第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（7）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.在三棱錐O-ABC中，AB=BC=CD=DA=1,且481BC,M、N分別是棱8C、CD的中點(diǎn)，

則下面結(jié)論不正確的是（）

A.AC1BD

B.MN〃平面ABD

C.三棱錐4-CMN的體積的最大值為它

12

D.AD與BC一定不垂直

2.在矩形A8C。中，AB=4,BC=3,沿矩形對(duì)角線8。將△BCD折起形成四面體ABC。，在這

個(gè)過程中，現(xiàn)在下面四個(gè)結(jié)論：

①在四面體A8C。中，當(dāng)D41BC時(shí)，BC1AC；

②四面體ABCD的體積的最大值為§；

③在四面體A8CO中，BC與平面A8。所成角可能為全

④四面體ABCD的外接球的體積為定值.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（）

A.①④B.①②C.①②④D.②③④

3.正方體ABCD中，過點(diǎn)A作平面&BD的垂線，垂足為點(diǎn)H.以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的是

（）

A.點(diǎn)”是的垂心B.AHJ■平面CB15

C.AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)GD.直線A”和BBi所成的角為45。

4.已知長(zhǎng)方體力BCD-48心。1，AB=AD=2,力a=4,M是的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在長(zhǎng)方體內(nèi)部

或表面上，且MP〃平面4當(dāng)。1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）

A.6B.4V2C.4V6D.9

5.下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）

①兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面

②兩個(gè)平面與第三個(gè)平面所成的角都相等，則這兩個(gè)平面一定平行

③過平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面只能相交或平行

④和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線

A.4B.3C.2D.1

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共16小題，共64.0分）

6..在正方體4BC0-4B1GD1中，AB=2,E、尸分別為BB1、

中點(diǎn)，P是棱BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（）/

A.力iF14E

B.三棱錐P—ZED1的體積與點(diǎn)P位置有關(guān)系

C.平面AEDi截正方體4BC0-4181cl%的截面面積為g

D.點(diǎn)兒到平面4ED］的距離為魚B

7.在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-41B1C15中，AC^BD=0,E是線段&C（含端點(diǎn)）上的一動(dòng)點(diǎn),

則下述命題中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0E1BDr;B.0E〃面&GD;

C.三棱錐兒一BDE的體積為定值；D.0E與41cl所成的最大角為90。.

8.在直三棱柱ABC-AiBiG中，乙4BC=90。，48=8C=2,441=2,M是4

BC的中點(diǎn)，N是&Q的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)Q在線段AM上，且

AQ=\AM,S是力G與&C的交點(diǎn)，若PS〃面/AM,則（）

A.PS//BiQ

B.P為BiN的中點(diǎn)

C.AC1PS

D.三棱錐P-aAM的體積為|

9.如下圖所示，正方體ZBCC-4B1GD1的棱長(zhǎng)為a，線段昆?！可?/p>

有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=~^a，以下結(jié)論正確的有（）

2

A.AC1BE

B.點(diǎn)A至必8EF所在平面的距離為定值

C.三棱錐A-BEF的體積是正方體力BCD-人道心劣體積的熱

D.異面直線AE與BF所成的角為定值

10.在正方體4BC0-AiBiGDi中，N為底面ABC。的中心，P為線段上

的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)，則（）

A.CM與PN是異面直線

B.存在尸點(diǎn)使得PN〃平面CGDiD

C.平面PAN1平面BDDiBi

D.過P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形

11.如圖，正方體力BCD-AiBiGDi的棱長(zhǎng)為2,E,F,G分別為BC,C6,的中點(diǎn)，貝1（）

A.直線與直線AF垂直

B.直線4G與平面AEF平行

C.平面AE尸截正方體所得的截面面積為?

D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

12.正方體ABCD-&B1GD],則下列四個(gè)命題正確的是（）

A.M是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足CM14Di的點(diǎn)M的軌跡為線段4D；

B.E為棱CG的中點(diǎn)，平面4D1E截正方體所得截面為等腰梯形;

C.在線段上存在點(diǎn)M,使異面直線Bi"與CQ所成的角是30°；

D.直線BC與平面4BGJ所成的角等于:.

4

13.在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-AiBiGDi中，點(diǎn)M,N,P分別是線段的5，線段GC,線段上

的動(dòng)點(diǎn)，且MCi=NG40,則下列說法正確的有（）

A.三棱錐P-BBiM的體積為定值

B.異面直線MN與BG所成的角為60。

C.4P+PG的長(zhǎng)的最小值為魚+逐

D.點(diǎn)名到平面BCD1的距離為竽.

14.如圖，在正方體4BC。一4當(dāng)?shù)耐庵?，點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng).下列

判斷正確的是（）

A.平面PBiD工平面ACDi；

B.&P〃平面4皿；

C.異面直線&P與也所成角的取值范圍是（0圖；

D.三棱錐Di-APC的體積不變.

15.對(duì)于四面體A-BCD,以下命題中正確的命題是（）

A.若4B=4C=40,則AB,AC,AO與底面所成的角相等

B.四面體4-BCO的四個(gè)面中最多有三個(gè)直角三角形

C.若ABd.CC,ACLBD,則點(diǎn)A在底面3CZ）內(nèi)的射影是△BCD的垂心

D.若四面體4-BCD的6條棱長(zhǎng)都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為三

16.如圖，在四棱錐P-4BCO中，平面PAD1平面A8CD,側(cè)面尸40是邊長(zhǎng)為2歷的正三角形，底

面A8CO為矩形，CD=2g，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.CQ_L平面PAD

B.PC與平面AQC所成角的余弦值為等

C.三棱錐B-4CQ的體積為6魚

D.四棱錐Q-4BC0外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為24次

17..在直三棱柱ABC-ABiG中，Z.ABC=90°,AB=BC=2,=2,

M是BC的中點(diǎn)，N是41cl的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)。在線段AM

上，且AQ=|AM,S是4G與41c的交點(diǎn)，若PS〃面々AM,則

A.PSf/B^Q

B.P為BiN的中點(diǎn)

C.AC1PS

D.三棱錐P—的體積為|

18.如圖，矩形ABC。，M為BC的中點(diǎn)，將ZL4BM沿直線4M翻折成

B,

44B1M,連接BiD,N為Bi。的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法

中所有正確的是（）

A.存在某個(gè)位置，使得CNL4B1；

B.翻折過程中，CN的長(zhǎng)是定值;

C.若AB=BM,貝ih4M1BrD；

D.若48=BM=1,當(dāng)三棱錐&-AMD的體積最大時(shí)，三棱錐/一AMD的外接球的表面積是

47r.

19.如圖，點(diǎn)E為正方形ABC。邊CO上異于點(diǎn)C,。的動(dòng)點(diǎn)，將EMOE沿

AE翻折成團(tuán)S4E,在翻折過程中，下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)E和某一翻折位置，使得SB1SE

B.存在點(diǎn)E和某一翻折位置，使得AE〃平面SBC

C.存在點(diǎn)E和某一翻折位置，使得直線SB與平面ABC所成的角為45。

D.存在點(diǎn)E和某一翻折位置,使得二面角S-AB-C的大小為60。

20..在直三棱柱ABC-AiBiG中，/.ABC=90°,AB=BC=2,=2,

M是BC的中點(diǎn)，N是41cl的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BiN上，點(diǎn)。在線段AM

上，且AQ=|AM,S是4G與41c的交點(diǎn)，若PS〃面B14M,貝U

A.PS//ByQ

B.P為BiN的中點(diǎn)

C.AC1PS

D.三棱錐P-的體積為|

21.對(duì)于四面體4-BCD,以下命題中正確的命題是（）

A.若AB=AC=AD,則AB,AC,A￡＞與底面所成的角相等

B.四面體A-BCD的四個(gè)面中最多有三個(gè)直角三角形

C.若AB1CD,AC1BD,則點(diǎn)A在底面內(nèi)的射影是△BCD的垂心

D.若四面體4-BCD的6條棱長(zhǎng)都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為g

三、填空題(本大題共3小題，共15.0分)

22.已知正方體ABCD—4B1GD1棱長(zhǎng)為2,如圖，M為CC】上的動(dòng)點(diǎn)，AM1平面a.下面結(jié)論正確的

(1)己知N為。。1中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN的和最小時(shí)，M為CC］的中點(diǎn)

(2)直線AB與平面a所成角的正弦值范圍為停當(dāng)

(3)點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)時(shí)，若平面a經(jīng)過點(diǎn)8,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯形

(4)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時(shí)，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大

23.已知長(zhǎng)方體ABCD中，側(cè)面的面積為2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)E為BiG的中點(diǎn)時(shí)，4cl〃平面&BE；

②若三棱柱SBC-&B1G的體積為2,則點(diǎn)名到平面BCG/的距離為3；

③若BC=BBi，且在棱AD上當(dāng)且僅當(dāng)存在一點(diǎn)例，滿足M81MC,則四棱錐M-BCGB1的

外接球的體積為熱

④若在棱A。上存在一點(diǎn)使得AMBC為等邊三角形，則四棱錐M-BCCiBi的外接球表面積

的最小值為隨兀.

3

所有正確命題的編號(hào)為.

24.如圖，力BCD-ABiGCi為正方體，下面結(jié)論中正確的是.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上

)

①A1G，平面BB1D1D;

@BD1平面AC/

③BO1與底面BCC$i所成角的正切值是近；

④過點(diǎn)兒與異面直線AD與CBi成60。角的直線有2條

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

25.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，。是AO的中點(diǎn)，BO=CO,過CD的平面CZ5EF

交平面PAB于EF,PD1EF.

(1)證明：4B1平面尸40.

(2)若4。=24B=4,P4=PD,點(diǎn)M在側(cè)棱PQ上，且PD=3MD,二面角P-BC-0的大小

為也求直線BP與平面M4C所成角的正弦值.

26.一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

(1)請(qǐng)將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)；

(2)判斷平面8EG與平面ACH的位置關(guān)系.并證明你的結(jié)論；

(3)已知正方體棱長(zhǎng)為2,P是E尸的中點(diǎn)，在正方體中，過點(diǎn)E作與面PBG平行的截面，求此

截面的面積.

27.如圖,棱長(zhǎng)為2的正方體486-&8￡。1，加是四邊形。1。％1內(nèi)異于。,。的動(dòng)點(diǎn),平面4加。1

平面BMC.

(I)求”點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度;

(□)當(dāng)平面M4B與平面MC力所成銳二面角的余弦值最大時(shí)，求M點(diǎn)到平面4B1C1D1的距離.

28.如圖，已知四棱錐P-4BC0,底面ABC。為菱形，PAABCD,^ABC=60°,E,尸分別

是BC,PC的中點(diǎn).

(11)若24=48=2,求C到平面EAF的距離.

29.如圖，ABC。為矩形，點(diǎn)A、E、B、F共面，△力BE和△ABF均為等腰直角三角形，且4B4E=

/.AFB=90°,若平面ABC。_L平面AEBF.

(I)證明：平面BCF_L平面AOF；

(II)問在線段EC上是否存在一點(diǎn)G,使得BG〃平面CDF2若存在，求出此時(shí)三棱錐G-ABE與

三棱錐G—4DF的體積之比，若不存在，請(qǐng)說明理由.

30.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，PDABCD.

(1)證明：ACLPB；

(2)若PD=2,直線PB與平面ABCD所成角為45。，求四棱錐P-ABCD的體積.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題考查了線線垂直、線面平行的判斷，考查了三棱錐的體積，也考查了命題真假的判斷問題，是

中檔題.

根據(jù)題意畫出幾何體，結(jié)合圖形，利用空間中的平行與垂直關(guān)系，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可.

解：設(shè)AC的中點(diǎn)為0,連接08、0D,如圖所示；

B

則4C1OB,AC10D,

又OBCl。0=。，OB、ODu平面0BD,

所以4c，平面OBD,BDu平面0B￡>,

所以AC1BD,故A正確；

M,N分別是棱BC,CQ的中點(diǎn)，［MN〃BD,

BDu平面ABD,MNU平面ABD,

所以MN〃平面4B。，故8正確；

當(dāng)平面D4C與平面ABC垂直時(shí)，V三棱腳_ACM最大，

最大值為V一赭的r=UfCACM=-xiX—=—＞故C錯(cuò)誤；

二段錐A1—CMN二校ffEN-ACM34448

若4。與BC垂直，又因?yàn)閆B1BC,ADQAB=A,AD,ABu平面

所以BC1平面AB。，BDu平面A8。，:BC_LBD,

又BO1AC,ACCtBC=C,AC.8Cu平面ABC,

所以BC?1平面ABC,OBu平面ABC,

所以8。1OB,

因?yàn)镺B=OD,所以顯然8。與OB不可能垂直，故。正確.

故選C.

2.答案：C

解析：

本題考查空間幾何體的體積與球體的體積，線面垂直的判定和性質(zhì)，線面夾角，面面垂直的性質(zhì),

難度適中.注意折疊過程中的不變量，逐項(xiàng)進(jìn)行分析驗(yàn)證得解.

當(dāng)ZMJ.BC時(shí)，???BC1OC,OA、OC為平面D4C內(nèi)兩條相交直線，

BC1?DAC,ACu平面DAC,則BC1AC,故①正確.

當(dāng)面BC。，面ABC,3c與AB。所成的角最大，此時(shí)所成的角為4CBD,sin/CBD=士＜?xì)wBC與

52

平面A8O所成角一定小于全故③錯(cuò)誤.

當(dāng)面BCO1面AB。時(shí)，四面體A8CD的體積最大，最大值為：x打3x4x￡=3，故②正確.

在翻折的過程中，ZMBD,/BCD始終為直角三角形，斜邊都是BZ),外接球的球心永遠(yuǎn)是8。的中點(diǎn)，

外接球的直徑為BO,所以四面體ABC。的外接球的體積不變，則④正確.

故選C.

3.答案：D

解析：

本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定和性質(zhì)，異面直線所成的角，屬于較難題.

由線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直，說明H是三角形&BD的垂心，判斷A的正誤；由4"_1面4/。,

平面4BD〃平面CB15,可得4H1平面由過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條，可得

A“與AC1重合，判斷C正確；通過解三角形求得直線A”與SB】所成的角，即可判斷。.

解：依題意，作出圖形，如圖所示，

G

因?yàn)锳HJL平面8Du平面&BD,

所以BDLAH,

因?yàn)?，平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以BDJ.441，

V.AHCyAA1=A,AH,441u平面力力

所以BD_L平面/14擔(dān)，又&Hu平面44",

所以1BD,

同理可證B”1ArD,

所以點(diǎn)”是△4BD的垂心，A正確；

正方體ABCD-&B1GD1中，

易知B\DJ/BD,當(dāng)。1C平面&B。，8。u平面4/。，

所以當(dāng)7〃平面&BD,

同理CDi〃平面48D,

又CD[nB[0]=0],CO]，Bi%u平面CB]。],

所以平面48?！ㄆ矫?。當(dāng)。1，

所以AH1平面CBWi，8正確；

在正方體ABCD—4&品名中，可知8DJLAC,BD1CQ,

又ZCnCG=C,AC、CQu平面4"出，

所以B。_L平面4CC]&,又4C[u平面4CGa,

所以AC11BD,

同理可得，AC114D,

又BDn4i￡>=0,BD、&?！?平面418。，

所以4cl，平面&BD,

因?yàn)檫^一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，

所以AG和AH重合，故C正確；

因?yàn)锳AJ/BBi，

所以441AH為直線AH和BBi所成的角或其補(bǔ)角，

設(shè)正方體4BCD—4/iGDi的棱長(zhǎng)為1,則=1,

△&BD是邊長(zhǎng)為魚的等邊三角形，點(diǎn)，為△A/D的垂心，即為重心，

則=彳,sinZj41AH==手，

所以4A1AH豐45°,所以直線A"和所成的角不是45。，

故。錯(cuò)誤.

故選D

4.答案：D

解析：

本題考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，屬于中檔題.

由題意得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是六邊形MEFG//N及其內(nèi)部，進(jìn)而求出六邊形MEFGMV面積即可.

解：如圖所示，E,F,G,H,N分別為當(dāng)口，G5，DD],DA,AB的中點(diǎn)，

則EFUB\Di“NH,MN//B^A//FG,

由于NH<t平面4&D1，RRu平面4B】Di，

可得NH〃平面

同理可證：MN〃平面4%劣，

又NHCMN=N,

所以平面MEFGHN〃平面4&Di，

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是六邊形MEFG/7N及其內(nèi)部.

因?yàn)?8=AD=2,AAr=4,

所以EF=HN=>/2,

EM=MN=FG=GH=遮，GM=2近，

E到GM的距離為止_(3)2=斗，

所以S=2S赭形EFGM=2X空x^=9?

故選￡).

2

5.答案：D

解析：

本題考查了空間中的直線與平面的位置關(guān)系以及平面的基本性質(zhì)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)空間中的直線與平面的位置關(guān)系以及平面的基本性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷正誤即可.

解：對(duì)于①，兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，兩個(gè)平面與第三個(gè)平面所成的角都相等，則這兩個(gè)平面平行或相交，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，過平面外一點(diǎn)的直線一定在平面外，且直線與這個(gè)平面相交或平行，故③正確；

對(duì)于④，和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線或相交直線，故④錯(cuò)誤.

.,.正確的命題只有一個(gè).

故選D

6.答案：AC

解析：

本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，三棱錐的體積，平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，線面平行的判定，面面平

行的性質(zhì)，線面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)和空間中的距離，屬于較難題.

取AB的中點(diǎn)〃，連接HRA.H,利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得平面再利用線面垂直的

性質(zhì)得HFJLHE,再利用線面平行的判定得HE1平面再利用線面垂直的性質(zhì)對(duì)A進(jìn)行判斷;

利用正方體結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合題目條件得SMEDI是定值，連接BQ,得BCV/AD],利用線面平行的判

定得BC]〃平面4￡5，再利用點(diǎn)面距和線面距得P到平面AE歷的距離為定值，再利用錐體的體積公

式對(duì)8進(jìn)行判斷；設(shè)平面4E5C平面BBiGC于過E的直線/,利用面面平行的性質(zhì)得〃必久，再利

用平行公理得〃"G，取BiG的中點(diǎn)G,連接EG,則EG〃BG，從而得/與EG重合，利用平面的

基本性質(zhì)得梯形4D1GE是平面AEDi截正方體力BCD的截面，再計(jì)算梯形45GE的面積對(duì)

C進(jìn)行判斷；連接&E,設(shè)點(diǎn)&到平面AED]的距離為兒利用以「HE/=1ml計(jì)算出兒對(duì)。進(jìn)

行判斷，從而得結(jié)論.

解：對(duì)于4、如圖：

取AB的中點(diǎn)〃，連接HF、ArH.

因?yàn)槭荂D的中點(diǎn)，

所以在正方體4BCD-4遇1(71。1中，HF_L平面

而4Eu平面因止匕HF14E.

又因?yàn)樵谡叫?4遇聲中，E是BBi的中點(diǎn)，所以4擔(dān)，力E.

而“F、4//U平面力iFH,AMCHF=H,

因此4E1平面&FH,而&Fu平面

所以因此A正確；

對(duì)于以在正方體力BCD-4避傳1。1中，

因?yàn)镋是BBi的中點(diǎn)，所以SMEDI是定值.

連接BG，則BCi〃4D「

因?yàn)閡平面4ED1，BJ仁平面4E0「所以BC"/平面4E0],

而「是BC1上的動(dòng)點(diǎn)，所以P到平面4E0]的距離為定值，

因此三棱錐P-4ED1的體積為定值，因此B不正確；

對(duì)于C、在正方體力BCD-&B1GD1中，

因?yàn)槠矫?&么?！ㄆ矫鍮BiQC,

而平面AE￡)iC平面=AD1,平面AED】C平面BBiG。于過E的直線I,

所以〃/ADi，因此〃/BC「

如圖：

取BiG的中點(diǎn)G,連接EG,則EG〃BG，即/與EG重合，

連接DiG,則梯形ADiGE是平面AEDi截正方體力BCD-&B1C1D1的截面.

因?yàn)?B=2,所以4必=2EG=2vLAE=DrG=V5)

因此梯形gGE的面積為X&+2?xq=*所以C正確；

對(duì)于。、如圖：

連接&E.

設(shè)點(diǎn)2到平面AE。1的距離為h.

由(C)知：S“EDi="2/*苧=3,

而E到平面44D1D的距離為2,

因此由匕1-4ED1=得gx3/i=§x2x2,

解得八=￡所以。不正確.

故選AC.

7.答案：ABCD

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查異面直線成角、線面平行、垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，及棱錐的

體積求法，考查分析與計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題.

利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，異面直線成角及棱錐體積的計(jì)算對(duì)4個(gè)命題

逐個(gè)判斷，即可得出結(jié)論.

解：A、由正方體可得：

AC1BD,DD1ABCD,

.?ACC平面ABC。，

???AC1DDi，

?.BDnDD]=D,BD'DD\C平面

???AC1平面BO/,BD\U平面B。0，

???AC1BDi，

同理：B[C1BD],

ACnB1C=C,AC'.B[CC平面.436,

BD11平面4BC

?.?OEU平面ABC,

OE1BDr,正確；

B,?：AC//A1C1,平面ABiC,小（7①平面4出「，

.?.&g〃平面ABC，

同理得：./￡>//平面ABC,

■「AI。r41cl=,A］。、41Gu面AiC］。,

???平面481c〃面4GD,

,OEC平面ABC,

OE〃面4G。，正確；

C、易知B、CHA、D,BiC《平面ABO,AiZ）U平面AB。,

.-.0C〃平面AB。，

E到平面A/D的距離為定值，

???三棱錐&jBDE的體積等于三棱錐E-&BD的體積，

底面△&BD的面積為定值，E到平面&BD的距離為定值，

三棱錐&-8DE的體積為定值，正確；

。、當(dāng)E在當(dāng)處時(shí)，OE與aCi所成的角最大，

此時(shí)，由勾股定理易得：

。。2=｝。&2=|,8道2=2,

0C2+0B］2=B。,即NB1OC=90°,

???AC〃力［C1，

OE與&G所成的最大角為90。，正確.

故選ABCD.

8.答案：ACD

解析:

本題考查了簡(jiǎn)單多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和

體積，平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，線面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)和空間中的距離，屬于較難題.

利用直三棱柱ABC-&B1C1的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體力BCD-43傳1。1，連接劣劣，

連接&Di，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平面幾何知識(shí)得點(diǎn)P在線段B】Di上，連接8D,交AC于0,

利用平面幾何知識(shí)得點(diǎn)。在8。上且BQ=：8。，連接BO1，利用平面幾何知識(shí)得點(diǎn)S在HD】上，且

是BO】的中點(diǎn)，利用平面的基本性質(zhì)得PSu平面DDiBiB,再利用線面平行的性質(zhì)對(duì)A進(jìn)行判斷，在

平面中，利用平面幾何知識(shí)對(duì)8進(jìn)行判斷，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得4S_L平面。再

利用線面垂直的性質(zhì)對(duì)C進(jìn)行判斷，利用點(diǎn)到面的距離和線到面的距離得點(diǎn)尸到平面&AM的距離

等于點(diǎn)S到平面的距離，再利用三棱錐的體積公式得匕=再結(jié)合題目條件得

=

匕-/AM2^!-BiAM'即KP-BIAM=￡憶-/AM，再利用二棱錐體積等量得分'「Bi4M=^A-BxCtM'再

利用三棱錐的體積公式計(jì)算匕.B|QM對(duì)。進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：因?yàn)樵谥比庵?BC-4/停1中，^ABC=90°,AB=BC=2,AA1=2,

所以構(gòu)建一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體4BCD-A1&C1O1如下圖：

由於M----------

連接當(dāng)為，因?yàn)镹是&G的中點(diǎn),

所以N是與41cl的交點(diǎn)，且N是當(dāng)。1的中點(diǎn),

而點(diǎn)P在線段&N上，因此點(diǎn)P在線段當(dāng)。1上.

又因?yàn)镸是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段AM上，且

所以點(diǎn)。是△ABC的重心.

連接BD，交AC于O,則。是AC的中點(diǎn)，也是BO的中點(diǎn).

由。是4c的中點(diǎn)知：8。是AaBC在AC邊上的中線,

因此點(diǎn)。在80上，即點(diǎn)Q在上，且BQ=|B。.

又因?yàn)镾是AC】與&C的交點(diǎn)，連接

所以點(diǎn)S在上，且是B￡)i的中點(diǎn).

對(duì)于A、因?yàn)辄c(diǎn)P在線段B/i上，點(diǎn)S在BO】上，所以PSu平面。。避避.

又因?yàn)辄c(diǎn)。在8。上，所以&Qu平面DDiBiB,

而平面DDiBiBn平面為AM=BiQ,PS〃面々AM,

因此PS〃/Q,所以A正確；

對(duì)于8、如圖：

0Q

在平面。。1當(dāng)8中，設(shè)BiQn￡)iB=H.

因?yàn)?Q=|B。，。是80的中點(diǎn)，

所以BQ=

因此H8=1DI",即=

所以匿=1=修，即8止=2=1=鵑亦,

u-^nsu-yDJ3J

因此8不正確；

對(duì)于C、在正方體力BCD-&B1GD1中，

因?yàn)锳C1平面。。祖8,PSu平面CD1B1B,

所以4C_LPS,因此C正確；

對(duì)于。、因?yàn)镻S〃平面8遇”，

所以點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)S到平面814M的距離,

因此Up-Bi4M=Vs-BiAM-

又因?yàn)镾是T1C］的中點(diǎn)，所以%-B14M=2,

EPVp-B1?lM=”Ci-8i4M-

又因?yàn)镻q-Bi4M=匕-/GM=g48,S^/CiM

=-x2x-x2x2=-,

323

所以Vp_Bm財(cái)=:Vci-Bi4M=|，因此。正確.

故選ACD.

9.答案:AB

解析：

本題考查異面直線所成的角及線面垂直的判定與性質(zhì)，同時(shí)考查棱錐的體積及空間距離，解此題的

關(guān)鍵是對(duì)正方體的性質(zhì)要熟練，為較難題.

結(jié)合正方體的性質(zhì)及已知，逐一分析求解即可，解此題的關(guān)鍵是對(duì)正方體的性質(zhì)要熟練.

解：對(duì)于A,

連接BZ),交AC于。，在正方體中，有AC180,

又在正方體中，J■平面ABC。，ACu平面ABCC,

則DDiLAC,

又BDn叫=D,BD、DD]u平面3也08,

AC_L平面8也。8,

又BEu平面

ACA.BE,所以4正確；

對(duì)于B,A至必BEF所在平面的距離等于A到平面的距離，

又4c1平面見0108,

在正方體中，A到平面8道1。8的距離為A。，為定值日a,所以8正確;

對(duì)于C,由已知SABEF=3xax孝a=

所以三棱錐A-BEF的體積為U=?ABEFx4。=^a3,

而正方體力BCD—ZiBiGDi的體積為a3,

所以三棱錐A-8EF的體積是正方體4BCD-4道遙也體積的2，

所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，設(shè)異面直線AE,BF所成的角為a,

當(dāng)E與。1重合時(shí)，尸為當(dāng)5中點(diǎn)，連接A5和BCi，

在正方體中易知四邊形ABGDi為平行四邊形，則4D//BG，

???z.a=乙FBG，

易知QF1平面所以C/_LBF,

所以5譏0!=茅=3a=30°；

DCjZ

當(dāng)尸與Bi重合時(shí)，E為當(dāng)劣中點(diǎn)，

在正方體中有441//B&,

則z_a=￡.EAA,tana——=—,a#30°,

X4412

???異面直線AE、8尸所成的角不是定值，

所以。錯(cuò)誤.

故選AB.

10.答案：BCD

解析：

本題考查面面垂直的判定，線面平行的判定，正方體的截面等問題，屬于較難題.

由CMJN均在平面PAC內(nèi)，可判斷4,利用線面平行的判定定理可判斷B正確，證明4N與平面

BOD1B］垂直后可得面面垂直，可判斷C,作出過P,A,C三點(diǎn)的截面后可判斷D

解：連接尸C,由正方體性質(zhì)可得C,N,4共線，

而PA,4c在APAC所在的平面內(nèi)，

又?.?點(diǎn)M在直線PA上，點(diǎn)N在直線AC上，

CM,PN均在平面尸AC內(nèi)，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)P為&%的中點(diǎn)，K為56的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)PN,PK,KC,易證「/(7/4傳1〃4。/長(zhǎng)=：&6=

：4C=NC,.?.四邊形PKCN為平行四邊形，???PN〃KC,

PNC面CGDiD,KCcSCCjDtD,APN//^CC^D,故B正確；

由于正方體中，BBi1平面ABCD,ANu平面ABCD,BBr1AN,

又,：AN人BD,BB^CBD=B,8當(dāng)、80u平面88也。內(nèi)

.-.ANJ_平面幽。山，

又???ANu平面PAN,.?.平面PAN?1平面BDD$i，故C正確；

取口以上一點(diǎn)。，使得PQ〃&G，連接QC,&Ci，

又正方體中，A^CJ/AC,.-.PQ//AC,PQMC共面，四邊形PQC4就是過P,A,C三點(diǎn)的正方體的

截面，易知AP=CQ,PQ豐AC,故四邊形PQCA是等腰梯形.。正確.

故選：BCD.

11.答案：BC

解析：

【試題解析】

本題考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及截面積有關(guān)的計(jì)算問題，屬于中檔題.

人利用線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行分析；8.作出輔助線利用面面平行判斷；C.作出截面然后根據(jù)線段長(zhǎng)度計(jì)

算出截面的面積；D.通過等體積法進(jìn)行判斷.

解：4若D|OJ_AF,又因?yàn)镈iOLAE,ELAEdAF=A,AE.AFc^FffiAEF,

所以。。1_L平面AEF,又EFu平面AEF,

所以所以CVi^EF,顯然不成立，故A錯(cuò)誤;

B.如圖所示，取BiG的中點(diǎn)。，連接&Q,GQ,

由條件可知：GQ〃EF,A^/fAE,&QC平面4EF,AEu平面AEF,GQC平面AEF,EFu平面

AEF,

所以4Q〃平面AEF,GQ〃平面AEF,

且GQn&Q=Q,GQ、&Qu平面4GQ,

所以平面4GQ〃平面AEF,

又因?yàn)?1Gu平面&GQ,

所以4G〃平面4EF,故8正確;

C.如圖所示，連接DiEDM，

因?yàn)镋,F為BC,GC的中點(diǎn)，所以EF〃BCi〃4D],

所以4E,F，5四點(diǎn)共面，

所以截面即為梯形AEFDi，

延長(zhǎng)DiFME交于點(diǎn)S,

22

由勾股定理得DiS=AS=V4+2=2V51ArD=2四,

所以SA應(yīng)s="2eXJ(2K)2_(憐2=6,

Qq

所以Sd￡r。i=6x[f，故。正確；

。.記點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AE尸的距離分別為九],九2，

111x11

因?yàn)閂f-AEF=3'^AEF'h1=^A-CEF=3X-X=~>

乂因?yàn)樨埃?AEF=3'^AEF-八2=唳-GEF=3XX2=~>

所以比#九2,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.答案：ABD

解析：

本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定，正方體的截面問題，直線和平面的夾角，異面直線的夾角，屬于

較難題.

對(duì)于A,利用線面垂直的判定證明4久，平面CD&即可判定；

對(duì)于B,連接Z\E并延長(zhǎng)，與QC的延長(zhǎng)線相交于F,連接AF交8c于G,連接EG,從而可得其截

面圖形，再根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算即可判定；

對(duì)于C,得出其異面直線81M與CD所成的角，結(jié)合其正切值的范圍即可判定；

對(duì)于D，利用線面垂直的判定，得出NCBG為直線BC與平面4BG5所成的角即可.

解：作出示意圖，如圖所示:

對(duì)于A選項(xiàng)，連接&D,4C,ADr,由正方體的性質(zhì)可知CO_L平面40。送1，

又u平面4。。送1，所以CD_L4Di，由正方形性質(zhì)可知為。_L4/，

乂&D,CDu平面C/Mi，A^DdCD=D,所以A]_L平面CDa,

所以點(diǎn)M的軌跡為平面4。。送1n平面CD&=&D,故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，連接Z\E并延長(zhǎng)，與OC的延長(zhǎng)線相交于F,連接AF交BC于G,連接EG,

因?yàn)镋為棱CCi的中點(diǎn)，所以CF^ACi，即CF」4B，所以G為BC的中點(diǎn)，

所以EG^gBCi，即EGd^aDi，易知4G=￡>iE,

所以平面ADiE截正方體所得截面AGED]為等腰梯形，故8選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)正方體力BCD-4/1C也的棱長(zhǎng)為1,則6償,1],

因?yàn)镃D〃Bi4,所以NMB/I為異面直線與CD所成的角

可知8涕1J?平面ADZMi，u平面4DD14，所以81AlJ.4M,

所以tan/MB/i=籌=4以6停,斗由于乎>多可得tan/MB遇]>tan30°,即4MBi4>300,

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)4選項(xiàng)的分析可知CDJ_A。I，A/J-HDi，

結(jié)合正方體的性質(zhì)可得以C1ADi，BiC1GDi，又AD】nG。1=AD.y.C^u平面ABGDi，所以

/Cl平面ABGDi，所以NCBG為直線BC與平面ZBGDi所成的角，大小為:，故。正確；

4

故選ABD.

13.答案：BC

解析：

本題考查了簡(jiǎn)單多面體(棱柱、棱錐、棱臺(tái))及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和

體積，線面垂直的性質(zhì)，異面直線所成角和空間中的距離，屬于較難題.

利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得點(diǎn)M到平面PBBi的距離為2,再利用錐體的體積公式,計(jì)算對(duì)A進(jìn)行判斷，

利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合異面直線所成角得異面直線與BG所成的角就是直線與BG所

成的角，對(duì)B進(jìn)行判斷，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得4P=PB],或和BiGl平面4B814,

再利用線面垂直的性質(zhì)當(dāng)前IP%,從而得PG=JAP+4,對(duì)C進(jìn)行判斷，利用正方體的結(jié)構(gòu)特

征，結(jié)合點(diǎn)面距對(duì)。進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：對(duì)于4、因?yàn)檎襟wABCD是棱長(zhǎng)為2的正方體，

連接PM、PBi、MB1和MB,而點(diǎn)M是線段G4上的動(dòng)點(diǎn)，

所以點(diǎn)〃到平面PBB]的距離為2,

因此/-BB[M==]X2sApBB、一

又因?yàn)辄c(diǎn)尸是線段為B上的動(dòng)點(diǎn)，在平面PBB]內(nèi)，

點(diǎn)當(dāng)?shù)街本€PB的距離為企，

所以S&P8B1=^PB，因此S&PBB1不是定值，

所以Vp-8BiM=&SAPBBI不是定值，因此A不正確；

對(duì)于8、連接5。，因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別是線段G5、線段QC的動(dòng)點(diǎn)，且MG=NGW0,

所以MN〃5C,而0?！?中,因此MN〃48,

因此異面直線MN與SC1所成的角就是直線與BC1所成的角，

而直線4道與BG所成的角為60。，

所以異面直線MN與BQ所成的角為60。，因此B正確；

對(duì)于C、因?yàn)檎襟w4BC0-&BiCi0i是棱長(zhǎng)為2的正方體，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，

所以4P=PB0且方&AP<2.

又因?yàn)椤〤i1平面PBiu平面4」8遇1，所以B1G1P/,

因此PG=[PB"Bi鬃=VW+%

因此當(dāng)AP最小時(shí)，PG也最小，而迎44P42,

所以4P+PG的長(zhǎng)的最小值為近+J(V2)2+4=V2+V6'因此C正確；

對(duì)于D、因?yàn)辄c(diǎn)名到平面BCOi的距離就是點(diǎn)名到平面的距離，

而點(diǎn)Bi到平面BCD14的距離為近，

所以點(diǎn)名到平面BCD1的距離為魚，因此。不正確.

故選BC.

14.答案：ABD

解析：

本題主要考查三棱錐體積、線面平行的判定、面面垂直的判定以及異面直線所成角，要注意使用轉(zhuǎn)

化的思想.利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.

連結(jié)DB,容易證明OB】_L平面力CD1，從而可以證明面面垂直；連接aG容易證明平面B&C"/

平面從而由面面平行的性質(zhì)可得；分析出41P與AD1所成角的范圍，從而可以判斷真假

>-VD1-APC=yp-AD1c>P到平面ADiC的距離不變，且三角形4D1C的面積不變，從而可以判斷真假.

解：對(duì)于A,連結(jié)08,

因?yàn)檎襟w中，BBil平面ABCD,4。<=平面48。。，所以3/1女,

又因?yàn)镃B1AC,DB,BBi為平面DBBi內(nèi)兩條相交直線，所以4C_L平面

因?yàn)閡平面08%所以O(shè)BJAC,

同理可得。Bi14。1，

因?yàn)閆Di、AC為平面力CD1內(nèi)兩條相交直線，

可得，平面4CD1，

。當(dāng)u平面從而平面PB]O_L平面4C￡)i，A正確；

對(duì)于8，連接4遇，AQ,

A\C\"AC,4G<t平面AC%,力Cu平面AC。1，所以41cl〃平面4CD1,

同理BG〃平面

又占6、BG為平面B&C1內(nèi)兩條相交直線，

所以平面B&C"/平面力

因?yàn)?Pu平面B&G，所以4P〃平面AC。1，故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)?D4/BC1，所以&P與AD1所成角即為41P與BG的所成角，

ArB=BCr=A1C-^,△B&Ci為等邊三角形，

當(dāng)戶與線段BQ的兩端點(diǎn)重合時(shí)，4尸與所成角取最小值會(huì)

當(dāng)P與線段BC1的中點(diǎn)重合時(shí)，41P與力5所成角取最大值;，

故41P與45所成角的范圍是槨,外，故C不正確；

對(duì)于。，由選項(xiàng)8得BG〃平面ZAC,故BCi上任意一點(diǎn)到平面ADiC的距離均相等,

所以以尸為頂點(diǎn)，平面45C為底面，則三棱錐P-4D1C的體積不變，

又zL“PC=LPYAC，所以三棱錐Di-4PC的體積不變，故。正確.

故選ABD.

15.答案：AC

解析：

本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積，空間中線線，線面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

對(duì)于A,根據(jù)線面角的定義即可判斷；對(duì)于B在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角

三角形的個(gè)數(shù)；對(duì)于C,根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可知，。是△BCD的垂心；對(duì)于。作出正四面

體的圖形，找到球的球心位置，說明0E是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表

面積.

對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閆B=AC=4D,設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是0,

因?yàn)椤?—,。=—,sin^ADO=—,

sin/ABABsin/ACACAD

所以sin/4B。=sinZ-ACO=sinZ.ADO,

則A8,AC,AO與底面所成的角相等，故A正確；

如圖：直角三角形的直角頂點(diǎn)已經(jīng)標(biāo)出，直角三角形的個(gè)數(shù)是4.故B不正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是0,

則A。_L平面BCD,CDu平面BCD,

故AOJ.CO,又48ICO,

AOC\AB=A,AO,ABu平面ABO,

故CDL平面ABO,又OBu平面ABO,

則CD1OB,

同理可證BD_LOC,所以。是△BCD的垂心，故C正確；

如圖，。為正四面體ABC。的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長(zhǎng)為1；

所以4E=11--=

N33

因?yàn)?。2-國(guó)=BE2,所以(孚-OE)2-OE2=(y)2,

所以。E=匹，所以球的表面積為47r-。后2=￡故。不正確.

126

故選：AC.

16.答案：BD

解析：

本題考查線面垂直的判定，直線與平面所成角，空間中的距離，棱錐體積的計(jì)算，圓錐外接球性質(zhì)

的運(yùn)用，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬較難題.

選項(xiàng)4根據(jù)兩平面垂直，得到底面是矩形，進(jìn)而得到C。L平面尸AZ),根據(jù)過一點(diǎn)向平面作垂線只

能做一條垂線，即可判斷，

選項(xiàng)B：取A。的中點(diǎn)E,連接PE,AQ,AC,EC,先證明PE1平面ABC。，進(jìn)而得到PEJLEC,

再根據(jù)CD1平面PA。進(jìn)而得到CO_LPD,通過邊長(zhǎng)關(guān)系證明CQ2+AQ2=ac2,即Q41QC,再利

用三角形面積公式計(jì)算出面積，設(shè)點(diǎn)P到平面AQC的距離為d,根據(jù)兩體積相等列等式求解d,進(jìn)

而求出正弦值，即可得出余弦值，即可判斷，

選項(xiàng)C：根