5.2.1任意角三角函數(shù)的定義第5章三角函數(shù)5.2任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解三角函數(shù)的定義，會(huì)使用定義求三角函數(shù)值．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))2．會(huì)判斷給定角的三角函數(shù)值的符號(hào)．(重點(diǎn))3．會(huì)利用三角函數(shù)線比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍．(難點(diǎn))1．通過三角函數(shù)的概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助公式的運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．在初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，那么銳角三角函數(shù)是如何定義的？若將銳角放入直角坐標(biāo)系中，你能用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？若以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，你能用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)來表示銳角三角函數(shù)嗎？那么，角的概念推廣之后，三角函數(shù)的概念又該怎樣定義呢？必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知

名稱定義定義域正弦R余弦R正切y＝sinα，y＝cosα，y＝tanα分別叫作角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)．

思考1．對(duì)于確定的角α，sinα，cosα，tanα的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？[提示]不會(huì)．因?yàn)槿呛瘮?shù)值是比值，其大小與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．

思考2．若P(x，y)為角α與單位圓的交點(diǎn)，sinα，cosα，tanα的值怎樣表示？

－1

知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)體驗(yàn)2．(1)若α在第三象限，則sinαcosα________0；(填“＞”或“＜”)(2)cos3tan4________0．(填“>”或“<”)

＞

＜

知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)線(1)有向線段：規(guī)定了____(即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn))的線段；有向直線：規(guī)定了______的直線；有向線段的數(shù)量：若有向線段AB在有向直線l上或與有向直線l平行，根據(jù)有向線段AB與有向直線l的方向__________，分別把它的長度添上__________，這樣所得的數(shù)，叫作有向線段的數(shù)量，記為AB．方向正方向相同或相反正號(hào)或負(fù)號(hào)(2)三角函數(shù)線體驗(yàn)3．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)α一定時(shí)，單位圓中的正弦線一定． (

)(2)在單位圓中，有相同正弦線的角必相等． (

)√×

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難

2．將本例(1)的條件“在直線y＝－2x上”，改為“過點(diǎn)P(－3a，4a)(a≠0)”，求2sinα＋cosα．

2．已知特殊角α，求三角函數(shù)值的方法(1)先設(shè)出角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，由銳角三角形的定義結(jié)合勾股定理求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)利用三角函數(shù)的定義，求出α的三角函數(shù)值．(此時(shí)P到原點(diǎn)的距離r＝1)3．當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．

類型2三角函數(shù)值的符號(hào)【例2】

(1)若角θ同時(shí)滿足sinθ<0且tanθ<0，則角θ的終邊一定位于(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)判斷下列各式的符號(hào)．①tan191°－cos191°；②sin2cos3tan4．√

反思領(lǐng)悟

判斷三角函數(shù)值在各象限符號(hào)的攻略(1)基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限．(2)關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)．(3)注意：用弧度制給出的角常常不寫單位，不要誤認(rèn)為角度制導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤．

[解]

(1)∵108°是第二象限角，∴tan108°＜0．∵305°是第四象限角，∴cos305°＞0．∴tan108°·cos305°<0．

①

②

反思領(lǐng)悟

利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法對(duì)于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貙で簏c(diǎn)，只需作直線y＝b或x＝a與單位圓相交，連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置，此時(shí)再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的范圍．(2)正切型不等式的解法對(duì)于tanx≥c，取點(diǎn)(1，c)，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)并反向延長，即得角的終邊所在的位置，結(jié)合圖象可確定相應(yīng)的范圍．

1．若sinα<0，tanα>0，則α終邊所在象限是(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)√23題號(hào)415C

[由sinα＜0可知α的終邊落在第三或第四象限或y軸的負(fù)半軸上．由tanα＞0可知α的終邊落在第一或第三象限內(nèi)．故同時(shí)滿足sinα＜0，tanα＞0的角α為第三象限角．]23題號(hào)4152．(多選題)下列三角函數(shù)值判斷錯(cuò)誤的是(

)A．sin165°>0 B．cos280°<0C．tan170°>0 D．tan310°>023題號(hào)415√BCD

[∵90°<165°<180°，∴sin165°>0．又270°<280°<360°，∴cos280°>0．又270°<310°<360°，∴tan310°<0．又90°<170°<180°，∴tan170°<0．]√√3．已知角α終邊過點(diǎn)P(1，－1)，則tanα的值等于________．23題號(hào)451

－1

23題號(hào)451

5．已知sinθ·tan

θ＜0，那么θ是第________象限角．23題號(hào)451二或三[因?yàn)閟inθ·tan

θ<0，所以sinθ<0，tanθ>0或sinθ>0，tanθ<0，若sinθ＞0，tanθ<0，則θ在第二象限．若sinθ<0，tanθ>0，則θ在第三象限．]二或三回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：1．三角函數(shù)值的大小與取點(diǎn)有關(guān)嗎？與什么有