微專題10中點常見問題及輔助線作法湖南2024年數(shù)學中考第一輪復習類型1

直角三角形+斜邊中點,作斜邊上的中線特點在直角三角形中,有斜邊上的中點示例結(jié)論在Rt△ABC中,∠C=90°,點D為AB的中點,作斜邊上的中線CD,則有CD=AD=BD=AB,可簡記為“直角+中點,等腰必呈現(xiàn)”思路點撥(1)有時有中點無直角,要尋找直角;(2)作用:①證明線段相等或求線段長;②構(gòu)造角相等進行等量代換【針對訓練】1.如圖,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于點D,∠BCD和∠BDC的平分線相交于點E,F為邊AC的中點,CD=CF,則∠ACD+∠CED= ()

A.125°

B.145°

C.175°

D.190°C類型2

等腰三角形+底邊中點,作底邊上的中線特點在等腰三角形中,底邊有中點示例幾何語言如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC邊中點,連接AD.則有BD=CD,∠BAD=∠CAD,AD⊥BC結(jié)論利用“三線合一”的性質(zhì),可解決線段相等、垂直問題及角度之間的數(shù)量關(guān)系

B類型3

邊的垂線+中點,構(gòu)造等腰三角形特點經(jīng)過線段的中點,出現(xiàn)線段的垂線示例結(jié)論點D是BC中點,DE⊥BC,連接BE,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可以得到:BE=CE【針對訓練】3.如圖,線段AB,BC的垂直平分線l1,l2相交于點O.若∠OEB=46°,則∠AOC=()A.92° B.88° C.46° D.86°B4.如圖,△ABC中,AD是高,CE是中線,點G是CE的中點,DG⊥CE,點G為垂足.(1)求證:DC=BE;(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度數(shù).【解析】(1)連接DE.∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵AE=EB,∴DE=EB=EA,∵DG⊥EC,EG=GC,∴DE=CD,∴DC=BE.(2)設(shè)∠BCE=x.∵EB=DE=DC,∴∠DCE=∠DEC=x,∴∠EBD=∠BDE=∠DEC+∠DCE=2x,∵∠AEC=∠EBD+∠ECD,∴66°=3x,∴x=22°,∴∠BCE=22°.類型4

任意三角形+中點,構(gòu)造三角形中位線特點多個中點出現(xiàn)或平行+中點(中點在平行線上)示例結(jié)論如圖①,在△ABC中,點D,E分別為AB,AC的中點,連接DE.則有DE∥BC,DE=BC如圖②,在△ABC中,點D為AB的中點,過點D作DE∥BC交AC于點E,則有AE=EC,DE=BC【針對訓練】5.如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點.(1)若AB=6,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的長;(2)若∠BDC-∠ABD=90°,求證:AB2+CD2=4EF2.

類型5

任意三角形+中線,倍長中線法得全等特點三角形中出現(xiàn)中線或類中線(與中點有關(guān)的線段),要求證明線段間的數(shù)量關(guān)系示例①

②

結(jié)論如圖①,在△ABC中,點D為BC的中點,延長AD到點E,使得DE=AD,連接BE.則有:△ADC≌△EDB如圖②,在△ABC中,點D為BC的中點,延長ED到點F,使DF=ED,連接CF.則有:△BED≌△CFD【針對訓練】6.如圖,在△ABC中,AB=7,AC=9,AD是BC邊上的中線,則AD的取值范圍是()A.2<AD<16

B.0<AD<16C.1<AD<8

D.7<AD