山東省臨沂市蘭陵縣2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)12月線上摸底測試試題考試范圍：必修第一冊1-4章；5.1考試時間：120分鐘；留意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題1.設(shè)全集，集合，，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出的補集，再依據(jù)交集的運算法則計算即可．【詳解】解：由已知易得，．故選：B．2.“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】為整數(shù)能推出為整數(shù)，為整數(shù)時，不肯定為整數(shù)，即可得到答案.【詳解】若為整數(shù)，則肯定為整數(shù)，但當(dāng)時，也為整數(shù)，故為整數(shù)是“為整數(shù)”的充分不必要條件故選：B.3.已知函數(shù)，，則圖象如圖的函數(shù)可能是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像奇偶性和單調(diào)性即可推斷.【詳解】由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，和為非奇非偶函數(shù)，故A、B不符；當(dāng)x＞0時，單調(diào)遞增，與圖像不符，故C不符；為奇函數(shù)，當(dāng)x→＋時，∵y＝的增長速度快于y＝lnx的增長速度，故＞0且單調(diào)遞減，故圖像應(yīng)當(dāng)在x軸上方且無限靠近x軸，與圖像相符.故選：D.4.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先推斷函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)零點存在性定理推斷即可.【詳解】解：的定義域為，又與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，，所以，所以在上存在唯一的零點.故選：C5.中國是全球最大的光伏制造和應(yīng)用國，平準(zhǔn)化度電成本（LCOE）也稱度電成本，是一項用于分析各種發(fā)電技術(shù)成本的主要指標(biāo)，其中光伏發(fā)電系統(tǒng)與儲能設(shè)備的等年值系數(shù)對計算度電成本具有重要影響．等年值系數(shù)和設(shè)備壽命周期具有如下函數(shù)關(guān)系，為折現(xiàn)率，壽命周期為年的設(shè)備的等年值系數(shù)約為，則對于壽命周期約為年的光伏-儲能微電網(wǎng)系統(tǒng)，其等年值系數(shù)約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得出，解出，然后將代入計算即可得解.【詳解】由已知可得，解得，當(dāng)時，則.故選：D.6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的函數(shù)值與函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行推斷即可.【詳解】由題知當(dāng)時，函數(shù)，解除A，C，又由，，，解除B.故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖像問題，解決此類問題，基本就是解除法進(jìn)行解題，往往就是函數(shù)的特別值，奇偶性，單調(diào)性，周期性等等進(jìn)行推斷即可.7.已知，記，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：因為，所以，所以，故選：A8.已知是定義為R上的奇函數(shù)，f(1)＝0，且f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是定義為R上的奇函數(shù)可知函數(shù)關(guān)于點對稱；再結(jié)合，即可得出.再結(jié)合f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.再分類探討即可你求出答案.【詳解】因為是定義為R上的奇函數(shù),所以;函數(shù)關(guān)于點對稱.當(dāng)時：；當(dāng)時：;所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，解得;當(dāng)時，解得;當(dāng)時，解得;綜上所述：不等式的解集故選：D.二、多選題9.給定下列命題，其中真命題為（）A.若，則B.若，則C.若，則D.，不等式成立【答案】BD【解析】【分析】利用特別值法可推斷A選項；利用不等式的性質(zhì)可推斷B選項；利用作差法可推斷CD選項.【詳解】對于A選項，若，取，，則，A錯；對于B選項，若，由不等式性質(zhì)可得，B對；對于C選項，若，則，即，C錯；對于B選項，，，即，D對.故選：BD.10.已知，設(shè)函數(shù)，，，若的最大值為，最小值為，那么和的值可能為（）A.4與1 B.5與2 C.5與3 D.6與4【答案】CD【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，依據(jù)新函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】令，，∴，∴為奇函數(shù)，設(shè)的最大值為t，最小值為，∴，，可得，∵，∴2b為偶數(shù)，故選：CD．11.已知是實數(shù)，則下列不等關(guān)系表述，肯定正確的有（）A.若，則 B.C. D.若.則【答案】CD【解析】【分析】可以通過作差，再利用不等式的性質(zhì)可以推斷A；運用基本不等式，對于隨意正實數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，可以推斷B；運用基本不等式，對于隨意實數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，可以推斷C；利用不等式的性質(zhì)可以推斷D.【詳解】對于A：由于，實數(shù)的符號不確定，故的符號也不確定，故A錯誤；對于B：若，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，但是，若，則不成立，故B錯誤；對于C：等價于等價于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，對于隨意實數(shù)都成立，故C正確；對于D：由于，則，又因為，所以，故D正確.故選：CD12.現(xiàn)將一條長為10的細(xì)繩截成兩段，分別圍成一個正方形以及一個三邊長的比例為3:4:5的三角形，則下列說法正確的是（）A.兩個圖形的面積之和的最小值為B.兩個圖形的面積之積的最大值為C.若兩個圖形的面積之和大于，則正方形周長的取值范圍是D.若兩個圖形的面積之和大于，則正方形周長與三角形周長之比的最大值不存在【答案】CD【解析】【分析】設(shè)將長為10的細(xì)繩截成兩段后的長分別為x，y，分別表示出正方形和三角形的面積，即可依次推斷每個選項的正誤.【詳解】設(shè)將長為10的細(xì)繩截成兩段后的長分別為x，y．將長度為x的細(xì)繩圍成正方形，其面積為．將長度為y的細(xì)繩圍成三邊長的比例為3:4:5的直角三角形，即三邊長分別為，，，其對應(yīng)的面積為．對A，兩個圖形的面積之和．又，所以，當(dāng)時，S取到最小值，最小值為，故選項A錯誤；對B，兩個圖形的面積之積．由基本不等式得，則，即Z的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故選項B錯誤；對C，令，解得，故選項C正確；對D，正方形與三角形周長之比為，明顯不存在最大值，故選項D正確.故選：CD．第II卷（非選擇題）三、填空題13._________【答案】1【解析】【分析】依據(jù)角度與弧度的換算即可求解.【詳解】因為，所以，故答案為：.14.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則_________．【答案】2【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)運算法則可知，，再依據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得，代入計算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，又因為函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，所以，即，而，所以；所以，.故答案：2.15.已知為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則___________.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的解析式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，故答案為：16.已知，且，則的最小值是___________.【答案】4【解析】【分析】將已知化為，所求通分變形為，利用基本不等式即可求解.【詳解】解：，，又（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.的最小值為4.故答案為：4.【點睛】關(guān)鍵點點睛：基本不等式中最值定理“和定積最大，積定和最小”是解本題的關(guān)鍵，對所求式子分析知，只需把已知條件因式分解，所求前兩個分式通分即可求解.四、解答題17.化簡求值：（1）（2）【答案】（1）1（2）1【解析】【分析】（1）依據(jù)指數(shù)冪的運算進(jìn)行化簡求值；（2）依據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行化簡求值.【小問1詳解】原式【小問2詳解】原式18.已知函數(shù)，且．（1）求證：函數(shù)有兩個不同的零點；（2）設(shè)是函數(shù)的兩個不同的零點，求的取值范圍【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，再求出的判別式即得證；（2）先寫出韋達(dá)定理，再求出即得解.【小問1詳解】證明：∵，∴．∴．對于方程，，∴恒成立．又，∴函數(shù)有兩個不同的零點．【小問2詳解】解：由是函數(shù)的兩個不同的零點，得是方程的兩個根．∴，．∴．∴的取值范圍是.19.已知實數(shù)，，滿意．（1）若，求證：；（2）若，，求的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】對于（1），利用做差法可得答案；對于（2），由題可得為方程的根，由可得答案.【小問1詳解】證明：.因，，則.故.得，即.【小問2詳解】因，，則.故為方程的根，則.又，，可知.則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故的最小值為1.20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水背山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)覺：某水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿意如下關(guān)系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元．己知這種水果的市場售價大約為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為400元【解析】【分析】（1）利用，即可求解；（2）對進(jìn)行化簡，得到，然后分、探討取值，進(jìn)而得到答案.【小問1詳解】依據(jù)題意，，化簡得，；【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，因為，所以當(dāng)時，，故當(dāng)施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為400元.21.已知集合，或.（1）當(dāng)時，求；（2）當(dāng)時，若“”是“”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入求出集合，再求即可；（2）化簡，將已知條件轉(zhuǎn)化為，列出不等式求解可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，由不等式，得，故，又或，所以；【小問2詳解】若“”是“”的充分條件，等價于，因為，由不等式，得，又或，要使，則或，又因為，解得.綜上可得實數(shù)a的取值范圍為.22.已知函數(shù)，且）．（1）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且點在函數(shù)的圖象上，求實數(shù)的值；（2）已知函數(shù)，．若的最大值為8，求實數(shù)的值．【答案】（1）4（