2019-2021北京高中數(shù)學(xué)期末匯編：空間幾何體

選擇題（共31小題）

I.（2020秋?石景山區(qū)期木）如圖，尸是正力體A4CD-A由對角線AG上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)A產(chǎn)的長度為X,若△PBD

2.（2021春?海淀區(qū)校級期末）己知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則此圓錐的高為（）

A.1B.V2C.V3D.2

3.（2021春?西城區(qū)期末）某圓錐的母線長為5cm,底面半徑長為3c7〃，則該圓錐的體積為（）

A.12mzM3R.15mx3C.36元「-D.45irr/n34567

4.（2020春?順義區(qū)期末）已知某圓柱底面的半徑為1,高為2,則該圓柱的表面積為（）

A.27rB.4兀C.6兀D.8兀

5.（2020春?平谷區(qū)期末）已知圓柱的底面半徑和高都是2,那么圓柱的側(cè)面積是（）

A.2nB.8兀C.12兀D.16n

6.（2020春?西城區(qū)期末）圓柱的母線長為5cm,底面半徑為2cm,則圓柱的側(cè)面積為（）

A.20冗cm?B.1Oncm2C.28ncrn2D.14ncm2

7.（2021春?朝陽區(qū)期末）如圖、在四棱錐P-ABC。中，底面A8CO為矩形，PZ）_L底面A8C￡>,AD=2,則該四棱

錐的體積為（)

p

A.18B.12C.9D.6

8.（2020春?豐臺區(qū)期末）如圖所示，下列四個(gè)幾何體：

9.（2021春?通州區(qū)期末）下列說法不正確的是（）

A.平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形

B.直棱柱的側(cè)棱長與高相等

C.斜棱柱的側(cè)棱長大于斜棱柱的高

D.直四棱柱是長方體

10.（2021春?豐臺區(qū)期末）已知正三棱錐P-ABC,底面八的中心為點(diǎn)O,給出下列結(jié)論:

①PO_L底面ABC；

②棱長都相等；

③側(cè)面是全等的等腰三角形.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①?C.②?D.①?@

11.（2021春?房山區(qū)期末）下列命題正確的是（）

A.正方形的直觀圖是正方形

B.用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體是樓臺

C.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

D.圓錐有無數(shù)條母線

12.（2021春?海淀區(qū)校級期末）若圓錐的母線長與底面半徑之比為4：1,則該圓錐的側(cè)面積與底面積之比為（）

A.4：1B.2：1C.n：1D.n：2

13.（2021春?海淀區(qū)校級期末）圓錐的表面積為12m母線長為4,則該圓錐的底面半徑為（）

A.2B.3C.1D.V3

14.（2020秋?東城區(qū)期末）將正方體去掉一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側(cè)（左）（）

15.（2019秋?海淀區(qū)校級期末）在棱長為2的正方體ABC。-A/IGOI中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），則滿足

瓦?西二-1（）

A.6B.8C.12D.24

16.下列命題正確的是（）

A.棱柱的每個(gè)面都是平行四邊形

B.一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面

C.棱柱有且只有兩個(gè)面互相平行

D.棱柱的側(cè)面都是矩形

17.（2020秋?海淀區(qū)校級期末）四棱柱A8CO-A/Ci。的底面為正方形，側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)P是側(cè)棱。。的中

點(diǎn)，AAi=2,AB=\,若點(diǎn)Q在側(cè)面BCCB（包括其邊界）上運(yùn)動(dòng)，且總保持AQLBP,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是

18.（2021春?豐臺區(qū)校級期末）如圖所示的平面結(jié)構(gòu)（陰影部分為實(shí)心,空白部分為空心），繞其圖中的對稱軸旋

轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為（）

A.一個(gè)球

B.一個(gè)球中間挖去一個(gè)棱柱

C.一個(gè)圓柱

D.一個(gè)球中間挖去一個(gè)圓柱

19.正四棱柱的高為3on,體對角線長為（）

A.10B.24C.36D.40

20.（2021春?昌平區(qū)期末）已知正四棱錐的側(cè)棱長為2,高為正.則該正四棱錐的表面積為（)

A.幺巧B.2+473C.4+473D.4+8V3

21.(2021春?房山區(qū)期末)已知正四棱錐P-ABCD的高為底面邊長為2,則正四棱錐尸-ABCO的側(cè)面積為

()

A.隊(duì)巧B.8C.4>/3D.4

22.(2021春?海淀區(qū)校級期末)如圖所示，已知正三棱柱ABC-A/iG的所有棱長均為1,則三棱錐叢-4BG的

體積為()

R?返返

4124

23.(2021春?西城區(qū)期末)在空間直角坐標(biāo)系O-Q，Z中，已知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(a>0,

b>0,c>0),且△ABC的面積為6.過。作O”_L平面ABC于點(diǎn)”.若三棱錐。?ABC的體積為6()

A.(1,1,1)B.(1,2,2)C.(1,2,1)D.(1,2,3)

24.(2021春?昌平區(qū)期末)在棱長為1的正方體ABC。-AIBIGQI中，M,N分別為A4i，CG的中點(diǎn)，O為底面

ABCO的中心，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是()

A.點(diǎn)P可以是棱的中點(diǎn)

B.線段NP的最大值為點(diǎn)

2

C.點(diǎn)P的軌跡是平行四邊形

D.點(diǎn)P軌跡的長度為

25.(2020春?朝陽區(qū)期末)連接空間幾何體上的某兩點(diǎn)的直線，如果把該幾何體繞此直線旋轉(zhuǎn)角a(00<a<360°),

使該幾何體與自身重合，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)A,B,C()

H

A.7條B.9條C.13條D.14條

26.（2021春?延慶區(qū)期末）如圖，正方體A8CO-4SGG的棱長為小那么三棱錐。-A8C的體積是（）

27.如圖，正方體ABCD-48CQ的棱長為2,E是棱AB的中點(diǎn)，尸是側(cè)面AAQQ內(nèi)一點(diǎn)，若所〃平面BBQQ,

則E/長度的范圍為（）

A.[亞，VaiB.[V2，V51C.[V2,V61D.[加，V7]

28.（2021春?西城區(qū)校級期末）如圖，在長方體中，若E,F,G,〃分別是棱4BI,BBi，CCi，

GDi的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.四邊形EFGH是矩形B.四邊形"G”是正方形

C.BD//HGD.平面EFG“〃平面ABC。

29.在棱長為1的正方體ABC。-AiBiGDi中，M,N分別為801，61G的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且

滿足M尸_LCN（）

A.點(diǎn)P可以是棱8S的中點(diǎn)B.線段MP的最大值為坐

C.點(diǎn)P的軟跡是正方形D.點(diǎn)尸軌跡的長度為2班

30.（2021春?豐臺區(qū)校級期末）在酒泉衛(wèi)星發(fā)射場某試驗(yàn)區(qū)，用四根垂直于地面的立柱支撐著一個(gè)平行四邊形的太

陽能電池板，可測得其中三根立柱A4i、BB1、CCi的長度分別為10加、15小、30小，則立柱。。的長度是（）

A.30用B.25mC.20mD.15m

31.（2019春?西城區(qū)校級期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8C。為平行四邊形，AD=\,ND48=60。,

且尸。_L平面A8C。，。為PC的中點(diǎn)（）

A.ADLPB

B.PQVDB

C.平面PBC_L平面PBO

D.三棱錐O?P8。的體積為工

4

二.填空題（共20小題）

32.（2020春?延慶區(qū)期末）一個(gè)圓錐的母線長為10,母線與軸的夾角為30。，則圓錐底面半徑為.

33.（2020春?海淀區(qū)校級期末）某正方體的體對角線長為加，則這個(gè)正方體的表面積為.

34.（2019春?西城區(qū)期末）圓柱的高是2,底面圓的半徑是1,則圓柱的側(cè)面積是.

35.（2021春?順義區(qū)期末）已知四棱錐尸-ABC。的8條棱長都相等，任取其中3條棱的中點(diǎn)做平面，截該四棱錐

所得的平面圖形可能是（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形

36.（2020春?海淀區(qū)校級期末）已知正四棱錐的高為4,側(cè)面積為4仃，則該棱錐的側(cè)棱長為.

37.（2021春?順義區(qū)期末）以邊長為1的正方形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，則

該圓柱的表面積是.

38.（2019春?海淀區(qū)校級期末）已知四楂錐的底面是邊長為證的正方形，側(cè)棱長均為加，另一個(gè)底面的圓心為四

棱錐底面的中心，則該圓柱的側(cè)面積為.

39.若一圓錐的底面半徑為3,體積是12%，則該圓錐的側(cè)面積等于.

40.（2020春?朝陽區(qū)期末）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣大的四面體得到

的（如圖）.則該幾何體共有個(gè)面；如果被截正方體的棱長是50cm,那么石凳的表面積是<

41.（2020春?延慶區(qū)期末）如圖，四面體ABCD的一條棱長為x,其余棱長均為2（%）,則函數(shù)F（x）的定義域

為____________________：最大值為

B

42.（2020春?密云區(qū)期末）將底面直徑為8,高為2立的圓錐體石塊打磨成一個(gè)圓柱.

43.（2021春?西城區(qū)校級期末）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》作注時(shí)，想到了推算球體積的方法,

創(chuàng)造了一個(gè)稱為“牟合方蓋”的立體圖形.如圖1所示，其相交的部分，就是牟合方蓋，牟合方蓋恰好把正方體的

內(nèi)切球包含在內(nèi)并且同球相切.劉微指出，球體積與牟合方蓋體積之比等于三，貝廣牟合方蓋”的體積等

4

于.

圖1圖2

44.（2021春?海淀區(qū)校級期末）阿基米德（Archimedes,公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、

物理學(xué)家和天文學(xué)家，他構(gòu)造了這樣的一個(gè)幾何體（如圖所示），圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.若球的

體積為36幾，則圓柱的體積為.

45.（2021春?海淀區(qū)校級期末）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有羨除劉徽注：“羨除，隧道也.其

所穿地，上平下邪現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示，ABFE,CQE尸均為等腰梯形，AB=6,CD=8,EF至lj平面ABC。

的距離為3,CD與AB間的距離為10.

46.如圖，正方體A3co-4由iG。的棱長為2,點(diǎn)P在正方形A8c。的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).平面區(qū)域W由所有滿

足4%%的點(diǎn)P組成，則W的面積是.

47.（2021春?延慶區(qū)期末）正方體ABCO-4SGO］中，E是GG的中點(diǎn)，M是線段4E上的一點(diǎn).給出下列命

題：

①平面ABCD中一定存在直線與平面ACM垂直；

②平面AODIAI中一定存在直線與平面ACM平行；

③平面ADDiAi與平面ACM所成的銳二面角不小于45°；

④當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)4移動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)D到平面ACM的距離逐漸減小.

其中，所有真命題的序號是

48.(2021春?海淀區(qū)校級期末)棱長為4正方體4BCO-4BC。中，M為棱。5的中點(diǎn)，N為棱囪G的中點(diǎn).設(shè)

直線AA與平面MM7交于點(diǎn)。.則。。=.

49.(2021春?豐臺區(qū)校級期末)如圖，在三棱錐P-A8C中，PC_L平面ABC,四=4,ABLBC,垂足為從。是

PA的中點(diǎn)

(1)當(dāng)Q5=2時(shí)，△(:八”的面積是.

(2)當(dāng)△(?￡>”的面積最大時(shí)，CB的長是.

50.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面四邊形ABC。的兩組對邊均不平行.

①在平面PAB內(nèi)不存在直線與0c平行：

②在平面外3內(nèi)存在無數(shù)多條直線與平面PQC平行；

③平面PAB與平面PDC的交線與底面ABCD不平行；

上述命題中正確命題的序號為.

51.（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖所示，棱長為2的正方體中，點(diǎn)M為棱4小的中點(diǎn)，過點(diǎn)

Ai的平面a與平面BMG平行，則平面a與直線CD的交點(diǎn)到頂點(diǎn)D的距離為；三棱錐4-BMCi的體積

52.（2021春?西城區(qū)期末）如圖，在四棱柱4BCO-48iG￡>i中，B8I_L平面ABCD,AD//BC,NR4O=90。，且AB

=AO=2,AA\=\.

（I）求三棱錐用?ABO的體積；

（II）求證：BC〃平面AOOi4；

（III）求證：AClBxD.

53.（2021春?東城區(qū)期末）如圖①，矩形48CD中，AB=4,E,尸分別為48,OC的中點(diǎn).將四邊形AEFZ）沿EF

折起至四邊形4EFG的位置，如圖②.

（1）求證：E/LL平面AiE&

（2）若點(diǎn)4在平面EFC8上的射影為BE的中點(diǎn)，求三棱錐尸?A4C的體積；

（3）當(dāng)平面與平面EFC8垂直時(shí)，作正方體AQiNM-￡尸C8如圖③.若平面a〃平面AiFB,且平面

截該正方體所得圖形的面積為S.

①若CWa,貝|JS=；

②S的最大值為,(直接寫出結(jié)果)

54.(2021春?西城區(qū)校級期末)如圖，在四棱錐P-4BCO中，底面ABCO是正方形，且必=AO=3,點(diǎn)E為線段

PO的中點(diǎn).

(1)求證：P5〃平面AEC；

(2)求證：AEJL平面PCD；

(3)求三棱錐A-PEC的體積.

2019-2021北京高中數(shù)學(xué)期末匯編：空間幾何體

參考答案與試題解析

一.選擇題(共31小題)

1.(2020秋?石景山區(qū)期末)如圖，P是正方體ABC。-AiBiGG對角線AG上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)A尸的長度為x,若△尸8。

【分析】先設(shè)正方體的棱長為1，連接AC交8。于O,連尸。，則P。是等腰△P8。的高，從而△P8O的面積

為/GJ=1BDXPO,再在△以。中，利用余弦定理得出尸O,最后得出了(%)的解析式，畫出其圖象，對照選

2

項(xiàng)即可解決問題.

【解答】解：設(shè)正方體的棱長為1,連接HC交8。于O,則尸。是等腰△PB。的高，

故△PBO的面積為/(x)=^BDxPO,

在三角形以。中，PO=?PK+AO2_3PAXAOcosNPAC=Jx2看2xX孚X翁,

V⑴=￡x網(wǎng)乂4fxx華x替喇乂2條X.

畫出其圖象，如圖所示,

對照選項(xiàng)，A正確.

故選:4.

【點(diǎn)評】本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化

歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.

2.（2021春?海淀區(qū)校級期末）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則此圓錐的高為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【分析】求出圓錐的底面半徑，，再利用勾股定理求出圓錐的高.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為小

根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，

可得2亢,="2,解得r=l,

所以此圓錐的高為

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題.

3.（2021春?西城區(qū)期末）某圓錐的母線長為5cm,底面半徑長為3°如則該圓錐的體積為（）

A.12itc/n3B.15ncm3C.36TU、〃PD.45nem3

【分析】根據(jù)圓錐的母線長和底面半徑求出圓錐的高，再計(jì)算圓錐的體積.

【解答】解：圓錐的母線長/=5cm,底面半徑長，=3cm,

所以圓錐的高h(yuǎn)=yj]22=455-32=4（cm）＞

所以該圓錐的體積為V=—n^h=—n^42x4=\2n（cm）7.

33

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征與體積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

4.（2020春?順義區(qū)期末）已知某圓柱底面的半徑為1,高為2,則該圓柱的表面積為（）

A.2nB.4兀C.6冗D.8兀

【分析】圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個(gè)底面積=底面周長x高+2兀戶.

【解答】解：根據(jù)圓柱表面積的計(jì)算公式可得兀x2xlx6+冗xFx4=6兀.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查圓柱的表面積的求法，找到所求的量的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

5.（2020春?平谷區(qū)期末）已知圓柱的底面半徑和高都是2,那么圓柱的側(cè)面積是（）

A.2兀B.阮C.12兀D.167t

【分析】根據(jù)圓柱的底面半徑和高求出圓柱的側(cè)面積.

【解答】解：圓柱的底面半徑和高都是2,

那么圓柱的側(cè)面積是5傅=2兀乂5'2=8兀.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了圓柱的側(cè)面積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

6.（2020春?西城區(qū)期末）圓柱的母線長為5刖，底面半徑為2cm,則圓柱的側(cè)面積為（）

A.lOitcm2B.1Onctn2C.ISncm2D.147tr/n2

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：圓柱的母線長為5cm,底面半徑為2cm,

則圓柱的側(cè)面積為SM=3nx2x5=20n（cW）.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了圓柱的側(cè)面積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

7.（2021春?朝陽區(qū)期末）如圖、在四棱錐P-A3CO中，底面A8CQ為矩形，PD_L底面A8CO,40=2,則該四棱

錐的體積為（）

A.18B.12C.9D.6

【分析】根據(jù)棱錐的體積公式，計(jì)算即可.

【解答】解：四棱錐P-448中，底面矩形ABCO的面積為SH，形ABCD=4弛40=3x2=5,

因?yàn)镻D_L底面A8CO,所以四棱錐的高為PO=3,

所以該四棱錐的體積為VpqttHiPMBCD—V^ABCD*PD=-^-^2x3=6.

63

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了利用棱錐的體積公式計(jì)算四棱錐體積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

8.（2020春?豐臺區(qū)期末）如圖所示，下列四個(gè)幾何體：

【分析】利用棱柱的定義，判斷幾何體的正誤即可.

【解答】解：根據(jù)棱柱的定義，有兩個(gè)面互相平行,

并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體，可知

①是三棱柱；②是多面體；③是四棱柱.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考杳棱柱的結(jié)構(gòu)特征，棱柱的定義，是基本知識的考查.

9.（2021春?通州區(qū)期末）下列說法不正確的是（）

A.平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形

B.直棱柱的側(cè)棱長與高相等

C.斜棱柱的側(cè)棱長大于斜棱柱的高

D.百四棱柱是長方體

【分析】利用平行多面體的定義判斷選項(xiàng)A,由直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷選項(xiàng)8,由斜棱柱的特征判斷選項(xiàng)C,

由直四棱柱與長方體的定義判斷選項(xiàng)D.

【解答】解：對于A,由平行多面體的定義可知，故選項(xiàng)4正確；

對于8,直四棱柱上下底面平行，故選項(xiàng)3正確；

對于C,設(shè)斜棱柱的側(cè)棱與高所成的角為a,

則cosa=Y/（其中/為棱長，力為高）；

對于D,直四棱柱上下底面平行，

故直棱柱不一定是長方體，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平行多面體的定義、直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征、斜棱柱的特征、長方體的定義，考查了基本概念

的理解與應(yīng)用，空間想象能力與邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.（2021春?豐臺區(qū)期末）已知正三棱錐P-ABC,底面ABC的中心為點(diǎn)O,給出下列結(jié)論：

①PO_L底面ABC；

②棱長都相等；

③側(cè)面是全等的等腰三角形.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.??C.（2X3）D.?@?

【分析】利用正三棱錐的定義以及結(jié)構(gòu)特征，依次判斷即可.

【解答】解：由正三棱錐的定義可知，頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，

所以PO_L底面ABC,故選項(xiàng)①正確；

由正三棱錐的定義可知，底面是正三角形，

但是側(cè)棱長和底面邊長的大小關(guān)系不確定，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；

由正三棱錐的定義可知，側(cè)楂長均相等，故選項(xiàng)③正確.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了正三棱錐的定義以及正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2021春?房山區(qū)期末）下列命題正確的是（）

A.正方形的直觀圖是正方形

B.用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體是棱臺

C.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

D.圓錐有無數(shù)條母線

【分析】根據(jù)棱錐、棱臺的概念與結(jié)構(gòu)特征，即可得解.

【解答】解：根據(jù)斜二測畫法可知，正方形的直觀圖不可能是正方形；

只有當(dāng)平面與棱錐的底面平行時(shí)，才能截出棱臺；

如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是三角形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，與選項(xiàng)的區(qū)別重點(diǎn)是“公共頂點(diǎn)”；

圓錐有無數(shù)條母線，即選項(xiàng)。正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查簡單空間幾何體的概念與結(jié)構(gòu)特征，考查空間立體感，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2021春?海淀區(qū)校級期末）若圓錐的母線長與底面半徑之比為4：1,則該圓錐的側(cè)面積與底面積之比為（）

A.4：1B.2：1C.n：1D.n：2

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/=4x,則底面半徑分別求出圓錐的側(cè)面積和底面面積，即可得到答案.

【解答】解：設(shè)圓錐的母線長為/=4x,則底面半徑/?=],

所以圓錐的側(cè)面積為5=仃/=4/，

圓錐底面面積為S'=nr2=nx2,

所以該圓錐的側(cè)面積與底面積之比為6：L

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，圓錐的側(cè)面積公式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

13.（2021春?海淀區(qū)校級期末）圓錐的表面積為12幾，母線長為4,則該圓錐的底面半徑為（）

A.2B.3C.1D.V3

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為,，根據(jù)圓錐的表面積列方程求出r的值.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為八所以圓錐的表面積為

S=S底加稅+S總面稅=瓦?/+兀，?/=兀?，2+8兀==12兀,

即r+4r-12=7,

解得/*=2或r=-6（不合題意，舍去），

所以該圓錐的底面半徑為5.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的表面積計(jì)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.（2020秋?東城區(qū)期末）將正方體去掉一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側(cè)（左）（）

【分析】將幾何體補(bǔ)充為正方體，結(jié)合圖形得出該幾何體的側(cè)（左）視圖.

【解答】解：將幾何體補(bǔ)充為正方體，如圖1所示：

則該正方體去掉這個(gè)四棱錐，得到的幾何體的側(cè)（左）視圖如圖2所示:

【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何體三視圖的應(yīng)用問題，也考查了直觀想象能力，是基礎(chǔ)題.

15.(2019秋?海淀區(qū)校級期末)在棱長為2的正方體A8CO?4BCi￡>i中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)(含頂點(diǎn))，則滿足

PA-PC^=-1()

A.6B.8C.12D.24

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A(2,0,0),Ci(0,2,2),考慮尸在上底面的棱上，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

(x,y,2),則由題意可得0<}<2,計(jì)算證?pc；-Ix+y2-2y=(x-1)2+(y-1)2-2=-1,即

可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示：以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以O(shè)A所在的直線為x軸，以。。所在的直線為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系.

則點(diǎn)A(2,7,0),Ci(8,2,2),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,則由題意可得7902.

PA=(2-x,-2)，pc2-y,

~?k?PCo=-x(2-x)-y(2-y)+8=f-2%+y5-2y=(x-1)4+(y-1)2-8=-1,

8

???點(diǎn)p是棱上一點(diǎn)(含頂點(diǎn))，

A(x-1)8+(y-1)2=8與正方形4/C4D1切于4個(gè)點(diǎn)，

同理P在右側(cè)面的棱上，也有3個(gè)點(diǎn)，

下底面中P(2,1,7),m?PC，7，5,2)=-1,3,0),而?PC1-5,1,2)=-3,

內(nèi)側(cè)面，P(0,0,而?pc；=(2，0?2.1)=-1,2,1),pj?pc；,-8,0,1)=-5,

:.滿足m?PC；=-］的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為12

故選：C.

z

【點(diǎn)評】本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題.

16.下列命題正確的是()

A.棱柱的每個(gè)面都是平行四邊形

B.一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面

C.棱柱有且只有兩個(gè)面互相平行

D.棱柱的側(cè)面都是矩形

【分析】直接利用棱柱的定義，棱柱的性質(zhì)判斷4、8、C、。的結(jié)論.

【解答】解：對于4棱柱的每個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，故A錯(cuò)誤;

對于B：棱柱的側(cè)面最少由三個(gè)側(cè)面.，故一個(gè)棱柱最少有五個(gè)面;

對于C：正方體是正四棱柱，每個(gè)對面都互相平行;

對于￡）：平行六面體的側(cè)面為平行四邊形，故。錯(cuò)誤;

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：棱柱的定義，棱柱的性質(zhì)，主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，屬于基礎(chǔ)題.

17.（202。秋?海淀區(qū)校級期末）四棱柱A5CO-A由Ci。的底面為正方形，側(cè)校與底面垂直，點(diǎn)尸是側(cè)棱05的中

點(diǎn)、,AAi=2,AB=\,若點(diǎn)Q在側(cè)面BCC.Bi（包括其邊界）上運(yùn)動(dòng)，且總保持AQ_L8P,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是

)

B.

D.

【分析】分別取881、CG的中點(diǎn)M、N,連CM、MN、PN、AC,則由CM_LBN知：CMLBP,由BP_LAC.推

導(dǎo)出。在線段MC上.由此能求出動(dòng)點(diǎn)。的軌跡.

【解答】解：分別取BB］、CG的中點(diǎn)M、N,連CM、PN,

則由CM_L8N知：CM_L8P,

又BP14C.故BP_L平面AMC.

???過A與5P垂直的直線均在平面4MC內(nèi)，又。在平面BCC381內(nèi),

故Q￡平面4MCC側(cè)面BBxCzC,即Q在線段MC上.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能

力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

18.（2021春?豐臺區(qū)校級期末）如圖所示的平面結(jié)構(gòu)（陰影部分為實(shí)心，空白部分為空心），繞其圖中的對稱軸旋

轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為（）

A.一個(gè)球

B.一個(gè)球中間挖去一個(gè)棱柱

C.一個(gè)圓柱

D.一個(gè)球中間挖去一個(gè)圓柱

【分析】利用球以及圓柱的定義進(jìn)行分析判斷，即可得到答案.

【解答】解：由題意，根據(jù)球的定義，

由圓柱的定義，可得里面的長方形旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱，

所以繞其圖中的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為一個(gè)球中間挖去一個(gè)圓柱.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的理解與應(yīng)用，主要考查了球以及圓柱定義的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)

題.

19.正四棱柱的高為3c%體對角線長為后加（）

A.10B.24C.36D.40

【分析】利用勾股定理求出正四棱柱的底面邊長，正四棱柱的側(cè)面積等于底面的周長乘以高.

【解答】解：正四棱柱的高為3cm,對角線長為行，

所以&〃加p;17=9+54",

解得正四棱柱的底面邊長為AB=2,

所以此正四棱柱的側(cè)面積為7x2x3=24（c心）.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征與側(cè)面積的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

20.（2021春?昌平區(qū)期末）已知正四棱錐的側(cè)棱長為2,高為后.則該正四棱錐的表面積為（）

A.幺巧B.2+4>/3C.4+473D.4+8V3

【分析】根據(jù)條件作圖可求得該四棱錐的底面邊長，進(jìn)而可求得其表面積.

【解答】解：如圖，由題可知正四棱錐V-ABCO中加，VB=2t

則OB=\VB*-V04-2=

故48=圾08=3,

所以該正四棱錐的表面積為4x返x4+2x8=4+4泥

5

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力和思維能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

21.（2021春?房山區(qū)期末）已知正四棱錐的高為“，底面邊長為2,則正四棱錐P-ABCO的側(cè)面積為

（）

A.隊(duì)巧B.8C.4>/3D.4

【分析】根據(jù)題意計(jì)算正四棱錐側(cè)面的高，求出它的側(cè)面積.

【解答】解：正四棱錐底面邊長為2,高為加，

/=24=2,

則側(cè)面的斜高為Z7（V8）+1

所以正四棱錐的側(cè)面積為5=4xlx2x6=8.

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及側(cè)面積的求法，是基礎(chǔ)題.

22.（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖所示，已知正三棱柱ABC-ABC1的所有梭長均為1,則三棱錐5-48G的

體積為（）

【分析】取歷G的中點(diǎn)。，可知4。_1面8修。「根據(jù)三棱錐的體積公式求三棱錐的底面積和高，再求出體積.

【解答】解：???正三棱柱48。-4助。6的所有棱長均為1,

???三棱錐助-A8C6的體積等于A-8由G的體積，也等于小-BBC的體積，

取&C的中點(diǎn)。，則由正一：棱柱的性質(zhì)可知，41。_1_面8施（71，

???Ai￡>=返.

2

:.三棱錐5i-ABCs的體積X^X1X2X烏,

322

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查正三棱柱的性質(zhì)以及三棱錐的體積的計(jì)算,利用三棱錐的體積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵,

屬于基礎(chǔ)題.

23.(2021春?西城區(qū)期末)在空間直角坐標(biāo)系O-孫z中，已知A(a,0,0),BCO,b,0),C(0,0,c)Ca>0,

b>0,c>0),且△ABC的面積為6.過。作0"_L平面A5C于點(diǎn)從若三棱錐0-48。的體積為6()

A.(1,1,1)B.(1,2,2)C.(L2,1)D.(1,2,3)

【分析】由題意可知,0〃為三棱錐0-ABC的高,利用錐體的體積求出0〃=3,設(shè)〃(x,y,z),則福=6,y,z),

故依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.

【解答】解：由題意，三棱錐0?ABC的體積為6,

過。作0”_L平面ABC于點(diǎn)H,則0H為三棱錐。-ABC的高，

所以VO-ABCHX6XOH=6,解得0"=3,

在空間直角坐標(biāo)系。-邙中，已知人(a,0,B(0,b,C(4,0,b>Q,

設(shè)HG,y,z),!MoH=(x,y,z)，

因?yàn)?H=5,

則有x2+y2+z3=9,

對于4l+8+l=3,故選項(xiàng)4錯(cuò)誤；

對于B,5+4+4=5,故選項(xiàng)8正確；

對于C,l+4+8=6,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于O,1+3+9=14,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了錐體體積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用體積求出0H,考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能

力,屬于基礎(chǔ)題.

24.（2021春?昌平區(qū)期末）在棱長為1的正方體ABC。-AiBiGDi中，M,N分別為A4，CG的中點(diǎn)，O為底面

ABCD的中心，點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)P可以是棱的中點(diǎn)

B.線段NP的最大值為尊

C.點(diǎn)P的軌跡是平行四邊形

D.點(diǎn)P軌跡的長度為1+＞改

【分析】過N點(diǎn)作與直線MO垂直的平面，該平面與正方體表面的交線即為P點(diǎn)的軌跡.根據(jù)正方體的性質(zhì)得

MO//AiC,AC_L平面GDB,

所以MO_L平面GOB,又因?yàn)镹為CG中點(diǎn)，故分別取CO中點(diǎn)凡C8中點(diǎn)E,則尸點(diǎn)的軌跡為

【解答】解：如圖，連接AC,4C，取CD中點(diǎn)F,連接NF,EF.

因?yàn)榕螅琌分別為A4i，AC的中點(diǎn)，所以

在正方體中，4C_L平面GQ3,又平面NE/〃平面所以4C_L平面NE凡

所以，“0_1平面監(jiān)尸.

所以P點(diǎn)的軌跡長度為/的周長為區(qū)3,NP的最大值為NE返.

25

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考杳正方體的性質(zhì)，考杳線面垂直和面面平行的應(yīng)用，屬于中檔題.

25.（2020春?朝陽區(qū)期末）連接空間幾何體上的某兩點(diǎn)的直線，如果把該兒何體繞此直線旋轉(zhuǎn)角a（0oVaV360。）,

使該幾何體與自身重合，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)4,B,C（）

A.7條B.9條C.13條D.14條

【分析】由題意結(jié)合對稱性分三類找出對稱軸，則答案可求.

【解答】解：由對稱性結(jié)合題意可知，

過EF、AC,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a最小為90°；

過正方形ABC。，AECF,共6條；

過八面體相對面中心的連線為旋轉(zhuǎn)軸，共4條.

綜上，這個(gè)八面體的旋轉(zhuǎn)軸共有13條.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查多面體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

26.（2021春?延慶區(qū)期末）如圖，正方體的棱長為小那么三棱錐。-A3C的體積是（）

=XBBX

【分析】求出。到平面A6C的距離為從而三棱錐。-ABC的體積是比AK

1-4o1SAABC-

【解答】解：正方體48co-的棱長為〃，

Di到平面ABC的距離為BB2=a,

，三棱錐Di-ABC的體積是：

OO117

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查三棱錐的體積的求法，考查三棱錐體積公式、正方體的結(jié)構(gòu)峙征等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能

力、運(yùn)算求解能力，是中檔題.

27.如圖，正方體48CO-A山的棱長為2,E是棱AB的中點(diǎn)，尸是側(cè)面AA}D}D內(nèi)一點(diǎn)，若E尸〃平面BBDD,

則EF長度的范圍為（）

A.[揚(yáng)V3]B.rV2,V5]C.[&，VeiD.[&，V7]

【分析】過E作出與平面平行的截面，得出尸的軌跡，從而得出E尸的長度范圍.

【解答】解：取A。的中點(diǎn)M4。的中點(diǎn)M,連結(jié)MMME,

則NE"8。，MN//DD6,

:.平面MNE//平面BDDiBi,

???當(dāng)尸在線段MN上時(shí)，E尸始終與平面簿平行，

故所的最小值為NE=&,最大值為泥.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)，屬于中檔題.

28.（2021春?西城區(qū)校級期末）如圖，在長方體4BCO-4由Cid中，若E,F,G,"分別是棱4小，BBi,CCi,

CD1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.四邊形EFGH是矩形B.四邊形EFG”是正方形

C.BD//HGD.平面EFGH〃平面A8CO

【分析】充分利用中點(diǎn)的特征，通過證明￡H="G,EH//FG,七從LEF即可判斷A、4選項(xiàng)；利用反證法可判斷

C、。選項(xiàng).

【解答】解：因?yàn)镋，”分別是棱AIBI，C2O1的中點(diǎn)，所以EH〃BC6,且E"=BIG，

同理可得尸G〃&G,FG=BG，

所以EH=~G,EH//FG,

在長方體中，因?yàn)槠矫?4784，EH//BG，所以E//J■平面

又因?yàn)镋〃u平面AA881B,所以

則可得四邊形￡FG”是矩形，但不一定是王方形，8錯(cuò)誤；

若BD"HG,則由"G〃所可知，

又點(diǎn)E,尸分別是棱A47,88的中點(diǎn)，所以E尸〃AB,

所以由圖可知。。和A8為相交直線，矛盾，即C錯(cuò)誤；

由圖可知，石尸和48為相交直線，故。錯(cuò)誤,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查長方體的結(jié)構(gòu)特征，線線平行、面面平行的判定，涉及反證法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中

檔題.

29.在棱長為1的正方體4BCO-A/iG。中，M,N分別為B。1，SG的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且

滿足MP_LCN()

A.點(diǎn)戶可以是極65的中點(diǎn)B.線段用尸的最大值為返

2

C.點(diǎn)P的軌跡是正方形D.點(diǎn)P軌跡的長度為2s

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,0d為x軸，)，軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出而的坐標(biāo)，從

而得到MP的最大值，即可判斷選項(xiàng)B,通過分析判斷可得點(diǎn)P不可能是棱的中點(diǎn)，從而判斷選項(xiàng)4又EF

=GH=1,EH=FG=V^s~,可判斷選項(xiàng)。和選項(xiàng)￡).

2

【解答】解：在正方體中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0G為x軸，)，軸，

因?yàn)樵撜襟w的棱長為8,M,N分別為BDi，B1C2的中點(diǎn)，

則0(0,0,3),1(-1,8,嗎,4,1),C(0,6,0)，

所以而二e，0,1),

設(shè)P(工，y,z),則MP=(x-［，y^7"?z4),

ZbZ

因?yàn)镸PJ_CM

所以3(x±)+z==7,2x+4z-5=c，

252

當(dāng)x=1時(shí)，z=-—>

4

當(dāng)x=0時(shí)，z=—,

4

取E(l,7,苧,F(3,1,y),G(0,1,爭,H(0,7,Q

連結(jié)EF,FG,HE,

MEF=GH=(2,1,0>EH=FG=(-6,0,,),

0

所以四邊形律GH為矩形，則而.而=0,EHwCN=0,

g|jEF1.CN,EHLCN,

所以。7_1_平面EFGH,

又EM=(