PAGE第七章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.(2024山東棗莊第三中學(xué)高二月考)已知隨機變量X~B8,12,則E(3X-1)=A.11 B.12 C.18 D.36解析∵隨機變量X~B8,12,∴E(X)=8×12=4,∴E(3X-1)=3E(X)-1=3×4-故選A.答案A2.(2024黑龍江鶴崗一中高二期末)已知離散型隨機變量ξ的概率分布如下表,則其均值E(ξ)等于()ξ135P0.5m0.2A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4解析依題意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.故選D.答案D3.現(xiàn)在分別有A,B兩個容器,在容器A里有7個紅球和3個白球,在容器B里有1個紅球和9個白球.現(xiàn)從這兩個容器里隨意抽出一個球,則在抽到的是紅球的狀況下,是來自容器A里面的球的概率是()A.0.5 B.0.7 C.0.875 D.0.35解析設(shè)A=“抽到的是紅球”,B=“抽到的是來自容器A里面的球”,則AB=“抽到的是來自容器A里面的紅球”.由題意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB)P(答案C4.(2024廣東高考模擬)從某班6名學(xué)生(其中男生4人、女生2人)中任選3人參與學(xué)校組織的社會實踐活動.設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ,則均值E(ξ)=()A.45 B.1C.75 D.解析依題意,ξ=0,1,2,則P(ξ=0)=C4P(ξ=1)=C42C21C63=故E(ξ)=0×15+1×35+2×15=1.答案B5.(2024湖北高二期末)甲、乙兩人進行羽毛球競賽,假設(shè)每局競賽甲勝的概率是23,各局競賽是相互獨立的,采納5局3勝制,則乙以3∶1戰(zhàn)勝甲的概率為(A.827 B.2C.881 D.解析由題意知,前3局乙勝2局,第4局乙勝,故所求概率P=C3故選B.答案B6.(2024寧夏石嘴山第三中學(xué)高二期中)設(shè)隨機變量X的概率分布為P(X=i)=13,i=1,2,3,則D(X)等于(A.13 B.2C.1 D.2解析∵P(X=i)=13,i=∴E(X)=1×13+2×13+3×1∴D(X)=(1-2)2×13+(2-2)2×13+(3-2)2×故選B.答案B7.(2024黑龍江高三期中)位于坐標(biāo)原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動:質(zhì)點每次移動一個單位;移動的方向為向上或向右,并且向上、向右移動的概率都是12.質(zhì)點P移動5次后位于點(2,3)的概率為(A.12B.C5C.C5D.C解析依題意,質(zhì)點在移動過程中向右移動2次,向上移動3次,因此質(zhì)點P移動5次后位于點(2,3)的概率P=C5答案B8.(2024四川高三月考)小明與另外2名同學(xué)進行“手心手背”嬉戲,規(guī)則是:3人同時隨機等可能選擇手心或手背中的一種手勢,規(guī)定相同手勢人數(shù)多者每人得1分,其余每人得0分.現(xiàn)3人共進行了4次嬉戲,每次嬉戲互不影響,記小明4次嬉戲得分之和為X,則X的均值為()A.1 B.2 C.3 D.4解析進行“手心手背”嬉戲,小明與另外2名同學(xué)選擇手勢的全部可能狀況為(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背),則小明得1分的概率為34,得0分的概率為1進行4次嬉戲,小明得分之和X的可能結(jié)果為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C4P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C4P(X=4)=C4故E(X)=0×1256+1×364+2×27128+3×2764+4×故選C.答案C二、選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分)9.已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,則()A.P(X>4)=0.2 B.P(X>0)=0.6C.P(0<X<2)=0.3 D.P(0<X<4)=0.4解析∵P(X<4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.∴P(0<X<4)=P(X<4)-P(X<0)=0.6,P(X>0)=1-P(X<0)=0.8,∴P(0<X<2)=12P(0<X<4)=0.3答案AC10.(2024山東高三月考)某市有A,B,C,D四個景點,一名游客來該市巡游,已知該游客巡游A的概率為23,巡游B,C和D的概率都是12,且該游客是否巡游這四個景點相互獨立.用隨機變量X表示該游客巡游的景點的個數(shù),下列結(jié)論正確的是(A.該游客至多巡游一個景點的概率為1B.P(X=2)=3C.P(X=4)=1D.E(X)=13解析隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=1-P(X=1)=23P(X=2)=23×C31×12×(1-12)2+1P(X=3)=23×C32×122×1-12+P(X=4)=23故E(X)=0×124+1×524+2×38+3×724+設(shè)A=“該游客至多巡游一個景點”,則P(A)=P(X=0)+P(X=1)=14.故選ABD答案ABD11.(2024江蘇高二月考)下列說法中,正確的是()A.已知隨機變量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,則p=2B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后,方差恒不變C.設(shè)隨機變量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ≤0)=12D.某人在10次射擊中,擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X~B(10,0.8),則當(dāng)X=8時概率最大解析對于選項A,因為X~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1-p)=20,所以p=13,故選項A錯誤易知選項B正確;對于選項C,因為ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0<ξ<1)=12-p,所以P(-1<ξ<0)=12-p,故選項C對于選項D,因為X~B(10,0.8),所以當(dāng)X=k(k=0,1,…,10)時,P(X=k)=C10k×0.8k×0.210-k,所以當(dāng)1≤k≤10時,P(X=k)P(X=k-1)=C10k×0.8k×0.210-kC10k-1×0.8k-1×0.210-k+1=4(故選BCD.答案BCD12.(2024山東高考真題)信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X全部可能的取值為1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定義X的信息熵H(X)=-∑i=1npilog2pA.若n=1,則H(X)=0B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大C.若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)隨著nD.若n=2m,隨機變量Y全部可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)解析對于A,若n=1,則p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A正確.對于B,若n=2,則p2=1-p1,所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],當(dāng)p1=14時,H(X)=-14·log214+34·當(dāng)p1=34時,H(X)=-34·log234+14·兩者相等,所以B錯誤.對于C,若pi=1n(i=1,2,…,n),H(X)=-1n·log21n·n=-log21n=log2n則H(X)隨著n的增大而增大,所以C正確.對于D,若n=2m,隨機變量Y的全部可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).則H(X)=-∑i=12mpi·log2pi=∑i=12m=p1·log21p1+p2·log21p2+…+p2m-1·log21p2m-H(Y)=(p1+p2m)·log21p1+p2m+(p2+p2m-1)·log21p2+p2m-1+…+(pm+pm+1)·log21pm+pm+1=p1·log21p1+p因為pi>0(i=1,2,…,2m),所以1pi>1pi+p2m所以pi·log21pi>pi·log2所以H(X)>H(Y),所以D錯誤.故選AC.答案AC三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.(2024山東高二期末)依據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,500g袋裝奶粉每袋質(zhì)量必需聽從正態(tài)分布X~N(500,σ2),經(jīng)檢測某種品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一個月內(nèi)共賣出這種品牌的奶粉400袋,則賣出的奶粉質(zhì)量在510g以上袋數(shù)大約為.

解析因為X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)=1-0.952=0.025,所以賣出的奶粉質(zhì)量在510g以上袋數(shù)大約為400×0.025答案1014.(2024山東青島高二月考)拋擲兩個骰子,至少有一個4點或5點出現(xiàn)時,就說這次試驗成功,則在8次試驗中,成功次數(shù)ξ的均值是.

解析在一次試驗中,成功的概率為1-23×23=59.依題意,ξ~B8,59,答案4015.若隨機變量X~B(4,p),且E(X)=2,則D(2X-3)=.

解析由隨機變量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,則D(X)=4×12故D(2X-3)=4D(X)=4.答案416.(2024浙江高考)一個盒子里有1個紅1個綠2個黃四個相同的球,每次拿一個,不放回,拿出紅球即停,設(shè)拿出黃球的個數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=;E(ξ)=.

解析依題意,ξ的取值可能為0,1,2,則P(ξ=0)=14P(ξ=1)=24×13+24×13×故E(ξ)=0×13+1×13+2×13答案13四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2024河南高二期中)某校從學(xué)生文藝部6名成員(4男2女)中,選擇2人參與學(xué)校舉辦的文藝匯演活動.(1)求男生甲被選中的概率;(2)在已知男生甲被選中的條件下,女生乙被選中的概率;(3)在要求被選中的兩人中必需一男一女的條件下,求女生乙被選中的概率.解(1)記4名男生為A,B,C,D,2名女生為a,b,從6名成員中選擇2人,全部可能的結(jié)果為(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15種,不妨設(shè)男生甲為A,女生乙為b,設(shè)事務(wù)M=“男生甲被選中”,N=“女生乙被選中”,S=“被選中的兩人為一男一女”.(1)事務(wù)M所包含的可能的結(jié)果為(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),共5種,故P(M)=515(2)事務(wù)MN包含的可能的結(jié)果為(A,b),則P(MN)=115,又P(M)=1故P(N|M)=P((3)事務(wù)S包含的可能的結(jié)果為(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8種,事務(wù)SN包含的可能的結(jié)果為(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),共4種,則P(S)=815,P(SN)=4故P(N|S)=P(18.(12分)(2024浙江高二期末)一個袋中有10個大小相同的球,其中標(biāo)號為1的球有3個,標(biāo)號為2的球有5個,標(biāo)號為3的球有2個.第一次從袋中任取一個球,放回后其次次再任取一個球(假設(shè)取到每個球的可能性都相等).記兩次取到球的標(biāo)號之和為X.(1)求隨機變量X的分布列;(2)求隨機變量X的均值.解(1)依題意,隨機變量X的可能取值為2,3,4,5,6,則P(X=2)=310P(X=3)=310×510×P(X=4)=310×210×P(X=5)=510×210×P(X=6)=210故隨機變量X的分布列為X23456P933711(2)由(1)可知,E(X)=2×9100+3×310+4×37100+5×15+19.(12分)某學(xué)習(xí)小組有6名同學(xué),其中4名同學(xué)從來沒有參與過數(shù)學(xué)探討性學(xué)習(xí)活動,2名同學(xué)曾經(jīng)參與過數(shù)學(xué)探討性學(xué)習(xí)活動.(1)現(xiàn)從該小組中任選2名同學(xué)參與數(shù)學(xué)探討性學(xué)習(xí)活動,求恰好選到1名曾經(jīng)參與過數(shù)學(xué)探討性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率;(2)若從該小組中任選2名同學(xué)參與數(shù)學(xué)探討性學(xué)習(xí)活動,活動結(jié)束后,該小組沒有參與過數(shù)學(xué)探討性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)人數(shù)ξ是一個隨機變量,求隨機變量ξ的分布列及均值.解(1)記“恰好選到1名曾經(jīng)參與過數(shù)學(xué)探討性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)”為事務(wù)A,則P(A)=C4故恰好選到1名曾經(jīng)參與過數(shù)學(xué)探討性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率為815(2)依題意,隨機變量ξ的取值可能為2,3,4,則P(ξ=2)=C4P(ξ=3)=C4P(ξ=4)=C2故隨機變量ξ的分布列為ξ234P281E(ξ)=2×25+3×815+4×20.(12分)(2024黑龍江哈爾濱第六中學(xué)校高三一模)甲、乙二人進行一次象棋競賽,每局勝者得1分,負(fù)者得0分(無平局),約定一方得4分時就獲得本次競賽的成功并且競賽結(jié)束.設(shè)在每局競賽中,甲獲勝的概率為23,乙獲勝的概率為13,各局競賽結(jié)果相互獨立,已知前3局中,甲得1分,乙得2(1)求甲獲得這次競賽成功的概率;(2)設(shè)從第4局起先到競賽結(jié)束所進行的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列及均值.解(1)設(shè)“甲獲得這次競賽成功”為事務(wù)A,則P(A)=23故甲獲得這次競賽成功的概率為1627(2)依題意,X的取值可能為2,3,4,則P(X=2)=13P(X=3)=23P(X=4)=C32×23故X的分布列為X234P