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1集合與元素

一贏,某些指定的對象集在一起就成為一兩個集合A3B之間的關(guān)系■

個集合，也簡稱集，通常用大寫字母4B,陽1果口AFBN何陽天系?

U..表示.集合中的每一對象叫做集合的一個

元素，通常用小寫字母a.b、c...表示。定義

2.集合中元素的性質(zhì)如果集合A的任何一AS/t;0SA;

個元素都是集合8的若4CB,BSC,

確定性、互異性、無序性子集元素，那么集合4叫則4GC；

集合8的子集，記為

3.集合的表示法AQ9或524).

列舉法、描述法'圖示法

定義性質(zhì)

如果幅8的子集，且8中

至少有一個元素不屬于4,若4E88?C則4*C常用數(shù)集的記法：

那么集合4是集合8的真子

真

子集，記為4行S或8/4).

集

自然

理

數(shù)集正整整數(shù)復數(shù)

數(shù)集

集

數(shù)集集集

對于兩介集合碼8,兩個非空集合相等當且1lr

若4。8且54,則這兩僅當它們的元素完全相記法NN*或ZQRC

個集合相等，記為4=8.同.N.

集合的運算及運售性質(zhì)

定義性質(zhì)與說明定義性質(zhì)與說明

由屬于集合/'戈屬于集合XU""

"的元素組成的集合叫力與"

(35XU0=x

由所有屬于集合彳IL屬于集的并集，記作.4U6,即

并集AUB'~|.v|.vezlflR.ve?|.

合8的元素所組成的集合，叫

交集力與8的交集，記作力08,即AHB設(shè)全集為“X是〃的一個子

心…挈

AC\B={巾w.4且xW8}AC\A=A補集集，由。中所有不屬于*的元

素組成的集合叫川在。中的補

/in0=0/n口=01

集，記作0/，即

&<ILx)=A

AC\B=BC\A口,=E，4|______.

其它常用結(jié)論：④有限集合的子集個數(shù)公式

①AV\B=A^>A^B

設(shè)有限集合A中有n個元素，則A的子集

AUB=B^AQB.個數(shù)有V個

②(CzyOndL/juCM/ius)；

其中真子集的個數(shù)為2n-1個，

(C/)U(［：”8)=［：41C5).

非空子集個數(shù)為2n-l個，

③設(shè)有限集合4、B、C,

則card(/4UB)=card(4)+card(fi)一

card(/lClB).非空真子集個數(shù)為2n-2個

四種命題形式:

總結(jié):

原命題：若p，則q?1,原命題為真，它的逆命題不一定為真。

?逆命題：若q，則p?2,原命題為真，它的否命愿不一定為真.

?3,原命題為真，它的逆否命題一定為真。

?否命題：昔p,則iq

?逆否命題：音q,則ip互為逆否的兩個命題一定同真同假。

真值表：

Pq非Pp且qp或q

真真假真真

?簡單命題與復合命題

真假假假真

?1)區(qū)別：是否有邏輯聯(lián)結(jié)詞.假真真假真

?2)復合命題的構(gòu)成形式：假假真假假

?P或QPVQ

非P真假相反

■P且QPAQP且夕一假必假

?非P1P〃或＜7一真必真

全稱命題和存在命題的否定:

1.全稱命題p：vxeM,p(x).

它的否定rp:BXGM,-?p(x).

充分條件、必要條件：

1)A-B且B,，則A是B的充分非必要條件

2)若A%且Bf,則A是B的必要m既分條件

2.存在命題p:3xGMrp(x).

3)若A*B且B\>A,則A是B的我不充分也不必要條件

它的否定rp：VXGM,-?p(x).4)則A是B的充分且必要條件

1二.次函數(shù)的三種形式：

一般式：/(x)=ax2+Z>x+c(aH0)；

頂點式：f(x)=a(x-h)2+k(a0)；

零點式：f(x)=a(x-x()(x-x2)(a*0).

2.零點存在的判定：

函數(shù)部分方程/'(x)=0在(。,6)內(nèi)有實根的充分非必要

條件是〃a)/S)vO.

3、函數(shù)單■調(diào)性的判定方法

注:①函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子

.定義法：

1區(qū)間；

2.導數(shù)法：

②函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是連續(xù)區(qū)間，若區(qū)間不連

3.圖像法：續(xù),用逗號隔開寫.

4.復合函數(shù)單調(diào)性的判定:③在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象自左向右看

是上升的，減函數(shù)的圖象自左向右看是下降

5.和函數(shù)單調(diào)性的判定：的.

4.函數(shù)的對稱性：6.函數(shù)的周期性：

函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=。對稱(l)/(x+T)=/(X)(7HO)O/(x)是周期函數(shù),

=f(a+x)=/(a-x)=f(2a-x)=f(x).且周期為T;

5.函數(shù)的奇偶性：(2)/(x)為奇函數(shù)目"X)關(guān)于x=a(4WO)對稱

⑴/(X)是奇函數(shù)o/(-x)=-/(X)=/(x)是周期函數(shù)，且周期T=4a;

O圖像關(guān)于原點對稱；(3)/(x)為偶函數(shù)目關(guān)于x=a(a=0)對稱

n/(x)是周期函數(shù)，且周期T=2a;

(2)/(x)是偶函數(shù)o/(—x)=/(x)

T

(4"(x)周期為Tn/(ox)(0xO)周期為

o圖像關(guān)于y軸對稱o/(|x|)=/(X).R

有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)：

7.幕的有關(guān)概念：

(l)aV=ar+s(a>0,r,seQ)

(1)正整數(shù)指數(shù)累(/"=a-a.a---a(〃eN.)

rrs

(2)零指數(shù)幕“=1(awO)(2)(a)'=a(a>0,r,seQ)

(3)負整數(shù)指數(shù)幕，，一"=*0."e*)

(3)(ab)'=arbr(a>0,Z>>0,re2)

正a"=y/a"[a>O.m.neN',n>1)

(4)(H

(5)負分數(shù)指數(shù)昂"：=-^-=-^=(a>0.m.neN',n>])

(6)0的正分數(shù)指數(shù)零等*0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意

義

11.對數(shù)的性質(zhì)：

指數(shù)式與對數(shù)式的互化：

8.logol=0;logaa=l.

log“N=b。d=N(a>0,aw1,N>0)12.對數(shù)運算法則：

9.對數(shù)恒等式：產(chǎn)”=N.

10.換底公式及其推論：\oga(MN)=logaA/+logaN

log“N=logd"=—logb；.M

*Jalog。F=[°g。MT°g。N

log”amN

n

logb=logab;log,b=—n

log/,alog”M="log”M(nGR)

指數(shù)函數(shù)的國家粕性質(zhì)對數(shù)函數(shù)y=logM(a>O,_§.a^l)

a>l0<a<la>10<a<1

y

國

A圖yy

______----一

。Xx00X

象

(1)定義地：R

性定義域：(0,+8)

(2)值域：他也)

M-值域：R

⑶戲定點.：(0.1)

過點(1,0),即當x=1時,y=0

(4)單設(shè)性：增的數(shù)(4)單”性：梅函數(shù)在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

質(zhì)(5)奇儡性：祚?薦工(5)奇儡性：弊?整工

質(zhì)(當、>1時，y>01當\>1時，y<0

(6)當x>0wt,y>l.(6)為x〉o時，0<y<l,當x=l時，y=0當x=l時，y=O

1當Ovxvl時：y<0

當x<0時，0<y<l.當x<0時，y>l.當Ovxvl時，廿。

1、一般數(shù)列

［數(shù)列的通項公式I

2-S〃-［(M22)

數(shù)列部分

|數(shù)列的前n項和|Sn=%+a2+a3+-+a,,

等差數(shù)列的通項公式

a-a+(〃-V)d

2、等差數(shù)列n｝

等差數(shù)列的前n項和］

等差數(shù)列的判定方法：

〃⑷+冊)

定義法：對于數(shù)列｛aj,若2

sna

則數(shù)列是等差數(shù)列.n=\+---d

等差數(shù)列的性質(zhì)］

1.等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系:如果是等差數(shù)列

的第m項，〃〃是等差數(shù)列的第〃項，且機工〃，

公差為d,則有an=am4-(w-m)d

［等差中項］2.對于笠差數(shù)列{%},若W4-ZW=p+Q

則a?+a?=ap+aq

如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等

3.若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，S“是其前n項的和，

差中項。即：2A=a+b或［=竺2

2kwN，，那么S*,Sz*—S,，S*"成等差數(shù)歹U

等比中項

如果在a與b之間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,

3、等比數(shù)列那么G叫做a與b的等比中項。即G2=ab

等比數(shù)列的通項公式?！?小，一

等比數(shù)列的判定方法：

等比數(shù)列的前n項和

1.定義法：對于數(shù)列｛唱，若智=g(q=o),則數(shù)列

公｝是等比數(shù)列."①②③

2.等比中項法：對于數(shù)列a｝,若4az=a3,則數(shù)

列｛*.)是等比數(shù)列.

4、數(shù)列通項的求法

等比數(shù)列的性質(zhì)(1)己知式與S”有關(guān)時，常用姊妹式法。

1.等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系:如果“，，，是等比數(shù)(2)遞推關(guān)系為a血-4=/(")時,常用累加法。

列的第m項,小是等比數(shù)列的第n項，且，

公比為q,則有…廣即4=q+3-q)+3-02)+…

(3)遞推關(guān)系為9=/(")時，常用累乘法。

2.對于等比數(shù)列,若"+卅="+1則a“

即4=/&馬.?…2

3.若數(shù)列(叫是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，那，a2

么S*,S2*-&，S34-S2”成等比數(shù)列(4)遞推關(guān)系為an“=w“+附，常用構(gòu)造法。

5.求數(shù)列前n項和Sn的常用方法

(1)倒序相力口法適合許+a“=%+a?T=形式的數(shù)列

(2)錯位相減法適合差比數(shù)列.

(3)裂項相消法適合通項。"的數(shù)列.

(4)分組求和法適合通項q=b“+c“+……的數(shù)列.

(5)并項求和法適合通項帶有(-1)"的數(shù)列.三角函數(shù)部分

一、角度和弧度換算

1.把角度換成弧度

360°=Ijrrad

180°=jrrnd

TT二、弧長公式與扇形面積公式

1°=----rad?0.01745rat/

_180_1.隊長公式：..▲

/=|a|-r%

2.把弧度換成角度

Inrad=360°2.4形面依心為：

rrrarl=18OC

(I2()Y

r

\rad=—?57.3°=57°18S=^-|a|-r2

三.任意角的三角函數(shù)

設(shè)a是一個任意角,a的終邊上任意一點y

P（除端點外）的坐標是（x,y）,它與原點的sina>0cosa>0

距離是r（『=桐，|，=+y2>0）sina>0tana>0cola>°

.yXy

sin?=—,cosa=—,tan<7=—0X

rrx

cosa>0

rrxtana>0cola>0

csca=—,seca=—,cota=—

Vx歹

倒tanaxcota=1

關(guān)<sincifxcsca=1

系cosaxseca=1釧r30*45460*兜。120,135*150,ISO*270*

一sina角a的nnnK2K把5K把

間0n

tana=---------邈鼓6432T7TT

數(shù)cosa

11

sma0皂血1色業(yè)0-1

關(guān)cosaTT

2cota=---------22T2

系sinaii

cosa1色丸0亞色?i0

TT2工2T

平sm-a+cos?a=l

tana0色i/-1色0/

X-tan2a+l=sec2aT4忑

電色

系cot2a+1=esc2acota/*i0T-1/0

四、誘導公式sin(a+A-2^)=8111asin(^+a)=-sina

誘導公式是針對紅土a的各三角函數(shù)值的化簡cos(a+k?In)=cosacos(乃+a)=-cosa

2tan(a+A-2^)=tanatan(^+a)=tana

口訣為:"奇變偶不變，符號看象限"

sin(;r-a)=sina-sin(-a)=-sina

例;

cos(乃一a)=-cosacos(-a)=cosa

?、tan(-a)=-tana

sm(--a)=-COSCttan(〃-a)=-tana

sin(y+a)=cosa

cos(y+a)=_sin<7，左、.

cos(—+a)=-sma

加

s-

sin("-a)=sina2+a)=-cosa

in(a

ocs(

cos(%—a)=-costz2一+a)=sina

3.倍角公式：

1.兩角和與差公式：sin2a=sinacosa：

sin(a土?)=sinacos￡土cosasin伙cos2a=cos2a-sin2a=2cos%-1=l-2sin2a；

cos(a±^)=cosacos/?+sinasin.2tana

tan2a=--------；-.

,,上小tana±tan/?

tan(a±fl)=-----------------.1-tan'a

ITtanatanp

2化單角單函數(shù)公式：4/E弦定理:三=±=￡7=2/?

smAsinasmC

222222

V3sinx±cosx=2sincosx=2sin^x±yJ;.余弦定理：a=b+c-IbccosA：b=c+a-2cocosB

c1=a2+b2-labcosC.

sinx±cosx=V2sinlx±二+&cosa=&2+/sin(a+05.面積定理：S=，absinC=，6csin/=，casinB

222

其中cos。=-r\-----，s=^Js(s-a)(s-b)(s-c)i其中s_a+b+c

Ja'+b'~~2~

三角變換一般技巧有：

①切化弦

②降次

降薄公式

③誘導公式變角

1+cos2a

2cos-a=------------

2④輔助角變換公式

.、1-cos2a⑤妙用1

sin-a=------------

2⑥分子分母同乘（除）一個數(shù)

正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

產(chǎn)tanx

y=sinx

圖

象3/r

定義域

層義域（中工94-y.AeA)

值域l-L11卜1，II

值域R

性周期性T=27TT=2^

奇偶性奇函數(shù)周期性

[25-￡2"+自增函數(shù)[24,-兀2*可增函數(shù)奇函數(shù)

質(zhì)單調(diào)性SS5

[2A"'.2jbr+J]減函數(shù)[2kir^2kjr+劃減函數(shù)單調(diào)性(k7t--.knJr—'^kGZ)

22

第一種變換:圖象向左（伊>0）或

y=sinx麗加麗而開福尸sin（x+"）

橫坐標伸長（0<（?<1）或縮短㈠>!）到原來的-倍

-尸sin(6ir+/)

縱坐標不變

縱坐標伸長（A>1）或縮短（（KA<I）到原來的A倍

_y=Jsin((ar+^)

第二種變盤橫坐標不變

橫坐標伸長。<。<I）或縮短儂>I）到原來的G脩y=sina）x

y=sinx

縱坐標不變

圖象向左（伊>0）或

-y=sin(<?ix+^)

向右（°<0）平移回個單位

（0

縱坐標伸長（A>1.縮短（0<A<l倒原來的A倍人皿.+0）向量部分

=

橫坐標不變

數(shù)量積的主要性質(zhì):

(l)a<=>ab=Q33向量平行與垂直：設(shè)a=（X］，必那二（工2，%）

allb<=><=>xxy2-x2y1=0；

（2）當a與嗣向時,aJ=口?即當向量a與%反向時.a?Z=-p|-|d|

aLb<^>xlx2+yly2=0.

特別地,a?a=M或口=J）。34向量夾角公式：

設(shè)z=&,只則口=產(chǎn)萬用于計算向量的模

設(shè)。=（"）%=&,%）

35A44c的重心坐標公式:

則c°se=/.+產(chǎn)盧+七+4乂+乃+必、

一、一元二次不等式的解法

判別式

△>0△△

△=爐.4ac=0<0

lVv.

y=ax12+bx+c

(。>0)的圖象A防、

「o

2有兩相異實有兩相等紇

ax+A.v+c=0沒有實根

(心0)的根根根一五

A|-A-

ax2+bx+c>Q2

.或

(，/>0)的解集(x|x<o.v>.v;}R

不等式部分ax2+bx+c<（i

（，x））的解集{X|X|<X<>：2}00

三、均值不等式：

二、絕對值不等式⑴a,bsR=+Z）2>2ab

①|(zhì)f(x)|<aO-a</(x)<a（當且僅當a=b時取"=”號）.

②|f(x)|Vg(x)O-g(X)</(X)<g(X)

（2）a,bwR+=>^->4^b

③If(x)|>g(x)o/(x)>g(x)§"(x)<-g(x)（當且僅當a=b時取"=”號）.

1.斜率公式：

t=tana=———.

Xz-X,

2.直線的五種形式：

⑴點斜式：尸乂=?（x-X1）；⑵斜截式：y=kx+h

⑶兩點式:上》=三工：（4）截距式=1：

y-y>x2-x<b

解析幾何部分2a

（5）一般式：Ax+By+C=Q.

3.兩直線平行與垂直:

4II，2。占=七曲工優(yōu)；4J_1=桃2=-1：6頂I的方程：

4屜0與=裳w14UO44+8也=0.⑴標準方程：3-。）2+（尸6）2=/

2222

4BzC2（2）一般方程：x+y+Dx+Ey+F=0（D+E-4F>0）

4點到直線的距離：（3）直徑式方程：（刀一王）（工一七）+（〉一乂）（〉一必）=0

\Ax0+Bya+C\7.點與圓的位置關(guān)系

設(shè)點P（Xo,3，圓仔。尸+仆-"=尸，則

5.兩平行線間的距離：點在圓內(nèi)0aoF”（y『b）】Vri,

點在圓上尸+僅力尸=出

〃=J^￡L點在圓外。>仆0⑷2+僅”尸>，2

8.線與圓的位置關(guān)系

9.圓與圓的位置關(guān)系

（I）設(shè)直線/,圓心C到/的距離為4則

設(shè)圓01的半徑為八，圓O?的半徑為5則

圓C與/相離0">r,

兩圓相離|。。2|>，出2，

圓C與/相切U>"=,，

外切0|。]。2口巾2，

圓C與/相交U>dVr,

內(nèi)切+「以，

（2）由圓C方程及直線/的方程，消去一個未知數(shù)，得一元

二次方程，設(shè)一元二次方程的根的判別式為人則內(nèi)含6|OQ21Vg刊,

/與圓C相交U?/>0,相交叫rEivioQivgF

/與圓C相切U>/=0,10.兩圓相交時的公共弦所在直線方程：

12+y2+￡j+6=0）-2+y2++7^）=0

/與圓C相離e」vo力尸+卜D[X+E2y

三+鼻=I(<i>fc>0)[+5=l(a>d>0)

標準方程<r/>.b，tr

不圖形

同

點

焦點坐標F.(-^O).F,(c.O)￡(0,-c),F,(0.c)

?線段A】A2叫做橢圓的長軸，且長為2a,

平面內(nèi)到兩個定點&.&的距離的利

定義a叫做橢圓的長半軸長

相等于常數(shù)（大于6正）的點的軌跡

同a皮c裾?線段B1B?叫做橢圓的短說，且長為2b,

點*------------b叫做橢圓的短半軸長

焦點位置的判分母哪個大，焦點就在哪個軸上

-W-~—12c為橢圓的焦距,0為橢圓的半焦距

標準方程r￡.=)

+=I(a>6>0)+I(a>6>0

7FF,（》y

^^卜式0屋