一、RLC串聯(lián)電路的方程二、RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)三、RLC串聯(lián)電路的階躍響應(yīng)3.7二階電路分析3.7二階電路分析3.7二階電路分析當(dāng)電路中包含有兩個(gè)（不能等效為一個(gè)）獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件時(shí)，描述電路的方程是二階線性常系數(shù)微分方程。在二階電路中，給定的初始條件有兩個(gè)，它們由儲(chǔ)能元件的初始值決定。RLC串聯(lián)電路和GCL并聯(lián)電路為最簡單的二階電路。3.7二階電路分析二階電路的分析方法是，依據(jù)KCL或KVL以及組成電路元件的VCR列出描述二階電路微分方程，然后通過解方程得出電路的響應(yīng)，并對響應(yīng)加以分析。分析二階電路，需要給定兩個(gè)獨(dú)立的初始條件，并利用初始條件求解得到電路的響應(yīng)。它是一階電路的推廣。與一階電路不同，二階電路的響應(yīng)可能出現(xiàn)電磁振蕩形式。RLC串聯(lián)電路是典型的二階電路。以RLC串聯(lián)電路為例討論二階電路的零輸入響應(yīng)和階躍響應(yīng)。RLC串聯(lián)電路3.7二階電路分析t>0RLC+-iuc+-uL設(shè)uC(0+)=U0i(0+)=0(t=0)一、RLC串聯(lián)電路的微分方程一、RLC串聯(lián)電路的微分方程及全響應(yīng)3.7二階電路分析列二階電路的方程。如圖所示的RLC串聯(lián)電路，當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)S閉合，研究t≥0時(shí)電路的響應(yīng)uC(t)。t>0電路中的電流：根據(jù)KVL，得：把以上關(guān)系代入KVL方程，并稍加整理，得：（3.7.1）3.7二階電路分析由R、L、C元件的VCR，有關(guān)于電容電壓uc常系數(shù)非齊次二階微分方程。3.7二階電路分析（3.7.1）解以上微分方程需要兩個(gè)初始值，即初始條件uC(0+)和u'C(0+)在不致混淆的情況下，我們把0+就寫為0當(dāng)t=0+時(shí)，有（3.7.2）3.7二階電路分析

針對RLC串聯(lián)電路，若已知初始值uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，完整的微分方程表達(dá)為

特征根：特征方程：RLC串聯(lián)電路所需的兩個(gè)初始條件需由題意確定。

(3.7–1’)令

(3.7-3)或3.7二階電路分析則式(3.7-1)可以寫為式中，α稱為衰減常數(shù)；ω0稱為RLC串聯(lián)電路的諧振角頻率；特征根

稱為電路的固有頻率或自然頻率。3.7二階電路分析討論特征根僅和電路結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與電路的初始狀態(tài)無關(guān)。電路參數(shù)不同,其特征根的形式也不同。在開關(guān)閉合后，電路中發(fā)生了電磁過程，將會(huì)有儲(chǔ)能元件L和C之間的電磁能量轉(zhuǎn)換，但由于耗能元件電阻R的存在，致使能量不斷消耗。二階電路會(huì)發(fā)生哪種類型過渡過程，取決于特征根是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)。即取決于α和ω0兩項(xiàng)值的相對大小，或者說依賴于電路參數(shù)R、L、C的相互關(guān)系。3.7二階電路分析討論過阻尼臨界阻尼欠阻尼無阻尼（1）（2）（3）（4）電路的響應(yīng)可以根據(jù)α和ω0兩項(xiàng)值的相對大小分為4種情況：例1圖示二階電路，假設(shè)初始條件uC(0+)=4V，iL(0+)=1A，求電容上電壓uC(t)

。+_+_iuc10V6Ω0.5H0.1F解RLC串聯(lián)電路微分方程為：特征根：則微分方程的通解為過阻尼全解K1=-6.25，K2=0.25由初始條件uC(0+)=4V，iL(0+)=1A確定積分常數(shù)K1、K2微分方程的特解為強(qiáng)制響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）固有響應(yīng)（暫態(tài)響應(yīng)）例2圖示二階電路，假設(shè)初始條件uC(0+)=4V，iL(0+)=1A，求電容上電壓uC(t)

。解RLC串聯(lián)電路微分方程為：特征根：則微分方程的通解為+_+_iuc10V2Ω0.5H0.1F欠阻尼全解A=-0.5，B=-6由初始條件uC(0+)=4V，iL(0+)=1A確定積分常數(shù)A、B微分方程的特解為強(qiáng)制響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）固有響應(yīng)（暫態(tài)響應(yīng)）等幅振蕩當(dāng)R=0時(shí)，RLC串聯(lián)電路的特征根為則微分方程的通解為全解無阻尼3.7二階電路分析求二階電路全響應(yīng)的步驟(a)列寫t>0+電路的微分方程(f)全解=通解+特解(g)據(jù)初始條件，確定待定系數(shù)(d)根據(jù)特征根形式求解通解小結(jié)(b)確定初始條件(c)求解微分方程特征根，并根據(jù)特征根的情況分4種情況確定下面討論(e)根據(jù)電源的輸入形式，確定特解的相應(yīng)形式，并代入微分方程中求解出特解令激勵(lì)，根據(jù)式（3.7-1）得RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)的二階齊次微分方程為：二、RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)（3.7-4’）（3.7-4）3.7二階電路分析特征根：特征方程：3.7二階電路分析設(shè)電路為零輸入時(shí)，電路以電容電壓uC(t)為響應(yīng)的兩個(gè)初始值：當(dāng)R、L、C取不同值時(shí)(設(shè)R、L、C均非負(fù))，特征根(固有頻率)有4種不同情況，零輸入響應(yīng)也有4種不同情況：（3.7-5）下面分別討論4種不同情況的零輸入響應(yīng)。設(shè)：（3.7-6）這種情況下，電阻R的值較大，對電能損耗較大，對電流的阻礙作用較大。和為不相等的負(fù)實(shí)根，和分別為：3.7二階電路分析

，即時(shí)，非振蕩衰減放電過程，稱為過阻尼情況1、（3.7-7）

的通解，即零輸入響應(yīng)為：A1、A2由電路狀態(tài)變量的初始值決定。阻尼（英語：damping）是指任何振動(dòng)系統(tǒng)在振動(dòng)中，由于外界作用或系統(tǒng)本身固有的原因引起的振動(dòng)幅度逐漸下降的特性，以及此一特性的量化表征。在電學(xué)中，是響應(yīng)時(shí)間的意思。阻尼是指阻礙物體的相對運(yùn)動(dòng)、并把運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化為熱能或其他可以耗散能量的一種作用。（3.7-7）把初始條件代入式（3.7-7）得：令初始條件為：3.7二階電路分析（3.7-5）解得：（3.7-9）（3.7-8）

、代入式（3.7-7）得電容電壓響應(yīng)解：3.7二階電路分析放電電流的響應(yīng)解：電感電壓響應(yīng)解：3.7二階電路分析由于

衰減得快，衰減得慢，故

U0tuc3.7二階電路分析是兩個(gè)指數(shù)衰減項(xiàng)的疊加。s2-s1<0,|s1|<|s2|，所以uc2

比uc1衰減得快，在uc2消失后，衰減過程取決于uc1?？梢钥闯?，uc（t）從U0開始單調(diào)地衰減到0衰減過程是單調(diào)的，電容一直處于放電狀態(tài)，放電過程是非振蕩的。U0tuc由于

衰減得快，衰減得慢，故

3.7二階電路分析t=0+,

ic=0/,

iL(0+)=0；由于電路中串聯(lián)電感，電流絕對值由0開始逐漸增大但ic<0，t=tm時(shí)|ic|最大，t=，ic=0。tU0uctm2tmuLic0<t<tm|i|增加,uL<0t>tm

|i|減小,uL

>0ic，uLt=2tm時(shí)uL

最大uL=0t=tm時(shí),

uL

=0時(shí)電感貯能達(dá)到最大。當(dāng)時(shí)，的值和的絕對值同時(shí)減小，表明電容和電感都釋放能量，釋放的能量被電阻R消耗。

時(shí)，釋放能量的過程結(jié)束，電路的初始貯能全部被電阻消耗，，。電容釋放的能量一部分變成磁場能貯存于電感中，一部分被電阻消耗。由圖可見，在期間，

下降，的絕對值增大，電容處于放電狀態(tài)，但電感貯能不斷增加。3.7二階電路分析能量轉(zhuǎn)換關(guān)系ucictU0uctm2tmuLicic，uLuL=0放電電流達(dá)最大時(shí)刻tm

如何求？3.7二階電路分析iC為極值時(shí)的t即uL=0時(shí)的

tm,計(jì)算如下:由duL/dt可確定uL為極（大）值時(shí)的t.

例3：電路如下圖所示,US=10V,C=1

F,R=4k

,L=1H，開關(guān)S原來閉合在觸點(diǎn)1處，t=0時(shí)，開關(guān)S由觸點(diǎn)1接至觸點(diǎn)2處，求：(1)

uC,uR,i和uL

(2)

imax

解：求(1)

uC,uR,i和

uL

特征根續(xù)續(xù)例4已知R=3

,L=0.5H,C=0.25F,uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求uC(t)和iL(t)的零輸入響應(yīng)。則：解：由R,L,C的值，計(jì)算出固有頻率利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得：解得:K1=6和K2=-4，最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為

過阻尼情況uC20tiL10t從波形可看出，在t>0以后，電感電流減少，電感放出它儲(chǔ)存的磁場能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿?，使電容電壓增加。到電感電流變?yōu)榱銜r(shí)，電容電壓達(dá)到最大值，此時(shí)電感放出全部磁場能。以后，電容放出電場能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌瞿?。到電感電流達(dá)到負(fù)的最大值后，電感和電容均放出能量供給電阻消耗，直到電阻將電容和電感的初始儲(chǔ)能全部消耗完為止。這種情況下，電阻R的值比過阻尼時(shí)小，因此，對能量的損耗和對電流的阻礙作用較過阻尼情況要小。

，稱臨界阻尼(Criticalllydamped)情況

的齊次解（零輸入響應(yīng)）為：（3.7-10）把初始條件和代入上式得：3.7二階電路分析此時(shí)，固有頻率為相同的負(fù)實(shí)數(shù)：任何一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)阻尼增加到一定程度時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)是非周期性的，物體振動(dòng)連一次都不能完成，只是慢慢地回到平衡位置就停止了。當(dāng)阻力使振動(dòng)物體剛好能不作周期性振動(dòng)而又能最快地回到平衡位置的情況，稱為“臨界阻尼”。（3.7-11）

和的值代入式（3.7-10）得響應(yīng)：以上各式表明，它們均單調(diào)地衰減，最后趨于零，所以仍屬非振蕩類型。但這正好是過阻尼和欠阻尼，非振蕩和振蕩的分界線，故稱臨界阻尼，或臨界非振蕩。3.7二階電路分析非振蕩放電例5：前述電路中,C=1F,L=1H,R=3

,uC(0)=0,i

(0)=1A

，t

0時(shí)，uOC(t)=0,試求uC(t)及iL(t)。解：利用前述結(jié)果臨界阻尼

例6：前述電路中,C=0.25F,L=0.5H,R=3

,uC(0)=2V,i

(0)=1A

，t

0時(shí)，uOC(t)=0,試求uC(t)及iL(t)。解：根據(jù)前述結(jié)果臨界阻尼，非振蕩放電這種情況下，電阻的值較臨界阻尼情況更小，對電能的損耗和對電流的阻礙作用也更小。和是一對共軛復(fù)根，分別為：3、，稱欠阻尼或衰減振蕩情況3.7二階電路分析α、ω0、ωd三者組成一個(gè)直角三角形。3.7二階電路分析

對應(yīng)的通解形式，即零輸入響應(yīng)為：應(yīng)用歐拉公式，上式可繼續(xù)表示為A為待定常數(shù)3.7二階電路分析待定常數(shù)A1，A2，或A，由初始條件確定。設(shè)：3.7二階電路分析得：將代入中：電路中其它響應(yīng)：

的響應(yīng)特性是有衰減的振蕩，其振蕩幅度按指數(shù)規(guī)律衰減，稱為衰減系數(shù)，

d是振蕩的角頻率。欠阻尼uc(t)

的波形曲線

t=0時(shí)uc=U0α為衰減系數(shù)，α越大，衰減越快

d為衰減振蕩角頻率，

d越大，振蕩周期越小，振蕩加快；

欠阻尼

的波形曲線

和的波形都呈衰減的正弦振蕩，電感和電容都有充放電的過程。這是由于電容放電時(shí)，因?yàn)殡娮柚递^小，少部分能量被電阻消耗，大部分能量被以磁場能形式貯存在電感中。電容放電結(jié)束，貯能變?yōu)榱?，此時(shí)電感又放電，電容充電，電阻也消耗能量。這種充放電過程即動(dòng)態(tài)元件能量的交換過程一直持續(xù)下去，使和呈現(xiàn)振蕩。但能量每交換一次，電阻R都要消耗部分能量，而電路的初始貯能有限，因此，隨著時(shí)間增加，振蕩幅度越來越小，時(shí)，和衰減為零。波形衰減的程度取決于衰減常數(shù)。設(shè)uC(0)=U0,iL(0)=0，則

代入初始條件，得：于是，得：

的解為：4.，稱無阻尼情況，是欠阻尼的特例。和為一對共軛虛根，和為：3.7二階電路分析此時(shí)：

=0由圖可知，在無阻尼情況下，由于電阻R=0，電路中無能量損耗，電路中的貯能通過兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件的充放電，在兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件之間轉(zhuǎn)換，形成等幅的正弦振蕩。

0稱為自由振蕩頻率。振蕩一旦形成，就一直持續(xù)下來，永不消失。3.7二階電路分析的波形曲線

R＝0時(shí)，

例7：RLC串聯(lián)電路中,R=1

,

L=1H,C=1F,uC(0)=1V,i

(0)=1A

，試求零輸入響應(yīng)

uC(t)及iL(t)。

解：欠阻尼特征方程解：電路方程

例8：LC振蕩回路中，L=1/16H,C=4F,uC(0)=1V,i(0)=1A

，試求零輸入響應(yīng)uC(t)及iL(t)。特征根

，無阻尼由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會(huì)減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為90

，當(dāng)電容電壓為零，電場儲(chǔ)能為零時(shí)，電感電流達(dá)到最大值，全部能量儲(chǔ)存于磁場中；而當(dāng)電感電流為零，磁場儲(chǔ)能為零時(shí)，電容電壓達(dá)到最大值，全部能量儲(chǔ)存于電場中。例8：RLC串聯(lián)電路中,R=1

,

L=1/4H,C=1F,uC(0)=-1V,i

(0)=0，t

0時(shí)，uOC(t)=0,試求

iL(t)。解：臨界阻尼狀態(tài)3.7二階電路分析綜上所述，RLC串聯(lián)零輸入電路中，隨著電阻R從大到小變化，電路工作狀態(tài)從過阻尼，臨界阻尼到欠阻尼變化，直至R=0為無阻尼狀態(tài)。其工作狀態(tài)僅取決于電路的固有頻率S1、S2，而與初始條件無關(guān)。1、過阻尼的響應(yīng)，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。2、臨界阻尼的響應(yīng)，s1=s2是相等的負(fù)實(shí)數(shù)，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。3、欠阻尼的響應(yīng)，響應(yīng)是振幅隨時(shí)間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù)

越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率

d

越大，振蕩周期越小，振蕩越快。3.7二階電路分析4.無阻尼情況，s1和s2是共軛虛數(shù)，

=0，振幅不再衰減，形成角頻率為

0的等幅振蕩。顯然，當(dāng)固有頻率的實(shí)部為正時(shí)，響應(yīng)的振幅將隨時(shí)間增加，電路是不穩(wěn)定的。由此可知，當(dāng)一個(gè)電路的全部固有頻率具有負(fù)實(shí)部時(shí)，電路是穩(wěn)定的。

綜上所述，RLC二階電路的零輸入響應(yīng)形式與其固有頻率密切相關(guān)，如下圖：三、RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)和階躍響應(yīng)3.7二階電路分析二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)：二階電路的初始儲(chǔ)能為零（電容電壓為零，電感電流為零），僅由外施激勵(lì)引起的響應(yīng)。二階電路的階躍響應(yīng)：二階電路在階躍激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。數(shù)學(xué)模型：電容電壓階躍響應(yīng)3.7二階電路分析1.二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)uc(0－)=0,

iL(0－)=0微分方程為：通解特解特解:特征方程為:全解:3.7二階電路分析uC解答形式為：tuCUS0例:求.解:電路方程(二階非齊次方程).方程解=特解+通解方程特解(穩(wěn)態(tài)解):通解:1>.當(dāng)(過阻尼)設(shè):分別為初始條件:代入解出得:2>.當(dāng)臨界阻尼,

由初始條件:得:3>.當(dāng),欠阻尼振蕩當(dāng)即時(shí),波形圖

隨著R減小,系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩,R越小,超調(diào)量越大.響應(yīng)速度與超調(diào)量是互相關(guān)聯(lián)的,在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮二者之間的關(guān)。(參見自動(dòng)控制于理論).討論:

減小R可使系統(tǒng)響應(yīng)加快,在時(shí),.求電流i的零狀態(tài)響應(yīng)。

i1=i－0.5u1=i

－0.5(2－i)2=2i－2由KVL：整理得：首先寫微分方程解2-ii1例二階非齊次常微分方程+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Ai特征根為：P1=－2，P2=－6解答形式為：第三步求特解i'由穩(wěn)態(tài)模型有：i'

=0.5u1u1=2(2－0.5u1)i'=1Au1=2第二步求通解穩(wěn)態(tài)模型+u1-2

i2A0.5u12

第四步定常數(shù)由0+電路模型：+u1-0.5u12W1/6F1Hk2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W+2A-uL(0+)3.7二階電路分析3.7二階電路分析3.7二階電路分析下面以討論階躍響應(yīng)為例討論RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)。三、RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)和階躍響應(yīng)由式（3.7-1）得到關(guān)于的方程為：階躍響應(yīng)是單位階躍信號(hào)激勵(lì)下電路的零狀態(tài)響應(yīng)。對圖3.7-1電路，令，為響應(yīng)，求階躍響應(yīng)。（3.7-17）3.7二階電路分析t>0式（3.7-17）的解等于齊次解和特解之和，即：由于t>0時(shí)，故。式（3.7-17）的齊次方程與式（3.7-3）表示的零輸入響應(yīng)方程相同，故式（3.7-17）與式（3.7-3）特征方程相同，特征根也分4種情況。每種情況對應(yīng)的齊次解形式也相同。3.7二階電路分析以特征根為一對共軛復(fù)根，即欠阻尼情況為例，求齊次解和階躍響應(yīng)。特征根和分別為：齊次解為：3.7二階電路分析的階躍響應(yīng)為：（3.7-18）代入初始條件：得：、的值代入式（3.7-8）得階躍響應(yīng)為:3.7二階電路分析（3.7-19）

的波形如圖3.7-5所示。

圖3.7-5階躍響應(yīng)的波形3.7二階電路分析

例3.7-1

如圖3.7-2所示的電路，已知r=1.5Ω，L=0.5H，C=1F。初始值uC(0)=2V,iL(0)=1A，求t≥0時(shí)uC、iL和uL的零輸入響應(yīng)。將元件參數(shù)值代入得解圖3.7-2例3.7-1圖其特征方程為s2+3s2+2=0，可解得特征根s1=-1，s2=-2，因此uC的零輸入響應(yīng)將初始值代入，得由以上兩式可解得K1=5，K2=-3。將K1、K2的值代入uC(t)表示式，得電容電壓(3.7-8a)

uC(0)=K1+K2=2

(0)=iL(0)/C=－K1－2K2=1uC(t)=5e－t–3e－2t(V)，t≥0電感電流(iL=iC)(3.7-8b)

圖3.7-3給出了uC、iL、uL隨時(shí)間變化的曲線。

iL(t)==–5e–t+6e–2t(A)，

t

≥0電感電壓(3.7-8c)圖3.7-3例3.7-1的響應(yīng)由圖可見，在0<t<tm1區(qū)間，iL>0，uL<0，uC>0。這時(shí)uLiL<0，電感釋放其初始儲(chǔ)能；而uCiL>0，電容充電，它吸收了電感的部分原始儲(chǔ)能，電容電壓稍有增加。當(dāng)t=tm1時(shí)，iL=0，電感原始儲(chǔ)能全部釋放，電容電壓uC達(dá)到極大值。由式(3.7-8b)可得在時(shí)，有這時(shí)

uCm=2.08V

在tm1<t<tm2區(qū)間，uCiL<0，電容放電，uC減小，而iLu

L>0，電感吸收了電容釋放的部分儲(chǔ)能。當(dāng)t=tm2時(shí)，電流達(dá)極小值，uL=0。由式(3.7-8c)可得，在時(shí)，有這時(shí)

iLm=-1.04A

在t>tm2以后，uCiL<0，uLiL<0，電容和電感都釋放能量，直到其全部儲(chǔ)能被電阻所消耗。最后uC=0，iL=0，uL=0。

例3.7-2

一rLC串聯(lián)電路如圖3.7-2所示，已知r=1.6Ω，L=0.04H，C=0.0024F,電容初始電壓uC(0)=2V，電感初始電流iL(0)=0。求t≥0時(shí)uC、iL和uL的零輸入響應(yīng)。

解電路方程同例3.7-1，這里不再重述。由給定的元件參數(shù)，按式(3.7-2)，得可見α<ω0，故屬于衰減振蕩情形。由式(3.7-7c)可得振蕩角頻率可見α<ω0，故屬于衰減振蕩情形。由式(3.7-7c)可得振蕩角頻率由表3-3可知電容電壓uC和電感電流iL為(uC(0)=2V，iL(0)=0)(3.7-9a)(3.7-9b)=2.04e–20tcos(100t

－

)(V)t≥0

=－0.5e–20tsin100t(A)，t≥0由，經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算可得(3.7-9c)圖3.7-4給出了uC、iL、uL隨時(shí)間變化的曲線。=－2.04e–20tcos(100t+

)(V)，t

≥0

圖3.7-4例3.7-2圖由圖可見，電壓、電流的實(shí)際方向作周期性的變化，它們的波形呈衰減振蕩的形狀，其衰減的程度取決于衰減常數(shù)α(本例α=20s-1)，其振蕩角頻率為β(本例β=100rad/s)。在衰減振蕩過程中，電感和電容也周期地交換部分能量，由于電阻將消耗能量，因而振蕩呈衰減趨勢。

k=0，1，2，…根據(jù)uC、iL和uL的表示式，可得出波形圖中的零點(diǎn)和極值點(diǎn)的情況。

(1)uC=0的點(diǎn)，在處，其第一個(gè)零點(diǎn)為rad，t=17.7ms。

(2)iL=0的點(diǎn)，，是uC的極值點(diǎn)，它位于

βt=kπk=0，1，2，…處。當(dāng)k=0時(shí)，βt=0，uCmax=2V；k=1時(shí)，βt=π，t=31.4ms，uCmin=-0.98V。

(3)uL=0的點(diǎn)，，是iL的極值點(diǎn)，它位于

k=0，1，2，…

處。當(dāng)k=0時(shí)，βt=

rad，t=13.7ms，iLmin=-0.373A。最后需要說明，如本例中r=

=8.165Ω，則β=0，α=102.06s-1。這是臨界阻尼的情況，它是衰減振蕩與非振蕩(過阻尼)情況的邊界，其電壓、電流波形與過阻尼情況類似。如果r=0，則衰減常數(shù)α=0，這時(shí)振蕩頻率β=ω0=102.06rad/s，其電壓、電流表示式可參見表3-3。這時(shí)uC、iL以及uL都是正弦(或余弦)函數(shù)，它們的振幅并不衰減，而是等幅振蕩。

3.7.2rLC串聯(lián)電路的階躍響應(yīng)如前所述，階躍響應(yīng)是在單位階躍信號(hào)ε(t)的作用下電路的零狀態(tài)響應(yīng)。由式(3.7-3)和(3.7-4)可知，rLC串聯(lián)電路的階躍響應(yīng)所滿足的方程為(3.7-10)初始值為(3.7-11)式(3.7-10)的解由齊次解uCh與特解uCp組成。式(3.7-10)的特征方程與零輸入響應(yīng)的情況相同。其特征根s1、s2也有4種情況。一般而言，式(3.7-10)的齊次解可寫為

由于階躍信號(hào)ε(t)在t>0時(shí)等于常數(shù)1，故其特解也是常數(shù)，代入式(3.7-10)，可求得特解uCp=1所以階躍響應(yīng)

g(t)=uC(t)=1+K1

+K2

(3.7-12)

將初始值式(3.7-11)代入上式，就可求得各種情況下的階躍響應(yīng)。表3-4列出了rLC串聯(lián)電路在各種情況下的階躍響應(yīng)。表3-4rLC串聯(lián)電路的階躍響應(yīng)(表中，α=)3.7.3GCL并聯(lián)電路分析圖3.7-5是GCL并聯(lián)電路，與圖3.7-1相比較可見，它是rLC串聯(lián)電路的對偶電路。由圖3.7-5，根據(jù)KCL有

iC+iG+iL=is

由于

uG=uC=uL=圖3.7-5GCL并聯(lián)電路所以將它們代入KCL方程，并同除以LC，得(3.7-13)與式(3.7-1)相比較，式(3.7-13)與(3.7-1)是互為對偶的方程。令衰減常數(shù)α與振蕩角頻率ω0分別為(3.7-14)則式(3.7-13)可改寫為(3.7-15)上式與式(3.7-3)也互為對偶。解上式所需的初始值為(3.7-16)

例3.7-3

如圖3.7-6(a)所示的GCL

并聯(lián)電路，如G=2S，L=0.5H，C=0.5F，求以uC和iL為輸出時(shí)的階躍響應(yīng)。

解令is(t)=ε(t)，由式(3.7-15)得圖3.7-6(a)的方程為其中圖3.7-6例3.7-3圖可見是臨界阻尼情況，其齊次解為K1e-αt+K2te-αt；由于t>0時(shí)，ε(t