第9章

虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算了解互等定理掌握荷載作用下靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算方法（圖乘法）掌握靜定結(jié)構(gòu)因溫度改變和支座移動所引起的位移計(jì)算理解功、虛功和變形體虛功原理的基本概念教學(xué)目標(biāo)9.1位移計(jì)算概述9.2虛功和虛功原理9.3結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式9.4荷載作用下的位移計(jì)算9.5圖乘法9.6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算9.7支座移動時(shí)的位移計(jì)算9.8線性彈性體系的互等定理教學(xué)內(nèi)容知識點(diǎn)

位移計(jì)算概述

虛功和虛功原理

結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式

荷載作用下的位移計(jì)算

圖乘法

溫度作用時(shí)的位移計(jì)算

支座移動時(shí)的位移計(jì)算

線性彈性體系的互等定理9.1位移計(jì)算概述知識點(diǎn)上海蓮花13層倒樓成都居民樓雨后傾斜塔科馬大橋風(fēng)振破壞地震作用下鐵路破壞計(jì)算位移的目的

剛度驗(yàn)算超靜定結(jié)構(gòu)分析產(chǎn)生位移的原因荷載支座沉降溫度變化、制造誤差結(jié)構(gòu)各點(diǎn)產(chǎn)生位移時(shí)，結(jié)構(gòu)內(nèi)部是否產(chǎn)生應(yīng)變？Δ思考剛體位移ABCD支座移動變形體位移荷載作用ABCDP位移計(jì)算的前提：線性變形體系計(jì)算的理論基礎(chǔ)：虛功原理計(jì)算的方法：單位荷載法線性變形體系：指位移與荷載成線性關(guān)系的體系，當(dāng)荷載全部撤除后，位移將完全消失。線性變形體系的應(yīng)用條件：材料處于彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變成正比結(jié)構(gòu)變形微小，不影響力的作用9.2虛功和虛功原理知識點(diǎn)真實(shí)位移

結(jié)構(gòu)在荷載（或其他因素下：溫度等）作用下產(chǎn)生實(shí)際的位移，且產(chǎn)生的位移符合結(jié)構(gòu)的約束條件。

不論何種荷載，總是和它的真實(shí)位移一起同步地從0變到平衡狀態(tài)下的終值。ABP1Δ1真實(shí)位移Δ1虛位移某處某方向的位移不符合真實(shí)位移的定義與真實(shí)位移相對或不考慮荷載和位移同步的關(guān)系A(chǔ)BΔ1BΔ2虛位移Δ2虛設(shè)位移P1Δ1真實(shí)位移Δ1真實(shí)功力對它的真實(shí)位移作的功力對虛位移作的功虛功ABP1Δ1Δ1：從0到極值真實(shí)功P1：從0到極值虛功P1Δ1真實(shí)功虛功OPDP1D1OPDP1D1（1）廣義力是一個(gè)力，廣義位移是力作用方向上的位移。（2）廣義力是一個(gè)力偶，廣義位移是力偶作用截面的轉(zhuǎn)角θ。廣義力與廣義位移作功的兩方面因素：廣義力、廣義位移。廣義力F：與力有關(guān)的因素。廣義位移Δ：與位移有關(guān)的因素。虛功：

W=FΔ（3）若廣義力是等值、反向的一對力F。FFABΔAB：AB兩點(diǎn)的相對位移。（4）若廣義力是一對等值、反向的力偶MθAB：AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角。ΔABABθABθAθBABMM具有理想約束的剛體體系：

設(shè)體系上作用任意的平衡力系。又設(shè)體系發(fā)生符合約束條件的微小剛體體系位移，則外力在位移上所作的虛功總和恒等于零。剛體體系的虛功原理虛位移原理——單位位移法虛力原理——單位荷載法（見9.7）平衡的力狀態(tài)（實(shí)際）協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)（虛設(shè)）虛功方程：虛位移原理ABCΔCΔAABCFFAy=?單位位移法a3a單位位移法的解題步驟（1）撤除與欲求約束力或內(nèi)力相應(yīng)的約束，代以相應(yīng)的約束力X，使原來的靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)榫哂幸粋€(gè)自由度的機(jī)構(gòu)，約束力變?yōu)橹鲃恿?，與原來的力系維持平衡。（2）令機(jī)構(gòu)發(fā)生可能的剛體位移，令沿X正方向相應(yīng)的位移為單位位移，得虛位移狀態(tài).（3）在平衡力系和虛位移之間建立虛功方程（4）根據(jù)幾何關(guān)系求出位移代入虛功方程求約束力X平衡的力狀態(tài)（實(shí)際）協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)（虛設(shè)）虛功方程：ABCABCF2aaaD例：應(yīng)用虛位移原理求MDMD12a2a/3a/3思考：應(yīng)用虛位移原理求QD變形體體系的虛功原理（1）局部變形時(shí)的位移計(jì)算公式基本思路：dsRdsdsRds在剛性桿中，取微段ds設(shè)為變形體，分析局部變形所引起的位移。PdsdsRds材料力學(xué)：微段ds兩端截面的相對位移dsdsRds1(3)位移計(jì)算公式也是變形體虛功原理的一種表達(dá)式。外虛功內(nèi)虛功變形體虛功原理：各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和。即：9.3結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式知識點(diǎn)當(dāng)與使桿件同側(cè)纖維受拉乘積為正線性彈性材料實(shí)際荷載引起的內(nèi)力虛設(shè)單位荷載引起的內(nèi)力正負(fù)號規(guī)定以拉為正使微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動為正單位荷載法計(jì)算位移的計(jì)算步驟(１)在某點(diǎn)沿?cái)M求位移Δ的方向加一個(gè)虛設(shè)的單位荷載P＝１(２)在單位荷載作用下,根據(jù)結(jié)構(gòu)的平衡條件，計(jì)算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力N、Q、M和支座反力RK(３)利用下式計(jì)算結(jié)構(gòu)位移9.4荷載作用下的位移計(jì)算知識點(diǎn)（a）梁與剛架（b）桁架(c)組合結(jié)構(gòu)(d)拱梁式桿鏈桿例1:求懸臂梁在A端的豎向位移Δ，并比較彎曲變形與剪切變形對位移的影響。設(shè)梁的截面為矩形。Axlq解:虛設(shè)單位荷載AxP=1實(shí)際荷載虛設(shè)單位荷載彎曲變形位移剪切變形位移(矩形截面，k=1.2)設(shè)矩形截面淺梁可忽略深梁不可忽略5-3/4荷載下結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算和舉例彎曲:剪切:例2：計(jì)算結(jié)點(diǎn)D的豎向位移。各桿EA相同且為常數(shù)。PABCD解：CABD10.5P0.5P0.50.5-0.7Pddd00.5P-0.710.5例3：圖(a)所示為一等截面圓弧形曲桿AB，截面為矩形，圓弧

AB的圓心角為α，半徑為R。試求B點(diǎn)的豎向位移△。解：虛設(shè)荷載圖(a)圖(b)設(shè)h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12例4：求簡支梁兩端截面A、B的相對轉(zhuǎn)角△。解：虛設(shè)力系實(shí)際荷載作用下9.5圖乘法知識點(diǎn)知識點(diǎn)回顧梁與剛架的位移計(jì)算：更簡潔的方法？òkidsEIMMòT=kiCEIdxMMEI1?ò?==DPEIydxEIMM0A=yEI01A×=xtgEI01Aaò=BAkdxxMtgEI1aòTBAkMdxxtgMEIi1a是直線òTkidxEIMM直桿αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0Ay0=x0tgαMkMi?ò?==DPEIydxEIMM0A注意事項(xiàng)：（1）圖乘法的應(yīng)用條件：a）EI=常數(shù)；b）直桿；c）兩個(gè)彎矩圖至少有一個(gè)是直線。（2）豎標(biāo)y0取在直線圖形中，對應(yīng)另一圖形的形心處。（3）面積A與豎標(biāo)y0在桿的同側(cè)，Ay0

取正號，否則取負(fù)。αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0Ay0=x0tgα常見圖形的面積和形心的位置l/2l/2h二次拋物線A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線A=hl/3二次拋物線A=2hl/3h頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)l/32l/3A=hl/2lhABlP例：求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)的豎向位移。AyMPM1ABlqPllAyMPql2/2M1lq

繪制MP圖

按所求位移位置加單位荷載繪制M圖代公式圖乘法計(jì)算的基本步驟小結(jié)q作業(yè)：求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移。ABl圖乘的一般方法（1）兩圖均是直線圖形ABLP例1：求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)的豎向位移A1y1MPM1（2）分段圖乘一圖形為曲線，另外一圖形為折線q例2：求圖示結(jié)構(gòu)C點(diǎn)的豎向位移ABL/2L/2CA1y1A2y2MPM1q例3：求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角ABLM1M2M1MPM1M2qL2/81回顧MP彎矩圖繪制方法－疊加法A1y1A2y2A3y3MPM1M2qL2/8M1M2MqM（3）分塊圖乘例1：求B點(diǎn)和C點(diǎn)的豎向位移，EI為常數(shù)。PL/2L/2ABCABPLMPABLMAy（1）計(jì)算B點(diǎn)的豎向位移1ABPLMP方法1：A1y1（2）計(jì)算C點(diǎn)的豎向位移L/2MCABPLMPA2y2L/2MC不等？方法2：錯(cuò)誤1例2：求圖示剛架C點(diǎn)的水向位移，EI為常數(shù)。qALCBDLLqL2/2MLA1y1A2y2A3y3qL2/8MP19.6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算知識點(diǎn)桿件溫度變化時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)不會引起內(nèi)力但材料會發(fā)生膨脹和收縮，從而引起截面的應(yīng)變，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形和位移。BA上邊緣溫度上升t1，上邊緣溫度上升t2。

溫度沿截面厚度為線性分布，

溫度變形后，截面保持為平面。溫度變形：

沿軸線方向拉伸變形du和截面轉(zhuǎn)角dθ。BA形心軸處的溫度當(dāng)h1=h2時(shí)（1）du計(jì)算（2）dθ計(jì)算溫度作用引起的位移：正負(fù)號規(guī)定：軸力以拉為正；t0以溫度升高為正。與

引起的彎矩為同一方向時(shí)乘積為正；反之為負(fù)。例1.剛架內(nèi)側(cè)溫度升高10℃，外側(cè)溫度不變，α=0.00001/℃，各桿為矩形截面，高h(yuǎn)=60cm。求：C點(diǎn)的豎向位移ΔC。ABC6m6m圖P=1BAC6解:（1）C點(diǎn)加單位豎向力P=1，并作內(nèi)力圖。（2）代公式計(jì)算9.7支座移動時(shí)的位移計(jì)算知識點(diǎn)問題：手段：剛體體系虛功原理具有理想約束的剛體體系：

設(shè)體系上作用任意的平衡力系。又設(shè)體系發(fā)生符合約束條件的微小剛體體系位移，則外力在位移上所作的虛功總和恒等于零。ΔAABCDΔC=?剛體體系虛功原理應(yīng)用的回顧平衡的力狀態(tài)（實(shí)際）協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)（虛設(shè)）虛功方程：（聯(lián)想：如果問題反過來，不是求力，而是求位移該如何運(yùn)用虛功原理解決？）虛位移原理ABCDΔCΔAABCDFFAy=?列出虛功方程：虛力原理為了便于計(jì)算：單位荷載法平衡的力狀態(tài)（虛設(shè)）協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)（實(shí)際）ABCDΔC=?ΔAABCDFFAy3aa2a=1單位荷載法（1）沿所求位移方向虛設(shè)單位荷載，

求相應(yīng)的支座反力；（3）解方程得（2）建立虛功方程應(yīng)用虛力原理求支座移動時(shí)剛體體系的位移ABCDΔC=?ΔA3aa2a數(shù)學(xué)方法ACB例：已知C支座產(chǎn)生水平向右位移5cm和豎直向下位移2cm，求B點(diǎn)的水平位移和BC桿的轉(zhuǎn)角。ACB2m2m4mACB位移狀態(tài)虛設(shè)平衡力狀態(tài)1FCyFCx（1）B點(diǎn)的水平位移解方程建立虛功方程虛設(shè)單位荷載ACB5cm2cm解方程（2）BC桿的轉(zhuǎn)角建立虛功方程1ACB位移狀態(tài)虛設(shè)平衡力狀態(tài)FCyFCx虛設(shè)單位荷載ACB5cm2cm單位荷載法的基本步驟小結(jié)沿所求位移方向虛設(shè)單位荷載，

求相應(yīng)的支座反力；解方程得建立虛功方程思考：求B、C兩點(diǎn)的相對線位移。ACB9.8線性彈性體系的互等定理知識點(diǎn)應(yīng)用條件：1