了跚麻翱狙與電子雕工隹系

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)

主編：周功明

副主編：陳代芬

物理與電子工程學(xué)院

目錄

緒論.........................................................................0

第一章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理..................................................2

第一節(jié)測(cè)量與誤差.........................................................2

第二節(jié)測(cè)量結(jié)果的評(píng)定和不確定度...........................................8

第三節(jié)有效數(shù)字及其運(yùn)算法則..............................................14

第四節(jié)數(shù)據(jù)處理...........................................................16

附錄I教學(xué)中常用儀器誤差限△儀..........................................26

附錄H數(shù)字修約的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB1:1................................................................................27

第二章實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目.............................................................29

實(shí)驗(yàn)一長(zhǎng)度測(cè)量..........................................................29

實(shí)驗(yàn)二固體和液體的密度測(cè)定..............................................32

實(shí)驗(yàn)三單擺..............................................................36

實(shí)驗(yàn)四彈簧振子...........................................................39

實(shí)驗(yàn)五楊氏模量的測(cè)量（用拉伸法）.......................................41

實(shí)驗(yàn)六牛頓第二定律的驗(yàn)證................................................43

實(shí)驗(yàn)七動(dòng)量守恒定律的驗(yàn)證................................................45

實(shí)驗(yàn)八熱功當(dāng)量的測(cè)定（用電熱法）.......................................48

實(shí)驗(yàn)九金屬比熱的測(cè)定....................................................51

實(shí)驗(yàn)十液體表面張力系數(shù)的測(cè)定（用拉脫法）...............................54

實(shí)驗(yàn)十一伏安法測(cè)電阻....................................................56

實(shí)驗(yàn)十二惠斯通電橋......................................................59

實(shí)驗(yàn)十三靜電場(chǎng)的模擬測(cè)繪................................................62

實(shí)驗(yàn)十四用直流雙臂電橋測(cè)低值電阻.......................................65

實(shí)驗(yàn)十五示波器的使用....................................................69

實(shí)驗(yàn)十六用電位差計(jì)測(cè)量電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻...............................78

實(shí)驗(yàn)十七薄透鏡焦距的測(cè)定................................................83

實(shí)驗(yàn)十八分光儀的調(diào)整及棱鏡折射率的測(cè)定.................................87

實(shí)驗(yàn)十九邁克爾遜干涉儀的調(diào)整及使用.....................................91

附錄........................................................................96

附錄A中華人民共和國(guó)法定計(jì)量單位.......................................96

附錄B常用物理數(shù)據(jù)......................................................98

附錄C常用電氣測(cè)量指示儀表和附件的符號(hào)..............................106

緒論

一、物理實(shí)驗(yàn)課程的地位

1、科學(xué)實(shí)驗(yàn)是人們根據(jù)研究的目的，運(yùn)用科學(xué)儀器，人為地控制、創(chuàng)造或純化某

種自然過程，使之按預(yù)期的進(jìn)程發(fā)展，同時(shí)在盡可能減少干擾的情況下進(jìn)行定性的或定

量的觀測(cè)，以探求該自然過程變化規(guī)律的一種科學(xué)活動(dòng)。科學(xué)實(shí)驗(yàn)是整個(gè)自然科學(xué)的基

礎(chǔ)。

2、實(shí)驗(yàn)和理論是物理學(xué)的兩大支柱，實(shí)驗(yàn)一理論一再實(shí)驗(yàn)……的模式是物理學(xué)發(fā)

展所遵循的基本規(guī)律。物理規(guī)律的研究都以嚴(yán)格的實(shí)驗(yàn)事實(shí)為基礎(chǔ)，并且不斷受到實(shí)驗(yàn)

的檢驗(yàn)。

3、物理實(shí)驗(yàn)的作用：①發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，探索新規(guī)律；②檢驗(yàn)理論，判定理論的適用

范圍；③測(cè)定常數(shù)；④推廣應(yīng)用，開拓新領(lǐng)域。實(shí)驗(yàn)是科學(xué)理論的源泉，是工程技術(shù)的

源泉。

3、地位：大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)是對(duì)高等學(xué)校學(xué)生進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)基本訓(xùn)練的一門獨(dú)立的必

修基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)課程，是教育部確定的六門主要基礎(chǔ)課程之一，是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后受到系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練的開端，是后續(xù)實(shí)驗(yàn)課程的基礎(chǔ)，它在培養(yǎng)學(xué)生用實(shí)驗(yàn)手段去

發(fā)現(xiàn)、觀察、分析和研究問題，最終解決問題的能力方面，在培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實(shí)

驗(yàn)素質(zhì)和創(chuàng)新能力方面將起重要的作用。

二、物理實(shí)驗(yàn)課程的目的和任務(wù)

⑴通過對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察、分析和對(duì)物理量的測(cè)量，學(xué)習(xí)物理實(shí)驗(yàn)知識(shí)，加深對(duì)物

理學(xué)原理的理解，提高對(duì)科學(xué)實(shí)驗(yàn)重要性的認(rèn)識(shí)。

⑵培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?。其中包括?/p>

①能夠通過閱讀實(shí)驗(yàn)教材或資料，作好實(shí)驗(yàn)前的準(zhǔn)備；

②能夠借助教材或儀器說明書正確使用常用儀器；

③能夠運(yùn)用物理學(xué)理論對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行初步的分析判斷；

④能夠正確記錄和處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪制實(shí)驗(yàn)曲線，說明實(shí)驗(yàn)結(jié)果，撰寫合格的實(shí)驗(yàn)

報(bào)告；

⑤能夠完成簡(jiǎn)單的具有設(shè)計(jì)性內(nèi)容的實(shí)驗(yàn)。

⑶培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)，要求學(xué)生具有理論聯(lián)系實(shí)際和實(shí)事求是的科學(xué)

作風(fēng)，嚴(yán)肅認(rèn)真的工作態(tài)度，主動(dòng)研究的探索精神，遵守紀(jì)律、團(tuán)結(jié)協(xié)作和愛護(hù)公共財(cái)

產(chǎn)的優(yōu)良品德。

三、物理實(shí)驗(yàn)課程的三個(gè)主要教學(xué)環(huán)節(jié)

1.實(shí)驗(yàn)預(yù)習(xí)一實(shí)驗(yàn)?zāi)芊袢〉弥鲃?dòng)的關(guān)鍵

明確實(shí)驗(yàn)?zāi)康模A(yù)習(xí)實(shí)驗(yàn)原理，了解實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)。預(yù)習(xí)報(bào)告是實(shí)驗(yàn)工作的前期準(zhǔn)

備，是寫給自己參考用的，故要求簡(jiǎn)單明了。實(shí)驗(yàn)前應(yīng)清楚本次實(shí)驗(yàn)應(yīng)達(dá)到什么目的，

通過什么實(shí)驗(yàn)方法和測(cè)量哪些數(shù)據(jù)才能實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的目的。預(yù)習(xí)報(bào)告內(nèi)容：①實(shí)驗(yàn)名稱；

②原理簡(jiǎn)圖（電路圖或光路圖）；③列出記錄數(shù)據(jù)表格（分清已知量、指定量、待測(cè)量

和單位）。

未完成預(yù)習(xí)和預(yù)習(xí)報(bào)告者，教師有權(quán)停止其實(shí)驗(yàn)或成績(jī)降檔！

2.實(shí)驗(yàn)操作

①遵守實(shí)驗(yàn)室規(guī)則；②了解實(shí)驗(yàn)儀器的使用及注意事項(xiàng)；③正式測(cè)量之前可作試驗(yàn)

性探索操作：④仔細(xì)觀察和認(rèn)真分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象；⑤如實(shí)記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和現(xiàn)象（用鋼筆或

圓珠筆記錄數(shù)據(jù)，原始數(shù)據(jù)不得改動(dòng)！）；⑥上機(jī)處理核驗(yàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；⑦整理儀器，清掃

實(shí)驗(yàn)室。

進(jìn)實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)者序號(hào)必須與儀器組號(hào)一一對(duì)應(yīng)！

離開實(shí)驗(yàn)室前，數(shù)據(jù)記錄須經(jīng)教師審閱簽名。

3.實(shí)驗(yàn)報(bào)告一實(shí)驗(yàn)的簡(jiǎn)明總結(jié)

實(shí)驗(yàn)報(bào)告是寫給同行看的，所以必須充分反映自己的工作收獲和結(jié)果，反映自己的

能力水平，要有自己的特色，要有條理性，并注意運(yùn)用科學(xué)術(shù)語，一定要有實(shí)驗(yàn)的結(jié)論

和對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的討論、分析或評(píng)估。實(shí)驗(yàn)原理要簡(jiǎn)明扼要，要有必要的電路圖或光路圖，

要有主要的數(shù)據(jù)處理過程，一定要列出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，尤其是利用作圖求得的一些物理量。

實(shí)驗(yàn)報(bào)告內(nèi)容為：①實(shí)驗(yàn)名稱；②實(shí)驗(yàn)?zāi)康模虎墼砗?jiǎn)述（原理圖、電路圖或光路

圖，以及主要計(jì)算公式等）；④主要實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)備：⑤實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表格、數(shù)據(jù)處理計(jì)算主

要過程、作圖及實(shí)驗(yàn)結(jié)論；⑥實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析、誤差評(píng)估、小結(jié)和討論。

實(shí)驗(yàn)報(bào)告（含預(yù)習(xí)報(bào)告）必須在下一次實(shí)驗(yàn)時(shí)交教師批閱！

預(yù)習(xí)報(bào)告、數(shù)據(jù)記錄和實(shí)驗(yàn)報(bào)告均用實(shí)驗(yàn)報(bào)告紙！

第一章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理

物理實(shí)驗(yàn)的任務(wù)不僅是定性地觀察各種自然現(xiàn)象，更重要的是定量地測(cè)量相關(guān)物理

量。而對(duì)事物定量地描述又離不開數(shù)學(xué)方法和進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理。因此，誤差分析和

數(shù)據(jù)處理是物理實(shí)驗(yàn)課的基礎(chǔ)。本章將從測(cè)量及誤差的定義開始，逐步介紹有關(guān)誤差和

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的方法和基本知識(shí)。誤差理論及數(shù)據(jù)處理是一切實(shí)驗(yàn)結(jié)果中不可缺少的內(nèi)

容，是不可分割的兩部分。誤差理論是一門獨(dú)立的學(xué)科。隨著科學(xué)技術(shù)事業(yè)的發(fā)展，近

年來誤差理論基本的概念和處理方法也有很大發(fā)展。誤差理論以數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論為其

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，研究誤差性質(zhì)、規(guī)律及如何消除誤差。實(shí)驗(yàn)中的誤差分析，其目的是對(duì)實(shí)驗(yàn)

結(jié)果做出評(píng)定，最大限度的減小實(shí)驗(yàn)誤差，或指出減小實(shí)驗(yàn)誤差的方向，提高測(cè)量質(zhì)量,

提高測(cè)量結(jié)果的可信賴程度。對(duì)低年級(jí)大學(xué)生，這部分內(nèi)容難度較大，本課程盡限于介

紹誤差分析的初步知識(shí)，著重點(diǎn)放在幾個(gè)重要概念及最簡(jiǎn)單情況下的誤差處理方法，不

進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，減小學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，有利于學(xué)好物理實(shí)驗(yàn)這門基礎(chǔ)課程。

第一節(jié)測(cè)量與誤差

物理實(shí)驗(yàn)不僅要定性的觀察物理現(xiàn)象，更重要的是找出有關(guān)物理量之間的定量關(guān)

系。因此就需要進(jìn)行定量的測(cè)量，以取得物理量數(shù)據(jù)的表征。對(duì)物理量進(jìn)行測(cè)量，是物

理實(shí)驗(yàn)中極其重要的一個(gè)組成部分。對(duì)某些物理量的大小進(jìn)行測(cè)定，實(shí)驗(yàn)上就是將此物

理量與規(guī)定的作為標(biāo)準(zhǔn)單位的同類量或可借以導(dǎo)出的異類物理量進(jìn)行比較，得出結(jié)論，

這個(gè)比較的過程就叫做測(cè)量。例如，物體的質(zhì)量可通過與規(guī)定用千克作為標(biāo)準(zhǔn)單位的標(biāo)

準(zhǔn)祛碼進(jìn)行比較而得出測(cè)量結(jié)果；物體運(yùn)動(dòng)速度的測(cè)定則必須通過與二個(gè)不同的物理

量，即長(zhǎng)度和時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)單位進(jìn)行比較而獲得。比較的結(jié)果記錄下來就叫做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

測(cè)量得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)包含測(cè)量值的大小和單位，二者是缺一不可的。

國(guó)際上規(guī)定了七個(gè)物理量的單位為基本單位。其它物理量的單位則是由以上基本單

位按一定的計(jì)算關(guān)系式導(dǎo)出的。因此，除基本單位之外的其余單位均稱它們?yōu)閷?dǎo)出單位。

如以上提到的速度以及經(jīng)常遇到的力、電壓、電阻等物理量的單位都是導(dǎo)出單位。

一個(gè)被測(cè)物理量，除了用數(shù)值和單位來表征它外，還有一個(gè)很重要的表征它的參數(shù),

這便是對(duì)測(cè)量結(jié)果可靠性的定量估計(jì)。這個(gè)重要參數(shù)卻往往容易為人們所忽視。設(shè)想如

果得到一個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠性幾乎為零，那么這種測(cè)量結(jié)果還有什么價(jià)值呢？因此，從

表征被測(cè)量這個(gè)意義上來說，對(duì)測(cè)量結(jié)果可靠性的定量估計(jì)與其數(shù)值和單位至少具有同

等的重要意義，三者是缺一不可的。

測(cè)量可以分為兩類。按照測(cè)量結(jié)果獲得的方法來分，可將測(cè)量分為直接測(cè)量和間接

測(cè)量?jī)深?，而從測(cè)量條件是否相同來分，又有所謂等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量。

根據(jù)測(cè)量方法可分為直接測(cè)量和間接測(cè)量。直接測(cè)量就是把待測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量直接比

較得出結(jié)果。如用米尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度，用天平稱量物體的質(zhì)量，用電流表測(cè)量電流等,

都是直接測(cè)量。間接測(cè)量借助函數(shù)關(guān)系由直接測(cè)量的結(jié)果計(jì)算出所謂的物理量。例如已

知了路程和時(shí)間，根據(jù)速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系求出的速度就是間接測(cè)量。

一個(gè)物理量能否直接測(cè)量不是絕對(duì)的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，測(cè)量?jī)x器的改進(jìn)，很

多原來只能間接測(cè)量的量，現(xiàn)在可以直接測(cè)量了。比如電能的測(cè)量本來是間接測(cè)量，現(xiàn)

在也可以用電度表來進(jìn)行直接測(cè)量。物理量的測(cè)量，大多數(shù)是間接測(cè)量，但直接測(cè)量是

一切測(cè)量的基礎(chǔ)。

根據(jù)測(cè)量條件來分，有等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量。等精度測(cè)量是指在同?（相同）

條件下進(jìn)行的多次測(cè)量，如同一個(gè)人，用同一臺(tái)儀器，每次測(cè)量時(shí)周圍環(huán)境條件相同，

等精度測(cè)量每次測(cè)量的可靠程度相同。反之，若每次測(cè)量時(shí)的條件不同，或測(cè)量?jī)x器改

變，或測(cè)量方法、條件改變。這樣所進(jìn)行的一系列測(cè)量叫做非等精度測(cè)量，非等精度測(cè)

量的結(jié)果，其可靠程度自然也不相同。物理實(shí)驗(yàn)中大多采用等精度測(cè)量。應(yīng)該指出：重

復(fù)測(cè)量必須是重復(fù)進(jìn)行測(cè)量的整個(gè)操作過程，而不是僅僅為重復(fù)讀數(shù)。

測(cè)量?jī)x器是進(jìn)行測(cè)量的必要工具。熟悉儀器性能。掌握儀器的使用方法及正確進(jìn)行

讀數(shù)，是每個(gè)測(cè)量者必備的基礎(chǔ)知識(shí)。如下簡(jiǎn)單介紹儀器精密度、準(zhǔn)確度和量程等基本

概念。

儀器精密度是指儀器的最小分度相當(dāng)?shù)奈锢砹?。儀器最小的分度越小，所測(cè)量物理

量的位數(shù)就越多，儀器精密度就越高。對(duì)測(cè)量讀數(shù)最小一位的取值，?般來講應(yīng)在儀器

最小分度范圍內(nèi)再進(jìn)行估計(jì)讀出一位數(shù)字。如具有毫米分度的米尺，其精密度為1毫米,

應(yīng)該估計(jì)讀出到毫米的十分位；螺旋測(cè)微器的精密度為0.01毫米，應(yīng)該估計(jì)讀出到毫

米的千分位。

儀器準(zhǔn)確度是指儀器測(cè)量讀數(shù)的可靠程度。它?般標(biāo)在儀器上或?qū)懺趦x器說明書

上。如電學(xué)儀表所標(biāo)示的級(jí)別就是該儀器的準(zhǔn)確度。對(duì)于沒有標(biāo)明準(zhǔn)確度的儀器，可粗

略地取儀器最小的分度數(shù)值或最小分度數(shù)值的一半，一般對(duì)連續(xù)讀數(shù)的儀器取最小分度

數(shù)值的一半，對(duì)非連續(xù)讀數(shù)的儀器取最小的分度數(shù)值。在制造儀器時(shí)，其最小的分度數(shù)

值是受儀器準(zhǔn)確度約束的，對(duì)不同的儀器準(zhǔn)確度是不一樣的，對(duì)測(cè)量長(zhǎng)度的常用儀器米

尺、游標(biāo)卡尺和螺旋測(cè)微器它們的儀器準(zhǔn)確度依次提高。

量程是指儀器所能測(cè)量的物理量最大值和最小值之差，即儀器的測(cè)量范圍（有時(shí)也

將所能測(cè)量的最大值稱量程）測(cè)量過程中，超過儀器量程使用儀器是不允許的，輕則儀

器準(zhǔn)確度降低，使用壽命縮短，重則損壞儀器。

誤差與偏差

測(cè)量的目的就是為了得到被測(cè)物理量所具有的客觀真實(shí)數(shù)據(jù)，但由于受測(cè)量方法、

測(cè)量?jī)x器、測(cè)量條件以及觀測(cè)者水平等多種因素的限制，只能獲得該物理量的近似值，

也就是說，一個(gè)被測(cè)量值/V與真值.懦之間總是存在著這種差值,這種差值稱為測(cè)量誤差,

即

顯然誤差A(yù)N有正負(fù)之分，因?yàn)樗侵概c真值的差值，常稱為絕對(duì)誤差。注意，絕

對(duì)誤差不是誤差的絕對(duì)值！

誤差存在于一切測(cè)量之中，測(cè)量與誤差形影不離，分析測(cè)量過程中產(chǎn)生的誤差，將

影響降低到最低程度，并對(duì)測(cè)量結(jié)果中未能消除的誤差做出估計(jì)，是實(shí)驗(yàn)中的一項(xiàng)重要

工作，也是實(shí)驗(yàn)的基本技能。實(shí)驗(yàn)總是根據(jù)對(duì)測(cè)量結(jié)果誤差限度的一定要求來制定方案

和選用儀器的，不要以為儀器精度越高越好。因?yàn)闇y(cè)量的誤差是各個(gè)因素所引起的誤差

的總合，要以最小的代價(jià)來取得最好的結(jié)果，要合理的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，選擇儀器，確定

采用這種或那種測(cè)量方法。如比較法、替代法、天平復(fù)稱法等，都是為了減小測(cè)量誤差;

對(duì)測(cè)量公式進(jìn)行這樣或那樣的修正，也是為了減少某些誤差的影響；在調(diào)節(jié)儀器時(shí)，如

調(diào)儀器使其處于鉛直、水平狀態(tài)，要考慮到什么程度才能使它的偏離對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成的

影響可以忽略不計(jì)；電表接入電路和選擇量程都要考慮到引起誤差的大小。在測(cè)量過程

中某些對(duì)結(jié)果影響大的關(guān)鍵量，就要努力想辦法將它測(cè)準(zhǔn)；有的測(cè)量不太準(zhǔn)確對(duì)結(jié)果沒

有什么影響，就不必花太多的時(shí)間和精力去對(duì)待，在進(jìn)行處理數(shù)據(jù)時(shí)，某個(gè)數(shù)據(jù)取到多

少位，怎樣使用近似公式，作圖時(shí)坐標(biāo)比例、尺寸大小怎樣選取，如何求直線的斜率等,

都要考慮到引入誤差的大小。

由于客觀條件所限、人們認(rèn)識(shí)的局限性，測(cè)量不可能獲得待測(cè)量的真值，只能是近

似值。設(shè)某個(gè)物理量真值為司，進(jìn)行n次等精度測(cè)量，測(cè)量值分別為％,生，…藥,

（測(cè)量過程無明顯的系統(tǒng)誤差）。它們的誤差為

AX|=—x0

AX2=X2-X0

Ar“=x“-Xo

求和

ZAx,=Za-'/

f=li=l

即

tA-t匕

i=l______________Y

n

EAxf_

當(dāng)測(cè)量次數(shù)n-8,可以證明上_-0,而且上L-=工是/的最佳估計(jì)值，稱x

nn

為測(cè)量值的好似真實(shí)值。為了估計(jì)誤差，定義測(cè)量值與近似真實(shí)值的差值為偏差：即

=x,.-x。偏差又叫做“殘差”。實(shí)驗(yàn)中真值得不到，因此誤差也無法知道，而測(cè)

量的偏差可以準(zhǔn)確知道，實(shí)驗(yàn)誤差分析中要經(jīng)常計(jì)算這種偏差，用偏差來描述測(cè)量結(jié)果

的精確程度。

相對(duì)誤差

絕對(duì)誤差與真值之比的百分?jǐn)?shù)叫做相對(duì)誤差。用￡■表示：

由于真值無法知道，所以計(jì)算相對(duì)誤差時(shí)常用N代替乂。在這種情況下，N可能是

公認(rèn)值，或高一級(jí)精密儀器的測(cè)量值，或測(cè)量值的平均值。相對(duì)誤差用來表示測(cè)量的相

對(duì)精確度，相對(duì)誤差用百分?jǐn)?shù)表示，保留兩位有效數(shù)字。

系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差

根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。

系統(tǒng)誤差是指在一定條件下多次測(cè)量的結(jié)果總是向?個(gè)方向偏離，其數(shù)值一定

或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征是具有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來源具有以下幾

個(gè)方面：（1）儀器誤差。它是由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的

誤差；（2）理論誤差。它是由于測(cè)量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒?yàn)條件不能

達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或測(cè)量方法等所帶來的誤差；（3）觀測(cè)誤差。它是由于觀

測(cè)者本人生理或心理特點(diǎn)造成的誤差。例如，用“落球法”測(cè)量重力加速度，由于空氣

阻力的影響，多次測(cè)量的結(jié)果總是偏小，這是測(cè)量方法不完善造成的誤差；用停表測(cè)量

運(yùn)動(dòng)物體通過某一段路程所需要的時(shí)間，若停表走時(shí)太快，即使測(cè)量多次，測(cè)量的時(shí)間

t總是偏大為一個(gè)固定的數(shù)值，這是儀器不準(zhǔn)確造成的誤差；在測(cè)量過程中，若環(huán)境溫

度升高或降低，使測(cè)量值按一定規(guī)律變化，是由于環(huán)境因素變化引起的誤差。

在任何一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)工作和具體測(cè)量中，必須要想盡一切辦法，最大限度的消除或減、

小一切可能存在的系統(tǒng)誤差，或者對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差需要改變實(shí)驗(yàn)條

件和實(shí)驗(yàn)方法，反復(fù)進(jìn)行對(duì)比，系統(tǒng)誤差的消除或減小是比較復(fù)雜的個(gè)問題，沒有固

定不變的方法，要具體問題具體分析各個(gè)擊破。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因可能不止一個(gè)，一

般應(yīng)找出影響的主要因素，有針對(duì)性地消除或減小系統(tǒng)誤差。以下介紹幾種常用的方法。

檢定修正法：指將儀器、量具送計(jì)量部門檢驗(yàn)取得修正值，以便對(duì)某一物理量測(cè)量

后進(jìn)行修正的一種方法。

替代法：指測(cè)量裝置測(cè)定待測(cè)量后，在測(cè)量條件不變的情況下，用一個(gè)已知標(biāo)準(zhǔn)量

替換被測(cè)量來減小系統(tǒng)誤差的一種方法。如消除天平的兩臂不等對(duì)待測(cè)量的影響可用此

辦法。

異號(hào)法：指對(duì)實(shí)驗(yàn)時(shí)在兩次測(cè)量中出現(xiàn)符號(hào)相反的誤差，采取平均值后消除的?種

方法。例如在外界磁場(chǎng)作用下，儀表讀數(shù)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)附加誤差，若將儀表轉(zhuǎn)動(dòng)180°再

進(jìn)行一次測(cè)量，外磁場(chǎng)將對(duì)讀數(shù)產(chǎn)生相反的影響，引起負(fù)的附加誤差。兩次測(cè)量結(jié)果平

均，正負(fù)誤差可以抵消，從中可以減小系統(tǒng)誤差。

隨機(jī)誤差在實(shí)際測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量時(shí),，誤差的絕對(duì)值符號(hào)的變化，

時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，以不可預(yù)定方式變化著的誤差叫做隨機(jī)誤差，有時(shí)也叫偶然誤差。

當(dāng)測(cè)量次數(shù)很多時(shí)，隨機(jī)誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實(shí)踐和理論都已證明，隨機(jī)誤差

服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（正態(tài)分布），其特點(diǎn)是：絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對(duì)值大

的誤差出現(xiàn)的概率大（單峰性）；絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同（對(duì)稱性）；絕

對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零（有界性）；誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加

而趨于零（抵償性）。因此，增加測(cè)量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差，但不能完全消除。

引起隨機(jī)誤差的原因也很多。儀器精密度和觀察者感官靈敏度有關(guān)。如儀器顯示數(shù)

值的估計(jì)讀數(shù)位偏大和偏小；儀器調(diào)節(jié)平衡時(shí)，平衡點(diǎn)確定不準(zhǔn)；測(cè)量環(huán)境擾動(dòng)變化以

及其他不能預(yù)測(cè)不能控制的因素，如空間電磁場(chǎng)的干擾，電源電壓波動(dòng)引起測(cè)量的變化

等。

由于測(cè)量者過失，如實(shí)驗(yàn)方法不合理，用錯(cuò)儀器，操作不當(dāng)，讀錯(cuò)數(shù)值或記錯(cuò)數(shù)據(jù)

等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，不屬于測(cè)量誤差，只要測(cè)量者采用嚴(yán)肅認(rèn)真的

態(tài)度，過失誤差是可以避免的。

實(shí)驗(yàn)中，精密度高是指隨機(jī)誤差小，而數(shù)據(jù)很集中；準(zhǔn)確度高是指系統(tǒng)誤差小，測(cè)

量的平均值偏離真值??；精確度高是指測(cè)量的精密度和準(zhǔn)確度都高。數(shù)據(jù)集中而且偏離

真值小，即隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差都小。

測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度

測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度都是評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的術(shù)語，但目前使用時(shí)其涵義并

不盡一致，以下介紹較為普遍采用的意見。

測(cè)量精密度表示在同樣測(cè)量條件下，對(duì)同物理量進(jìn)行多次測(cè)量，所得結(jié)果彼此間

相互接近的程度，即測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性、測(cè)量數(shù)據(jù)的彌散程度，因而測(cè)量精密度是測(cè)量

偶然誤差的反映。測(cè)量精密度高，偶然誤差小，但系統(tǒng)誤差的大小不明確。

測(cè)量準(zhǔn)確度表示測(cè)量結(jié)果與真值接近的程度，因而它是系統(tǒng)誤差的反映。測(cè)量準(zhǔn)確

度高，則測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值偏離真值較小，測(cè)量的系統(tǒng)誤差小，但數(shù)據(jù)較分散，偶

然誤差的大小不確定。測(cè)量精確度則是對(duì)測(cè)量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差的綜合評(píng)定。精確

度高，測(cè)量數(shù)據(jù)較集中在真值附近，測(cè)量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差都比較小。

隨機(jī)誤差的估算

對(duì)某一測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，其測(cè)量結(jié)果服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，也就是正態(tài)分布

（或高斯分布）。我們用描述高斯分布的兩個(gè)參量（x和。）來估算隨機(jī)誤差。設(shè)在一組

測(cè)量值中，〃次測(cè)量的值分別為：匹,占，…與

1.算術(shù)平均值

根據(jù)最小二乘法原理證明，多次測(cè)量的算術(shù)平均值

X=-XX,

nI（1）

是待測(cè)量真值X。的最佳估計(jì)值。稱:為近似真實(shí)值，以后我們將用X來表示多次測(cè)

量的近似真實(shí)值。

2.標(biāo)準(zhǔn)偏差

誤差理論證明，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

S,=b、=]M______（貝塞爾公式）（2）

*Vn-1

其意義表示某次測(cè)量值的隨機(jī)誤差在-5?乜之間的概率為68.3%。

算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

當(dāng)測(cè)量次數(shù)〃有限，其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

。歸浦⑶

其意義是測(cè)量平均值的隨機(jī)誤差在-b-?+6之間的概率為68.3%,或者說，待測(cè)

XX

量的真值在0-0』~。+6）范圍內(nèi)的概率為68.3%。因此％反映了平均值接近真值

的程度。

標(biāo)準(zhǔn)偏差

標(biāo)準(zhǔn)偏差q.小表示測(cè)量值密集，即測(cè)量的精密度高；標(biāo)準(zhǔn)偏差o■、大表示測(cè)量值分

散，即測(cè)量的精密度低。估計(jì)隨機(jī)誤差還有用算術(shù)平均誤差、2b,、3%等其它方法來

表示的。

異常數(shù)據(jù)的剔除

剔除測(cè)量列中異常數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)有兒種，有3b,準(zhǔn)則、肖維準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則等。

1.3%準(zhǔn)則

統(tǒng)計(jì)理論表明，測(cè)量值的偏差超過3。、的概率已小于1%。因此，可以認(rèn)為偏差超

過3b,的測(cè)量值是其他因素或過失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)剔除。剔除的方法是將多

次測(cè)量所得的一系列數(shù)據(jù)，算出各測(cè)量值的偏差A(yù)r,和標(biāo)準(zhǔn)偏差。，，把其中最大的

Ar.與32比較，若Ar,>3crv）則認(rèn)為第J個(gè)測(cè)量值是異常數(shù)據(jù)，舍去不計(jì)。剔除與

后，對(duì)余下的各測(cè)量值重新計(jì)算偏差和標(biāo)準(zhǔn)偏差,并繼續(xù)審查,直到各個(gè)偏差均小于3bt

為止。

2.肖維準(zhǔn)則

假定對(duì)一物理量重復(fù)測(cè)量了〃次，其中某數(shù)據(jù)在這〃次測(cè)量中出現(xiàn)的幾率不到半

次，即小于-L,則可以肯定這個(gè)數(shù)據(jù)的出現(xiàn)是不合理的，應(yīng)當(dāng)予以剔除。

2n

根據(jù)肖維準(zhǔn)則，應(yīng)用隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)理論可以證明，在標(biāo)準(zhǔn)誤差為b的測(cè)量列中，

若某一個(gè)測(cè)量值的偏差等于或大于誤差的極限值K。，則此值應(yīng)當(dāng)剔出。不同測(cè)量次數(shù)

的誤差極限值K一列于下表。

表1肖維系數(shù)表

nK.nK0nK.

1.531.962.16

41016

a(7(J

1.652.002.18

51117

a(J(7

1.732.042.20

61218

a(ya

1.792.072.22

71319

aaa

1.862.102.24

81420

aaa

1.922.132.39

91530

a(7CT

3.格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則

若有一組測(cè)量得出的數(shù)值，其中某次測(cè)量得出數(shù)值的偏差的絕對(duì)值IAx,I與該組測(cè)

量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差%之比大于某一閾值(*1-°),即

-P),

則認(rèn)為此測(cè)量值中有異常數(shù)據(jù)，并可予以剔除。這里中的〃為測(cè)量數(shù)

據(jù)的個(gè)數(shù)。而p為服從此分布的置信概率。一般取P為0.95和0.99(至于在處理具體

問題時(shí).，究竟取哪個(gè)值則由實(shí)驗(yàn)者自己來決定)。我們將在表2中給出0=0.95和0.99

忖或1-0=0.05和0.01時(shí)，對(duì)不同的〃值所對(duì)應(yīng)的統(tǒng)值。

表2go(〃,l-p)值表

0.050.010.050.01

31.151.15172.482.78

41.461.49182.502.82

51.671.75192.532.85

61.821.94202.562.88

71.942.10212.582.91

82.032.22222.602.94

92.112.32232.622.96

102.182.41242.642.99

112.232.48252.663.01

122.282.55302.743.10

132.332.61352.813.18

142.372.66402.873.24

152.412.70452.913.29

162.442.75502.963.34

第二節(jié)測(cè)量結(jié)果的評(píng)定和不確定度

測(cè)量的目的是不但要測(cè)量待測(cè)物理量的近似值，而且要對(duì)近似真實(shí)值的可靠性做出

評(píng)定（即指出誤差范圍），這就要求我們還必須掌握不確定度的有關(guān)概念。下面將結(jié)合

對(duì)測(cè)量結(jié)果的評(píng)定對(duì)不確定度的概念、分類、合成等問題進(jìn)行討論。

一、不確定度的含義

在物理實(shí)驗(yàn)中，常常要對(duì)測(cè)量的結(jié)果做出綜合的評(píng)定，采用不確定度的概念。不確

定度是“誤差可能數(shù)值的測(cè)量程度”，表征所得測(cè)量結(jié)果代表被測(cè)量的程度。也就是因

測(cè)量誤差存在而對(duì)被測(cè)量不能肯定的程度，因而是測(cè)量質(zhì)量的表征，用不確定度對(duì)測(cè)量

數(shù)據(jù)做出比較合理的評(píng)定。對(duì)一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)的具體數(shù)據(jù)來說，不確定度是指測(cè)量值（近

真值）附近的一個(gè)范圍，測(cè)量值與真值之差（誤差）可能落于其中，不確定度小，測(cè)量

結(jié)果可信賴程度高；不確定度大，測(cè)量結(jié)果可信賴程度低。在實(shí)驗(yàn)和測(cè)量工作中，不確

定度一詞近似于不確知，不明確，不可靠，有質(zhì)疑，是作為估計(jì)而言的；因?yàn)檎`差是未

知的，不可能用指出誤差的方法去說明可信賴程度，而只能用誤差的某種可能的數(shù)值去

說明可信賴程度，所以不確定度更能表示測(cè)量結(jié)果的性質(zhì)和測(cè)量的質(zhì)量。用不確定度評(píng)

定實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，其中包含了各種來源不同的誤差對(duì)結(jié)果的影響，而它們的計(jì)算又反

映了這些誤差所服從的分布規(guī)律，這是更準(zhǔn)確地表述了測(cè)量結(jié)果的可靠程度，因而有必

要采用不確定度的概念。

二、測(cè)量結(jié)果的表示和合成不確定度

在做勢(shì)理實(shí)驗(yàn)時(shí)，要求表示出測(cè)量的最終結(jié)果。在這個(gè)結(jié)果中既要包含待測(cè)量的近

似真實(shí)值提，又要包含測(cè)量結(jié)果的不確定度。，還要反映出物理量的單位。因此，要寫

成物理含意深刻的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)形式，即

x=x+a（單位）

式中x為待測(cè)量；工是測(cè)量的近似真實(shí)值，。是合成不確定度，一般保留一位有效

數(shù)字。這種表達(dá)形式反應(yīng)了三個(gè)基本要素：測(cè)量值、合成不確定度和單位。

在物理實(shí)驗(yàn)中：直接測(cè)量時(shí)若不需要對(duì)被測(cè)量進(jìn)行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次

測(cè)量的算術(shù)平均值嚏作為近似真實(shí)值；若在實(shí)驗(yàn)中有時(shí)只需測(cè)一次或只能測(cè)一次，該次

測(cè)量值就為被測(cè)量的近似真實(shí)值。如果要求對(duì)被測(cè)量進(jìn)行一定系統(tǒng)誤差的修正，理常是

將一定系統(tǒng)誤差（即絕對(duì)值和符號(hào)都確定的可估計(jì)出的誤差分量）從算術(shù)平均值1或一

次測(cè)量值中減去，從而求得被修正后的直接測(cè)量結(jié)果的近似真實(shí)值。例如，用瞿旋測(cè)微

器來測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，從被測(cè)量結(jié)果中減去螺旋測(cè)微器的零誤差。在間接測(cè)量中，最即為被

測(cè)量的計(jì)算值。

在測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式中，給出了一個(gè)范圍它表示待測(cè)量的

真值在G-b）~G+b）范圍之間的概率為68.3%,不要誤認(rèn)為真值一定就會(huì)落在

G-b）~G+b）之間。認(rèn)為誤差在-<7---|-<T之間是錯(cuò)誤的。

在上述的標(biāo)準(zhǔn)式中，近似真實(shí)值、合畋不確定度、單位三個(gè)要素缺一不可，否則就

不能全面表當(dāng)測(cè)量結(jié)果。同時(shí)，近似真實(shí)值指的末尾數(shù)應(yīng)該與不確定度的所在位數(shù)對(duì)齊,

近似真實(shí)值嚏與不確定度。的數(shù)量級(jí)、單位要相同。在開始實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量結(jié)果的正確表

示是一個(gè)難點(diǎn)，要引起重視，從開始就注意糾正，培養(yǎng)良好的實(shí)驗(yàn)習(xí)慣，才能逐步克服

難點(diǎn)，正確書寫測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)形式。

在不確定度的合成問題中，主要是從系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差等方面進(jìn)行綜合考慮的，

提出了統(tǒng)計(jì)不確定度和非統(tǒng)計(jì)不確定度的概念。合成不確定度。是由不確定度的兩類分

量（4類和6類）求“方和根”計(jì)算而得。為使問題簡(jiǎn)化，本書只討論簡(jiǎn)單情況下（即

4類、8類分量保持各自獨(dú)立變化，互不相關(guān)）的合成不確定度。

A類不確定度（統(tǒng)計(jì)不確定度）用S,表示，8類不確定度（非統(tǒng)計(jì)不確定度）用。"

表示，合成不確定度為

"肉+成

三、合成不確定度的兩類分量

物理實(shí)驗(yàn)中的不確定度，一般主要來源于測(cè)量方法、測(cè)量人員、環(huán)境波動(dòng)、測(cè)量對(duì)

象變化等等。計(jì)算不確定度是將可修正的系統(tǒng)誤差修正后，將各種來源的誤差按計(jì)算方

法分為兩類，即用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的不確定度3類）和非統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的不確定度（6

類）。

力類統(tǒng)計(jì)不確定度，是指可以采用統(tǒng)計(jì)方法（即具有隨機(jī)誤差性質(zhì)）計(jì)算的不確

定度，如測(cè)量讀數(shù)具有分散性，測(cè)量時(shí)溫度波動(dòng)影響等等。這類統(tǒng)計(jì)不確定度通常認(rèn)為

它是服從正態(tài)分布規(guī)律，因此可以像計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差那樣，用“貝塞爾公式”計(jì)算被測(cè)量

的/類不確定度。｛類不確定度S.為

式中/=1,2,3,-n,表示測(cè)量次數(shù)。

在計(jì)算/類不確定度時(shí)，也可以用最大偏差法、極差法、最小二乘法等，本書只采

用“貝塞爾公式法”，并且著重討論讀數(shù)分散對(duì)應(yīng)的不確定度。用“貝塞爾公式”計(jì)算4

類不確定度，可以用函數(shù)計(jì)算器直接讀取，十分方便。

3類非統(tǒng)計(jì)不確定度，是指用非統(tǒng)計(jì)方法求出或評(píng)定的不確定度，如實(shí)驗(yàn)室中的

測(cè)量?jī)x器不準(zhǔn)確，量具磨損老化等等。評(píng)定8類不確定度常用估計(jì)方法，要估計(jì)適當(dāng)，

需要確定分布規(guī)律，同時(shí)要參照標(biāo)準(zhǔn)，更需要估計(jì)者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、學(xué)識(shí)水平等。因此，

往往是意見紛紜，爭(zhēng)論頗多。本書對(duì)6類不確定度的估計(jì)同樣只作筒化處理。儀器不準(zhǔn)

確的程度主要用儀器誤差來表示，所以因儀器不準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)的夕類不確定度為

△儀為儀器誤差或儀器的基本誤差，或允許誤差，或顯示數(shù)值誤差。一般的儀器說

明書中都以某種方式注明儀器誤差，是制造廠或計(jì)量檢定部門給定。物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，

由實(shí)驗(yàn)室提供。對(duì)于單次測(cè)量的隨機(jī)誤差一般是以最大誤差進(jìn)行估計(jì)，以下分兩種情況

處理。

已知儀器準(zhǔn)確度時(shí)，這時(shí)以其準(zhǔn)確度作為誤差大小。如一個(gè)量程150mA,準(zhǔn)確度0.2

級(jí)的電流表，測(cè)某一次電流，讀數(shù)為131.2mA。為估計(jì)其誤差，則按準(zhǔn)確度0.2級(jí)可算

出最大絕對(duì)誤差為0.3mA,因而該次測(cè)量的結(jié)果可寫成7=131.2±0.3mA,又如用物理

天平稱量某個(gè)物體的質(zhì)量，當(dāng)天平平衡時(shí)祛碼為4145.02克，讓游碼在天平橫梁上偏

離平衡位置一個(gè)刻度（相當(dāng)于0.05克），天平指針偏過1.8分度，則該天平這時(shí)的靈敏

度為（1.8+0.05）分度/克，其感量為0.03克/分度，就是該天平稱衡物體質(zhì)量時(shí)的準(zhǔn)

確度，測(cè)量結(jié)果可寫成々145.02±0.03克。

未知儀器準(zhǔn)確度時(shí)，這時(shí)單次測(cè)量誤差的估計(jì)，應(yīng)根據(jù)所用儀器的精密度、儀器靈

敏度、測(cè)試者感覺器官的分辨能力以及觀測(cè)時(shí)的環(huán)境條件等因素具體考慮，以使估計(jì)誤

差的大小盡可能符合實(shí)際情況。一般說，最大讀數(shù)誤差對(duì)連續(xù)讀數(shù)的儀器可取儀器最小

刻度值的一半，而無法進(jìn)行估計(jì)的非連續(xù)讀數(shù)的儀器，如數(shù)字式儀表，則取其最末位數(shù)

的一個(gè)最小單位。

四、直接測(cè)量的不確定度

在對(duì)直接測(cè)量的不確定度的合成問題中，對(duì)1類不確定度主要討論在多次等精度測(cè)

量條件下，讀數(shù)分散對(duì)應(yīng)的不確定度，并且用“貝塞爾公式”計(jì)算1類不確定度。對(duì)6

類不確定度，主要討論儀器不準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)的不確定度，將測(cè)量結(jié)果寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。因此，

實(shí)驗(yàn)結(jié)果的獲得，應(yīng)包括待測(cè)量近似真實(shí)值的確定，/、8兩類不確定度以及合成不確定

度的計(jì)算。增加重復(fù)測(cè)量次數(shù)對(duì)于減小平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，提高測(cè)量的精密度有利。但

是注意到當(dāng)次數(shù)增大時(shí)，平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差減小漸為緩慢，當(dāng)次數(shù)大于十時(shí)平均值的減

小便不明顯了。通常取測(cè)量次數(shù)為五至十為宜。下面通過兩個(gè)例子加以說明。

例L采用感量為0.1g的物理天平稱量某物體的質(zhì)量，其讀數(shù)值為35.41g，求物

體質(zhì)量的測(cè)量結(jié)果。

［解］:采用物理天平稱物體的質(zhì)量，重復(fù)測(cè)量讀數(shù)值往往相同，故一般只須進(jìn)行單

次測(cè)量即可。單次測(cè)量的讀數(shù)即為近似真實(shí)值，加=35.41g。

物理天平的“示值誤差”通常取感量的一半，并且作為儀器誤差，即

crB=A儀=0.05(g)=o

測(cè)量結(jié)果為

卬=35.41±0.05(g)

在例1中，因?yàn)槭菃未螠y(cè)量("=1)，合成不確定度二+中的陽=0,所

以。=bp即單次測(cè)量的合成不確定度等于非統(tǒng)計(jì)不確定度。但是這個(gè)結(jié)論并不表明單

次測(cè)量的“就小，因?yàn)閚=1時(shí)，s,發(fā)散。其隨機(jī)分布特征是客觀存在的，測(cè)量次數(shù)"

越大，置信概率就越高，因而測(cè)量而平均值就越接近真值。

例2.用螺旋測(cè)微器測(cè)量小鋼球的直徑，五次的測(cè)量值分別為

d(mm)=11.922,11.923,11.922,11.922,11.922

螺旋測(cè)微器的最小分度數(shù)值為0.01mm試寫出測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。

［解］:(1)求直徑d的算術(shù)平均值

_151

d=-Yd=-(11.922+11.923+11.922+11.922+11.922)

n\i5

=11.922(mm)

(2)計(jì)算9類不確定度

螺旋測(cè)微器的儀器誤差為△儀=0.005(mm)

(TB-△儀=0.005(mm)

(3)計(jì)算力類不確定度

(11.922-11.922)2+(11.923-11.922)2+???

5-1

=0.0005(mm)

(4)合成不確定度

O-=崗+b；=V0.00052+0.0052

式中，由于0.0005<!XO.005,故可略去于是：

3

o=0.005(mm)

5.測(cè)量結(jié)果為

d=d±(J=11.922±0.005(mm)

從上例中可以看出，當(dāng)有些不確定度分量的數(shù)值很小時(shí)，相對(duì)而言可以略去不計(jì)。

在計(jì)算合成不確定度中求“方和根”時(shí)，若某一平方值小于另一平方值的則這項(xiàng)

9

就可以略去不計(jì)。這一結(jié)論叫做微小誤差準(zhǔn)則。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí),利用微小誤差準(zhǔn)則

可減少不必要的計(jì)算。不確定度的計(jì)算結(jié)果，一般應(yīng)保留一位有效數(shù)字，多余的位數(shù)按

有效數(shù)字的修約原則進(jìn)行取舍。評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果，有時(shí)候需要引入相對(duì)不確定度的概念。

相對(duì)不確定度定義為

Ea=gxl00%

X

%的結(jié)果一般應(yīng)取2位有效數(shù)字。此外，有時(shí)候還需要將測(cè)量結(jié)果的近似真實(shí)值最

與公認(rèn)值x公進(jìn)行比較，得到測(cè)量結(jié)果的百分偏差6。百分偏差定義為

n

B=1——^xlOO%

x公

百分偏差其結(jié)果一般應(yīng)取2位有效數(shù)字。

測(cè)量不確定度表達(dá)涉及到深廣的知識(shí)領(lǐng)域和誤差理論問題，大大超出了本課程的教

學(xué)范圍。同時(shí)，有關(guān)它的概念、理論和應(yīng)用規(guī)范還在不斷地發(fā)展和完善。因此，我們?cè)?/p>

教學(xué)中也在進(jìn)行摸索，以期在保證科學(xué)性的前提下，盡量把方法簡(jiǎn)化，為初學(xué)者易于接

受。教學(xué)重點(diǎn)放在建立必要的概念，有一個(gè)初步的基礎(chǔ)。以后在工作需要時(shí)，可以參考

有關(guān)文獻(xiàn)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)。

五、間接測(cè)量結(jié)果的合成不確定度

間接測(cè)量的近似真實(shí)值和合成不確定度是由直接測(cè)量結(jié)果通過函數(shù)式計(jì)算出來的，

既然直接測(cè)量有誤差，那么間接測(cè)量也必有誤差，這就是誤差的傳遞。由直接測(cè)量值及

其誤差來計(jì)算間接測(cè)量值的誤差之間的關(guān)系式稱為誤差的傳遞公式。設(shè)間接測(cè)量的函數(shù)

式為

N=F(才，y,z,…)

N為間接測(cè)量的量，它有4個(gè)直接測(cè)量的物理量x,y,z,…，各直接觀測(cè)量

的測(cè)量結(jié)果分別為

X=X±(Tx

y=y±，

z=z±

(1)若將各個(gè)直接測(cè)量量的近似真實(shí)值嚏代入函數(shù)表達(dá)式中，即可得到間接測(cè)量

的近似真實(shí)值。

(2)求間接測(cè)量的合成不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學(xué)中的微

小增量，對(duì)函數(shù)式后尸（x,y,z,…）求全微分，即得

八，8F,dF,8F,

dN=—dx-\---dxH---dz+???

8xdydz

式中dV,dx,dy,dz,…均為微小量，代表各變量的微小變化，&V的變化由

各自變量的變化決定，2,如，2,…為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)，記為亞。將上面全微

dxdydzdAK

分式中的微分符號(hào)d改寫為不確定度符號(hào)。，并將微分式中的各項(xiàng)求“方和根”，即為

間接測(cè)量的合成不確定度

月F、2,即s,dF,

叫（菽巴）+（瓦%廠+（5嗎：(4)

｛為直接測(cè)量量的個(gè)數(shù)，4代表X,y,Z,…各個(gè)自變量（直接觀測(cè)量）。

上式表明，間接測(cè)量的函數(shù)式確定后，測(cè)出它所包含的直接觀測(cè)量的結(jié)果，將各個(gè)

直接觀測(cè)量的不確定度乘以函數(shù)對(duì)各變量（直測(cè)量）的偏導(dǎo)數(shù)（尤b）,求''方和

立4

根”，即歷亞巴J就是間接測(cè)量結(jié)果的不確定度。

Vi=l

當(dāng)間接測(cè)量的函數(shù)表達(dá)式為積和商（或含和差的積商形式）的形式時(shí)，為了使運(yùn)算

簡(jiǎn)便起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，然后再求全微分。即

dNainF,SlnF,ainF,

——=----dx+-----ay-\-----az+???

NdxSy8z

同樣改寫微分符號(hào)為不確定度符號(hào)，再求其“方和根”，即為間接測(cè)量的相對(duì)不確

定度及丫，即

(5)

已知E.、W，由（5）式可以求出合成不確定度

八=N夙(6)

這樣計(jì)算間接測(cè)量的統(tǒng)計(jì)不確定度時(shí)，特別對(duì)函數(shù)表達(dá)式很復(fù)雜的情況，尤其顯示

出它的優(yōu)越性。今后在計(jì)算間接測(cè)量的不確定度時(shí)，對(duì)函數(shù)表達(dá)式僅為“和差”形式，

可以直接利用（4）式，求出間接測(cè)量的合成不確定度ON，若函數(shù)表達(dá)式為積和商（或

積商和差混合）等較為復(fù)雜的形式，可直接采用（5）式，先求出相對(duì)不確定度，再求

出合成不確定度（7可。

例1.已知電阻鳥=50.2±0.5（Q）,/?2=149.8±0.5（Q）,求它們串聯(lián)的電

阻斤和合成不確定度

［解］:串聯(lián)電阻的阻值為

4與+/?2=5。-2+149.8=200.0（Q）

合成不確定度

=Jcr；+cr；=V0.52+0.52=0.7(。)

相對(duì)不確定度

ER=￡?-=_22_X100%=0.35%

RR200.0

測(cè)量結(jié)果為

於=200.0±0.7(Q)

在例1中，由于更=i絲=［A的總合成不確定度為各個(gè)直接觀測(cè)量的不確定度

8Rt'8R2'

平方求和后再開方。

間接測(cè)量的不確定度計(jì)算結(jié)果一般應(yīng)保留?位有效數(shù)字，相對(duì)?不確定度一般應(yīng)保留

2位有效數(shù)字。

例2.測(cè)量金屬環(huán)的內(nèi)徑R=2.880±0.004(cm),外徑鼻=3.600±0.004(cm),

厚度h=2.575±0.004(cm)。試求環(huán)的體積/和測(cè)量結(jié)果。

［解］:環(huán)體積公式為

V=^h(Dl-D；)

(1)環(huán)體積的近似真實(shí)值為

V=-h(D1-D^

=3'1416x2.575x(3.6002-2.8802)=9.436(cm3)

4

(2)首先將環(huán)體積公式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)后，再求全微分

InV=ln(^)+lnh+ln(D;-D,2)

dVndh2D,dD,-2D、dD\

VhD”D；

則相對(duì)不確定度為

一0.004丫2x3.600x0.0042-2x2.880x0.004丫1

一12.575)+SSOO2——)+3.6002-2.8802.

=0.0081=0.81%

(3)總合成不確定度為

=丫￡=9.436x0.0081=0.08(cm3)

(4)環(huán)體積的測(cè)量結(jié)果為

勺9.44±0.08(cm3)

『的標(biāo)準(zhǔn)式中，V=9.436(cn?)應(yīng)與不確定度的位數(shù)取齊，因此將小數(shù)點(diǎn)后的第三位

數(shù)6,按照數(shù)字修約原則進(jìn)到百分位，故為9.44(cn?)。

間接測(cè)量結(jié)果的誤差，常用兩種方法來估計(jì)：算術(shù)合成(最大誤差法)和幾何合成

(標(biāo)準(zhǔn)誤差)。誤差的算術(shù)合成將各誤差取絕對(duì)值相加，是從最不利的情況考慮，誤差

合成的結(jié)果是間接測(cè)量的最大誤差，因此是比較粗略的，但計(jì)算較為簡(jiǎn)單，它常用于誤

差分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)或粗略的誤差計(jì)算中；上面例子采用兒何合成的方法，計(jì)算較麻煩，

但誤差的幾何合成較為合理。

第三節(jié)有效數(shù)字及其運(yùn)算法則

物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常要記錄很多測(cè)量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)是能反映出被測(cè)量實(shí)際大小的

全部數(shù)字，即有效數(shù)字。但是在實(shí)驗(yàn)觀測(cè)、讀數(shù)、運(yùn)算與最后得出的結(jié)果中。哪些是能

反映被測(cè)量實(shí)際大小的數(shù)字應(yīng)予以保留，哪些不應(yīng)當(dāng)保留，這就與有效數(shù)字及其運(yùn)算法

則有關(guān)。前面已經(jīng)指出，測(cè)量不可能得到被測(cè)量的真實(shí)值，只能是近似值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的

記錄反映了近似值的大小，并且在某種程度上表明了誤差。因此，有效數(shù)字是對(duì)測(cè)量結(jié)

果的一種準(zhǔn)確表示，它應(yīng)當(dāng)是有意義的數(shù)碼，而不允許無意義的數(shù)字存在。如果把測(cè)量

結(jié)果寫成54.2817±005(cm)是錯(cuò)誤的,由不確定度0.05(cm)可以得知,數(shù)據(jù)的第

二位小數(shù)0.08已不可靠，把它后面的數(shù)字也寫出來沒有多大意義，正確的寫法應(yīng)當(dāng)是:

54.28±0.05(cm)o測(cè)量結(jié)果的正確表示，對(duì)初學(xué)者來說是一個(gè)難點(diǎn)，必須加以重視，

多次強(qiáng)調(diào)，才能逐步形成正確表示測(cè)量結(jié)果的良好習(xí)慣。

一、有效數(shù)字的概念

任何一個(gè)物理量，其測(cè)量的結(jié)果既然都或多或少的有誤差，那么一個(gè)物理量的數(shù)值

就不應(yīng)當(dāng)無止境的寫下去，寫多了沒有實(shí)際意義，寫少了有不能比較真實(shí)的表達(dá)物理量。

因此，?個(gè)物理量的數(shù)值和數(shù)學(xué)上的某?個(gè)數(shù)就有著不同的意義，這就引入了一個(gè)有效

數(shù)字的概念。若用最小分度值為1mm的米尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度，讀數(shù)值為5.63cm。其中5

和6這兩個(gè)數(shù)字是從米尺的刻度上準(zhǔn)確讀出的，可以認(rèn)為是準(zhǔn)確的，叫做可靠數(shù)字。末

尾數(shù)字3是在米尺最小分度值的下一位上估計(jì)出來的，是不準(zhǔn)確的，叫做欠準(zhǔn)數(shù)。雖然

是欠準(zhǔn)可疑，但不是無中生有，而是有根有據(jù)有意義的，顯然有一位欠準(zhǔn)數(shù)字，就使測(cè)

量值更接近真實(shí)值，更能反映客觀實(shí)際。因此，測(cè)量值應(yīng)當(dāng)保留到這一位是合理的，即

使估計(jì)數(shù)是0,也不能舍去。測(cè)量結(jié)果應(yīng)當(dāng)而且也只能保留一位欠準(zhǔn)數(shù)字，故測(cè)量數(shù)據(jù)

的有效數(shù)字定義為幾位可靠數(shù)字加上一位欠準(zhǔn)數(shù)字稱為有效數(shù)字，有效數(shù)字?jǐn)?shù)字的個(gè)數(shù)

叫做有效數(shù)字的位數(shù)，如上一述的5.63cm稱為三位有效數(shù)字。

有效數(shù)字的位數(shù)與十進(jìn)制單位的變換無關(guān)，即與小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)。因此，用以表

示小數(shù)點(diǎn)位置的0不是有效數(shù)字。當(dāng)0不是用作表示小數(shù)點(diǎn)位置時(shí)，0和其它數(shù)字具有

同等地位，都是有效數(shù)字。顯然，在有效數(shù)字的位數(shù)確定時(shí)，第一個(gè)不為零的數(shù)字左面

的零不能算有效數(shù)字的位數(shù)，而第一個(gè)不為零的數(shù)字右面的零一定要算做有效數(shù)字的位

數(shù)。如0.0135m是三位有效數(shù)字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不過

是分別采用了米、厘米和毫米作為長(zhǎng)度的表示單位；L030m是四位有效數(shù)字。從有效數(shù)

字的另一面也可以看出測(cè)量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度為毫米的尺子

測(cè)量的，而1.030m是用最小刻度為厘米的尺子測(cè)量的。因此，正確掌握有效數(shù)字的概

念對(duì)物理實(shí)驗(yàn)來說是十分必要的。

二、直接測(cè)量的有效數(shù)字記錄

物理實(shí)驗(yàn)中通常儀器上顯示的數(shù)字均為有效數(shù)字(包括最后一位估計(jì)讀數(shù))都應(yīng)讀

出，并記錄下來。儀器上顯示的最后一位數(shù)字是。時(shí)，此0也要讀出并記錄。對(duì)于有分

度式的儀表，讀數(shù)要根據(jù)人眼的分辨能力讀到最小分度的十分之幾。