6.2.1向量的加法運算

學習目標

核心素養(yǎng)

I.理解并掌握向量加法的概念，了解向量1.教材從幾何角度給出向量加法的三角形法則

加法的幾何意義及運算律.（難點）和平行四邊形法則，結(jié)合了對應的物理模型，

2.掌握向量加法運算法則，能熟練地進行提升了學生的直觀想象和數(shù)學建模的核心素

向量加法運算.（重點）養(yǎng).

3.能區(qū)分數(shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系2.對比數(shù)的加法，給出了向量的加法運算律，

與區(qū)別.（易混點）培養(yǎng)學生的數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

『自主預習』

「新知初探」

i.向量加法的定義

定義：求的運算，叫做向量的加法.

對于零向量與任一向量a,規(guī)定0+。=。+=.

2.向量求和的法則

已知非零向量a,h,在平面內(nèi)任取一點A,作蠢=a,BC=b,則向量

三角形->>->

AC叫做a與占的和，記作，即a+B=AB+BC=.

法則

AaB

已知兩個不共線向量a,"作晶=a,XB=b,以贏，石為鄰邊作

平行四

-ABCD,則對角線上的向量=a+A

邊形法

則A7

思考：兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎？

3.向量加法的運算律

⑴交換律：a+b=.

（2）結(jié)合律：（〃+8）+c=.

『初試身手」

1.下列各式不一定成立的是（）

A.a+b=b+aB.O+a=a

—?—?—>

C.AC+CB=ABD.\a+b\=\a\+\b\

>>>

2.C3+AO+5A等于（

A.DBB.CA

C.CDD.DC

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，DA+DC=.

ZZZ7D

Bc

4.小船以km/h的速度按垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為10km/h,則小

船實際航行速度的大小為km/h.

［合作探究』

類型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則

「探究問題」

1.求作兩個向量和的法則有哪些？這些法則的物理模型是什么？

2.設(shè)Ai，A2,A3.....4（"GN,且論3）是平面內(nèi)的點,則一般情況下，A1A2+A2A3+A3A4

+…+A”的運算結(jié)果是什么？

『例1』⑴如圖，在"BC中，D,E分別是AB,AC上的點，尸為線段OE延長線上一點,

DE//BC,AB//CF,連接CD,那么（在橫線上只填上一個向量）：

A

E

D,

①A8+OB=；

②AD+尸C=；

@AD+BC+FC^.

(2)①如圖甲所示，求作向量和a+6

②如圖乙所示，求作向量和a+b+c.

思路點撥：(1)先由平行四邊形的性質(zhì)得到有關(guān)的相等向量，并進行代換，然后用三角形法

則化簡.

(2)用三角形法則或平行四邊形法則畫圖.

「母題探究」

->->

1.在本例(1)條件下，求CB+CF.

2.在本例(1)圖形中求作向量且+赤+凈.

「規(guī)律方法」

1.向量求和的注意點

(1)三角形法則對于兩個向量共線時也適用.

(2)兩個向量的和向量仍是一個向量.

(3)平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用.

2.利用三角形法則時I要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點指向終點''的向量；

利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點”，其和向量為共起點的“對角線”向量.

提醒：(1)當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三

角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.

類型二向量加法運算律的應用

r例2j⑴化簡:

-?-?

①8C+AB；

@DB+CD+BC；

__--->--?--?--->--->

@AB+DF+CD+BC+FA.

(2)如圖，E,F,G,H分別是梯形48C。的邊48,BC,CD,0A的中點，化簡下列各式:

①。G+E4+CB；

②EG+CG+D4+EB.

思路點撥：根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接，再運用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順序后

相加.

「規(guī)律方法」

向量加法運算律的意義和應用原則

⑴意義：

向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的.

實際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、

任意的組合來進行.

（2）應用原則：

利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向

量相加的順序.

「跟蹤訓練」

1.向量（彘+品）+（應）+俞）+晶化簡后等于（）

A.BCB.AB

C.ACD.AM

類型三向量加法的實際應用

r例3J如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子上，ZACW=150°,Z

BCW=120°,求A和8處所受力的大小（繩子的重量忽略不計）.

思路點撥:

「規(guī)律方法」

利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟

「跟蹤訓練」

2.在某地抗震救災中，一架飛機從A地按北偏東35。的方向飛行800km到達B地接到受傷

人員，然后又從8地按南偏東55。的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機飛行的路

程及兩次位移的和.

『課堂小結(jié)』

1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個法則是統(tǒng)一的，當兩個向

量首尾相連時，常選用三角形法則；當兩個向量共起點時.，常選用平行四邊形法則.

2.向量的加法滿足交換律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任

意的組合去進行.

3.使用向量加法的三角形法則時要特別注意“首尾相接”.和向量的特征是從第一個向量的

起點指向第二個向量的終點.向量相加的結(jié)果是向量，如果結(jié)果是零向量，一定要寫成0,

而不應寫成0.

『當堂達標』

1.下列判斷正確的是（）

A.任意兩個向量的和仍然是一個向量.

B.兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加.

C.任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線.

D.|a|+|fe|>|a+*|

2.對于任意一個四邊形48a>,下列式子不能化簡為法的是（）

A.BA+AD+DCB.BD+DA+AC

C.AB+BD+DCD.DC+BA+AD

3.若a表示“向東走8km”，力表示“向北走8km”，則|a+）|=,a+Z>的方向是.

4.如圖所示，設(shè)。為正六邊形A8CDEF的中心，求下列向量：

⑴豆十而

⑵諾+港.

——★參*考*答*案★——

『自主預習』

「新知初探」

1.兩個向量和

0a

2.a+bACAC

思考：「提示」不是，向量的相加滿足三角形法則，而模相加是數(shù)量的加法.

3.(1)6+。

(2)a+S+c)

「初試身手」

1.D『A,B,C項滿足運算律，而D項向量和的模不一定與向量模的和相等，滿足三角

形法則

―>—>—>—>—>—>—>

2.C『C8+Ar>+B4=CB+BA+A￡>=CDj

-?..-?-?->

3.DB『由平行四邊形法則可知D4+Z)C=￡)A』

4.20f根據(jù)平行四邊形法則，因為水流方向與船速方向垂直，所以小船實際速度大小為

yl(1()V3)2+102=20(km/h).J

r合作探究』

類型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則

「探究問題」

1.提示：(1)平行四邊形法則，對應的物理模型是力的合成等.

(2)三角形法則，對應的物理模型是位移的合成等.

2.提示：將三角形法則進行推廣可知4A2+A2A3+A/4+...+A“TA“=AA,.

『例1』⑴①啟②於③公『如題圖，由已知得四邊形。尸CB為平行四邊形,

由向量加法的運算法則可知:

@AB+DF=AB+BC=AC.

@AD+FC=AD+DB=AB.

'1>>",>?■>??

@AD+BC+FC=AD+DF+FC=AC.l

(2)『解』①首先作向量。4=a,然后作向量AB=Z>,則向量OB=a+A如圖所示.

0AB

,>

②法一（三角形法則）：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點。，作向量。A=a,

—>—?

再作向量AB=Z>,貝IJ得向量OB=a+Z>,

,1■>

然后作向量BC=c，則向量。C=（a+8）+c=a+8+c即為所求.

法二（平行四邊形法則）：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點0,

作向量豆=a,OB=b,0C=c,以04,08為鄰邊作"0AD8,連接。￡）,

則OO=O4+OB=a+4

再以0。，0c為鄰邊作"OOEC,連接0E,則加=應）+元=4+5+<:即為所求.

「母題探究」

1.『解」因為BC〃。凡BD//CF,所以四邊形8CFO是平行四邊形,

所以為+孑=灰.

2.『解」過A作AG〃OF交CF的延長線于點G,

>>>>>

則D4+OF=￡>G,作GH=CP,連接OH,

則加=且+9+無，如圖所示.

類型二向量加法運算律的應用

『例2]「解[（1）①說+耗=港+病=就；

②法+品+選=病+1）+法=0；

@AB+DF+cb+BC+FA=AB+BC+CD+DF+^=O.

⑵①求+而+為=訟+庭+無=訟+為+晶=荔+藁=亦

②病+&;+豆+遏=丘;+而）+法+京=詬+筋+蕊=而+怠=0.

「跟蹤訓練」

1.D『原式=（藍+麗+（蕩+扇+"）=京+0=笳」

類型三向量加法的實際應用

-->-->._-->

『例3J「解」如圖所示，設(shè)CE,C尸分別表示A,B所受的力，10N的重力用CG表示,

--?--?--?

則CE+CF=CG.

易得NECG=180°—150°=30°,ZFCG=180°—120°=60°.

——\[3I?—-—>1

.*.|CE]=|CG|-COS30°=10X-^-=5V3,|CF1=|CG|-COS60°=10X-=5.

；.A處所受的力的大小為54N,8處所受的力的大小為5N.

「跟蹤訓練」

2.『解J設(shè)茄，晶分別表示飛機從A地按北偏東35。的方向飛行800km,從8地按南偏

東55。的方向飛行800km,則飛機飛行的路程指的是|施|+|的；

--?--?-->

兩次飛行的位移的和是AB+BC=4C.

依題意，有麗|+|砧=800+800=I600(km),

又a=35°,夕=55°,/A8C=35°+55°=90°,

所以的=弋港|2+曲2=48002+80()2=80M(km)?

其中NR4C=45。，所以方向為北偏東35。+45。=80。.

從而飛機飛行的路程是1600km,兩次飛行的位移和的大小為80Mkm,方向為北偏東80。.