CA,或xCB}.

3、交集與并集的性質(zhì)：ADA=A,AH6=@，AAB=BAA,AUA="

AU4)=_A,AUB=BUA.

4、全集與補(bǔ)集(1)補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集(即4US),由$中所有不屬于A(yíng)的元

素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)記作：CsA

即CsA={xxS且x任A}

(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以

看作一個(gè)全集。通常用U來(lái)表示。

(3)性質(zhì)：⑴a(CuA)=A_⑵(ClA)nA=_O(3)(CtA)UA=U

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集

合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)f：A-B為從集合A到集

合B的一個(gè)函數(shù).記作：y=f(x),xeA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x

的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)xCA｝叫做函數(shù)的值域.

能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱(chēng)為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)丕小王委；(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大玨；(4)指數(shù)、

對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的

定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的

定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.

2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

再注意：(1)由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系

完全一致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))(2)兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)

系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同;②定義域

一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

3.區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；(2)無(wú)窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

4.映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意

一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：A.B為從集合A到集合B的

一個(gè)映射。記作“f：AfB”

給定一個(gè)集合A到B的映射，如果aWA,bGB.且元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的

象，元素a叫做元素b的原象

說(shuō)明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，①集合/、8及對(duì)應(yīng)法則/"是確定的；②對(duì)

應(yīng)法則有“方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合4到集合8的對(duì)應(yīng)，它與從6到1的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對(duì)于

映射f：8來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿(mǎn)足：(])集合/中的每一個(gè)元素，在集合6中都有象，并且象是唯一的;(II)

集合力中不同的元素，在集合8中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(III)不要求集合6中的每一個(gè)元素在集合/

中都有原象。

5.常用的函數(shù)表示法:解析法：圖象法：列表法:

6.分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；

(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的史集，值域是各段值域的北集.

7.函數(shù)單調(diào)性(1).設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變

量不，xz,當(dāng)x<X2時(shí)，都有f(xi)<f(xj,那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱(chēng)為y=f(x)的單調(diào)

增區(qū)間

如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值xi,X2,當(dāng)x〈X2時(shí)，都有f(xl)>f(x2),那么就說(shuō)/"㈤在

這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱(chēng)為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

(2)圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)產(chǎn)#0在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)切在這一區(qū)間

上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法：①任取X”xzGD,且x)X2；②作差f(xj-f(xj；③W(通常是因式分解

和配方)；④定號(hào)(即判斷差f(x)—f(xj的正負(fù))；⑤工^迨(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上

的單調(diào)性).(B)圖象法(從圖象上看升降)_

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集.

8.函數(shù)的奇偶性

(1)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(一x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函

數(shù).

(2).一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做

奇函數(shù).

注意：①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)

可能沒(méi)有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

②由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,

則一X也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);②確定f(—x)與f(x)的關(guān)系；③作出相應(yīng)結(jié)論：若f(—x)=f(x)或f(-x)-

f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(—x)=—f(x)或f(―x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們

之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

(2).求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的

構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范

圍；當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求

出f(x)c

補(bǔ)充不等式的解法與二次函數(shù)(方程)的性質(zhì)

1、a>0時(shí)，|X|>QO—聞\x\<a<^>-a<x<a

-2,b^ac-b2

2^配方：CIXz---)x2H---------

2。4a

2

3、△>()時(shí)，ax+Z?x+c=O(Q>0)的兩個(gè)根為％、x2(xx<x2),則

-b—yjh2-4ac-b-^-y/b2—4ac

--------------?=---------------

2

ax+bx+c>0<^x<x^x>x2,加+Z?x+cvOox]<x<x2

b

4、△=()時(shí)，ax2+Z?X4-C=0(6T>0)的兩個(gè)等根為玉)二----，則

2a

ax2+bx+c>0=xw%,cue2+fex+cvO無(wú)解

22

ax+bx+c>0<^>xeR,ax+Z7x+c<0<=>x=x0

5^△<()時(shí)，ax24-Z?x+c=0(a>0)無(wú)解,則

ax2+〃x+c>0。xeR,ax2+〃x+cv0無(wú)解

6.根與系數(shù)的關(guān)系

若如2+6犬+。=0(。。0)的兩個(gè)根為%,當(dāng)則

bc

Xj+X)=---,%?%2二一

a-a

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

一、直線(xiàn)與方程

（1）直線(xiàn)的傾斜角

定義：X軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫直線(xiàn)的傾斜角。特別地，當(dāng)直線(xiàn)與X軸平行或重合時(shí)，我們

規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°Wa<180°

（2）直線(xiàn)的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線(xiàn)，它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率。直線(xiàn)的斜率常用k表示。即

"tana。斜率反映直線(xiàn)與軸的傾斜程度。

當(dāng)ae『,9（F）時(shí)，kNO；當(dāng)ae（90。,180°）時(shí)，當(dāng)a=90°時(shí)，攵不存在。

②過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式：女二必一弘（內(nèi)本x、）

x2—X]

注意下面四點(diǎn)：（1）當(dāng)/=/時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線(xiàn)的斜率不存在，傾斜角為90°；

（2乂與力、P2的順序無(wú)關(guān)；（3）以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；

（4）求直線(xiàn)的傾斜角可由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

（3）直線(xiàn)方程

①點(diǎn)斜式：y—必=—>一為）直線(xiàn)斜率4,且過(guò)點(diǎn)（司,?）

注意：當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0°時(shí)，k=0,直線(xiàn)的方程是尸y”

當(dāng)直線(xiàn)的斜率為90°時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因/上每一點(diǎn)的橫坐

標(biāo)都等于即，所以它的方程是E”

②斜截式：y=kx+b,直線(xiàn)斜率為A,直線(xiàn)在y軸上的截距為6

③兩點(diǎn)式：-~~—（x產(chǎn)%）直線(xiàn)兩點(diǎn)（不y），（X，，%）

④截矩式：-+^=1

ab

其中直線(xiàn)I與x軸交于點(diǎn)（a,0）,與y軸交于點(diǎn)（0,b）,即/與x軸、y軸的截距分別為a,6。

⑤一般式：Ax+By+C=0（4,8不全為o）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于x軸的直線(xiàn)：y=b（b為常數(shù)）；平行于），軸的直線(xiàn)：x=a（“為常數(shù)）；

（5）直線(xiàn)系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線(xiàn)

（-）平行直線(xiàn)系

平行于已知直線(xiàn)4尤+綜/+。0=0（4,綜是不全為0的常數(shù)）的直線(xiàn)系：4x+Boy+C=O（C

為常數(shù)）

（二）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系

（i）斜率為左的直線(xiàn)系：y一%=%（％一玉）），直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（%,%）；

（ii）過(guò)兩條直線(xiàn)4:Ax+Bj+C=。，4：42尤+32丁+。2=0的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為

+++（4為參數(shù)），其中直線(xiàn)4不在直線(xiàn)系中。

（6）兩直線(xiàn)平行與垂直

當(dāng)/[:y=k[x+b]9l2:y=42二+。2時(shí)，

l}II12<=>仁=&.與；4，I）=k、k?=—1

注意「利用斜率判斷直線(xiàn)的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

（7）兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)

l[:Aix+B]y+Cl=0/2：4尤+32〉+。2=0相交

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組（A/+用y+C=0的一組解。

[A2x+B2y+C2=0

方程組無(wú)解O/J〃2；方程組有無(wú)數(shù)解與4重合

（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A（x,,y）,8（乙，月）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

2

則IAS|=^（x2-xy+（y2-yt）

（9）點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式：一點(diǎn)P（a,且）到直線(xiàn):Ax+By+C=（）的距離:,」Ax+B

y/A2+B2

（10）兩平行直線(xiàn)距離公式

在任一直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離進(jìn)行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。

2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（x—a）2+（y—bp=/，圓心（a/）,半徑為r；

（2）一般方程，+V+Dr+Ey+/?=O

當(dāng)￡）2+￡2-4尸>0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為｛2,_g），半徑為r=g4尸

當(dāng)+￡2-4/=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)+石2-4/<0時(shí)，方程不表示任何圖形。

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線(xiàn)必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。

3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：

直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

（1）設(shè)直線(xiàn)/:Ar+By+C=（）,圓C:（x-4）2+（y-bp=/,圓心C（a,b）到/的距離為乙=,

A2+B2

則有4>r0/與。相離；d=ro/與C相切；與C相交

（2）設(shè)直線(xiàn)/:Ax+By+C=0,圓。：（犬-4=/，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方

程之后，令其中的判別式為△,則有

△<0=/與。相離；△=（）0/與C相切；△>0=/與。相交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式*%+抄0=/去解直線(xiàn)與圓相切的問(wèn)題，其中（演），》0）表示

切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。

（3）過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程：

①圓犯+”=，，圓上一點(diǎn)為（xo，yo）,則過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為取o+?（）=/（課本命題）.

②圓門(mén)-4產(chǎn)+0切2=?,圓上一點(diǎn)為（X0,刈，則過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為他）-幻伏-。）+仇-勿0勿=r2（課本命題的推

廣）.

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（4）之間的大小比較來(lái)確定。

設(shè)圓G：（X-a,）2+（y-仇）2=r2,G：（x—〃2丁+（y—%）2=R?

兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的癡（差），匕圓心距（小之間的大小比較來(lái)確定。

當(dāng)d>R+r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線(xiàn)四條；

當(dāng)4=尺+r時(shí)兩圓外切，連心線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)，有外公切線(xiàn)兩條，內(nèi)公切線(xiàn)一條；

當(dāng)R-r<d<R+r時(shí)兩圓相交，連心線(xiàn)垂直平分公共弦，有兩條外公切線(xiàn);

當(dāng)4=R—時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線(xiàn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線(xiàn)；

當(dāng)d<R—/?時(shí)、兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=0時(shí)，，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,

由這些面所圍成的幾何體。

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCDE-AB'C'QZ'或用對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)字母，如五棱柱A?！?/p>

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于

底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P-A'B'C'。石

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高

的比的平方。

（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)P-A力。力Z'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線(xiàn)與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線(xiàn)交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線(xiàn)交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。

（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、

俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

ran

3、空間幾何體的直觀(guān)圖一一斜二測(cè)畫(huà)法

斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：①原來(lái)與x軸平行的線(xiàn)段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；

②原來(lái)與y軸平行的線(xiàn)段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，〃為斜高，1為母線(xiàn)）

S直棱柱側(cè)面積=ckS圓柱惻=271rh§正棱錐惻面積=2ch's圓錐側(cè)面積=

S正棱臺(tái)州面積=—（q+c2）h'S圓臺(tái)側(cè)面積=（廠(chǎng)+&R

圓柱表=2m（r+「G+/)S圓臺(tái)表=〃(/+“+R/+R?)

S/）S圓錐表=E

（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

%=Sh唳|柱=Sh=7rrh%=g

%=g(S，+Js5+S)h%臺(tái)=§(5+Js'S+S)〃=§%(廣+rR+R~)h

(4)球體的表面積和體積公式：V球=±T尸；S球面=4萬(wàn)7?2

4、空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系.

(1)平面

①平面的概念：A.描述性說(shuō)明；B.平面是無(wú)限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、8、丫表示，如平面a(通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi))；

也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC。

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面e內(nèi)，記作Aea；點(diǎn)A不在平面e內(nèi)，記作Aea

點(diǎn)與直線(xiàn)的關(guān)系：點(diǎn)A的直線(xiàn)/上，記作：AW/；點(diǎn)A在直線(xiàn)/外，記作A晝/；

直線(xiàn)與平面的關(guān)系：直線(xiàn)/在平面a內(nèi)，記作/Ua；直線(xiàn)/不在平面a內(nèi)，記作/Za。

(2)公理1：如果一條直線(xiàn)的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。(即直線(xiàn)

在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn))

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：AGl,B€l,A€a,Bwa=lua

(3)公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論：一直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線(xiàn)確定一平面；兩平行直線(xiàn)確定一平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

(4)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)

符號(hào)：平面a和B相交，交線(xiàn)是a,記作aCB=a。

符號(hào)語(yǔ)言：PeAHB=>Ar\B^l,Pel

公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線(xiàn)與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線(xiàn)必過(guò)公共點(diǎn)。

③它可以判斷點(diǎn)在直線(xiàn)上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)的重要依據(jù)。

(5)公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行

(6)空間直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

①異面直線(xiàn)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)

②異面直線(xiàn)性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線(xiàn)判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)

④異面直線(xiàn)所成角：直線(xiàn)。、人是異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)。，分別引直線(xiàn)b'//b,則把直線(xiàn)

優(yōu)和加所成的銳角(或直角)叫做異面直線(xiàn)a和b所成的角。兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍是(0°,90°],

若兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。

說(shuō)明：(1)判定空間直線(xiàn)是異面直線(xiàn)方法：①根據(jù)異面直線(xiàn)的定義；②異面直線(xiàn)的判定定理

(2)在異面直線(xiàn)所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)。

②求異面直線(xiàn)所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位

置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來(lái)求角

(7)等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。

(8)空間直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系

直線(xiàn)在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

直線(xiàn)不在平面內(nèi)戶(hù)目交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).

(或直線(xiàn)在平面外)(平行一一沒(méi)有公共點(diǎn).

三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：auaana=Aa〃a

(9)平面與平面之間的位置關(guān)系：平行一一沒(méi)有公共點(diǎn)；a//B

相交----有一條公共直線(xiàn)。aPlB=h

5、空間中的平行問(wèn)題

（1）直線(xiàn)與平面平行的判定及其性質(zhì)

線(xiàn)面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行。線(xiàn)線(xiàn)平行=

線(xiàn)面平行

線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)

和交線(xiàn)平行。線(xiàn)面平行=線(xiàn)線(xiàn)平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個(gè)平面平行的判定定理

（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線(xiàn)面平行一面面平行）,

（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線(xiàn)對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。

（線(xiàn)線(xiàn)平行一面面平行），

（3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行。（面面平行一線(xiàn)面平行）

（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。（面面平行一線(xiàn)線(xiàn)平行）

7、空間中的垂直問(wèn)題

（1）線(xiàn)線(xiàn)、面面、線(xiàn)面垂直的定義

①兩條異面直線(xiàn)的垂直：如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。

②線(xiàn)面垂直：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直，就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是

直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。

（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直這個(gè)平面。

性質(zhì)定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。

9、空間角問(wèn)題

（1）直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角

①兩平行直線(xiàn)所成的角：規(guī)定為0’。

②兩條相交直線(xiàn)所成的角：兩條直線(xiàn)相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線(xiàn)所成的角。

③兩條異面直線(xiàn)所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)0,分別作與兩條異面直線(xiàn)a,b平行的直線(xiàn)a',b',形成兩

條相交直線(xiàn)，這兩條相交直線(xiàn)所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線(xiàn)所成的角。

（2）直線(xiàn)和平面所成的角

①平面的平行線(xiàn)與平面所成的角：規(guī)定為0°。②平面的垂線(xiàn)與平面所成的角：規(guī)定為90。0

③平面的斜線(xiàn)與平面所成的角：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影所成的皿，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平

面所成的角。

求斜線(xiàn)與平面所成角的思路類(lèi)似于求異面直線(xiàn)所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。

在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn)，

在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn)；（2）過(guò)斜線(xiàn)上的一點(diǎn)或過(guò)斜線(xiàn)的

平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線(xiàn)。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這

兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射

線(xiàn)所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么

所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí)，過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角為二面角的平面

角

7、空間直角坐標(biāo)系/----------711

Bl--------f

(1)定義：如圖，OBCD-DABC是單位正方體.以A為原點(diǎn)，

分別以0D,0A,0B的方向?yàn)檎较颍⑷龡l數(shù)軸x軸.y軸.z軸。

這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

1)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2)x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3)過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。

(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向，

食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。

(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)

M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)(x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做

點(diǎn)M的豎坐標(biāo))

222

(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：d=^x2-xl)+(y2-yl)+(z2-zl)

高中數(shù)學(xué)必修3知識(shí)點(diǎn)

第一章算法初步

1.1.1算法的概念

算法的特點(diǎn)：

(1)有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無(wú)限的.

(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.

(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有?個(gè)確定的后繼步驟,

前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題.

(4)不唯一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過(guò)有限、事先設(shè)

計(jì)好的步驟加以解決.

1.1.2程序框圖

1、程序框圖基本概念：

(-)程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱(chēng)流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線(xiàn)及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)確、直觀(guān)地

表示算法的圖形。

一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線(xiàn)；程序框外必要文字說(shuō)明。

(二)構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用

程序框名稱(chēng)功能

/---------------------------------------\表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程

起止框

X_______________________/圖不可少的。

表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息、，可用在

輸入、輸出框

算法中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、

處理框公式等分別寫(xiě)在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處

—

理框內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處

判斷框標(biāo)明''是"或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”

或“N”。

學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫(huà)程序框圖的規(guī)則如下：

1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫(huà)。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖

符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和?個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過(guò)一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。4、判斷框分兩大類(lèi)，一類(lèi)

判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一類(lèi)是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。

5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語(yǔ)言要非常簡(jiǎn)練清楚。

（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語(yǔ)句與語(yǔ)句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，

它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線(xiàn)將程序框自上而]

下地連接起來(lái)，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B'

框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)]

行B框所指定的操作。?

2、條件結(jié)構(gòu)：?

條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過(guò)對(duì)條件的判斷

根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無(wú)論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時(shí)執(zhí)

行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。

3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開(kāi)始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，

這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱(chēng)重

復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類(lèi)：

（1）、一類(lèi)是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完

畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不

成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。

（2）、另一類(lèi)是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如卜右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，

如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開(kāi)循

環(huán)結(jié)構(gòu)。

注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來(lái)判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含

條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量川于記錄循環(huán)次

數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。

1.2.1輸入、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句

3、賦值語(yǔ)句

(1)賦值語(yǔ)句的一般格式圖形計(jì)算器

變量=表達(dá)式格式表達(dá)式f變量

(2)賦值語(yǔ)句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；(3)賦值語(yǔ)句中的“="稱(chēng)作賦值號(hào)，與數(shù)學(xué)中

的等號(hào)的意義是不同的。賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變

量；(4)賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式；(5)

對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。

注意：①賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯(cuò)誤的。②賦值號(hào)左右不能對(duì)換。

如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù)式的演算。(如化簡(jiǎn)、因式分

解、解方程等)④賦值號(hào)“=”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。

分析：在IF-THEN—ELSE語(yǔ)句中，“條件”表示判斷的條件，“語(yǔ)句1”表示滿(mǎn)足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容;

“語(yǔ)句2”表示不滿(mǎn)足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)

IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語(yǔ)句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的

語(yǔ)句2

1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)

1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

(1)：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商S。和一個(gè)余數(shù)&；(2)：若&=0,則n為m,n的最大

公約數(shù)：若&W0,則用除數(shù)n除以余數(shù)&得到一個(gè)商&和一個(gè)余數(shù)鳥(niǎo)；(3)：若?=0,則與為m,n

的最大公約數(shù)；若&W0,則用除數(shù)&除以余數(shù).得到一個(gè)商$2和一個(gè)余數(shù)為；……依次計(jì)算

直至(=0,此時(shí)所得到的a一即為所求的最大公約數(shù)。

2、更相減損術(shù)

我國(guó)早期也有求最大公約數(shù)問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)

的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

翻譯為：(1)：任意給出兩個(gè)正數(shù)：判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步。(2)：

以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得

的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。

例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).

分析：(略)

3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：

(1)都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾

轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯.

(2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來(lái)看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差

相等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序

1、秦九韶算法概念：

1

f(x)=anx"+an.ix"'+....+aix+ao求值問(wèn)題

n-1_|2n2n3

f(x)=anx"+an-1x+....+a?x+a?=(anx"+an.ix"-+...,+ai)x+ao=((anx_+an.ix'+....+a2)x+ai)x+a()

=.....=(...(anx+an-i)x+an.2)x+...+ai)x+ao

求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即v產(chǎn)anx+ae

然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即

V2=V|X+an-2V3=V2X+an-3……Vn=Vn.|X+a()

這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問(wèn)題。

第二章統(tǒng)計(jì)

2.1.1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

1.總體和樣本

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把研究對(duì)象的全體叫做總體.

把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體.

把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量.

為了研究總體x的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：々，々，…,x*

研究，我們稱(chēng)它為樣本.其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱(chēng)為樣本容量.

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類(lèi)、排隊(duì)等，完全隨

機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)

立，彼此間無(wú)一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之

間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。

3.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；⑵隨機(jī)數(shù)表法；⑶計(jì)算機(jī)模擬法；⑷使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。

在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證

程度。

4.抽簽法:

（1）給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào)；（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽

（3）對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查例：請(qǐng)調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。

5.隨機(jī)數(shù)表法：例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級(jí)中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)。

2.1.2系統(tǒng)抽樣

1.系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：

把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采

用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個(gè)體的排列對(duì)于研究的變量來(lái)說(shuō)，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)

則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開(kāi)始抽樣，對(duì)比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說(shuō)

明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

2.系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之?因?yàn)樗鼘?duì)抽樣框的要求較低，實(shí)施也比較

簡(jiǎn)單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序

排隊(duì)的話(huà)，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。

2.1.3分層抽樣

I.分層抽樣（類(lèi)型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類(lèi)型

或?qū)哟?，然后再在各個(gè)類(lèi)型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些

子樣本合起來(lái)構(gòu)成總體的樣本。

兩種方法：

1.先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2.先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣

的方法抽取樣本。

2.分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別

代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。

分層標(biāo)準(zhǔn)：

（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。

（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。

（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。

3.分層的比例問(wèn)題:

（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類(lèi)型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來(lái)抽取子樣本的方法。

（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會(huì)非常少，此時(shí)采用該方法，主

要是便于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專(zhuān)門(mén)研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對(duì)

各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

I、本均值：1='+>"+居

n

2、.樣本標(biāo)準(zhǔn)差一=而=卜「于+。2K

Vn

3.用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息

會(huì)有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差,

而只是一個(gè)估汁?，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。

4.（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變

（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k,標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉?lái)的k倍

（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間&-3s3+3s）的應(yīng)用；

“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理

2.3.2兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)

1、概念：（1）回歸直線(xiàn)方程（2）回歸系數(shù)

2.回歸直線(xiàn)方程的應(yīng)用

（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線(xiàn)回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系

（2）利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；把預(yù)報(bào)因子（即自變量x）代入回歸方程對(duì)預(yù)報(bào)量（即因變量Y）進(jìn)

行估計(jì)，即可得到個(gè)體Y值的容許區(qū)間。

（3）利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化，通過(guò)控制x的范圍來(lái)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如

己經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車(chē)流量間的回歸方程，即可通過(guò)控制汽車(chē)流量來(lái)控制空氣

中NCh的濃度。

4.應(yīng)用直線(xiàn)回歸的注意事項(xiàng)（1）做回歸分析要有實(shí)際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點(diǎn)圖；

（3）回歸直線(xiàn)不要外延。

第三章概率

3.1.1-3.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的必然事件；

（2）不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的不可能事件；

(3)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為相對(duì)于條件S的確定事件；

(4)隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件；

(5)頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀(guān)察某一事件A